2023學(xué)年二輪復(fù)習解答題專題四十六：與運動問題有關(guān)的類比探究綜合題(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習解答題專題四十六：與運動問題有關(guān)的類比探究綜合題典例分析例.（2022金華中考）如圖，在菱形中，，點E從點B出發(fā)沿折線向終點D運動．過點E作點E所在的邊（或）的垂線，交菱形其它的邊于點F，在的右側(cè)作矩形．（1）如圖1，點G在上．求證：．（2）若，當過中點時，求的長．（3）已知，設(shè)點E的運動路程為s．當s滿足什么條件時，以G，C，H為頂點的三角形與相似（包括全等）？專題過關(guān)1.（2022長春中考）如圖，在中，，，點M為邊的中點，動點P從點A出發(fā)，沿折線以每秒個單位長度的速度向終點B運動，連結(jié)．作點A關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)、．設(shè)點P的運動時間為t秒．（1）點D到邊的距離為__________；（2）用含t的代數(shù)式表示線段的長；（3）連結(jié)，當線段最短時，求的面積；（4）當M、、C三點共線時，直接寫出t的值．2.（2022衡陽中考）如圖，在菱形中，，，點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，過點作于點，作交直線于點，交直線于點，設(shè)與菱形重疊部分圖形的面積為（平方單位），點運動時間為（秒）．（1）當點與點重合時，求的值；（2）當為何值時，與全等；（3）求與的函數(shù)關(guān)系式；（4）以線段為邊，在右側(cè)作等邊三角形，當時，求點運動路徑的長．3.（2022綿陽中考）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點E，F(xiàn)同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當點E，F(xiàn)相遇時停止運動．（1）如圖1，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；（2）如圖2，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？（3）如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．4.（2022吉林中考）如圖，在中，，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿邊向終點勻速運動．以為一邊作，另一邊與折線相交于點，以為邊作菱形，點在線段上．設(shè)點的運動時間為，菱形與重疊部分圖形的面積為．（1）當點在邊上時，的長為；（用含的代數(shù)式表示）（2）當點落在邊上時，求的值；（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．5.（2022青島中考）如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點P從點B出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．交于點F，連接．設(shè)運動時間為．解答下列問題：（1）當時，求t的值；（2）設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．2023學(xué)年二輪復(fù)習解答題專題四十六：與運動問題有關(guān)的類比探究綜合題典例分析例.（2022金華中考）如圖，在菱形中，，點E從點B出發(fā)沿折線向終點D運動．過點E作點E所在的邊（或）的垂線，交菱形其它的邊于點F，在的右側(cè)作矩形．（1）如圖1，點G在上．求證：．（2）若，當過中點時，求的長．（3）已知，設(shè)點E的運動路程為s．當s滿足什么條件時，以G，C，H為頂點的三角形與相似（包括全等）？【答案】（1）見解析（2）或5（3）或或或【解析】【分析】（1）證明△AFG是等腰三角形即可得到答案；（2）記中點為點O．分點E在上和點E在上兩種情況進行求解即可；（3）過點A作于點M，作于點N．分點E在線段上時，點E在線段上時，點E在線段上，點E在線段上，共四鐘情況分別求解即可．【小問1詳解】證明：如圖1，∵四邊形是菱形，∴，∴．∵FGBC，∴，∴，∴△AFG是等腰三角形，∴．【小問2詳解】解：記中點為點O．①當點E在上時，如圖2，過點A作于點M，∵中，，∴．∴，∵，∴，∴，∴．②當點E在上時，如圖3，過點A作于點N．同理，，，∴．∴或5．【小問3詳解】解：過點A作于點M，作于點N．①當點E在線段上時，．設(shè)，則，?。┤酎cH在點C的左側(cè)，，即，如圖4，．∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，∴．∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，∴．ⅱ）若點H在點C的右側(cè)，，即，如圖5，．∵，∴，∴，∴，此方程無解．∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，∴．②當點E在線段上時，，如圖6，．∴．∵，∴，∴，∴，此方程無解．∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，∵，∴不合題意，舍去；③當點E在線段上時，，如圖7，過點C作于點J，在中，．，∴，∴，∵，∴，符合題意，此時，．④當點E在線段上時，，∵，∴與不相似．綜上所述，s滿足的條件為：或或或．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，分類討論方法是解題的關(guān)鍵．專題過關(guān)1.（2022長春中考）如圖，在中，，，點M為邊的中點，動點P從點A出發(fā)，沿折線以每秒個單位長度的速度向終點B運動，連結(jié)．作點A關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)、．設(shè)點P的運動時間為t秒．（1）點D到邊的距離為__________；（2）用含t的代數(shù)式表示線段的長；（3）連結(jié)，當線段最短時，求的面積；（4）當M、、C三點共線時，直接寫出t的值．【答案】（1）3（2）當0≤t≤1時，；當1＜t≤2時，；（3）（4）或【解析】【分析】（1）連接DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當0≤t≤1時，點P在AD邊上；當1＜t≤2時，點P在BD邊上，即可求解；（3）過點P作PE⊥DM于點E，根據(jù)題意可得點A運動軌跡為以點M為圓心，AM長為半徑的圓，可得到當點D、A′、M三點共線時，線段最短，此時點P在AD上，再證明△PDE∽△ADM，可得，從而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；（4）分兩種情況討論：當點位于M、C之間時，此時點P在AD上；當點（）位于CM的延長線上時，此時點P在BD上，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，連接DM，∵AB=4，，點M為邊的中點，∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴，即點D到邊的距離為3；故答案為：3【小問2詳解】解：根據(jù)題意得：當0≤t≤1時，點P在AD邊上，；當1＜t≤2時，點P在BD邊上，；綜上所述，當0≤t≤1時，；當1＜t≤2時，；【小問3詳解】解：如圖，過點P作PE⊥DM于點E，∵作點A關(guān)于直線的對稱點，∴A′M=AM=2，∴點A的運動軌跡為以點M為圓心，AM長為半徑的圓，∴當點D、A′、M三點共線時，線段最短，此時點P在AD上，∴，根據(jù)題意得：，，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴，∴，解得：，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴；【小問4詳解】解：如圖，當點M、、C三點共線時，且點位于M、C之間時，此時點P在AD上，連接AA′，A′B，過點P作PF⊥AB于點F，過點A′作A′G⊥AB于點G，則AA′⊥PM，∵AB為直徑，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，過點C作CN⊥AB交AB延長線于點N，在中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四邊形CDMN為平行四邊形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴，∵M=2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即PF=3FM，∵，，∴，∴，即AF=2FM，∵AM=2，∴，∴，解得：；如圖，當點（）位于CM的延長線上時，此時點P在BD上，，過點作于點G′，則，取的中點H，則點M、P、H三點共線，過點H作HK⊥AB于點K，過點P作PT⊥AB于點T，同理：，∵HK⊥AB，，∴HK∥A′′G′，∴，∵點H是的中點，∴，∴，∴，∴，∴，即MT=3PT，∵，，∴，∴，∵MT+BT=BM=2，∴，∴，解得：；綜上所述，t的值為或．【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意得到點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題．2.（2022衡陽中考）如圖，在菱形中，，，點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，過點作于點，作交直線于點，交直線于點，設(shè)與菱形重疊部分圖形的面積為（平方單位），點運動時間為（秒）．（1）當點與點重合時，求的值；（2）當為何值時，與全等；（3）求與的函數(shù)關(guān)系式；（4）以線段為邊，在右側(cè)作等邊三角形，當時，求點運動路徑的長．【答案】（1）（2）或（3）（4）【解析】【分析】（1）畫出圖形，根據(jù)30°直角三角形求解即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)計算即可，需要注意分類討論；（3）利用面積公式計算即可，需要根據(jù)M在B點左邊和右邊分類討論；（4）先確定E點的運動軌跡是一條直線，再根據(jù)求點運動路徑的長．【小問1詳解】與重合時，∵，∴，∴.【小問2詳解】①當時，∵，∴，∵，∴，∴，∴.②當，∵，∴，∵，∴，∴，∴.∴或.【小問3詳解】①當時，，∴，∴.②當時，∵，，∴，∴，∴.【小問4詳解】連接.∵為正三角形，∴，在Rt△APE中，，∴為定值.∴的運動軌跡為直線，，當時，當時，∴的運動路徑長為.【點睛】本題屬于四邊形的綜合問題，考查了菱形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，綜合程度較高，考查學(xué)生靈活運用知識的能力．3.（2022綿陽中考）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點E，F(xiàn)同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當點E，F(xiàn)相遇時停止運動．（1）如圖1，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；（2）如圖2，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？（3）如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．【答案】（1）；（2）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；當時，y的最大值為；（3）當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由見解析【解析】【分析】（1）延長DF交CB的延長線于點G，先證得，可得，根據(jù)題意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再證明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三種情況討論：當0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上；當時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上；當時，點E、F均在BD上，即可求解；（3）當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由：連接DH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【小問1詳解】解：如圖，延長DF交CB的延長線于點G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，∵點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，運動時間為秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；【小問2詳解】解：根據(jù)題意得：當0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上，此時AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如圖，過點E作交于H，∴，∴；∴當x＞0時，y隨x的增大而增大，此時當x=2時，y有最大值3；當時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上，如圖，過點E作交于N，過點D作交于M，則EN∥DM，根據(jù)題意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此時該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∴當時，y隨x的增大而減小，此時當x=2時，y有最大值3；當時，點E、F均在BD上，過點E作交于Q，過點F作交于P，過點D作DM⊥AB于點M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此時y隨x的增大而減小，此時當時，y有最大值；綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為當時，y最大值為；【小問3詳解】解：當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由如下：連接DH，如圖，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此時，∵M是DF的中點，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．【點睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4.（2022吉林中考）如圖，在中，，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿邊向終點勻速運動．以為一邊作，另一邊與折線相交于點，以為邊作菱形，點在線段上．設(shè)點的運動時間為，菱形與重疊部分圖形的面積為．（1）當點在邊上時，的長為；（用含的代數(shù)式表示）（2）當點落在邊上時，求的值；（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．【答案】（1）2x（2）1（3）【解析】【分析】（1）先證明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根據(jù)題意有AP=2x，即PQ=2x；（2）當M點在BC上，Q點在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再證明△MNB是等邊三角形，即有BN=MN，根據(jù)AB=6x=6cm，即有x=1（s）；（3）分類討論：當時，此時菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，此時菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積，過Q點作QG⊥AB于G點，求出菱形的面積即可；當x＞1，且Q點在線段AC上時，過Q點作QG⊥AB于G點，設(shè)QM交BC于F點，MN交BC于E點，過M點作NH⊥EF于H點，先證明△ENB是等邊三角形、△MEF是等邊三角形，重疊部分是菱形PQMN的面積減去等邊△MEF的面積，求出菱形PQMN的面積和等邊△MEF的面積即可，此時需要求出當Q點在C點時的臨界條件；當時，此時Q點在線段BC上，此時N點始終與B點重合，過Q點作QG⊥AB于G點，重疊部分的面積就是△PBQ的面積，求出等邊△PBQ的面積即可．小問1詳解】當Q點AC上時，∵∠A=30°，∠APQ=120°，∴∠AQP=30°，∴∠A=∠AQP，∴AP=PQ，∵運動速度為每秒2cm，運動時間為x秒，∴AP=2x，∴PQ=2x；【小問2詳解】當M點在BC上，Q點在AC上，如圖，在（1）中已求得AP=PQ=2x，∵四邊形QPMN是菱形，∴PQ=PN=MN=2x，，∵∠APQ=120°，∴∠QPB=60°，∵，∴∠MNB=∠QPB=60°，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∴△MNB是等邊三角形，∴BN=MN，∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，∴x=1（s）；【小問3詳解】當P點運動到B點時，用時6÷2=3（s），即x的取值范圍為：，當M點剛好在BC上時，在（2）中已求得此時x=1，分情況討論，即當時，此時菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，∴此時菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積，過Q點作QG⊥AB于G點，如圖，∵∠APQ=120°，∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的內(nèi)角∠QPN=∠QMN=60°，∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∴重疊的面積等于菱形PQMN的面積為，即為：；當x＞1，且Q點在線段AC上時，過Q點作QG⊥AB于G點，設(shè)QM交BC于F點，MN交BC于E點，過M點作NH⊥EF于H點，如圖，∵，∴∠MNB=∠QPN=60，∵∠B=60°，∴△ENB是等邊三角形，同理可證明△MEF是等邊三角形∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，∴BN=6-AN=6-4x，∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，∵MH⊥EF，∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，∴△MEF的面積為：，QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∵菱形PQMN的面積為，∴重疊部分面積為，當Q點與C點重合時，可知此時N點與B點重合，如圖，∵∠CPB=∠CBA=60°，∴△PBC是等邊三角形，∴PC=PB，∵AP=PQ=2x，∴AP=PB=2x，∴AB=AP+PB=4x=6，則x=，即此時重合部分的面積