2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十六：與運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有關(guān)的類比探究綜合題(原卷版+解析)

2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十六：與運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有關(guān)的類比探究綜合題典例分析例.（2022金華中考）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿折線向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作點(diǎn)E所在的邊（或）的垂線，交菱形其它的邊于點(diǎn)F，在的右側(cè)作矩形．（1）如圖1，點(diǎn)G在上．求證：．（2）若，當(dāng)過(guò)中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．（3）已知，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為s．當(dāng)s滿足什么條件時(shí)，以G，C，H為頂點(diǎn)的三角形與相似（包括全等）？專題過(guò)關(guān)1.（2022長(zhǎng)春中考）如圖，在中，，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）點(diǎn)D到邊的距離為__________；（2）用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；（3）連結(jié)，當(dāng)線段最短時(shí)，求的面積；（4）當(dāng)M、、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．2.（2022衡陽(yáng)中考）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)與菱形重疊部分圖形的面積為（平方單位），點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與全等；（3）求與的函數(shù)關(guān)系式；（4）以線段為邊，在右側(cè)作等邊三角形，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．3.（2022綿陽(yáng)中考）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長(zhǎng)度的比值；（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？（3）如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM．并說(shuō)明理由．4.（2022吉林中考）如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿邊向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．以為一邊作，另一邊與折線相交于點(diǎn)，以為邊作菱形，點(diǎn)在線段上．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，菱形與重疊部分圖形的面積為．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，的長(zhǎng)為；（用含的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值；（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．5.（2022青島中考）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為．交于點(diǎn)F，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)時(shí)，求t的值；（2）設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2023學(xué)年二輪復(fù)習(xí)解答題專題四十六：與運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有關(guān)的類比探究綜合題典例分析例.（2022金華中考）如圖，在菱形中，，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿折線向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作點(diǎn)E所在的邊（或）的垂線，交菱形其它的邊于點(diǎn)F，在的右側(cè)作矩形．（1）如圖1，點(diǎn)G在上．求證：．（2）若，當(dāng)過(guò)中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．（3）已知，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為s．當(dāng)s滿足什么條件時(shí)，以G，C，H為頂點(diǎn)的三角形與相似（包括全等）？【答案】（1）見解析（2）或5（3）或或或【解析】【分析】（1）證明△AFG是等腰三角形即可得到答案；（2）記中點(diǎn)為點(diǎn)O．分點(diǎn)E在上和點(diǎn)E在上兩種情況進(jìn)行求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N．分點(diǎn)E在線段上時(shí)，點(diǎn)E在線段上時(shí)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)E在線段上，共四鐘情況分別求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖1，∵四邊形是菱形，∴，∴．∵FGBC，∴，∴，∴△AFG是等腰三角形，∴．【小問(wèn)2詳解】解：記中點(diǎn)為點(diǎn)O．①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，∵中，，∴．∴，∵，∴，∴，∴．②當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)N．同理，，，∴．∴或5．【小問(wèn)3詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N．①當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，．設(shè)，則，?。┤酎c(diǎn)H在點(diǎn)C的左側(cè)，，即，如圖4，．∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，∴．∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，∴．ⅱ）若點(diǎn)H在點(diǎn)C的右側(cè)，，即，如圖5，．∵，∴，∴，∴，此方程無(wú)解．∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，∴．②當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，，如圖6，．∴．∵，∴，∴，∴，此方程無(wú)解．∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，∵，∴不合題意，舍去；③當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，，如圖7，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)J，在中，．，∴，∴，∵，∴，符合題意，此時(shí)，．④當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，，∵，∴與不相似．綜上所述，s滿足的條件為：或或或．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，分類討論方法是解題的關(guān)鍵．專題過(guò)關(guān)1.（2022長(zhǎng)春中考）如圖，在中，，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）點(diǎn)D到邊的距離為__________；（2）用含t的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；（3）連結(jié)，當(dāng)線段最短時(shí)，求的面積；（4）當(dāng)M、、C三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出t的值．【答案】（1）3（2）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，；（3）（4）或【解析】【分析】（1）連接DM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，可得到當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，再證明△PDE∽△ADM，可得，從而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上；當(dāng)點(diǎn)（）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，連接DM，∵AB=4，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，∴AM=BM=2，DM⊥AB，∴，即點(diǎn)D到邊的距離為3；故答案為：3【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤t≤1時(shí)，點(diǎn)P在AD邊上，；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在BD邊上，；綜上所述，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，；當(dāng)1＜t≤2時(shí)，；【小問(wèn)3詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DM于點(diǎn)E，∵作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴A′M=AM=2，∴點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)M為圓心，AM長(zhǎng)為半徑的圓，∴當(dāng)點(diǎn)D、A′、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段最短，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，∴，根據(jù)題意得：，，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴，∴，解得：，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴；【小問(wèn)4詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)M、、C三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)位于M、C之間時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在AD上，連接AA′，A′B，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A′作A′G⊥AB于點(diǎn)G，則AA′⊥PM，∵AB為直徑，∴∠A=90°，即AA′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠ABA′，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四邊形CDMN為平行四邊形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴，∵M(jìn)=2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即PF=3FM，∵，，∴，∴，即AF=2FM，∵AM=2，∴，∴，解得：；如圖，當(dāng)點(diǎn)（）位于CM的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在BD上，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)G′，則，取的中點(diǎn)H，則點(diǎn)M、P、H三點(diǎn)共線，過(guò)點(diǎn)H作HK⊥AB于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AB于點(diǎn)T，同理：，∵HK⊥AB，，∴HK∥A′′G′，∴，∵點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，即MT=3PT，∵，，∴，∴，∵M(jìn)T+BT=BM=2，∴，∴，解得：；綜上所述，t的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題．2.（2022衡陽(yáng)中考）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)與菱形重疊部分圖形的面積為（平方單位），點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與全等；（3）求與的函數(shù)關(guān)系式；（4）以線段為邊，在右側(cè)作等邊三角形，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）或（3）（4）【解析】【分析】（1）畫出圖形，根據(jù)30°直角三角形求解即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)計(jì)算即可，需要注意分類討論；（3）利用面積公式計(jì)算即可，需要根據(jù)M在B點(diǎn)左邊和右邊分類討論；（4）先確定E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線，再根據(jù)求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】與重合時(shí)，∵，∴，∴.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵，∴，∴，∴.②當(dāng)，∵，∴，∵，∴，∴，∴.∴或.【小問(wèn)3詳解】①當(dāng)時(shí)，，∴，∴.②當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∴，∴.【小問(wèn)4詳解】連接.∵為正三角形，∴，在Rt△APE中，，∴為定值.∴的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合問(wèn)題，考查了菱形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，綜合程度較高，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．3.（2022綿陽(yáng)中考）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長(zhǎng)度的比值；（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大，最大值為多少？（3）如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM．并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；當(dāng)時(shí)，y的最大值為；（3）當(dāng)EF∥BD時(shí)，能使EM＝HM．理由見解析【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)DF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證得，可得，根據(jù)題意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再證明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三種情況討論：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上；當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)在BD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E、F均在BD上，即可求解；（3）當(dāng)EF∥BD時(shí)，能使EM＝HM．理由：連接DH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，延長(zhǎng)DF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，∵點(diǎn)E的速度為1個(gè)單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個(gè)單位每秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，此時(shí)AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如圖，過(guò)點(diǎn)E作交于H，∴，∴；∴當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，此時(shí)當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值3；當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)在BD上，F(xiàn)點(diǎn)在AB上，如圖，過(guò)點(diǎn)E作交于N，過(guò)點(diǎn)D作交于M，則EN∥DM，根據(jù)題意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此時(shí)該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，此時(shí)當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值3；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E、F均在BD上，過(guò)點(diǎn)E作交于Q，過(guò)點(diǎn)F作交于P，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此時(shí)y隨x的增大而減小，此時(shí)當(dāng)時(shí)，y有最大值；綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為當(dāng)時(shí)，y最大值為；【小問(wèn)3詳解】解：當(dāng)EF∥BD時(shí)，能使EM＝HM．理由如下：連接DH，如圖，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此時(shí)，∵M(jìn)是DF的中點(diǎn)，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4.（2022吉林中考）如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿邊向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．以為一邊作，另一邊與折線相交于點(diǎn)，以為邊作菱形，點(diǎn)在線段上．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，菱形與重疊部分圖形的面積為．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，的長(zhǎng)為；（用含的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值；（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．【答案】（1）2x（2）1（3）【解析】【分析】（1）先證明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根據(jù)題意有AP=2x，即PQ=2x；（2）當(dāng)M點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再證明△MNB是等邊三角形，即有BN=MN，根據(jù)AB=6x=6cm，即有x=1（s）；（3）分類討論：當(dāng)時(shí)，此時(shí)菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，此時(shí)菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，求出菱形的面積即可；當(dāng)x＞1，且Q點(diǎn)在線段AC上時(shí)，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，設(shè)QM交BC于F點(diǎn)，MN交BC于E點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作NH⊥EF于H點(diǎn)，先證明△ENB是等邊三角形、△MEF是等邊三角形，重疊部分是菱形PQMN的面積減去等邊△MEF的面積，求出菱形PQMN的面積和等邊△MEF的面積即可，此時(shí)需要求出當(dāng)Q點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)的臨界條件；當(dāng)時(shí)，此時(shí)Q點(diǎn)在線段BC上，此時(shí)N點(diǎn)始終與B點(diǎn)重合，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，重疊部分的面積就是△PBQ的面積，求出等邊△PBQ的面積即可．小問(wèn)1詳解】當(dāng)Q點(diǎn)AC上時(shí)，∵∠A=30°，∠APQ=120°，∴∠AQP=30°，∴∠A=∠AQP，∴AP=PQ，∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒2cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，∴AP=2x，∴PQ=2x；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)M點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在AC上，如圖，在（1）中已求得AP=PQ=2x，∵四邊形QPMN是菱形，∴PQ=PN=MN=2x，，∵∠APQ=120°，∴∠QPB=60°，∵，∴∠MNB=∠QPB=60°，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∴△MNB是等邊三角形，∴BN=MN，∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm，∴x=1（s）；【小問(wèn)3詳解】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，用時(shí)6÷2=3（s），即x的取值范圍為：，當(dāng)M點(diǎn)剛好在BC上時(shí)，在（2）中已求得此時(shí)x=1，分情況討論，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，∴此時(shí)菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，如圖，∵∠APQ=120°，∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的內(nèi)角∠QPN=∠QMN=60°，∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∴重疊的面積等于菱形PQMN的面積為，即為：；當(dāng)x＞1，且Q點(diǎn)在線段AC上時(shí)，過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥AB于G點(diǎn)，設(shè)QM交BC于F點(diǎn)，MN交BC于E點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作NH⊥EF于H點(diǎn)，如圖，∵，∴∠MNB=∠QPN=60，∵∠B=60°，∴△ENB是等邊三角形，同理可證明△MEF是等邊三角形∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF，∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6，∴BN=6-AN=6-4x，∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6，∵M(jìn)H⊥EF，∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=，∴△MEF的面積為：，QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=，∵菱形PQMN的面積為，∴重疊部分面積為，當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，可知此時(shí)N點(diǎn)與B點(diǎn)重合，如圖，∵∠CPB=∠CBA=60°，∴△PBC是等邊三角形，∴PC=PB，∵AP=PQ=2x，∴AP=PB=2x，∴AB=AP+PB=4x=6，則x=，即此時(shí)重合部分的面積