專題04與高中數(shù)學(xué)知識銜接問題(原卷版+解析)

2023年中考不常考滿分當(dāng)成寶數(shù)學(xué)10個特色專題精煉（中等難度）專題04與高中數(shù)學(xué)知識銜接問題1.閱讀理解：已知兩點M（x1，y1），N（x2，y2），則線段MN的中點K（x，y）的坐標(biāo)公式為：x＝，y＝．如圖，已知點O為坐標(biāo)原點，點A（﹣3，0），⊙O經(jīng)過點A，點B為弦PA的中點．若點P（a，b），則有a，b滿足等式：a2+b2＝9．設(shè)B（m，n），則m，n滿足的等式是（）A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9 C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝92.（2022黑龍江綏化）定義一種運算；，．例如：當(dāng)，時，，則的值為_______．3．定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，其滿足運算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運算法則，計算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為（）A．5 B．2 C．1 D．04.（2022湖南婁底）若，則稱是以10為底的對數(shù)．記作：．例如：，則；，則．對數(shù)運算滿足：當(dāng)，時，，例如：，則的值為（）A.5 B.2 C.1 D.05．閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為a1，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為a2，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項，記為an．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示．如：數(shù)列1，3，5，7，…為等差數(shù)列，其中a1＝1，a2＝3，公差為d＝2．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等差數(shù)列5，10，15，…的公差d為，第5項是．（2）如果一個數(shù)列a1，a2，a3，…，an…，是等差數(shù)列，且公差為d，那么根據(jù)定義可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：an＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差數(shù)列﹣5，﹣7，﹣9…的項？如果是，是第幾項？6．閱讀下面材料：我們知道一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的圖象是一條直線，到高中學(xué)習(xí)時，直線通常寫成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常數(shù)）的形式，點P（x0，y0）到直線Ax+By+C＝0的距離可用公式d＝計算．例如：求點P（3，4）到直線y＝﹣2x+5的距離．解：∵y＝﹣2x+5∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5∴點P（3，4）到直線y＝﹣2x+5的距離為：d＝＝＝＝根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）求點Q（﹣2，2）到直線3x﹣y+7＝0的距離；（2）如圖，直線y＝﹣x沿y軸向上平移2個單位得到另一條直線，求這兩條平行直線之間的距離．7．已知銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，邊角總滿足關(guān)系式：＝＝．（1）如圖1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋CD（如圖2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景觀橋CD的長度．8.（2021四川涼山）閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Npler，1550﹣1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人．他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler，1707﹣1783年）對數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式24＝16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4＝log216，對數(shù)式2＝log39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32＝9．我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，∴M?N＝am?an＝am+n，由對數(shù)的定義得m+n＝loga（M?N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴l(xiāng)oga（M?N）＝logaM+logaN．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，解答下列問題：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求證：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展運用：計算log5125+log56﹣log530．9.我們把方程(x-m)2+(y-n)2=r2稱為圓心為(m，n)、半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐標(biāo)系中,圓C與軸交于點A．B．且點B的坐標(biāo)為(8．0),與y軸相切于點D(0,4)，過點A,B,D的拋物線的頂點為E．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試判斷直線AE與圓C的位置關(guān)系，并說明理由．2023年中考不?？紳M分當(dāng)成寶數(shù)學(xué)10個特色專題精煉（中等難度）專題04與高中數(shù)學(xué)知識銜接問題1.閱讀理解：已知兩點M（x1，y1），N（x2，y2），則線段MN的中點K（x，y）的坐標(biāo)公式為：x＝，y＝．如圖，已知點O為坐標(biāo)原點，點A（﹣3，0），⊙O經(jīng)過點A，點B為弦PA的中點．若點P（a，b），則有a，b滿足等式：a2+b2＝9．設(shè)B（m，n），則m，n滿足的等式是（）A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9 C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9【答案】D【解析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式求得點B的坐標(biāo)，然后代入a，b滿足的等式．∵點A（﹣3，0），點P（a，b），點B（m，n）為弦PA的中點，∴m＝，n＝．∴a＝2m+3，b＝2n．又a，b滿足等式：a2+b2＝9，∴（2m+3）2+4n2＝9．故選：D．【點評】考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解中點坐標(biāo)公式，難度不大．2.（2022黑龍江綏化）定義一種運算；，．例如：當(dāng)，時，，則的值為_______．【答案】【解析】根據(jù)代入進行計算即可．====．故答案為：．【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．3．定義：若10x＝N，則x＝log10N，x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為lgN，其滿足運算法則：lgM+lgN＝lg（M?N）（M＞0，N＞0）．例如：因為102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根據(jù)上述定義和運算法則，計算（lg2）2+lg2?lg5+lg5的結(jié)果為（）A．5 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】根據(jù)題意，按照題目的運算法則計算即可．（lg2）2+lg2?lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．4.（2022湖南婁底）若，則稱是以10為底的對數(shù)．記作：．例如：，則；，則．對數(shù)運算滿足：當(dāng)，時，，例如：，則的值為（）A.5 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】通過閱讀自定義運算規(guī)則：，再得到再通過提取公因式后逐步進行運算即可得到答案．，故選C【點睛】本題考查的是自定義運算，理解題意，弄懂自定義的運算法則是解本題的關(guān)鍵．5．閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為a1，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為a2，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項，記為an．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示．如：數(shù)列1，3，5，7，…為等差數(shù)列，其中a1＝1，a2＝3，公差為d＝2．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等差數(shù)列5，10，15，…的公差d為，第5項是．（2）如果一個數(shù)列a1，a2，a3，…，an…，是等差數(shù)列，且公差為d，那么根據(jù)定義可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：an＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差數(shù)列﹣5，﹣7，﹣9…的項？如果是，是第幾項？【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)題意得，d＝10﹣5＝5；∵a3＝15，a4＝a3+d＝15+5＝20，a5＝a4+d＝20+5＝25，故答案為：5；25．（2）∵a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……∴an＝a1+（n﹣1）d故答案為：n﹣1．（3）根據(jù)題意得，等差數(shù)列﹣5，﹣7，﹣9…的項的通項公式為：an＝﹣5﹣2（n﹣1），則﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，解之得：n＝2019∴﹣4041是等差數(shù)列﹣5，﹣7，﹣9…的項，它是此數(shù)列的第2019項．6．閱讀下面材料：我們知道一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的圖象是一條直線，到高中學(xué)習(xí)時，直線通常寫成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常數(shù)）的形式，點P（x0，y0）到直線Ax+By+C＝0的距離可用公式d＝計算．例如：求點P（3，4）到直線y＝﹣2x+5的距離．解：∵y＝﹣2x+5∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5∴點P（3，4）到直線y＝﹣2x+5的距離為：d＝＝＝＝根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）求點Q（﹣2，2）到直線3x﹣y+7＝0的距離；（2）如圖，直線y＝﹣x沿y軸向上平移2個單位得到另一條直線，求這兩條平行直線之間的距離．【答案】見解析【解析】（1）∵3x﹣y+7＝0，∴A＝3，B＝﹣1，C＝7．∵點Q（﹣2，2），∴d＝＝＝．∴點Q（﹣2，2）到到直線3x﹣y+7＝0的距離為；（2）直線y＝﹣x沿y軸向上平移2個單位得到另一條直線為y＝﹣x+2，在直線y＝﹣x上任意取一點P，當(dāng)x＝0時，y＝0．∴P（0，0）．∵直線y＝﹣x+2，∴A＝1，B＝1，C＝﹣2∴d＝＝，∴兩平行線之間的距離為．7．已知銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，邊角總滿足關(guān)系式：＝＝．（1）如圖1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；（2）某公園準(zhǔn)備在園內(nèi)一個銳角三角形水池ABC中建一座小型景觀橋CD（如圖2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景觀橋CD的長度．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）由邊角關(guān)系式可求解；（2）由邊角關(guān)系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求CD的長．解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵＝＝，∴＝，∴b＝2；（2）∵＝，∴＝，∴sinB＝，∴∠B＝60°，∴tanB＝＝，∴BD＝CD，∵AC2＝CD2+AD2，∴196＝CD2+（10﹣CD）2，∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），∴CD的長度為8米．8.（2021四川涼山）閱讀以下材料：蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Npler，1550﹣1617年）是對數(shù)的創(chuàng)始人．他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler，1707﹣1783年）對數(shù)的定義：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，比如指數(shù)式24＝16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4＝log216，對數(shù)式2＝log39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32＝9．我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：loga（M?N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，∴M?N＝am?an＝am+n，由對數(shù)的定義得m+n＝loga（M?N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴l(xiāng)oga（M?N）＝logaM+logaN．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，解答下列問題：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求證：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展運用：計算log5125+log56﹣log530．【解析】（1）直接根據(jù)定義計算即可；（2）先設(shè)logaM＝m，logaN＝n，根據(jù)對數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：M＝am，N＝an，計算的結(jié)果，同理由所給材料的證明過程可得結(jié)論；（3）根據(jù)公式：loga（M?N）＝logaM+logaN和loga＝logaM﹣logaN的逆用，將所求式子表示為：log5（125×6÷30），計算可得結(jié)論．解：（1）log232＝log235＝5，log427＝log335＝3，log76＝log774＝0；故答案為：5，8，0；（2）設(shè)logaM＝m，logaN＝n，則M＝am，N＝an，∴＝＝am﹣n，由對數(shù)的定義得m﹣n＝loga，又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，∴l(xiāng)oga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠2，N＞0）；（3）原式＝log5（125×6÷30）＝log525＝5．9.我們把方程(x-m)2+(y-n)2=r2稱為圓心為(m，n)、半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例如，圓心為(1,-2)、半徑長為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐標(biāo)系中,圓C與軸交于點A．B．且點B的坐標(biāo)為(8．0),與y軸相切于點D(0,4)，過點A,B,D的拋物線的頂點為E．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試判斷直線AE與圓C的位置關(guān)