新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊：8.4? 8.6綜合拔高練

8.4?8.6綜合拔高練

五年高考練

考點(diǎn)1空間點(diǎn)'線'面的位置關(guān)系

1.（2019課標(biāo)m,8,5分/）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,AECD為

正三角形，平面ECD平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn)，則（）

A.BM二EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BMWEN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BMWEN,且直線BM,EN是異面直線

考點(diǎn)2空間平行、垂直關(guān)系的證明

2.（2019課標(biāo)II,7,5分*?）設(shè)a,p為兩個平面，則a邛的充要條件是

（）

A。內(nèi)有無數(shù)條直線與0平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與P平行

C.a，B平行于同一條直線

D.a,p垂直于同一平面

3.（2019北京,12,5分#）已知l,m是平面a外的兩條不同直線.給出

下列三個論斷：

①1J_rr^mIIa;③1_La.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確

的命題:.

4.（2020課標(biāo)1,19,12分,不）如圖,D為圓錐的頂點(diǎn)Q是圓錐底面的圓

心,SBC是底面的內(nèi)接正三角形尸為DO上一點(diǎn)/APC=90°.

Q）證明:平面PABJL平面PAC;

（2）設(shè)DO二夜，圓錐的側(cè)面積為遮TT,求三棱錐P-ABC的體積.

5.（2020課標(biāo)I^,19』2分*）如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F

分別在棱DDLBBI上，且2DE二EDI,BF=2FBL證明:

⑴當(dāng)AB=BC時,EF_LAC;

（2）點(diǎn)Ci在平面AEF內(nèi).

6.（2020江蘇,15,14分,"）在三棱柱ABC-AiBiCi中,ABJLAC,BICJL

平面ABC,E,F分別是AC,BiC的中點(diǎn).

⑴求證:EFII平面ABiCi；

（2）求證:平面ABiCJ_平面ABBi.

考點(diǎn)3空間角

7.（2020新高考I,4,5分,"）日皆是中國古代用來測定時間的儀器，利

用與唇面垂直的唇針投射到唇面的影子來測定時間.把地球看成一個

球（球心記為O）,地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面

所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放

置一個日辱,若辱面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則

■針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

8.（2020浙江,19,15分,*）如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面ACFD±

平面ABC,zACB=zACD=45°,DC=2BC.

Q）證明:EFJ_DB;

（2）求直線DF與平面DBC所成角的正弦值.

9.（2019課標(biāo)m,19,12分,"）圖1是由矩形ADEB,RfABC和菱形

BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2/FBC=60°.將其

沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連接DG,如圖2.

⑴證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABCJ_平面BCGE;

（2）求圖2中的二面角B-CG-A的大小.深.折

圖I圖2

10.(2019天津,17,13分，嫩)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

為平行四邊形,4PCD為等邊三角形，平面PACJ_平面

PCD,PA±CD,CD=2,AD=3.

⑴設(shè)G,H分別為PB,AC的中點(diǎn)，求證:GHII平面PAD;

(2)求證:PA_L平面PCD;

(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.

考點(diǎn)4空間距離

11.(2019課標(biāo)1,16,5分,#)已知NACB=90°,P為平面ABC外一

點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到NACB兩邊AC,BC的距離均為百，那么P到平面ABC

的距離為.

12.(2019課標(biāo)1,19,12分*)如圖，直四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面

是菱形,AAi=4,AB=2/BAD=60°,E,M,N分別是BC,BBi,AiD的中點(diǎn).

(1)證明:MNII平面CiDE;

(2)求點(diǎn)C到平面CiDE的距離.

考點(diǎn)5立體幾何中的探究性問題

13.(2019北京,18,14分,")如圖，在四棱錐P-ABCD中,PA_L平面

ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點(diǎn).

(1)求證:BD_L平面PAC;

(2)若NABC=60°,求證:平面PABJL平面PAE;

⑶棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CFII平面PAE?說明理由.

p

三年模擬練

應(yīng)用實踐

1.（2020遼寧沈陽東北育才實驗學(xué)校高三三模,"）已知m,n是兩條不

重合的直線,a,B是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）

A.若則a邛

B.若miln,m_La,n_1_0,則alip

C.若mJ_n,mua,nuB，則a_L0

D.若m_Ln,mlla,n_LB，則aJL0

2.（2020山東泰安一中高三下月考,*）已知a，B是不重合的平面,m,n

是不重合的直線，則m±a的一個充分條件是（）

A.m±n,ncaB.miip,a±p

C.n±a,n±p,m±pD.anp=n,a±p,m±n

3.（2020黑龍江大慶實驗中學(xué)高三下月考,上?）長方體

ABCD-AiBiCiDi中,AB=AAi=2,AD=l,E為CCi的中點(diǎn)，則異面直線

BQ與AE所成角的余弦值為（）

C2后D3國

1010

4.（2020安徽安慶一中高三下月考,不）已知三棱錐P-ABC中,0為AB

的中點(diǎn),PO1?平面ABC/APB=90°,PA=PB=2,則下列說法錯誤的是

A.若O為SBC的外心，則PC=2

B.若SBC為等邊三角形，則AP±BC

C.當(dāng)NACB=90°時,PC與平面PAB所成角的范圍為（0怖

D.當(dāng)PC=4時,M為平面PBC內(nèi)一動點(diǎn)，若OMII平面PAC,貝ijM在三

角形PBC內(nèi)的軌跡長度為2

5.（2020山東濟(jì)寧第一中學(xué)高三下月考,"）已知四棱錐M-ABCD

中,MAJL平面

ABCDzAB±BC,zBCD+zBAD=180°/MA=2,BC=2V6,zABM=30°.

若四面體M-ACD的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的表面積為

（涕度解析）

A.20nB.22TlC.40TID.44TI

6.（2020廣東佛山高三月考,*?）在正方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)。是

四邊形ABCD的中心，關(guān)于直線AiO,下列說法正確的是（）

A.AiOIIDiCB.AiOJ_BC

C.AiOll平面BiCDiD.AiOJ_平面ABiDi

7.（2020廣東佛山順德高三下月考,"）設(shè)正方體ABCD-AiBiCiDi的

棱長為1,E為DDi的中點(diǎn),M為BDi上一點(diǎn),N為平面AEC內(nèi)一點(diǎn)，

則M,N兩點(diǎn)間距離的最小值為（）

A.-B.在C成D.立

3646

8.（2020湖南長沙長郡中學(xué)高三下月考,*）在棱長為1的正方體

ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)C關(guān)于平面BDCi的對稱點(diǎn)為M,則AM與平

面ABCD所成角的正切值為（）

A.yB.V2C.V3D.2

9.（2020山東省實驗中學(xué)高三一模，窗）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底

面ABCD是邊長為2的菱形,NDAB=6（T,NADP=90。,平面ADP_1_平

面ABCD,點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn).

（1）在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使得AFII平面PCE?若存在，求出點(diǎn)E

的位置;若不存在,請說明理由；

（2）當(dāng)二面角D-FC-B的余弦值為f時,求直線PB與平面ABCD所成

的角.

10.(2020山東六地部分學(xué)校高三下月考,*;)如圖,三棱柱

ABC-AiBiCi中,CA=CB/BAAi=45°,平面AAiGCJL平面AAiBiB.

⑴求證:AAI_LBC;

(2)若BBi=V^AB=2,直線BC與平面ABBiAi所成角為45°,D為CCi

的中點(diǎn)，求二面角Bi-AiD-Ci的余弦值.

11.(2020北京朝陽六校高三聯(lián)考*)在四棱錐P-ABCD中，平面

ABCDJ_平面PCD,底面ABCD為梯形,ABllCD,AD_L.DC,且

o

AB=l,AD=DC=DP=2zzPDC=120.

(1)求證:AD_LPC;

(2)求二面角的余弦值；

從①P-AB-C,②P-BD-C,③P-BC-D這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上

面問題中并作答.

⑶若M是棱PA的中點(diǎn)，求證:對于棱BC上任意一點(diǎn)F,MF與PC都

不平行.

遷移創(chuàng)新

12.（2020江西景德鎮(zhèn)高一上期末,"）如圖兩個同心球，球心均為點(diǎn)O,

其中大球與小球的表面積之比為3：1,線段AB與CD是夾在兩個球

體之間的內(nèi)弦，其中A、C兩點(diǎn)在小球上,B、D兩點(diǎn)在大球上，兩內(nèi)弦

均不穿過小球內(nèi)部.當(dāng)四面體A-BCD的體積達(dá)到最大值時，異面直線

AD與BC的夾角為8則sin|=.

答案全解全析

五年高考練

1.B過E作EQ±CD于Q,連接BD,QN,BE,易知點(diǎn)N在BD上?平面ECD±￥

面ABCD,平面ECDCI平面ABCD=CD,；.EQ_L平面ABCD,；.EQ，QN,同理可知

BC^CE,設(shè)CD=2,易得EQ=H,QN=1,則

EN=jEQ2+QN2=VI不I=2,BE='BC2+CE2="T^=2也易知BE=BD,又；

M為DE的中點(diǎn),二BM，DE,；.BM=A/BE2-EM2=7^1=夕,二BM=V7>2=EN.

...BMWEN.

又?.?點(diǎn)M、N、B、E均在平面BED內(nèi),；.BM,EN在平面BED內(nèi)，又BM與EN

不平行，

.,.BM,EN是相交直線，故選B.

2.BA、C、D選項中a與0可能相交，故選B.

3.答案若l_Lm,l，a,則mlla（答案不唯一）

解析把其中兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，共有三種情況.對三

種情況逐一驗證.①②作為條件，③作為結(jié)論時,還可能IIIa或I與a斜交;①③作為

條件,②作為結(jié)論和②③作為條件，①作為結(jié)論時,容易證明命題成立.

4.解析⑴證明油題設(shè)可知,PA=PB=PC.

由于AABC是正三角形,故可得APAC合APAB/PAC2APBC.

又NAPC=90。,故NAPB=9（T,NBPC=90°.

從而PB_LPA,PB_LPC,故PB_L平面PAC,

所以平面PABJ_平面PAC.

（2）設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為I.

由題設(shè)可得rl=V3,l2-r2=2.

解得r=l」=百.從而AB=V3.

由⑴可得PA2+PB2=AB4故PA=PB=PC=y.

所以三棱錐P-ABC的體積為:x：xPAxPBxPC=；x〈x（q）聾.

5L5L\LJo

5.證明Q)連接BD,BIDL因為AB=BC,所以四邊形ABCD為正方形，故AC，BD.

又因為BBi，平面ABCD,所以AC^BBi,所以AC_L平面BBiDiD.

由于EFu平面BBiDiD,

所以EF±AC.

(2)如圖，在棱AAi上取點(diǎn)G,使得AG=2GAi,連接GDi,FCi,FG.

因為DIE=|DDLAG=|AAI,DDI口AAi,所以EDiLJAG,于是四邊形EDiGA為平行

四邊形，故AEIIGDL

因為BIF^BBLAIGWAAIEBIDAAL所以FGUAiB/G口CR,四邊形FGDiCi

為平行四邊形，故GDIIIFCL

于是AEllFCi.所以A,E,F,Ci四點(diǎn)共面，即點(diǎn)J在平面AEF內(nèi).

6.證明⑴因為E,F分別是AC,BiC的中點(diǎn)，所以EFllABi,

又EFQ平面ABiCi,ABiu平面ABiCi,

所以EFII平面ABiCi.

(2)因為BIC_L平面ABC,ABu平面ABC,

所以BiC±AB.

又AB_LAC,BiCu平面ABiC,

ACu平面ABiC,BiCnAC=C,

所以AB_L平面ABC

又因為ABu平面ABBi,

所以平面ABiC,平面ABBi.

7.B由題意作出如圖所示的截面圖，設(shè)所求角為a,

由圖易知a=40°.故選B.

8.解析(1)證明:如圖，過點(diǎn)D作DO_LAC,交直線AC于點(diǎn)0,連接0B.

L).F

由NACD=45°,DO_LAC得CD=V2C0,

由平面ACFD_L平面ABC得DO_L平面ABC,所以DO^BC.

由NACB=45°,BC=；CD=￥(：O得BO^BC.所以BC,平面BDO,

故BC±DB.

由三棱臺ABC-DEF得BCllEF,所以EF±DB.

(2)過點(diǎn)O作OH_LBD,交直線BD于點(diǎn)H,連接CH.

由三棱臺ABC-DEF得DFIICO,所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與

平面DBC所成角.

由BC,平面BDO得OH_LBC,故OH_L平面BCD,

所以NOCH為直線CO與平面DBC所成角.

設(shè)CD=2V2,

由DO=OC=2,BO=BC=&,

得BD=V6,OH=^,

所以sin/OCH嚶=當(dāng)

因此，直線DF與平面DBC所成角的正弦值為苧.

9.解析⑴證明:由已知得ADllBE,CGllBE,所以ADIICG,故AD,CG確定一個平

面，從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.

由已知得AB_LBE,

AB±BC,

故ABJ_平面BCGE.

又因為ABu平面ABC,

所以平面ABC_L平面BCGE.

(2)由⑴得ABJ_平面BCGE,又ABIIDE,

...DEL平面BCGE,過點(diǎn)E作EH，CG,交CG于點(diǎn)H,連接DH,則NDHE就是二面

角B-CG-A的平面角.

VDE=AB=l,EH=EGsin60°=2x^=V3,

.?.tan/DHE嗡$=冬

/.zDHE=30o,

即二面角B-CG-A的大小為30°.

解題反思

本題是很新穎的立體幾何考題，首先是多面體折疊問題，考查考生在折疊過程中哪

些量是不變的，再者折疊后的多面體不是直棱柱，最后通過二面角的平面角的定義

將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問題，突出考查考生的空間想象能力.

10.解析Q)證明:如圖，連接BD,易知ACnBD=H,BH=DH.

又BG=PG,所以GHllPD.

又因為GHQ平面PAD,PDu平面PAD,

所以GHII平面PAD.

(2)證明:取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN.

依題意，得DN,PC.

又因為平面PAC_L平面PCD,平面PACD平面PCD=PC,DNu平面PCD,

所以DN_L平面PAC,

又PAu平面PAC,所以DNLPA.

又PAJLCD,CDnDN=D,CD,DNu平面PCD,所以PA,平面PCD.

⑶連接AN,由⑵中DNJ_平面PAC,可知NDAN為直線AD與平面PAC所成的

角.

因為WCD為等邊三角形,CD=2且N為PC的中點(diǎn)，所以DN=V3.

又DN±AN,

所以在RfAND中,sin/DAN=^=亨.

所以直線AD與平面PAC所成角的正弦值為苧.

11.答案V2

解析設(shè)PO,平面ABC于O,PE，AC于E,PF，BC于F,連接OE、OF、OC,

；PO_L平面ABC,，PO，AC,

又POnPE=P,，AC_L平面POE,

AACXOE,

同理有BC±OF,.\四邊形OECF為矩形,

?.?PC=PC且PE=PF,

/.RtAPEC^RtAPFC,

二EC=FC=VPC2-PF2=1,

...四邊形OECF是邊長為1的正方形,

/.OC=V2,

在Rt△POC中,PO=VPC2-OC2=7^

12.解析⑴證明:連接B1GME.因為M,E分別為BB1,BC的中點(diǎn)，所以MEllBiC,

且ME=；BiC.又因為N為AiD的中點(diǎn)，所以ND=|AiD.

由題設(shè)知AiBWDC,可得BiC口AiD,故MEDND,因此四邊形MNDE為平行四邊

形,MNIIED.

又MN4平面GDE,所以MNII平面CiDE.

(2)過C作CiE的垂線，垂足為H.

由已知可得DE^BCQEJLCiC,所以DEL平面QCE,故DE^CH.

從而CH,平面GDE,

故CH的長即為C到平面CiDE的距離.

由已知可得CE=l,CiC=4,所以CiE=V17,

故CH=^

從而點(diǎn)C到平面C1DE的距離為筆.

13.解析⑴證明:因為PA_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以PA±BD.

因為底面ABCD為菱形，所以BD±AC.

因為PAPIAC=A，所以BD_L平面PAC.

(2)證明:因為PA,平面ABCD,AEu平面ABCD,所以PA±AE.

因為底面ABCD為菱形/ABC=60°,且E為CD的中點(diǎn)，

所以AE_LCD.所以AB_LAE.又因為PAAAB=A，所以AE_L平面PAB.又因為AEG

平面PAE,

所以平面PAB，平面PAE.

(3)棱PB上存在點(diǎn)F,使得CFII平面PAE.

取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn)，連接CF,FG,EG,

則FGllAB,且FG=|AB.

因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CEllAB,且CE=|AB.

所以FGIICE,且FG=CE.

所以四邊形CEGF為平行四邊形.

所以CFIIEG.

因為CFC平面PAE,EGu平面PAE,

所以CFII平面PAE.

三年模擬練

應(yīng)用實踐

1.B若mlla/mlip,nlla,nlip,!/!ijall?；騛與0相交，故A錯；

若miln,mJLa,則n_La,又n_L0,a，B是兩個不重合的平面，所以。邛,故B正確；

若m_Ln,mua,則nca或n與a相交，又nu0,a，B是兩個不重合的平面，所以a

與0相交，故C錯；

若則nua或nlla或n與a相交，又n_LB，a0是兩個不重合的平面,

所以。邛或a與0相交，故D錯.

故選B.

2.C對于A,由m_Ln,nua,得m與a相交或mlla,故A不符合；

對于B,由得m與a相交或mila,故B不符合；

對于C,由n_La,n_LB，得a邛,又mJ_B，所以m_La，故C符合；

對于D,由anB=n,a_L0,m_Ln,得m與a相交或mlla或mua,故D不符合.

故選C.

3.B連接ADLDIE,則ADiIIBCi,二NDIAE(或其補(bǔ)角)就是異面直線BCi與AE

所成角.

在ADIAE中,ADI=遮,AE=V^,D正=通，

...COSND1AE=V穿室=般言=黑...異面直線BC1與AE所成角的余弦值

201A?AE2xV5xV610

為禁.故選B.

4.B若0為AABC的外心，則OA=OB=OC,；PO_L平面ABC,/.PA=PB=PC,故A

正確；

假設(shè)PA_LBC,又由題意得PO_LBC,.?.BCJL平面APB,.?.BC_LAB,與△ABC為等邊

三角形矛盾，故B錯誤；

當(dāng)NACB=90°時，連接0C,則OC=&,PC=2,過C作CH_LAB,連接PH,則NCPH

為PC與平面PAB所成角，如圖LsinNCPH=竽W?,

AzCPH的范圍為（0理故C正確;

HB

取Mi、M2分別為PB、BC的中點(diǎn)，則平面OM1M2II平面APC,.?.線段M1M2為

M在三角形PBC內(nèi)的軌跡，其長度為2,故D正確.

解題反思

本題為立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷,處理這類問題

時，可以用已知的定理或性質(zhì)來證明，也可以用反證法來說明命題不成立.

5.CVzBCD+zBAD=180o,/.A,B、C、D四點(diǎn)共圓，又AB^BC,；.

zADC=zABC=90°.

?.,MA_L平面ABCD,AMAXAB.

Atan30°=與得人8=2於，

，AC=(2V3)2+(2㈣2=6.

設(shè)AC的中點(diǎn)為E,MC的中點(diǎn)為O,連接0E.；MA，平面ABCD,，OE_L平面

ABCD,

易知點(diǎn)0為四面體M-ACD外接球的球心，且OC=J(J+(|丫=同，

.?.S球=4TVOC2=40TT.故選C.

方法總結(jié)

解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置,對于球的外接

幾何體問題，注意球心到各個頂點(diǎn)的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的

垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.

6.C如圖所示，設(shè)AICIPIBIDLM，則M為AiCi的中點(diǎn).連接MC.

在正方體ABCD-AiBiCiDi

易知ACIIAICLMAC=AICI,

???點(diǎn)0、M分別為AC、AiCi的中點(diǎn)，

AiMII0C,且AiM=OC,

四邊形AiMCO為平行四邊形，

AAiOllCM,

由于過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,，A選項中的命題錯誤；

連接BM,易知BM=CM,則ABCM為等腰三角形，且BC為底,，BC與CM不垂直,

VAiOllCM,.,.AiO與BC不垂直,，B選項中的命題錯誤；

VAiOllCM,AiOa平面BICDLCMU平面BiCDi,...AiOll平面BiCDi,

...C選項中的命題正確；

?.?四邊形A1B1C1D1為正方形，

/.BiDi±AiCi,

在正方體ABCD-AiBiCiDi中,CCi_1_平面AIBICIDI,BIDIU平面AiBiCiDi,

BiDi±CCi,VAiCinCCi=Ci,>'.B1D1_1_平面AiCCi,

?；AiCu平面AiCCi,I.AiC同理可證AiC_l_ABi,且ABiABiDi=Bi,

，AiC_L平面ABIDI,Z.AIO與平面ABiDi不垂直,D選項中的命題錯誤.故選C.

7.B如圖所示.

由題意可知0E是三角形BDDi的中位線，故所求即為0E與BDi兩平行線間的

距離，設(shè)為d,由題意得DDi=LBD=&,BDi=b，所以有g(shù)BD.DDi=gBDr2d,解得

d=彗故選B.

6

8.B由題意可得BD=DCi=BCi=&,

設(shè)點(diǎn)C到平面BDCi的距離為h.

由％-BDCi=^Ci-DCB?W15-h=|SADBC-CCl,則《X乎X(V2)2h=ixlxi

DiBDC1DD*TD乙

解得h。.?.點(diǎn)C到平面BDCi的距離為今

連接AiC,CA,在正方體ABCD-AiBiCiDi中,DB_LAC,DB_LAAi,ACnAAi=A，則

DB_L平面AiAC,；.AiC，DB.連接BiC,同理可證BC1平面AiBiC,/.AiC±BCi,

又DBnBCi=B,.\AiC±￥ffiBDCi.

又點(diǎn)C關(guān)于平面BDCi的對稱點(diǎn)為M,

...點(diǎn)M在線段AiC上，

?.?點(diǎn)C到平面BDCi的距離為與

在正方體ABCD-AiBiCiDi中,AiC=B,

9

.,.CM=jCAi,

二點(diǎn)M為AiC上靠近點(diǎn)Ai的三等分點(diǎn)，過M作CA的垂線交CA于M',則

MM'IIAiA,MM'=|AiA=|,AM'=|AC=y,

由于AiA_L平面ABCD,

，MM」平面ABCD,

2

連接MA,則AM與平面ABCD所成角為NMAM',tanNMAM'=^=/=&,

T

AAM與平面ABCD所成角的正切值為近.

9.解析Q）在棱AB上存在點(diǎn)E,使得AFII平面PCE,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)，理由如

下：

取PC的中點(diǎn)Q,連接EQ、FQ,由題意得,FQIIDC且FQ=gCD,AEIICD,且AE=|CD,

AEIIFQ,且AE=FQ,

四邊形AEQF為平行四邊形，

...AFIIEQ,又EQu平面PEC,AFC平面PEC,；.AFII平面PEC.

⑵設(shè)PD=a,VzADP=90°,.\PD±AD.

,平面ADP_L平面ABCD,平面ADPD平面ABCD=AD,；.PD_L平面ABCD.

連接BD,則NPBD就是直線PB與平面ABCD所成的角.

由題意得,ABDC為等邊三角形.

過B作BH±CD于H,則H為CD的中點(diǎn)，

?.?PD_L平面ABCD,；.PD，BH,又PDACD=D,；.BH_L平面PDC.

過H作HG±FC于G,連接BG,則NBGH就是二面角D-FC-B的平面角.

cosZBGH=Y?tanzBGH=V7,

易得BH=V3,/.GH=^y-.

aV2I

GH_FD.

VsinzGCH=%=子，解得a=2V3,

HC-FC,''

tanzPBD=—=—=V3,

BD2

.?.NPBD=60°,即直線PB與平面ABCD所成的角為60°.

10.解析⑴證明:過點(diǎn)C作CO，AA1,垂足為O,

?平面AAiCiC_L平面AAiBiB,平面AAiCiCn平面AAiBiB=AAi,

.?.CO_L平面AA1B1B,

又OBu平面AAiBiB,.\CO±OB,

又?:CA=CB,CO=CO,zCOA=zCOB=90°,Rt^AOC^Rt^BOC,/.OA=OB,

zAiAB=45°,.\zAOB=90°,

AAi±OB,

又,.,人人1_1_(2。，人人1_1_平面BOC,

/.AAi±BC.

cD

(2)由(1)得CO,平面AAiBiB,.\zCBO是直線BC與平面AAiBiB所成角，

.,.zCBO=45°,

Z.AO=BO=CO=1,O為AAi的中點(diǎn)，

.".COIlDAi，

過Bi作BiOi_LAAi,交AAi的延長線于Oi,則NBIAQI就是二面角Bi-AiD-Ci

的平面角.

由等角定理知NBIAIOI二NBAAI=45°,

???二面角Bi-AiD-Ci的余弦值為當(dāng)

11.解析⑴證明:?.?平面ABCD_L平面PCD,平面ABCDCI平面PCD=CD,ADu

平面ABCD,AD，DC,；.AD，平面PCD,又PCu平面PCD,AAD±PC.

(2)若選①，過點(diǎn)P作PO±CD交CD的延長線于點(diǎn)0.

,平面PCD_L平面ABCD,平面PCDCI平面ABCD=CD,POu平面PCD,

.?.PO_L平面ABCD,過0作