2024北京通州區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2024北京通州高三一模數(shù)學(xué)2024年4月本試卷共4頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，請將答題卡交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，，，則A． B． C． D．（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則A． B． C． D．（3）在的展開式中，常數(shù)項為A．60 B．120 C．180 D．240（4）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是A． B． C． D．（5）在梯形ABCD中，，，則A． B．8 C．12 D．（6）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點，則A． B． C． D．（7）已知圓心為C的圓與雙曲線E：（）交于A，B兩點，且，則雙曲線E的漸近線方程為A． B． C． D．（8）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間t（單位：月）的關(guān)系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結(jié)論正確的個數(shù)為①浮萍每個月增長的面積都相等；②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；③浮萍面積每個月的增長率均為50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是，，，則．A．0 B．1 C．2 D．3（9）已知等差數(shù)列的前n項和為，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件（10）已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）已知函數(shù)的定義域為．（12）已知點為拋物線C：（）上一點，則點P到拋物線C的焦點的距離為．（13）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則；數(shù)列的前4項和為．（14）已知的數(shù)（），若的最小正周期為，的圖象向左平移個單位長度后，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則；若在區(qū)間上有3個零點，則的一個取值為．（15）如圖，幾何體是以正方形ABCD的一邊BC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)90°形成的面所圍成的幾何體，點G是圓弧的中點，點H是圓弧上的動點，，給出下列四個結(jié)論：①不存在點H，使得平面平面CEG；②存在點H，使得平面CEG；③不存在點H，使得點H到平面CEG的距離大于；④存在點H，使得直線DH與平而CEG所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）如圖，幾何體ABCDE中，，四邊形ABDE是矩形，，點F為CE的中點，，．（Ⅰ）求證：平面ADF；（Ⅱ）求平面BCD與平面ADF所成角的余弦值．（17）（本小題13分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，D為BC邊上的一點，再從下面給出的條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求△ABD的面積．條件①；；條件②：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．（18）（本小題14分）隨著生活水平的不斷提高，人們對于身體健康越來越重視．為了解人們的健康情況v某地區(qū)一體檢機構(gòu)統(tǒng)計了2023年20歲到100歲來體檢的人數(shù)及年齡在，，，的體檢人數(shù)的頻率分布情況，如下表．該體檢機構(gòu)進一步分析體檢數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：60歲到80歲（不含80歲）體檢人群隨著年齡的增長，所需面對的健康問題越多，具體統(tǒng)計情況如下圖．組別年齡（歲）頻率第一組37%第二組43%第三組17%第四組3%注：健康問題是指高血壓、糖尿病、高血脂、肥胖、甲狀腺結(jié)節(jié)等60余種常見健康問題．（Ⅰ）根據(jù)上表，求從2023年該體檢機構(gòu)20歲到100歲體檢人群中隨機抽取1人，此人年齡不低于60歲的頻率；（Ⅱ）用頻率估計概率，從2023年該地區(qū)20歲到100歲體檢人群中隨機抽取3人，其中不低于60歲的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）根據(jù)上圖的統(tǒng)計結(jié)果，有人認(rèn)為“該體檢機構(gòu)2023年60歲到80歲（不含80歲）體檢人群健康問題個數(shù)平均值一定大于9.3個，且小于9.8個”．判斷這種說法是否正確，并說明理由．（19）（本小題15分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對于任意，不等式成立，求a的取值范圍．（20）（本小題15分）已知橢圓E：（）的長軸長為4，離心率為．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）直線l過橢圓E的左焦點F，且與E交于M，N兩點（不與左右頂點重合），點在x軸正半軸上，直線TM交y軸于點P，直線TN交y軸于點Q，問是否存在t，使得為定值？若存在，求出t的值及定值；若不存在，請說明理由．（21）（本小題15分）從數(shù)列中選取第項，第項，…，第項（），若數(shù)列，，…，是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列（規(guī)定時，該數(shù)列既是遞增數(shù)列，也是遞減數(shù)列），稱，，…，為數(shù)列的長度為m的單調(diào)子列．已知有窮數(shù)列A：，，…，（），任意兩項均不相同，現(xiàn)以A的每一項為首項選取長度最大的遞增的單調(diào)子列，設(shè)其共有項，則，，…，構(gòu)成一個新數(shù)列B．（Ⅰ）當(dāng)數(shù)列A分別為以下數(shù)列時，直接寫出相應(yīng)的數(shù)列B；（?。?，3，5，7；（ⅱ）4，1，2，6，3．（Ⅱ）若數(shù)列A為等差數(shù)列，求證：數(shù)列B為等差數(shù)列；（Ⅲ）若數(shù)列A共有（）項，求證：A必存在一個長度為的單調(diào)子列．

參考答案第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BADBCBABCA第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）3（13）81；48（14）或；6（答案不唯一）（15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（Ⅰ）證明：連結(jié)BE交AD于G，連結(jié)FG．因為四邊形ABDE是矩形，所以點G為BE的中點．因為點F為CE的中點，所以FG是△BCE的中位線．所以．因為平面ADF，平面ADF，所以平面ADF．（Ⅱ）因為四邊形ABDE是矩形，所以．因為，，所以平面ABC．所以平面ABC．所以以點A為原點，分別以AC，AE所在直線為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．所以，，，，．所以，．設(shè)平面ADF的法向量為，所以，．所以，令，得，．所以．因為平面ABC，所以．因為，，所以平面BCD．所以為平面BCD的一個法向量．所以．所以平面BCD與平面ADF所成角的余弦值為．（17）（本小題13分）解：（Ⅰ）因為，所以由正弦定理可得，即．所以．所以．所以．因為，所以．所以．因為，所以．（Ⅱ）若選條件①：．所以D為BC中點．所以．因為，，，所以由余弦定理得，即，所以．所以△ABC為直角三角形，所以．所以．所以△ABD的面積為．若選條件②：．所以．因為，，，所以由余弦定理得，即．所以．所以△ABC為直角三角形．所以．所以．所以．所以△ABD的面積為．（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）從2023年該體檢機構(gòu)20歲到100歲體檢人群中抽取1人，此人年齡不低于60歲的頻率為．（Ⅱ）用頻率估計概率，從2023年該地區(qū)20歲到100歲體檢人群中隨機抽取1人，此人年齡不低于60歲的概率為．依題意X的可能取值為0，1，2，3．所以，，，．所以隨機變量X的分布列為：X0123P所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為．（Ⅲ）不正確．理由如下：若在60歲到80歲（不含80歲）中，、、、體檢人群的頻率分別為70%、10%、10%、10%，則60歲到80歲（不含80歲）體檢人群健康問題平均值為個，所以該判斷是不正確的．（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）因為，所以．所以．所以，．所以曲線在點處的切線方程為，即．（Ⅱ）因為，定義域為R，所以．因為，令，即，解得，．所以．當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表所示．x200單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間上單調(diào)遞減．因為對于任意，不等式成立，所以，，．所以，得，，得；，得．因為，所以．所以a的取值范圍是．（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）因為橢圓E的長軸長為4，離心率為，所以，．所以，．所以．所以橢圓E的方程為．（Ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)為k，所以直線l的方程為，．聯(lián)立方程組，消去y，化簡得（．設(shè)，，所以，．所以直線TM的方程為，直線TN的方程為．所以，．所以，，所以．所以當(dāng)時，為定值，即（負(fù)值舍）時，有定值3．當(dāng)時，若直線l斜率不存在，不妨設(shè)，，所以，．所以．綜上，當(dāng)時，有定值3．（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）（?。?，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1．（Ⅱ）證明：設(shè)數(shù)列A的公差為d，因為，當(dāng)時，數(shù)列A為單調(diào)遞減數(shù)列，所以．所以B為等差數(shù)列．當(dāng)時，數(shù)列A為單調(diào)遞增數(shù)列，以A的每一項a，為首項選取長度最大的遞增的單調(diào)子列為，，，…，．所以（，2，3．…，n）．所以B為等差數(shù)列．綜上，當(dāng)數(shù)列A為等差數(shù)列時，數(shù)列B也為等差數(shù)列．（Ⅲ）證明：（1）若，，…，中有一個，那么數(shù)列A存