第四章三角形B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練(原卷版+解析)

第四章三角形B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練1．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．2．如圖，中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的平分線與的中垂線交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)分別作所在直線的垂線，垂足分別為，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，連接MN，已知MN＝4，則BD＝_________．4．如圖，在四邊形ABCD中，AC是四邊形的對(duì)角線，∠CAD=30°，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的長(zhǎng)度比CD的長(zhǎng)度多2，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)______________．5．如圖所示，平分，，于點(diǎn)，，，那么的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．6．如圖，點(diǎn)為直線外一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，線段的長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)__．7．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上（“點(diǎn)D不與重合），點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，以為邊作作等邊三角形，連接.（1）如圖1，當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交，且在直線的同側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)反向延長(zhǎng)線與的反向延長(zhǎng)線相交，且在直線的同側(cè)時(shí)，求證：；（3）如圖3，當(dāng)反向延長(zhǎng)線與線段相交，且在直線的異側(cè)時(shí)，猜想、、之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.8．如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點(diǎn)分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）求∠AFE的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；（3）如圖2，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以過(guò)點(diǎn)A作∠KAF=60°，AK交PC于點(diǎn)K，連接KB）9．把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，以D為頂點(diǎn)作，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N．（1）如圖（1），若，，當(dāng)繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM，MN，BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），當(dāng)時(shí)，AM，MN，BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖（3），在（2）的條件下，若將M，N分別改在CA，BC的延長(zhǎng)線上，完成圖（3），其余條件不變，則AM，MN，BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）．10．（1）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．11．已知：為等邊三角形，D為射線上一點(diǎn)，E為射線上一點(diǎn)，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系_________________________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段上時(shí)，、、之間又有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．12．【問(wèn)題情境】將一副直角三角尺和按圖1所示的方式擺放，其中，，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【探究展示】小麗同學(xué)展示出如下正確的解法：解：，理由如下：連接CO，則CO是AB邊上的中線，∵∴CO是的平分線（依據(jù)1）∵，∴（依據(jù)2）(1)上述理由的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：______；依據(jù)2：______．(2)你有與小麗不同的方法嗎？請(qǐng)寫出你的證明過(guò)程．(3)將圖1中的沿著射線BA的方向平移至如圖2的位置，使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，且，BC的延長(zhǎng)線與DE相交于點(diǎn)N，連接OM，ON，如果，試判斷線段OM，ON的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．13．在等腰中，，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．(1)依題意補(bǔ)全圖1；(2)求證：；(3)點(diǎn)M為中點(diǎn)，射線交于點(diǎn)N，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．14．閱讀理解在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應(yīng)用如圖2，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．第四章三角形B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練1．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案為：900°．2．如圖，中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，的平分線與的中垂線交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)分別作所在直線的垂線，垂足分別為，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】7.2【詳解】連接AE、CE，如圖：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，AD=CD，又∵BE平分∠MBC，EM⊥BM，EN⊥BC，∴EM=EN，∠M=∠ENC=90°，∴Rt△AME≌Rt△CNE（HL），∴AM=CN=2，同理可證，，，，故答案為：7.23．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，連接MN，已知MN＝4，則BD＝_________．【答案】2【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BD到E，使DE=BD，連接AE，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=CB，∠EAD=∠BCD，∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°，∴BN=AE，又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°，∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE，在△MBN和△BAE中，，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE，∵BE=2BD，∴MN=2BD．又MN=4，∴BD=2，故答案為：2．4．如圖，在四邊形ABCD中，AC是四邊形的對(duì)角線，∠CAD=30°，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，∠B=2∠BAC，∠ACD+∠BAC=60°，若AB的長(zhǎng)度比CD的長(zhǎng)度多2，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)______________．【答案】1【詳解】解：在AE上截取EF=BE，連接CF，∵CE⊥AB，∴CE垂直平分BF，∴BC=FC，∴∠B=∠BFC，∵∠B=2∠BAC，∴∠BFC=2∠BAC，∵∠BFC=∠BAC+∠ACF，∴∠ACF=∠BAC，∴AF=CF，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AC，交AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則有∠AMF=∠N=90°，AC=2AM，∵∠CAD=30°，∠N=90°，∴AC=2CN，∴AM=CN，∵∠ACD+∠BAC=60°，∴∠ACD=60°-∠BAC，∴∠CDN=∠ACD+∠CAD=60°-∠BAC+30°=90°-∠BAC，∴∠NCD=90°-∠CDN=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC，∴∠MAF=∠NCD，在△AFM和△CDN中，，∴△AFM≌△CDN（ASA），∴AF=CD，∵AB的長(zhǎng)度比CD的長(zhǎng)度多2，∴AB-CD=AB-AF=2BE=2，∴BE=1，故答案為：1．5．如圖所示，平分，，于點(diǎn)，，，那么的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．【答案】【詳解】證明：如圖，過(guò)C作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵cm，cm，∴，∴cm，∴cm．故答案為：36．如圖，點(diǎn)為直線外一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，線段的長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)__．【答案】6【詳解】解：如圖所示，連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CH垂直于直線AB于H，∵D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，又∵點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，∴，∴AC的最小值為6，故答案為：6．7．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上（“點(diǎn)D不與重合），點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，以為邊作作等邊三角形，連接.（1）如圖1，當(dāng)?shù)难娱L(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交，且在直線的同側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)反向延長(zhǎng)線與的反向延長(zhǎng)線相交，且在直線的同側(cè)時(shí)，求證：；（3）如圖3，當(dāng)反向延長(zhǎng)線與線段相交，且在直線的異側(cè)時(shí)，猜想、、之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解；（3）=+，理由見(jiàn)詳解.【詳解】（1）∵是等邊三角形，，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴是等邊三角形，∴DG=DC.∵是等邊三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，在?GDE和?CDF中，∵，∴?GDE??CDF(SAS)，∴；（2）過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，如圖2，∵是等邊三角形，，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴是等邊三角形，∴DG=DC.∵是等邊三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，在?GDE和?CDF中，∵，∴?GDE??CDF(SAS)，∴，∴（3）=+，理由如下：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，如圖3，∵是等邊三角形，，∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，∴是等邊三角形，∴DG=DC=GC.∵是等邊三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，在?GDE和?CDF中，∵，∴?GDE??CDF(SAS)，∴=GC+CE=CD+CE.8．如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點(diǎn)分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）求∠AFE的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；（3）如圖2，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以過(guò)點(diǎn)A作∠KAF=60°，AK交PC于點(diǎn)K，連接KB）【答案】（1）∠AFE=60°；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）解：如圖1中．∵為等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在和中，，∴（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）證明：如圖1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，連接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK為等邊三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在和中，，∴(SAS)，∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴，∴，∵∴.9．把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACBD，以D為頂點(diǎn)作，交邊AC，BC于點(diǎn)M，N．（1）如圖（1），若，，當(dāng)繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，AM，MN，BN三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）如圖（2），當(dāng)時(shí)，AM，MN，BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（3）如圖（3），在（2）的條件下，若將M，N分別改在CA，BC的延長(zhǎng)線上，完成圖（3），其余條件不變，則AM，MN，BN之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【答案】（1）；證明見(jiàn)解析；（2）；證明見(jiàn)解析；（3）補(bǔ)圖見(jiàn)解析；；證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）．證明如下：如圖，延長(zhǎng)CB到E，使，連接DE．，．，．在和中，，，，．，，，．在和中，，，．，；（2）．證明如下：如圖，延長(zhǎng)CB到E，使，連接DE．，．，，．在和中，，，，．，，，，，，．在和中，，，．，；（3）補(bǔ)充完成題圖，如圖所示．．證明如下：如上圖，在CB上截取BE=AM，連接DE．，，，．，．在和中，，，，．，，．在和中，，，．，．10．（1）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD，證明見(jiàn)詳解．【詳解】解：（1）證明：如圖，延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，連接AM．∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠3．∵∠EAF∠BAD，∴∠2+∠4∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF＝ME，即EF＝BE+BM，∴EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD．證明：如圖，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD，∴∠GAE＝∠EAF．在△AGE與△AFE中，，∴△AEG≌△AEF，∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．11．已知：為等邊三角形，D為射線上一點(diǎn)，E為射線上一點(diǎn)，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系_________________________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段上時(shí)，、、之間又有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖1，∵是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）成立，理由如下：如圖2，在上取，連接．∵，，∴為等邊三角形，∴，，∵，即，∵，∴，∴，即，∵，，∴，即，在和，∴，∴，∴，∴；（3），理由如下，如圖3，在上取，連接，，∵為等邊三角形，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴．∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴．12．【問(wèn)題情境】將一副直角三角尺和按圖1所示的方式擺放，其中，，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【探究展示】小麗同學(xué)展示出如下正確的解法：解：，理由如下：連接CO，則CO是AB邊上的中線，∵∴CO是的平分線（依據(jù)1）∵，∴（依據(jù)2）(1)上述理由的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：______；依據(jù)2：______．(2)你有與小麗不同的方法嗎？請(qǐng)寫出你的證明過(guò)程．(3)將圖1中的沿著射線BA的方向平移至如圖2的位置，使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，且，BC的延長(zhǎng)線與DE相交于點(diǎn)N，連接OM，ON，如果，試判斷線段OM，ON的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)依據(jù)1為：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合），依據(jù)2為：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．(2)見(jiàn)解析(3)

理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：依據(jù)1為：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊