重難點02八種二次函數(shù)實際問題(原卷版+解析)2

重難點02八種二次函數(shù)實際問題能力拓展能力拓展題型一：圖形問題一、單選題1．（2022·河北邢臺·九年級期末）如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標系中設(shè)計了一款高OD為14的獎杯，杯體軸截面ABC是拋物線的一部分，則杯口的口徑AC為（

）A．7 B．8 C．9 D．10二、解答題2．（2021·四川綿陽·二模）如圖，某養(yǎng)殖戶利用一面長20m的墻搭建矩形養(yǎng)殖房，中間用墻隔成兩間矩形養(yǎng)殖房，每間均留一道1m寬的門.墻厚度忽略不計，新建墻總長34m，設(shè)AB的長為x米，養(yǎng)殖房總面積為S.(1)求養(yǎng)殖房的最大面積.(2)該養(yǎng)殖戶準備400元全部用于購買小雞和小鵝養(yǎng)殖，小雞每只5元，小鵝每只7元，并且小雞的數(shù)量不少于小鵝數(shù)量的2倍.該養(yǎng)殖戶有哪幾種購買方案？3．（2021·河南洛陽·九年級期末）如圖，拋物線的開口向下，與x軸交于點和點，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(2)已知點M的坐標為，過點M作，垂足為N，若Q為直線上一動點，過點Q作交拋物線于點P，設(shè)點P的橫坐標為m．①若以點M、N、P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求m的值；②填空：連接，．則Q點的坐標為（

）．4．（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖，墻壁EF長24米，需要借助墻壁圍成一個矩形花園ABCD，現(xiàn)有圍欄40米，設(shè)AB長x米．(1)BC的長為米（用含x的式子表示）；(2)求這個花園的面積最大值．5．（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖為函數(shù)F1：的圖象，若F1和F2的圖象關(guān)于坐標原點O（0，0）對稱，F(xiàn)1的頂點A關(guān)于點O的對稱點為點B．(1)求F2的解析式；(2)在F1的圖象和直線AB圍成的封閉圖形上，求平行于y軸的線段的長度的最大值；(3)若F＝在F的圖象上是否存在點C，使∠ABC＝45°，若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2022·江蘇·九年級專題練習）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時x的值；(2)當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？7．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知線段AB的長為4cm，點C是線段AB上一動點（點C不與A，B重合），分別以AC，BC為邊，在AB同側(cè)作正方形．設(shè)線段AC的長為變量x（cm），兩正方形的面積和為變量S（cm2），其中0＜x＜4．(1)兩正方形的面積和S與線段AC的長x之間的關(guān)系式為(2)根據(jù)（1）中的關(guān)系式完成下表，并分析S隨x變化的規(guī)律（寫出一個結(jié)論即可）．AC的長x（cm）…0.511.522.533.5…兩正方形的面積和S（cm2）…12.51088.512.5…變化規(guī)律為：8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，拋物線經(jīng)過點，并交x軸于另一點B，點在第一象限的拋物線上，交直線于點D．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)當點P的坐標為時，求四邊形的面積；(3)點Q在拋物線上，當?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r，求點Q的橫坐標；(4)如圖2，作交x軸于點，點H在射線上，且，過的中點K作軸，交拋物線于點I，連接，以為邊作出如圖所示正方形，當頂點M恰好落在y軸上時，請直接寫出點G的坐標．題型二：圖形運動問題一、單選題1．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形是邊長為的正方形，點E，點F分別為邊，中點，點O為正方形的中心，連接，點P從點E出發(fā)沿運動，同時點Q從點B出發(fā)沿運動，兩點運動速度均為，當點P運動到點F時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為，連接，的面積為，下列圖像能正確反映出S與t的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，點P，Q從邊長為2的等邊三角形的點B出發(fā)，分別沿著，兩邊以相同的速度在的邊上運動，當兩點在邊上運動到重合時停止．在此過程中，設(shè)點P，Q移動過程中各自的路程為x，所得的面積為y，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2022·山東濟寧·二模）如圖，和四邊形DEFG分別是直角三角形和矩形，，cm，cm，于點B．若矩形DEFG從點B開始以每秒1cm的速度向右平移至點C，且矩形的邊FG掃過的面積為S（），平移的時間為t（秒），則S與t之間的函數(shù)圖象可能是（

）A． B．C． D．二、解答題4．（2022·河南南陽·九年級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2－2x+c經(jīng)過點A(－3，0)，C(0，3)，與x軸交于另一點B，直線y＝kx－與拋物線交于點B、E，與y軸交于點D．(1)求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式；(2)已知點C與點F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求點F的坐標；(3)記拋物線點A與點C之間的圖象為U(不包括點A和點C)，若將直線BE向上平移h(h＞0)個單位，與圖象U恰有一個公共點，求h的取值范圍．5．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知直線交x軸于點A，交y軸于點B，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、B兩點．(1)求二次函數(shù)的表達式．(2)設(shè)動點M的橫坐標為m，當動點M在AB下方的拋物線上運動時，求△MAB的面積S關(guān)于m的函數(shù)表達式．(3)有一條動直線，直線在AO之間移動（包括A，O兩端點），直線交拋物線于點Q，當△QAB的面積是△QAO面積的2倍時，求a的值．6．（2022·吉林吉林·一模）如圖，，，，．，兩點分別從，同時出發(fā)，點沿折線向終點運動，在上的速度為每秒4個單位長度，在上的速度為每秒2個單位長度；點以每秒個單位長度的速度沿線段向終點A運動．過點作于點，以，為鄰邊作矩形．設(shè)運動時間為秒，矩形和重疊部分的圖形面積為．(1)當點和點重合時，______；(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；(3)在運動過程中，連接，取中點，連接，直接寫出的最小值．7．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點A和點C的坐標分別為和(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)將線段CB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD，連接AD，求線段AD的長；(3)點M是拋物線上位于第一象限圖象上的一動點，連接AM交BC于點N，連接BM，當時，請直接寫出點M的橫坐標的值．8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，已知拋物線C1是拋物線C：y＝(x﹣2)2向上平移1個單位長度得到，拋物線C1的頂點為Q．(1)求拋物線C1的函數(shù)解析式；(2)點P是y軸上的一個動點，①如圖1，過點P作直線l平行于x軸，與拋物線C1相交于點A，設(shè)點A的橫坐標為m（m＜2），點B與點P關(guān)于直線x＝m對稱，點D在拋物線C上，求當m為何值時，四邊形PQBD是平行四邊形？②如圖2，直線y＝x+1與拋物線C1交于E，F(xiàn)兩點，當△PEF的周長最小時，求S△PEF的值．9．（2022·山東·武城縣教育教學研究中心一模）已知：如圖，拋物線與x軸交于點和點，，滿足，與y軸正半軸交于點C，且．(1)求此拋物線的解析式，直接寫出拋物線的頂點D的坐標．(2)連接AD、BD，若把△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D到達點，是否落在直線BC上，并說明理由．(3)若把拋物線向上平移個單位，再向右平移n個單位，若平移后拋物線的頂點仍在△BOC內(nèi)部，求n的取值范圍．(4)在此拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使以A、C、P為頂點的三角形為等腰三角形．如果存在，請寫出點P的坐標，不存在請說明理由．10．（2022·重慶一中九年級期中）如圖1，已知拋物線經(jīng)過不同的三個點，，（點A在點B的左邊）．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，當點A位于x軸的上方，過點A作交直線于點P，以AP，AB為鄰邊構(gòu)造矩形PABQ．求該矩形周長的最小值，并求出此時點A的坐標；(3)如圖3，點M是AB的中點，將拋物線先向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到新的拋物線．設(shè)新拋物線的頂點為D．點N是平移后的新拋物線上一動點．當以D、M、N為頂點的三角形是等腰直角三角形時，直接寫出所有點N的坐標，并把求其中一個點N的坐標過程寫出來．題型三：拱橋問題一、單選題1．（2022·河北石家莊·三模）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）．有下列結(jié)論：①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面CD的距離為1.8m；④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．其中結(jié)論正確的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④二、填空題2．（2022·浙江金華·九年級期末）如圖，某拱橋橋洞的形狀是拋物線，若取水平方向為x軸，拱橋的拱點O為原點建立直角坐標系，它可以近似地用函數(shù)表示（單位：m）．已知目前橋下水面寬4m，若水位下降1.5m，則水面寬為______m．3．（2022·湖北襄陽·二模）如圖，某單位的圍墻由一段段形狀相同的拋物線形柵欄組成，為了牢固，每段柵欄間隔0.2米設(shè)置一根立柱（即AB間間隔0.2米的7根立柱）進行加固，若立柱EF的長為0.28米，則拱高OC為_____米三、解答題4．（2022·江蘇泰州·九年級期末）校園景觀設(shè)計：如圖1，學校計劃在流經(jīng)校園的小河上建造一座橋孔為拋物線的小橋，橋孔的跨徑為8m，拱高為6m．(1)把該橋孔看作一個二次函數(shù)的圖像，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担瑢懗鲞@個二次函數(shù)的表達式；(2)施工時，工人師傅先要制作如圖2的橋孔模型，圖中每個立柱之間距離相等，請你計算模型中左側(cè)第二根立柱（AB）的高．5．（2022·陜西·中考真題）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標原點，以所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據(jù)設(shè)計要求：，該拋物線的頂點P到的距離為．(1)求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到的距離均為，求點A、B的坐標．6．（2022·浙江·九年級專題練習）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．7．（2022·全國·九年級課時練習）跳繩是一項很好的健身活動，如圖是小明跳繩運動時的示意圖，建立平面直角坐標系如圖所示，甩繩近似拋物線形狀，腳底、相距20cm，頭頂離地175cm，相距60cm的雙手、離地均為80cm．點、、、、在同一平面內(nèi)，腳離地面的高度忽略不計．小明調(diào)節(jié)繩子，使跳動時繩子剛好經(jīng)過腳底、兩點，且甩繩形狀始終保持不變．(1)求經(jīng)過腳底、時繩子所在拋物線的解析式．(2)判斷小明此次跳繩能否成功，并說明理由．8．（2022·河南開封·二模）如圖①是氣勢如弘、古典凝重的開封北門，也叫安遠門，有安定遠方之寓意．其主門洞的截面如圖②，上部分可看作是拋物線形，下部分可看作是矩形，邊AB為16米，BC為6米，最高處點E到地面AB的距離為8米．(1)請在圖②中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担⑶蟪鰭佄锞€的解析式．(2)該主門洞內(nèi)設(shè)雙向行駛車道，正中間有0.6米寬的雙黃線．車輛必須在雙黃線兩側(cè)行駛，不能壓雙黃線，并保持車輛最高點與門洞有不少于0.6米的空隙（安全距離）．試判斷一輛大型貨運汽車裝載某大型設(shè)備后，寬3.7米，高6.6米，能否安全通過該主門洞？并說明理由．9．（2022·北京順義·二模）如圖是某拋物線形拱橋的截面圖．某數(shù)學小組對這座拱橋很感興趣，他們利用測量工具測出水面AB的寬為8米．設(shè)AB上的點E到點A的距離米，點E到拱橋頂面的垂直距離米．通過取點、測量，數(shù)學小組的同學得到了x與y的幾組值，如下表：x（米）012345678y（米）01.7533.7543.7531.750(1)拱橋頂面離水面AB的最大高度為______米；(2)請你幫助該數(shù)學小組建立平面直角坐標系，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標的點，并用平滑的曲線連接；(3)測量后的某一天，由于降雨原因，水面比測量時上升1米．現(xiàn)有一游船（截面為矩形）寬度為4米，船頂?shù)剿娴母叨葹?米．要求游船從拱橋下面通過時，船頂?shù)焦皹蝽斆娴木嚯x應(yīng)大于0.5米．結(jié)合所畫圖象，請判斷該游船是否能安全通過：______（填寫“能”或“不能”）．題型四：銷售問題一、填空題1．（2022·浙江·九年級專題練習）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關(guān)系如圖所示，當時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤為______________元（利潤=總銷售額-總成本）．二、解答題2．（2022·湖南長沙·八年級期末）年北京冬奧會吉祥物深受大家的喜歡．某特許零售店的冬奧會吉祥物銷售量日益火爆．據(jù)統(tǒng)計，該店年月的“冰墩墩”銷量為萬件，年月的“冰墩墩”銷量為萬件．(1)求該店“冰墩墩”銷量月到月的月平均增長率；(2)該零售店月將采用提高售價的方法增加利潤，根據(jù)市場調(diào)研得出結(jié)論：如果將進價元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可銷售件，在此基礎(chǔ)上售價每漲元，那么每天的銷售量就會減少件，商店在確保盈利的情況下如何確定售價，才能使每天銷售“冰墩墩”的利潤最大？最大利潤是多少元？3．（2022·河南南陽·九年級期末）甲、乙兩家水果店經(jīng)銷同一種水果，采取不同的降價措施增加銷售額，提高利潤．(1)甲水果店原售價每千克20元，連續(xù)兩次降價后每千克12.8元，每次降價的百分率相同．求每次降價的百分率；(2)乙水果店原來每千克盈利6元，每天可售出60千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克降價0.5元，日銷售量將增加10千克．在進貨價不變的情況下，乙水果店決定采取適當?shù)慕祪r措施增加銷售盈利．乙水果店降價多少元時，每天銷售這種水果獲利最多？最多可獲利多少元？4．（2022·遼寧盤錦·模擬預(yù)測）精準扶貧工作已經(jīng)進入攻堅階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優(yōu)質(zhì)草莓，今年二月份正式上市銷售．在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：x（天）123…x每天的銷售量（千克）101214…

設(shè)第x天的售價為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系滿足如下圖像：已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤是w元．（利潤＝銷售收入﹣成本）(1)將表格中的最后一列補充完整；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)求銷售草莓的第幾天時，當天的利潤最大？最大利潤是多少元？5．（2022·浙江湖州·九年級期末）為響應(yīng)吳興區(qū)“千里助力，精準扶貧”活動，某銷售平臺為青川農(nóng)戶銷售農(nóng)產(chǎn)品，平臺銷售農(nóng)產(chǎn)品的總運營成本為4元/千克，在銷售過程中要保證農(nóng)戶的售價不低于7元/千克，且不超過15元/千克．如圖記錄了某三周的銷售數(shù)據(jù)，經(jīng)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，每周的農(nóng)產(chǎn)品銷售量y（千克）與售價x（元/千克）（x為正整數(shù)）近似滿足如圖規(guī)律的函數(shù)關(guān)系．(1)試寫出y與x符合的函數(shù)表達式．(2)若要確保農(nóng)產(chǎn)品一周的銷售量不少于6500千克，問：當農(nóng)產(chǎn)品售價定為多少時，青川農(nóng)戶可獲得最大利潤？最大利潤為多少？6．（2022·湖南長沙·九年級期中）蝦在稻中游，稻在蝦田長．稻蝦種養(yǎng)田采取的是“稻蝦輪作”模式某縣依托湖鄉(xiāng)優(yōu)勢，推廣稻蝦田綜合種養(yǎng)模式，打造了一條完整稻蝦產(chǎn)業(yè)鏈，為推進鄉(xiāng)村振興奠定了堅實的基礎(chǔ)．到2022年初，稻蝦種養(yǎng)田面積已由2020年初的40萬畝增長到67.6萬畝．(1)如果這兩年該縣稻蝦種養(yǎng)田面積的年平均增長率相同，求這個增長率；(2)4月份稻田小龍蝦蜂擁上市，某商家以每千克12元的價格購進，計劃以每千克30元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠，現(xiàn)決定降價銷售．已知日銷售量y（千克）與每千克降價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．該商家想要獲得最大利潤，每千克應(yīng)降價多少元？7．（2022·全國·九年級專題練習）李大爺每天到批發(fā)市場購進某種水果進行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購買，一箱起售，每人一天購買不超過10箱；當購買1箱時，批發(fā)價為8.2元/千克，每多購買1箱，批發(fā)價每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗，這種水果售價為12元/千克時，每天可銷售1箱；售價每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．(1)請求出這種水果批發(fā)價y（元/千克）與購進數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天購進的這種水果需當天全部售完，請你計算，李大爺每天應(yīng)購進這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？題型五：投球問題一、單選題1．（2022·浙江·九年級專題練習）小明在期末體育測試中擲出的實心球的運動路線呈拋物線形．若實心球運動的拋物線的解析式為，其中y是實心球飛行的高度，x是實心球飛行的水平距離．已知該同學出手點A的坐標為，則實心球飛行的水平距離OB的長度為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m二、填空題2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，物體從點A拋出，物體的高度y(m)與飛行時間t(s)近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=?(t?3)2+5．（1）OA=______．（2）在飛行過程中，若物體在某一個高度時總對應(yīng)兩個不同的時間，則t的取值范圍是________．三、解答題3．（2022·貴州安順·九年級階段練習）如圖是小明站在點O處長拋籃球的路線示意圖，球在點A處離手，且．第一次在點D處落地，然后彈起在點E處落地，籃球在距O點的點B處正上方達到最高點，最高點C距地面的高度，點E到籃球框正下方的距離，籃球框的垂直高度為．據(jù)試驗，兩次劃出的拋物線形狀相同，但第二次的最大高度為第一次的，以小明站立處點O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)求籃球第二次的落地點E到點O的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）(3)若小明想一次投中籃球框，他應(yīng)該向前走多少米？（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）4．（2022·浙江·九年級專題練習）對于向上拋的物體，如果空氣阻力忽略不計，有下面的關(guān)系式：（是物體離起點的高度，是初速度，是重力系數(shù)，取，是拋出后經(jīng)過的時間）．雜技演員拋球表演時，以的初速度把球向上拋出．(1)球拋出后經(jīng)多少秒回到起點？(2)幾秒后球離起點的高度達到？(3)球離起點的高度能達到嗎？請說明理由．5．（2022·山東青島·二模）一身高1.8m的籃球運動員在距籃板4m處跳起投籃并命中。若球在運動員頭頂上方0.25m處出手，球在距離籃筐水平距離為1.5m處達到最大高度為3.5m，以水平地面為x軸，球達到最大高度時的鉛直方向為y軸，建立如圖所示的直角坐標系．(1)寫出球離地面的高度y（m）和水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)球出手時，運動員跳離地面的高度是多少？(3)在平常訓(xùn)練時，為了提高運動員投籃準確度，在點A和籃筐B(yǎng)之間設(shè)立筆直的線繩，以測試拋出籃球的高低，球在投出和到達籃筐前，與線繩之間的高度差的最大值是多少米？6．（2022·江蘇揚州·二模）圖，某體育休閑中心的一處山坡的坡度為1∶2，山坡上A處的水平距離，A處有一根與垂直的立桿．這是投擲沙球的比賽場地，要求人站在立桿正前方的山坡下點O處投擲沙球，沙球超過立桿的高度即為獲勝．在一次比賽中，小林投出的沙球運動路線看作一條拋物線，沙球出手時離地面，當飛行的最大高度為時，它的水平飛行距離為；(1)求該拋物線的表達式，并在網(wǎng)格圖中，以O(shè)為原點建立平面直角坐標系，畫出這條拋物線的大致圖像；(2)小林這一次投擲沙球能否獲勝？請說明理由．7．（2022·河北石家莊·一模）如圖1的小山丘是科研部門的小球彈射實驗場地，在小山丘一側(cè)的山坡上建有小球彈射發(fā)射裝置，另一側(cè)建有圓柱形小球接收裝置，如圖2為實驗場地的縱截面示意圖，小山丘縱截面的外部輪廓線近似為拋物線的一部分，以小山丘縱截面與地面的交線為x軸，以過發(fā)射裝置所在的直線AB為y軸，建立平面直角坐標系，發(fā)射裝置底部在輪廓線的點A處，距離地面為1米，在發(fā)射裝置3米的點B處是發(fā)射點，已知小山丘縱截面的外部輪廓線為，從發(fā)射裝置的發(fā)射點彈射一個小球（忽略空氣阻力）時，小球的飛行路線為一段拋物線．(1)直接寫出c的值，當小球離B處的水平距離和豎直距離都為4米時，求b的值，并求小球到小山丘的豎直距離為1米時，小球離B處的水平距離；(2)若小球最遠著陸點到y(tǒng)軸的距離為15米，當小球飛行到小山丘頂?shù)恼戏剑遗c頂部距離不小于米時，求b的取值范圍，并求小球飛行路線的頂點到x軸距離的最小值；(3)圓柱形小球接收裝置的最大截面為矩形CDEF，已知點E在上，其橫坐標為14，軸，，．若小球恰好落入該裝置內(nèi)（不觸碰裝置側(cè)壁），請直接寫出b的取值范圍．8．（2022·浙江臺州·二模）鷹眼系統(tǒng)能夠追蹤、記錄和預(yù)測球的軌跡，如圖分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統(tǒng)預(yù)測畫面（如圖1）和截面示意圖（如圖2），攻球員位于點O，守門員位于點A，OA的延長線與球門線交于點B，且點A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線．已知OB=28m，AB=8m，足球飛行的水平速度為15m/s，水平距離s（水平距離=水平速度×時間）與離地高度h的鷹眼數(shù)據(jù)如下表：s/m…912151821…h(huán)/m…4.24.854.84.2…(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)預(yù)測足球落地時，s=m；(2)求h關(guān)于s的函數(shù)解析式；(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應(yīng)，當守門員位于足球正下方時，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功．已知守門員面對足球后退過程中速度為2.5m/s，最大防守高度為2.5m；背對足球向球門前進過程中最大防守高度為1.8m．①若守門員選擇面對足球后退，能否成功防守？試計算加以說明；②若守門員背對足球向球門前進并成功防守，求此過程守門員的最小速度．題型六：噴水問題一、單選題1．（2022·全國·九年級專題練習）某景點的“噴水巨龍”口中C處的水流呈拋物線形，該水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系如圖所示，D為該水流的最高點，DA⊥OB，垂足為A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，則該水流距水平面的最大高度AD的長度為（）．A．9m B．10m C．11m D．12m二、填空題2．（2022·山東棗莊·九年級期末）從噴水池噴頭噴出的水珠，在空中形成一條拋物線，如圖所示，在拋物線各個位置上，水珠的豎直高度（單位：）與它距離噴頭的水平距離（單位：）之間滿足函數(shù)關(guān)系式，噴出水珠的最大高度是______．3．（2022·全國·九年級課時練習）各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．科學原理：如圖2，始終盛滿水的圓柱體水桶水面離地面的高度為，如果在離水面豎直距離為h（單位：）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程s（單位：）與h的關(guān)系式為，則射程s最大值是_______．（射程是指水流落地點離小孔的水平距離）三、解答題4．（2022·全國·九年級專題練習）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線的表達式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．5．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．(1)若，；①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；②求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標；③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍；(2)若．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出的最小值．6．（2022·北京·二模）某社區(qū)文化廣場修建了一個人工噴泉，人工噴泉有一個豎直的噴水槍AB，噴水口為A，噴水口A距地面2m，噴出水流的軌跡是拋物線．水流最高點P到噴水槍AB所在直線的距離為1m，水流落地點C距離噴水槍底部B的距離為3m．請解決以下問題：(1)如圖，以B為原點，BC所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則點A的坐標是______，點C的坐標是______，水流軌跡拋物線的對稱軸是______．(2)求出水柱最高點P到地面的距離．(3)在線段BC上到噴水槍AB所在直線的距離為2m處放置一物體，為避免物體被水流淋到，物體的高度應(yīng)小于多少米？請說明理由．7．（2022·山東德州·九年級期末）“五福齊臨地，吉祥慶云城”，慶云縣為豐富人民群眾的業(yè)余生活，斥巨資修建了各種大小型廣場數(shù)座，其中在縣中心廣場上建有直徑為12m，且中心矗立雕塑的大型圓水池，水池最外圍有四個噴頭，噴出水柱的形狀為拋物線，在距水池中心2m處達到最大高度為4m，且各個方向噴出的水柱恰好在噴水池的中心雕塑頂端匯合，(1)求中心雕塑的高度；(2)若距池中心1米處置一盞高2.8米的亮化燈，則噴水時亮化燈是否會阻礙噴頭噴出的水柱．8．（2022·全國·九年級）某噴泉中間的噴水管，噴水點向各個方向噴射出去的水柱為形狀相同的拋物線，以水平方向為軸，噴水管所在直線為軸，噴水管與地面的接觸點為原點建立直角坐標系，如圖所示，已知噴出的水柱距原點處達到最高，高度為．（1）求水柱所在拋物線（第一象限）的函數(shù)表達式．（2）身高為的小明站在距離噴水管的地方，他會被水噴到嗎？（3）現(xiàn)重新改建噴泉，升高噴水管，使落水點與噴水管距離，已知噴水管升高后，噴水管噴出的水柱拋物線形狀不變，且水柱仍在距離原點處達到最高，則噴水管要升高多少？題型七：增長率問題一、單選題1．（2022·浙江·九年級專題練習）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年一月GDP總值約為6百億元人民幣，若合肥市三月GDP總值為y百億元人民幣，平均每個月GDP增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是（）A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)22．（2021·江蘇·九年級專題練習）某種商品的價格是元，準備進行兩次降價．如果每次降價的百分率都是，經(jīng)過兩次降價后的價格（單位：元）隨每次降價的百分率的變化而變化，則關(guān)于的函數(shù)解析式是（

）A． B．C． D．二、填空題3．（2022·全國·九年級課時練習）某工廠實行技術(shù)改造，產(chǎn)量年均增長率為x，已知2020年產(chǎn)量為1萬件，那么2022年的產(chǎn)量y（萬件）與x間的關(guān)系式為___________．4．（2022·全國·九年級課時練習）某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為1000元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為______．5．（2022·廣東珠海·九年級期末）某種產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量是20t，計劃今后兩年增加產(chǎn)量．如果每年的產(chǎn)量都比上一年增加x倍，兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y與x之間的函數(shù)表達式是________________．三、解答題6．（2022·全國·九年級專題練習）為積極響應(yīng)國家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進舊房改造工作的實施方案》推進新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬戶增長到2022年底的4.32萬戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；（2）該市計劃對某小區(qū)進行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費用是多少元？7．（2022·全國·九年級專題練習）為了打造“清潔能源示范城市”，東營市2016年投入資金2560萬元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金3200萬元.（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為多少？（2）2019年東營市計劃再安裝A、B兩種型號的充電樁共200個.已知安裝一個A型充電樁需3.5萬元，安裝一個B型充電樁需4萬元，且A型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號充電樁各安裝多少個時，所需資金最少，最少為多少？8．（2022·全國·九年級課時練習）某大學生創(chuàng)業(yè)團隊抓住商機，購進一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元．試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量（袋與銷售單價（元之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天還需支付其他各項費用80元．銷售單價(元3.55.5銷售量(袋280120（1）請求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)每天的利潤為元，當銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？題型八：其他問題一、單選題1．（2022·浙江杭州·九年級期末）過山車在軌道上運行的過程中有一段路線可以看作是拋物線的一部分，點A，B，C為該拋物線上的三點，如圖y表示運行的豎直高度（單位：m），x表示水平距離（單位：m）．由此可推斷出，此過山車運行到最低點時，所對應(yīng)的水平距離x可能為（

）A．4 B．5 C．7 D．9二、解答題2．（2022·浙江杭州·九年級期末）加速度表示的是物體運動速度變化的大小，一個物體沿直線運動，且在運動的過程中加速度保持不變，則稱這一物體在做勻加速直線運動．該物體初始速度為v0，加速度為a，加速時間t秒后速度為vt，由加速度定義可知：vt＝v0＋at，整個加速期的平均速度為．若v0＝3米/秒，a＝1米/秒2(1)求5秒加速期的平均速度？(2)設(shè)勻加速直線運動的路程為s，求s關(guān)于t的函數(shù)表達式（勻加速直線運動的路程＝運動時間×平均速度）．3．（2022·山東濰坊·中考真題）某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進展，小亮和小瑩到海水稻種植基地調(diào)研．小瑩根據(jù)水稻年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別在直角坐標系中描出表示2017-2021年①號田和②號田年產(chǎn)量情況的點（記2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產(chǎn)量），如下圖．小亮認為，可以從y=kx+b(k>0)，y=(m>0)，y=?0.1x2+ax+c中選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型，模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢．(1)小瑩認為不能選．你認同嗎？請說明理由；(2)請從小亮提供的函數(shù)模型中，選擇適當?shù)哪Ｐ头謩e模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢，并求出函數(shù)表達式；(3)根據(jù)（2）中你選擇的函數(shù)模型，請預(yù)測①號田和②號田總年產(chǎn)量在哪一年最大？最大是多少？4．（2022·北京·中考真題）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．某運動員進行了兩次訓(xùn)練．(1)第一次訓(xùn)練時，該運動員的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系(2)第二次訓(xùn)練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系記該運動員第一次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為，則______（填“>”“=”或“<”）．5．（2022·湖北·武漢一初慧泉中學九年級階段練習）某商品的成本（單位：百元）由包裝費和生產(chǎn)費兩部分組成．其中當原料數(shù)量（單位：千克）低于4千克時，包裝費（單位：百元）與原料數(shù)量之間的關(guān)系式為；當原料數(shù)量不低于4千克時，包裝費全免．生產(chǎn)費（單位：百元）與原料數(shù)量之間的關(guān)系式為：．(1)當原料數(shù)量時，該商品的成本為：__________（百元）；當原料數(shù)量時，該商品的成本為：___________（百元）；（直接用含的式子表示）(2)若，求原料數(shù)量為多少千克時，該商品的成本最少？最少是多少百元？(3)若當原料數(shù)量低于4千克時，有且僅有唯一正整數(shù)使得該商品的成本不高于2百元，直接寫出的取值范圍．6．（2022·湖北武漢·中考真題）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在處開始減速，此時白球在黑球前面處．小聰測量黑球減速后的運動速度（單位：）、運動距離（單位：）隨運動時間（單位：）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．運動時間01234運動速度109.598.58運動距離09.751927.7536小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運動速度與運動時間之間成一次函數(shù)關(guān)系，運動距離與運動時間之間成二次函數(shù)關(guān)系．(1)直接寫出關(guān)于的函數(shù)解析式和關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）(2)當黑球減速后運動距離為時，求它此時的運動速度；(3)若白球一直以的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球？請說明理由．7．（2022·江西·中考真題）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度為，基準點K到起跳臺的水平距離為，高度為（h為定值）．設(shè)運動員從起跳點A起跳后的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系為．(1)c的值為__________；(2)①若運動員落地點恰好到達K點，且此時，求基準點K的高度h；②若時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為__________；(3)若運動員飛行的水平距離為時，恰好達到最大高度，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．8．（2022·浙江寧波·中考真題）為了落實勞動教育，某學校邀請農(nóng)科院專家指導(dǎo)學生進行小番茄的種植，經(jīng)過試驗，其平均單株產(chǎn)量y千克與每平方米種植的株數(shù)x（，且x為整數(shù)）構(gòu)成一種函數(shù)關(guān)系．每平方米種植2株時，平均單株產(chǎn)量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．(2)每平方米種植多少株時，能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？9．（2022·河北承德·二模）在建筑工人臨時宿舍外，有兩根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD間拉起一根晾衣繩，由于繩子本身的重力，使繩子無法繃直，其形狀可近似看成拋物線，已知繩子最低點距離地面米．以點B為坐標原點，直線BD為x軸，直線AB為y軸建立平面直角坐標系，如圖1所示．(1)求立柱AB的長度；(2)一段時間后，繩子被抻長，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段BD之間與AB相距4米的地方加上一根立柱MN撐起繩子，這時立柱左側(cè)的拋物線的最低點相對點A下降了1米，距立柱MN也是1米，如圖2所示，求MN的長；(3)若加在線段BD之間的立柱MN的長度是2.4米，并通過調(diào)整MN的位置，使拋物線的開口大小與拋物線的開口大小相同，頂點距離地面1.92米．求MN與CD的距離．重難點02八種二次函數(shù)實際問題能力拓展能力拓展題型一：圖形問題一、單選題1．（2022·河北邢臺·九年級期末）如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標系中設(shè)計了一款高OD為14的獎杯，杯體軸截面ABC是拋物線的一部分，則杯口的口徑AC為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】利用待定系數(shù)法求出A、C的坐標，可求答案．【詳解】解：當y=14時，，解得，，∴A（，14），C（，14），∴AC=．故選：C．【點睛】本題是關(guān)于二次函數(shù)應(yīng)用題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，熟練掌握用待定系數(shù)法求點的坐標是解題的關(guān)鍵二、解答題2．（2021·四川綿陽·二模）如圖，某養(yǎng)殖戶利用一面長20m的墻搭建矩形養(yǎng)殖房，中間用墻隔成兩間矩形養(yǎng)殖房，每間均留一道1m寬的門.墻厚度忽略不計，新建墻總長34m，設(shè)AB的長為x米，養(yǎng)殖房總面積為S.(1)求養(yǎng)殖房的最大面積.(2)該養(yǎng)殖戶準備400元全部用于購買小雞和小鵝養(yǎng)殖，小雞每只5元，小鵝每只7元，并且小雞的數(shù)量不少于小鵝數(shù)量的2倍.該養(yǎng)殖戶有哪幾種購買方案？【答案】(1)108平方米(2)5種購買方案.小鵝05101520小雞8073665952【分析】（1）根據(jù)矩形的面積列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最大值；（2）設(shè)買小雞a只，小鵝b只，根據(jù)5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整數(shù)解即可．（1）解：由題意得：S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴當x＝6時，S有最大值，最大值為108，∴養(yǎng)殖房的最大面積為108平方米；（2）設(shè)買小雞a只，小鵝b只，則5a+7b＝400，且a≥2b，∴a＝＝80﹣≥2b，則b≤，且b≥0，又∵a，b都為非負整數(shù)，∴b可為0，5，10，15，20，此時a對應(yīng)為80，73，66，59，52，∴該養(yǎng)殖戶共有5種購買方案：方案1：小雞80只，小鵝0只；方案2：小雞73只，小鵝5只；方案3：小雞66只，小鵝10只；方案4：小雞59只，小鵝15只；方案5：小雞52只，小鵝20只．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的面積列出函數(shù)解析式．3．（2021·河南洛陽·九年級期末）如圖，拋物線的開口向下，與x軸交于點和點，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(2)已知點M的坐標為，過點M作，垂足為N，若Q為直線上一動點，過點Q作交拋物線于點P，設(shè)點P的橫坐標為m．①若以點M、N、P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求m的值；②填空：連接，．則Q點的坐標為（

）．【答案】(1)(2)①或－4；②．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①由以點M、N、P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形可得MN＝QP，過點P作PH∥y軸交AC于點H，證明△AMN和△PHQ是腰相等的等腰直角三角形，則可得PH＝AM＝4，求出直線AC的解析式，可得P（m，），H（m，m＋6），根據(jù)PH＝4列方程求解即可；②連接MQ，CM，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合題意求出∠QMC＝∠MCA，可得QC＝QM，設(shè)點Q（x，x＋6），利用兩點間距離公式列式求出x即可．（1）解：將點，，代入得：，解得：，故拋物線的解析式為：；（2）（2）①∵，，∴MN∥QP，∵以點M、N、P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，∴MN＝QP，∵，，∴OA＝6，OC＝6，∴△AOC是等腰直角三角形，即∠OAC＝∠ACO＝45°，∵，MN⊥AC，∴△AMN是等腰直角三角形，AM＝4，過點P作PH∥y軸交AC于點H，則∠PHC＝∠ACO＝45°，∴△PHQ是等腰直角三角形，∴QH＝PQ＝MN＝AN，∴PH＝AM＝4，設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx＋6，代入A（－6，0）得：－6k＋6＝0，解得：k＝1，∴直線AC的解析式為：y＝x＋6，∵點P的橫坐標為m，∴P（m，），H（m，m＋6），∴PH＝，解得：或－4；②如圖，連接MQ，CM，∵∠MQN＝∠MCA＋∠QMC，，∴∠QMC＝∠MCA，∴QC＝QM，設(shè)點Q（x，x＋6），∵M（－2，0），C（0，6），∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，三角形外角的性質(zhì)，等角對等邊以及勾股定理的應(yīng)用等知識，能夠根據(jù)題意作出合適的輔助線，靈活運用各性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解題的關(guān)鍵．4．（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖，墻壁EF長24米，需要借助墻壁圍成一個矩形花園ABCD，現(xiàn)有圍欄40米，設(shè)AB長x米．(1)BC的長為米（用含x的式子表示）；(2)求這個花園的面積最大值．【答案】(1)（40-2x）(2)200平方米【分析】（1）由AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米可得答案；（2）根據(jù)矩形的面積公式得出y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．(1)解：由題意知AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米，所以BC的長為（40-2x）米，故答案為：（40-2x）；(2)解：設(shè)這個花園的面積為y平方米，由題意得：y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，∵-2＜0，∴當x=10時，y取得最大值，最大值為200，答：這個花園的面積最大值為200平方米．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式．5．（2022·遼寧大連·九年級期末）如圖為函數(shù)F1：的圖象，若F1和F2的圖象關(guān)于坐標原點O（0，0）對稱，F(xiàn)1的頂點A關(guān)于點O的對稱點為點B．(1)求F2的解析式；(2)在F1的圖象和直線AB圍成的封閉圖形上，求平行于y軸的線段的長度的最大值；(3)若F＝在F的圖象上是否存在點C，使∠ABC＝45°，若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)yx2﹣x(2)2(3)存在C點，符合條件的C點坐標為（，）或（7，16）【分析】（1）設(shè)F1與x軸的交點為C和D，求出C點和D點坐標，然后求出C點和D點關(guān)于原點的對稱點C'和D'，再求出B點的坐標，最后用待定系數(shù)法求出F2的解析式即可；（2）設(shè)AB上一點M，過M作y軸的平行線MN，交F1于點N，求MN的最大值即可；（3）分點C在F1圖象段和在F2圖象段兩種情況分別求出C點的坐標即可．(1)設(shè)F1與x軸的交點為C和D，當（x+1）2+2＝0時，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴C（1，0），D（﹣3，0），∴C點關(guān)于原點的對稱點C'（﹣1，0），D點關(guān)于原點的對稱點D'（3，0），∵A（﹣1，2），∴A點關(guān)于原點的對稱點B（1，﹣2），設(shè)拋物線F2的解析式為y＝ax2+bx+c，代入B點，C'點，D'點坐標得，，解得，∴F2的解析式為yx2﹣x；(2)設(shè)AB上一點M，過M作y軸的平行線MN，交F1于點N，設(shè)直線AB的解析式為y＝sx，代入A點坐標得s＝﹣2∴直線AB的解析式為y＝﹣2x，設(shè)M（m，﹣2m），則N（m，（m+1）2+2），∴MN（m+1）2+2﹣（﹣2m）m2+m（m﹣1）2+2，∴當m＝1時，MN有最大值為2，即平行于y軸的線段的長度的最大值為2；(3)存在C點，分C點在F1圖象段和在F2圖象段兩種情況：①當C點在F1圖象段時，作線段AB的垂直平分線PQ，且OP＝OB＝OQ，∴Q（2，1），P（﹣2，﹣1），連接PB并延長交F于點C，連接BQ并延長與F交于點C1設(shè)直線PB的解析式為y＝rx+t，∴，解得，即直線PB的解析式為yx，∴，解得（舍去），∴此時C（，），②當C點在F2圖象段時，同理可得直線BQ的解析式為y＝3x﹣5，∴，解得（舍去），∴此時C（7，16），綜上，符合條件的C點坐標為（，）或（7，16）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·九年級專題練習）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時x的值；(2)當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)x的值為2m；(2)當時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時x的值為2m；；（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墻的長度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4時，S隨著x的增大而減少，∴當x=時，S有最大值，最大值為，即當時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，已知線段AB的長為4cm，點C是線段AB上一動點（點C不與A，B重合），分別以AC，BC為邊，在AB同側(cè)作正方形．設(shè)線段AC的長為變量x（cm），兩正方形的面積和為變量S（cm2），其中0＜x＜4．(1)兩正方形的面積和S與線段AC的長x之間的關(guān)系式為(2)根據(jù)（1）中的關(guān)系式完成下表，并分析S隨x變化的規(guī)律（寫出一個結(jié)論即可）．AC的長x（cm）…0.511.522.533.5…兩正方形的面積和S（cm2）…12.51088.512.5…變化規(guī)律為：【答案】(1)S=2x2-8x+16(2)8.5，10，當0＜x＜2時，S隨x的增大而減?。痉治觥浚?）分別用x表示出兩個正方形的面積，再寫出此題結(jié)果；（2）按照（1）結(jié)果代入x的值進行計算，并找出其中的變化規(guī)律．(1)由題意得，S=x2-（4-x）2，整理得S=2x2-8x+16，故答案為：S=2x2-8x+16；(2)當x=1.5時，S=2×1.52-8×1.5+16=2×2.25-12+16=4.5-12+16=8.5，當x=3時，S=2×32-8×3+16=2×9-24+16=10，由表中數(shù)據(jù)可得，當0＜x＜2時，S隨x的增大而減小，故答案為：8.5，10，當0＜x＜2時，S隨x的增大而減?。军c睛】此題考查了應(yīng)用函數(shù)概念解決實際問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)題意準確列出函數(shù)解析式，并能進行相關(guān)的計算、歸納．8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，拋物線經(jīng)過點，并交x軸于另一點B，點在第一象限的拋物線上，交直線于點D．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)當點P的坐標為時，求四邊形的面積；(3)點Q在拋物線上，當?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r，求點Q的橫坐標；(4)如圖2，作交x軸于點，點H在射線上，且，過的中點K作軸，交拋物線于點I，連接，以為邊作出如圖所示正方形，當頂點M恰好落在y軸上時，請直接寫出點G的坐標．【答案】(1)；(2)(3)點Q的橫坐標為，，，1．(4)G(-4+，0)．【分析】（1）將A、C兩點坐標代入解析式求解即可；（2）如圖，連接，令，求得點B的坐標，再根據(jù)各點的坐標確定OC、OB的長，然后再根據(jù)求解即可；（3）如圖，作軸，交直線于點F，可得，即，進一步說明當最大時，最大．設(shè)，則，根據(jù)線段的核查運算求得PF的最大值；設(shè)點，若是直角三角形，則點Q不能與點P、A重合，∴，再分、、三種情況解答即可．(4)作GL//y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于點W，則△GLC≌CRH，△ITM≌△HWI.根據(jù)?GLC≌?CRH可表示出H點坐標，從而表示出點K坐標，進而表示出I坐標，根據(jù)MT=IW，構(gòu)建方程求得n的值．(1)解：∵拋物線經(jīng)過點，∴解得∴該拋物線的函數(shù)表達式為．(2)解：如圖，連接，令，∴．∴∵，∴．∴．∴．(3)解：如圖1所示，作軸，交直線于點F，則．∴．∵是定值，∴當最大時，最大．設(shè)，∵，∴．設(shè)，則．∴．∴當時，取得最大值，此時．設(shè)點，若是直角三角形，則點Q不能與點P、A重合，∴，下面分三類情況討論：若，如圖2所示，過點P作軸于點，作交的延長線于點，則．∴．∴．∵，∴．∴．若，如圖3所示，過點P作直線軸于點，過點Q作軸于點，．∴．∴．∵，∴．∴．若，如圖4所示，過點Q作軸于點，作交的延長線于點，則．∴．∴．∵，∴．∴．綜上所述，當?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r，點Q的橫坐標為，，，1．圖1

圖2

圖3

圖4(4)如圖，作GL//y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于點W，則△GLC≌?CRH，△ITM≌△HWI.RH=OG=-n，CR=GL=OC=3，MT=IW，G(n，0)，H(3，3+n)，+n+3+3)∵TM=IM∴(n+3)2+2(n+3)-12=0，∴n1=-4+，n2=-4-(舍去)∴G(-4+，0)．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何圖形的綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及分類討論思想，靈活應(yīng)用相關(guān)知識以及分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．題型二：圖形運動問題一、單選題1．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形是邊長為的正方形，點E，點F分別為邊，中點，點O為正方形的中心，連接，點P從點E出發(fā)沿運動，同時點Q從點B出發(fā)沿運動，兩點運動速度均為，當點P運動到點F時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為，連接，的面積為，下列圖像能正確反映出S與t的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2兩種情形，確定解析式，判斷即可．【詳解】當0≤t≤1時，∵正方形ABCD的邊長為2，點O為正方形的中心，∴直線EO垂直BC，∴點P到直線BC的距離為2-t，BQ=t，∴S=；當1＜t≤2時，∵正方形ABCD的邊長為2，點F分別為邊，中點，點O為正方形的中心，∴直線OF∥BC，∴點P到直線BC的距離為1，BQ=t，∴S=；故選D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)解析式，正確確定面積，從而確定解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，點P，Q從邊長為2的等邊三角形的點B出發(fā)，分別沿著，兩邊以相同的速度在的邊上運動，當兩點在邊上運動到重合時停止．在此過程中，設(shè)點P，Q移動過程中各自的路程為x，所得的面積為y，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分0≤x≤2和2＜x≤3兩部分討論，當0≤x≤2時，得到，由于當2＜x≤3時，四個選項圖象相同，根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，當0≤x≤2時，作QD⊥BP，垂足為D，由題意得△BPQ是等邊三角形，∴BD=BP=x，∴QD，∴，∴當0≤x≤2時，y是x的二次函數(shù)，且開口向上，對稱軸為y軸，由于當2＜x≤3時，圖象相同，∴A選項符合條件．故選：A【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，理解題意，分類討論，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式進而確定圖象是解題關(guān)鍵．3．（2022·山東濟寧·二模）如圖，和四邊形DEFG分別是直角三角形和矩形，，cm，cm，于點B．若矩形DEFG從點B開始以每秒1cm的速度向右平移至點C，且矩形的邊FG掃過的面積為S（），平移的時間為t（秒），則S與t之間的函數(shù)圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出A點之前和之后的面積表達式，發(fā)現(xiàn)都是二次函數(shù)，且之前是開口向上的二次函數(shù)，之后是開口向下的二次函數(shù)，再結(jié)合這兩個函數(shù)圖像得出答案．【詳解】在A點之前（），F(xiàn)G掃過的三角形面積為：=在A點之后（），F(xiàn)G掃過的面積為：所以它的函數(shù)圖形應(yīng)該是：t在0~時，，a＞0，所以圖像是開口向上的拋物線；t在~5時，，所以圖像是開口向下的拋物線．故選A．【點睛】本題考查二次函數(shù)在求面積中的應(yīng)用，根據(jù)條件寫出各個階段的面積表達式即可大致判斷圖像得出正確選項．二、解答題4．（2022·河南南陽·九年級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2－2x+c經(jīng)過點A(－3，0)，C(0，3)，與x軸交于另一點B，直線y＝kx－與拋物線交于點B、E，與y軸交于點D．(1)求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式；(2)已知點C與點F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，求點F的坐標；(3)記拋物線點A與點C之間的圖象為U(不包括點A和點C)，若將直線BE向上平移h(h＞0)個單位，與圖象U恰有一個公共點，求h的取值范圍．【答案】(1)，(2)(-2，3)(3)，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進而可以求出點B的坐標，代入點B求一次函數(shù)解析式；（2）利用二次函數(shù)對稱軸，可求出該二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的對稱性即可求出點F的坐標；（3）根據(jù)一次函數(shù)平移的規(guī)律口訣（上加下減相對于b，左加右減相對于x），直線BE向上平移，當經(jīng)過點A時為最小平移情況；當經(jīng)過C時為最大平移情況；當經(jīng)過拋物線頂點時即相切，恰有一個公共點，進而求出h的取值范圍．（1）解：∵二次函數(shù)y=ax2-2x＋c經(jīng)過點A(-3，0)，C(0，3)，則解得：∴二次函數(shù)解析式為∴把y=0代入即解得：或-3∴點B的坐標為（1，0）代入一次函數(shù)即解得：∴一次函數(shù)解析式為；（2）解：由題意得：二次函數(shù)的對稱軸為∵點C與點F關(guān)于關(guān)于拋物線的對稱軸對稱∴點F的坐標為(-2，3)；（3）解：由題知，由函數(shù)平移規(guī)律可得：①當直線BE不與拋物線相切時，當一次函教向上平移h個單位后，新函數(shù)為當新函數(shù)經(jīng)過點A時，為最小平移情況代入A(-3，0)得，解得：；當新函數(shù)經(jīng)過點C時，為最大平移情況代入C(0，3)得，解得：∴h的取值范圍為；②當直線BE與拋物線相切時，方程，即有兩個相等的實數(shù)根∴△=0即解得：綜上所述：h的取值范圍為，．【點睛】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與幾何變換，解二元一次方程等知識，綜合性強．解題的關(guān)鍵是平移后一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)交點的討論．5．（2022·福建三明·模擬預(yù)測）已知直線交x軸于點A，交y軸于點B，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A、B兩點．(1)求二次函數(shù)的表達式．(2)設(shè)動點M的橫坐標為m，當動點M在AB下方的拋物線上運動時，求△MAB的面積S關(guān)于m的函數(shù)表達式．(3)有一條動直線，直線在AO之間移動（包括A，O兩端點），直線交拋物線于點Q，當△QAB的面積是△QAO面積的2倍時，求a的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點A、點B坐標，將A，B點代入中，求b，c，即可求出拋物線解析式；（2）過點M作軸交AB于點P，故P點坐標為（m，），M點坐標為（m，），即可表示出MP的長，利用面積的和差即可得到答案，△MAB的面積＝△MPA的面積＋△MPB的面積；（3）根據(jù)題意可知Q點橫坐標為，由（2）可知，，再根據(jù)△QAB的面積是△QAO面積的2倍，得．即可求得a值．(1)解：∵直線交x軸于點A，交y軸于點B，∴點A為（－3，0），點B為（0，6）．將A，B點代入中，得，解得故拋物線表達式為．(2)如圖，過點M作軸交AB于點P，故P點坐標為（m，），M點坐標為（m，），∴．∵△MAB的面積＝△MPA的面積＋△MPB的面積，∴．(3)根據(jù)題意可知Q點橫坐標為，由（2）可知，∵△QAB的面積是△QAO面積的2倍，∴解得（舍）或或．【點睛】本題主要考查的二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、解答本題需要同學們熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，用含m的式子表示出MP的長是解題的關(guān)鍵．6．（2022·吉林吉林·一模）如圖，，，，．，兩點分別從，同時出發(fā)，點沿折線向終點運動，在上的速度為每秒4個單位長度，在上的速度為每秒2個單位長度；點以每秒個單位長度的速度沿線段向終點A運動．過點作于點，以，為鄰邊作矩形．設(shè)運動時間為秒，矩形和重疊部分的圖形面積為．(1)當點和點重合時，______；(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；(3)在運動過程中，連接，取中點，連接，直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)當時，；當時，；當時，(3)【分析】（1）根據(jù)題意，求出，當時即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，分三種情況：①當時；②當時；③當時，作圖求解即可得到結(jié)論；（3）在（2）的分類討論基礎(chǔ)上，利用勾股定理求解即可．(1)解：在中，，，，，在上的速度為每秒4個單位長度，點以每秒個單位長度的速度沿線段向終點A運動，設(shè)運動時間為秒，則，在中，，，，則，當點和點重合時，，即，解得，故答案為：；(2)解：如圖①，當時，在中，，，∴，，∴，∴；如圖②，當時，在中，，，∴，∵，∴，如圖③，當時，在中，，，∴，∴；(3)解：如圖①，當時，由（1）（2）知，，，取中點，連接，，，，開口向上，對稱軸為，當時，有最小值，為；如圖②，當時，由（1）（2）知，，，取中點，連接，，，，開口向上，對稱軸為，，當時，有最小值，為；如圖③，當時，由（1）（2）知，，取中點，連接，，開口向上，對稱軸為，，當時，有最小值，為；，最小值為．【點睛】本題考查幾何動點問題綜合，涉及到特殊角直角三角形三邊關(guān)系、勾股定理、矩形的性質(zhì)，中點性質(zhì)、二次函數(shù)性質(zhì)、分類討論思想等，根據(jù)點的運動情況分類討論是解決問題的關(guān)鍵．7．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點A和點C的坐標分別為和(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)將線段CB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD，連接AD，求線段AD的長；(3)點M是拋物線上位于第一象限圖象上的一動點，連接AM交BC于點N，連接BM，當時，請直接寫出點M的橫坐標的值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）把A（-1，0），C（0，2）代入，求出a，c的值即可；（2）先求出點B的坐標，過點D作DE⊥y軸于點E，證明Rt△CDE≌Rt△BOC可求出點D的坐標，再根據(jù)兩點間距離公式求出AD即可；（3）過點M作MF⊥x軸于點F，過點N作NG⊥x軸于點G，根據(jù)得AN=4MN，即AN:AM=4:5，運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)M（m，），N（n，），證明，得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．(1)∵拋物線經(jīng)過點A（-1，0），C（0，2）∴解得，∴拋物線的解析式為：(2)對于，當y=0時，則解得，∴BO=4，B（4，0）∵C（0，2）∴OC=2過點D作DE⊥y軸于點E，如圖，∴∵∴∵∴又CD=CB∴△CDE≌△BOC∴CE=BO=4，DE=CO=2∵CE=CO+OE∴OE=2∴D(-2,-2)又A(-1,0)∴(3)設(shè)直線BC的解析式為，把點B（4，0），C（0，2）代入得，解得，∴直線BC的解析式為設(shè)M（m，），N（n，），過點M作MF⊥x軸于點F，過點N作NG⊥x軸于點G，如圖，則有：AG=1+n，AF=1+m∵∴AN=4MN，即AN:AM=4:5，由MF⊥x軸，NG⊥x軸得NG//MF∴∴∴①②由①得，③把③代入②得，整理得，解得：∵∴∴點M的橫坐標為【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，已知拋物線C1是拋物線C：y＝(x﹣2)2向上平移1個單位長度得到，拋物線C1的頂點為Q．(1)求拋物線C1的函數(shù)解析式；(2)點P是y軸上的一個動點，①如圖1，過點P作直線l平行于x軸，與拋物線C1相交于點A，設(shè)點A的橫坐標為m（m＜2），點B與點P關(guān)于直線x＝m對稱，點D在拋物線C上，求當m為何值時，四邊形PQBD是平行四邊形？②如圖2，直線y＝x+1與拋物線C1交于E，F(xiàn)兩點，當△PEF的周長最小時，求S△PEF的值．【答案】(1)拋物線C1的函數(shù)解析式為：y＝(x﹣2)2+1；(2)①m＝；②S△PEF【分析】（1）根據(jù)平移性質(zhì)即可得出拋物線C1的函數(shù)解析式；（2）①根據(jù)題意得：A（m，m2﹣4m+5），Q（2，1），由軸對稱可得：B（2m，m2﹣4m+5），P（0，m2﹣4m+5），再根據(jù)平移即可得出D（2m﹣2，2m2﹣8m+9），將點D的坐標代入拋物線C的解析式，即可求得答案；②設(shè)直線y＝x+1與y軸交于點H，則H（0，1），通過聯(lián)立方程組可得：E（1，2），F(xiàn)（4，5），如圖2，作點E關(guān)于y軸的對稱點E′（﹣1，2），連接E′F交y軸于點P，利用待定系數(shù)法可求得直線E′F的解析式為yx，進而得出P（0，），再利用S△PEF＝S△PFH﹣S△PEH即可求得答案．(1)解：∵拋物線C1是拋物線C：y＝（x﹣2）2向上平移1個單位長度得到，∴拋物線C1的函數(shù)解析式為：y＝（x﹣2）2+1；(2)①根據(jù)題意得：A（m，m2﹣4m+5），Q（2，1），∵點B與點P關(guān)于直線x＝m對稱，∴B（2m，m2﹣4m+5），P（0，m2﹣4m+5），∵四邊形PQBD是平行四邊形，∴PD∥QB，PD＝QB，∴QB向左平移2個單位，向上平移（m2﹣4m+5﹣1）個單位得到PD，∴D（2m﹣2，2m2﹣8m+9），又∵點D在在拋物線C上，∴（2m﹣2﹣2）2＝2m2﹣8m+9，解得：m＝2或m＝2，∵m＜2，∴m＝2；②設(shè)直線y＝x+1與y軸交于點H，則H（0，1），∵直線y＝x+1與拋物線C1交于E，F(xiàn)兩點，∴，解得：，，∴E（1，2），F(xiàn)（4，5），如圖2，作點E關(guān)于y軸的對稱點E′（﹣1，2），連接E′F交y軸于點P，設(shè)直線E′F的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線E′F的解析式為yx，令x＝0，得y，∴P（0，），∴S△PEF＝S△PFH﹣S△PEH（1）×4（1）×1．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、平移變換的性質(zhì)，運用軸對稱求三角形周長最小值等相關(guān)知識，難度適中．9．（2022·山東·武城縣教育教學研究中心一模）已知：如圖，拋物線與x軸交于點和點，，滿足，與y軸正半軸交于點C，且．(1)求此拋物線的解析式，直接寫出拋物線的頂點D的坐標．(2)連接AD、BD，若把△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D到達點，是否落在直線BC上，并說明理由．(3)若把拋物線向上平移個單位，再向右平移n個單位，若平移后拋物線的頂點仍在△BOC內(nèi)部，求n的取值范圍．(4)在此拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使以A、C、P為頂點的三角形為等腰三角形．如果存在，請寫出點P的坐標，不存在請說明理由．【答案】(1)，D（2，-1）(2)在，理由見解析(3)(4)存在，P1(2，3)，，，P4(2，2)【分析】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出關(guān)系式即可；（2）求出旋轉(zhuǎn)后D1的坐標，BC的解析式，代入即可驗證；（3）求出移動后有二次函數(shù)的表達式，進行判斷求出n的取值范圍；（3）分析出滿足題意的所有情況并求出P的縱坐標值即可．(1)由題意得，x1，x2為方程的兩個根∴x1＋x2＝4∵2x1＋x2＝5∴x1＝1，x2＝3∴A（1，0），B（3，0）∵OB＝OC∴C（0，3）代入點C坐標到函數(shù)解析式得c＝3，代入點A坐標到函數(shù)解析式得即，a＝1∴，D（2，-1）；(2)D1落在直線BC上由旋轉(zhuǎn)得D1（2，1）設(shè)BC所在直線的函數(shù)解析式為代入點B、C坐標得解得：∴∴函數(shù)解析式經(jīng)過點D1∴D1落在直線BC上(3)將變形得函數(shù)解析式平移之后得則頂點坐標為∵BC所在直線的函數(shù)解析式為∴當時，∴當時，頂點仍在內(nèi)部∴；(4)由題意可設(shè)P（2，m），如圖當時，；P1（2，）當時，；P2（2，3）當時，；P3（2，2）當時，；P4（2，）【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、一次函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)表達式是解題的關(guān)鍵．10．（2022·重慶一中九年級期中）如圖1，已知拋物線經(jīng)過不同的三個點，，（點A在點B的左邊）．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，當點A位于x軸的上方，過點A作交直線于點P，以AP，AB為鄰邊構(gòu)造矩形P