專項(xiàng)訓(xùn)練04一次函數(shù)與面積、最小值(原卷版+解析)

一次函數(shù)與面積、最小值專項(xiàng)訓(xùn)練卷（2020春?浦北縣期末）已知點(diǎn)，，，，若最短，則值是A． B．4 C． D．（2022春?五華區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，使最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．（2022秋?東陽(yáng)市期末）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想和解題方法，如：“當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的最小值”，其中可看作兩直角邊分別為和2的的斜邊長(zhǎng)，可看作兩直角邊分別是和3的的斜邊長(zhǎng)．于是將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，如圖所示，當(dāng)與共線時(shí)，為最小．請(qǐng)你解決問題：當(dāng)時(shí)，則代數(shù)式的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7（2021春?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）如圖，等腰的底邊長(zhǎng)為4，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，若為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)最小值為8，則的面積是A．10 B．12 C．14 D．16（2019秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在中，，，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B．4 C．5 D．（2022秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，等腰中，，，是邊上的中線，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，是邊上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，則的度數(shù)為．（2022春?靜安區(qū)期末）如圖，直線和軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，以線段為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，，如果在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，且的面積與的面積相等，則的值為．（2020秋?槐蔭區(qū)期末）已知兩直線：的關(guān)系式為，的關(guān)系式為，事實(shí)上，如果，則有；如果，則有．應(yīng)用：（1）已知直線、的關(guān)系式分別為，，①如果直線，則；②如果直線，則．（2）有一直線經(jīng)過原點(diǎn)，且與垂直，將直線向下平移2個(gè)單位后得到直線，求直線的關(guān)系式．（2020春?曲阜市校級(jí)期末）探究活動(dòng)一：如圖1，某數(shù)學(xué)興趣小組在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時(shí)，在直線上的三點(diǎn)、、，有，，發(fā)現(xiàn)，興趣小組提出猜想：若直線上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)，，，，則是定值．通過多次驗(yàn)證和查閱資料得知，猜想成立，是定值，并且是直線中的，叫做這條直線的斜率．（1）請(qǐng)你應(yīng)用以上規(guī)律直接寫出過、兩點(diǎn)的直線的斜率．探究活動(dòng)二（2）數(shù)學(xué)興趣小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題，得到正確結(jié)論：任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之積是定值．如圖2，直線與直線垂直于點(diǎn)，，，．請(qǐng)求出直線與直線的斜率之積．綜合應(yīng)用（3）如圖3，平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，，，請(qǐng)結(jié)合探究活動(dòng)二的結(jié)論，求出過點(diǎn)且垂直于直線的直線的解析式．（2018?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線分別與直線、直線交于、兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線與軸和軸分別交于、兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為1，，，連．（1）求直線的解析式；（2）求的面積．（2022春?北辰區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段和射線上運(yùn)動(dòng)．（1）求直線的解析式；（2）直線交軸于點(diǎn)，求的面積；（3）當(dāng)?shù)拿娣e是面積的3倍時(shí)，求出這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．（2021秋?蓮都區(qū)期末）已知，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作直線，與交于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，將沿軸向左平移得到△，再將以，，，為頂點(diǎn)的四邊形沿剪開得到兩個(gè)圖形．若用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無(wú)縫隙的圖形恰好是三角形，求平移的距離．（2021秋?雅安期末）已知如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②請(qǐng)判斷的形狀并說(shuō)明理由；③在直線上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2021秋?沈河區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連結(jié)．（1）當(dāng)點(diǎn)中時(shí)，的面積為；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)直接寫出的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)自變量的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積為5？請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線交軸正半軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，交軸于點(diǎn)．（1）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接，求的面積；（3）點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2021春?本溪期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求的面積；（2）點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作軸，軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，若，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)，在直線上，坐標(biāo)軸上存在動(dòng)點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．（2021秋?高陵區(qū)期末）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線，交于點(diǎn)．（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式．（2）試說(shuō)明．（3）若為直線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2021春?青羊區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，，與直線交于點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，連接．在直線上有一動(dòng)點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）若，求滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2020秋?丘北縣期末）如圖，在中，以為原點(diǎn)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在軸上，與軸交于點(diǎn)，已知，．（1）求直線的解析式；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2022秋?中原區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，直線過點(diǎn)．（1）求和的值；（2）直線與軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上．①若的面積為8，求點(diǎn)坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)使為等腰三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2021秋?歷城區(qū)期末）如圖，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)，解答下列問題：（1）求，的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若是軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若是軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．（2021秋?雙流區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線于點(diǎn)．已知位于第三象限的點(diǎn)在直線上，且．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，則的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若軸上有一點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．（2021秋?天府新區(qū)期末）已知，如圖1，直線分別交平面直角坐標(biāo)系中軸和軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求直線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)．（2021秋?濟(jì)南期末）綜合與探究：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)圖象分別交軸、軸于點(diǎn)，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求直線的表達(dá)式與點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．試探究直線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（3）試探究軸上是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（2022秋?沙河口區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，、，連接、，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸上．（1）直接寫出、的長(zhǎng)度，并判斷的形狀；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)與軸相交于點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．一次函數(shù)與面積、最小值專項(xiàng)訓(xùn)練卷（2020春?浦北縣期末）已知點(diǎn)，，，，若最短，則值是A． B．4 C． D．【分析】由題意知與直線垂直，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，根據(jù)此特征列出的方程便可得出結(jié)果．【解答】解：點(diǎn)，，，，若最短時(shí)，則、、在同一直線上，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是確定取最小值時(shí)，點(diǎn)的位置．（2022春?五華區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，使最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【分析】首先利用軸對(duì)稱找到使最小的點(diǎn)，然后利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸與，則點(diǎn)即滿足使最小．，，，設(shè)直線的解析式為，，，，當(dāng)時(shí)，，的坐標(biāo)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱相關(guān)的最短路徑問題，同時(shí)也利用了一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)，有一定的綜合性．（2022秋?東陽(yáng)市期末）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)的重要思想和解題方法，如：“當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的最小值”，其中可看作兩直角邊分別為和2的的斜邊長(zhǎng)，可看作兩直角邊分別是和3的的斜邊長(zhǎng)．于是將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，如圖所示，當(dāng)與共線時(shí)，為最?。?qǐng)你解決問題：當(dāng)時(shí)，則代數(shù)式的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7【分析】仿照例題，求出，即可求解；【解答】解：依題意如圖，，，，，，，，，代數(shù)式的最小值是5．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．（2021春?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）如圖，等腰的底邊長(zhǎng)為4，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，若為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)最小值為8，則的面積是A．10 B．12 C．14 D．16【分析】連接交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為，求得，，即可的面積．【解答】解：連接交于點(diǎn)，是的垂直平分線，，的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)的最小值為，是等腰三角形，底邊是，為的中點(diǎn)，，，的周長(zhǎng)最小值為8，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法、掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2019秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在中，，，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B．4 C．5 D．【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，利用點(diǎn)到直線垂直線段最短可得出當(dāng)，點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，最小值為，再利用面積法可求出的值，進(jìn)而可得出的最小值．【解答】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，如圖2所示平分，點(diǎn)在直線上，，，當(dāng)，點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，最小值為．在中，，，，，，即，，的最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、軸對(duì)稱中的最短路線問題、三角形的面積，利用點(diǎn)到直線垂直線段最短，找出當(dāng)取得最小值時(shí)點(diǎn)，的位置是解題的關(guān)鍵．（2022秋?思明區(qū)校級(jí)期末）如圖，等腰中，，，是邊上的中線，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，是邊上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，則的度數(shù)為．【分析】根據(jù)對(duì)稱性和等腰三角形的性質(zhì)，當(dāng)、、在同一直線上，且時(shí)，取最小值，進(jìn)而求解．【解答】解：連接，，，，當(dāng)、、在同一直線上，且時(shí)，取最小值．，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最短路線問題、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到點(diǎn)和的位置．（2022春?靜安區(qū)期末）如圖，直線和軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，以線段為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，，如果在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，且的面積與的面積相等，則的值為或．【分析】由已知求出、的坐標(biāo)，求出三角形的面積，再利用建立含的方程，把表示成有邊落在坐標(biāo)軸上的三角形面積和、差，通過解方程求得答案．【解答】解：直線和軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，，，，，，，等腰中，，，當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)時(shí)，連接，，，，即，解得．當(dāng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)時(shí)，連接，，，，即，解得．的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問題，要把相關(guān)三角形用邊落在坐標(biāo)軸的其他三角形面積來(lái)表示，這樣面積與坐標(biāo)就建立了聯(lián)系；把表示成有邊落在坐標(biāo)軸上的三角形面積和、差是正確解答本題的關(guān)鍵．（2020秋?槐蔭區(qū)期末）已知兩直線：的關(guān)系式為，的關(guān)系式為，事實(shí)上，如果，則有；如果，則有．應(yīng)用：（1）已知直線、的關(guān)系式分別為，，①如果直線，則2；②如果直線，則．（2）有一直線經(jīng)過原點(diǎn)，且與垂直，將直線向下平移2個(gè)單位后得到直線，求直線的關(guān)系式．【分析】（1）根據(jù)平行或垂直的條件，分別構(gòu)建方程即可解決問題；（2）根據(jù)直線互相垂直，則，可得出直線為，然后根據(jù)“上加下減”原則得出直線的解析式即可．【解答】解：（1）直線、的關(guān)系式分別為，，①如果直線，則；②如果直線，則，，故答案為2，．（2）過原點(diǎn)直線與垂直，這條直線的解析式為，將直線向下平移2個(gè)單位后得到直線，則直線的解析式為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩直線相交或平行問題，是基礎(chǔ)題，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，兩個(gè)值的乘積為；也考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換．（2020春?曲阜市校級(jí)期末）探究活動(dòng)一：如圖1，某數(shù)學(xué)興趣小組在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時(shí)，在直線上的三點(diǎn)、、，有，，發(fā)現(xiàn)，興趣小組提出猜想：若直線上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)，，，，則是定值．通過多次驗(yàn)證和查閱資料得知，猜想成立，是定值，并且是直線中的，叫做這條直線的斜率．（1）請(qǐng)你應(yīng)用以上規(guī)律直接寫出過、兩點(diǎn)的直線的斜率．探究活動(dòng)二（2）數(shù)學(xué)興趣小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題，得到正確結(jié)論：任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之積是定值．如圖2，直線與直線垂直于點(diǎn)，，，．請(qǐng)求出直線與直線的斜率之積．綜合應(yīng)用（3）如圖3，平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)，，，請(qǐng)結(jié)合探究活動(dòng)二的結(jié)論，求出過點(diǎn)且垂直于直線的直線的解析式．【分析】（1）直接利用公式計(jì)算即可；（2）運(yùn)用公式分別求出和的值，再計(jì)算；（3）先求直線的斜率，根據(jù)探究活動(dòng)二的結(jié)論可得直線的斜率，待定系數(shù)法即可求得直線解析式．【解答】解：（1）、；故答案為：；（2），，．，，，任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之積等于．（3）設(shè)過點(diǎn)且垂直于直線的直線為，解析式為，，，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得直線的解析式為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，新定義：直線斜率；是一道創(chuàng)新題，引入新定義：直線斜率，理解和掌握直線斜率的概念是解題的關(guān)鍵．（2018?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線分別與直線、直線交于、兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線與軸和軸分別交于、兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為1，，，連．（1）求直線的解析式；（2）求的面積．【分析】（1）利用，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出直線的解析式，依據(jù)，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出直線的解析式；（2）在中，令，則，即可得到，依據(jù)與的面積之和等于的面積，即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）在中，令，則，，，，，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入，可得，解得，，在中，令，則，，，，把代入可得，，，直線的解析式為；（2）在中，令，則，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，特別是求一次函數(shù)與兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題時(shí)注意：若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即值相同．（2022春?北辰區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段和射線上運(yùn)動(dòng)．（1）求直線的解析式；（2）直線交軸于點(diǎn)，求的面積；（3）當(dāng)?shù)拿娣e是面積的3倍時(shí)，求出這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）求得的坐標(biāo)，即的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可求解；（3）當(dāng)?shù)拿娣e是面積的3倍時(shí)，根據(jù)面積公式即可求得的橫坐標(biāo)，然后代入解析式即可求得的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)直線的解析式是，根據(jù)題意得：，解得：，則直線的解析式是：；（2）在中，令，解得：，；（3）當(dāng)在線段時(shí)，設(shè)的解析式是，把代入得：，解得：，則直線的解析式是：，的面積是面積的3倍時(shí)，當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)是，在中，當(dāng)時(shí)，，則的坐標(biāo)是；當(dāng)在射線上時(shí)在中，時(shí)，則，則的坐標(biāo)是；當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)是時(shí)，在中，當(dāng)時(shí)，，則的坐標(biāo)是；綜上所述：的坐標(biāo)是：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及三角形面積求法等知識(shí)，利用點(diǎn)橫坐標(biāo)為分別求出其縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．（2021秋?蓮都區(qū)期末）已知，一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作直線，與交于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，將沿軸向左平移得到△，再將以，，，為頂點(diǎn)的四邊形沿剪開得到兩個(gè)圖形．若用這兩個(gè)圖形拼成不重疊且無(wú)縫隙的圖形恰好是三角形，求平移的距離．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)與圖象的關(guān)系求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式列方程求解；（3）根據(jù)圖形分類討論求解．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，；（2）設(shè)，則，，，解得：，，解得：，或，，或，；（3）①如下圖：由題意得：△△，，，平移的距離為：12；①如下圖：由題意得：與重合，平移的距離為：8；③如下圖：由題意得：△△，，平移的距離為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（2021秋?雅安期末）已知如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②請(qǐng)判斷的形狀并說(shuō)明理由；③在直線上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】①令，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立①②并求得點(diǎn)的坐標(biāo)；②證明，即可求解；③分、、三種情況，列出等式，進(jìn)而求解．【解答】解：①對(duì)于①和②，令，解得：，即點(diǎn)，聯(lián)立①②并解得：，即點(diǎn)；②為直角三角形，理由：由①知，點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、，由勾股定理得：，同理可得：，，則，為直角三角形；③存在，理由：設(shè)點(diǎn)，則，，，當(dāng)時(shí)，即，解得：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；當(dāng)時(shí)，則，解得：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，；當(dāng)時(shí)，則，解得：，即點(diǎn)；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了兩條直線的交點(diǎn)問題，兩點(diǎn)間的距離公式，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式表示各線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．（2021秋?沈河區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連結(jié)．（1）當(dāng)點(diǎn)中時(shí)，的面積為2；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)直接寫出的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式及相應(yīng)自變量的取值范圍；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積為5？請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式求解．（2）先求出點(diǎn)坐標(biāo)為2，分類討論與兩種情況，根據(jù)三角形面積公式求解．（3）將代入與的關(guān)系式中，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）把代入得，點(diǎn)坐標(biāo)為，．故答案為：2．把代入得，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．（3）把代入得，解得，把代入得，．把代入得，解得，把代入得，，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與三角形的結(jié)合，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握求三角形的面積公式．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線交軸正半軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，交軸于點(diǎn)．（1）求直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接，求的面積；（3）點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)直線的解析式，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)三角形面積公式解答即可；（3）分、、三種情況，利用等腰三角形邊相等，分別求解即可．【解答】解：（1），，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為；（2）將直線繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，分別與軸、軸交于點(diǎn)、，設(shè)直線的解析式為：，，，直線的解析式為：，令，可得：，，的面積；（3）存在，設(shè)點(diǎn)，由、、的坐標(biāo)得：，，，當(dāng)時(shí)，即，解得或6（舍去）；當(dāng)時(shí)，同理可得：；當(dāng)時(shí)，同理可得：；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，或，或，．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．（2021春?本溪期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求的面積；（2）點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作軸，軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，若，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)，在直線上，坐標(biāo)軸上存在動(dòng)點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)，求得，；（2）設(shè)代入得出的坐標(biāo)；（3）分為和，求出與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，．，的面積是6．（2），設(shè)，，，，．當(dāng)在第二象限時(shí)，同法可得坐標(biāo)為，，，，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．（3）當(dāng)，與軸交于，設(shè)的函數(shù)關(guān)系式是：，，，，在中，由勾股定理得，，，，的函數(shù)關(guān)系式是：，，，當(dāng)，與軸交于，與軸交于，設(shè)的函數(shù)關(guān)系式，又直線過點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，綜上所述，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)，坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)坐標(biāo)是，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系．解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段關(guān)系設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及利用勾股定理列方程求一次函數(shù)中的“”．（2021秋?高陵區(qū)期末）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線，交于點(diǎn)．（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式．（2）試說(shuō)明．（3）若為直線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）將．代入即可得出和的值；（2）首先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸于，利用證明即可；（3）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，則，得直線的函數(shù)解析式為，可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方時(shí)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交為點(diǎn)，同理求出直線的函數(shù)解析式，從而解決問題．【解答】解：（1）將．代入得，，解得，直線的函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，，過點(diǎn)作軸于，，，，，；（3），點(diǎn)在上有兩個(gè)位置，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，如圖，，直線的函數(shù)解析式為，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方時(shí)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交為點(diǎn)，，則直線的函數(shù)解析式為，直線與的交點(diǎn)為，綜上所述：，或．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識(shí)，明確兩直線平行則值相等是解題的關(guān)鍵．（2021春?青羊區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，，與直線交于點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，連接．在直線上有一動(dòng)點(diǎn)．（1）求直線的解析式；（2）若，求滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，過點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，作直線交軸于點(diǎn)，，則直線與直線之間的距離和直線與直線之間的距離為，則，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，同理可解；（3）分、、三種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）直線過點(diǎn)，則設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，解得，故直線的表達(dá)式為①；（2）對(duì)于，令，解得，故點(diǎn)，對(duì)于，令，則，故點(diǎn)，①當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，過點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，作直線交軸于點(diǎn)，，則直線與直線之間的距離和直線與直線之間的距離為，則，直線，設(shè)直線的表達(dá)式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，解得，故點(diǎn)，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得，直線的表達(dá)式為②，聯(lián)立①②并解得，故點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)在直線的下方時(shí)，同理可得，點(diǎn)；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）存在，理由：設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得：，，，當(dāng)時(shí)，即，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，同理可得：；當(dāng)時(shí)，同理可得：；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（2）、（3），都要注意分類求解，避免遺漏．（2020秋?丘北縣期末）如圖，在中，以為原點(diǎn)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在軸上，與軸交于點(diǎn)，已知，．（1）求直線的解析式；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，則，解得：，進(jìn)而求解；（3）由題意可得是直角三角形需分兩種情況討論：①，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②，由即可求解．【解答】解：（1）由條件可得：，，設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，直線的解析式為：；（2）設(shè)點(diǎn)，則，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，理由如下：設(shè)點(diǎn)為，，，，由題意可得是直角三角形需分兩種情況討論：①，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②，，即，解得：，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．（2022秋?中原區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，直線過點(diǎn)．（1）求和的值；（2）直線與軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上．①若的面積為8，求點(diǎn)坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)使為等腰三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）分別將點(diǎn)代入，中，即可求、的值；（2）①求出點(diǎn)坐標(biāo)，由，求出的長(zhǎng)，即可求點(diǎn)坐標(biāo)；②設(shè)，分別求出，，，再由等腰三角形邊的關(guān)系，分三種情況分別求點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）將點(diǎn)代入，，解得，將點(diǎn)代入，，解得；（2）①中，令，則，，中，令，則，，，，，或；②存在點(diǎn)使為等腰三角形，理由如下：設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得或，，或，；當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，或，或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．（2021秋?歷城區(qū)期末）如圖，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)，解答下列問題：（1）求，的值和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若是軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若是軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）用代入法求、的值，聯(lián)立方程組，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，分別求出，，，分三種情況：①當(dāng)為斜邊時(shí)；②當(dāng)為斜邊時(shí)；③當(dāng)為斜邊時(shí)；結(jié)合勾股定理求解即可；（3）設(shè)，分別求出，，，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；列出方程求解即可．【解答】解：（1）將點(diǎn)代入，，，將點(diǎn)代入，，解得，，聯(lián)立方程組，解得，；（2）設(shè)，令，則，解得，，，，，①當(dāng)為斜邊時(shí)，，解得或（舍，；②當(dāng)為斜邊時(shí)，，解得，；③當(dāng)為斜邊時(shí)，，解得（舍；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或；（3）設(shè)，，，，①當(dāng)，，解得或，或；②當(dāng)，，解得或，或；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．（2021秋?雙流區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線于點(diǎn)．已知位于第三象限的點(diǎn)在直線上，且．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，則的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若軸上有一點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）求出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，由邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系可求點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）求出直線的解析式為，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，此時(shí)的值最小，先求出的坐標(biāo)為，再求直線的解析式為，則直線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)；（3）設(shè)，求出，，，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)，或，；③當(dāng)時(shí)，，．【解答】解：（1）令，則，的坐標(biāo)為，令，則，的坐標(biāo)為，，，如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，直線，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)和點(diǎn)直線上，設(shè)直線的解析式為，，，，如圖2，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，由對(duì)稱性可知，，，此時(shí)的值最小，，是與的中點(diǎn)，設(shè)，，，的坐標(biāo)為，直線過和，，設(shè)直線的解析式為，，，直線的表達(dá)式為，由題意，直線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，；（3）設(shè)，，，，①當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，；②當(dāng)時(shí)，，解得或，點(diǎn)坐標(biāo)，或，；③當(dāng)時(shí)，，解得，，；綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為，或，或，或，．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)的綜合題，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．（2021秋?天府新區(qū)期末）已知，如圖1，直線分別交平面直角坐標(biāo)系中軸和軸于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）求直線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；（2）由題意可得，設(shè)，則，即可求的坐標(biāo)；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，過作軸垂線，分別過，作，，證明，即可得點(diǎn)坐標(biāo)為，用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，聯(lián)立方程組，即可求，；②當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交于，證明，可求得，，求出直線的解析式為，聯(lián)立方程組，則可求，．【解答】解：（1）設(shè)直線的解析式為，，，則有，，，，；（2），，，設(shè)，，或，或；（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，，，過作軸垂線，分別過，作，，，，，，，，，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為，聯(lián)立，解得，，；②當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交于，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，，，聯(lián)立方程組，解得，，，綜合上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)的綜合題，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2021秋?濟(jì)南期末）綜合與探究：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)圖象分別交軸、軸于點(diǎn)，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（