2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)章末綜合測(cè)評(píng)含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-章末綜合測(cè)評(píng)(一)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列語(yǔ)句中是命題的為()①x2－3＝0；②與一條直線相交的兩直線平行嗎？③3＋1＝5；④?x∈R,5x－3>6.A．①③ B．②③C．②④ D．③④D[①不能推斷真假，②是疑問(wèn)句，都不是命題；③④是命題．]2．命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()A．隨意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．隨意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)B[依據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，先將存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論，故該命題的否定為“隨意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”．]3．已知命題p：實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．命題p是真命題B．命題p是特稱命題C．命題p是全稱命題D．命題p既不是全稱命題也不是特稱命題C[命題p：實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，是全稱命題，且是真命題，故p是假命題．]4．“l(fā)og2(2x－3)<1”是“4x>8A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[由log2(2x－3)<1?0<2x－3<2?eq\f(3,2)<x<eq\f(5,2)，4x>8?2x>3?x>eq\f(3,2)，所以“l(fā)og2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要條件，故選A．]5．已知命題：①若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，②若－2≤x≤0，則(x＋2)(x－3)≤0，則下列說(shuō)法正確的是()A．①的逆命題為真 B．②的逆命題為真C．①的逆否命題為真 D．②的逆否命題為真D[①的逆命題為eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，則a>b，若a＝－2，b＝3，則不成立．故A錯(cuò)；②的逆命題為若(x＋2)(x－3)≤0，則－2≤x≤0是假命題，故B錯(cuò)；①為假命題，其逆否命題也為假命題，故C錯(cuò)；②為真命題，其逆否命題也為真命題，D正確．]6．下列命題中為假命題的是()A．?x∈R，sinx＝eq\f(\r(5),2) B．?x∈R，log2x＝1C．?x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>0 D．?x∈R，x2≥0A[∵eq\f(\r(5),2)>1，∴不存在x使得sinx＝eq\f(\r(5),2)，故A錯(cuò)誤．]7．已知命題p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；命題q：“?x∈R，x2＋2>3x”的否定是“?x∈R，x2＋2<3x”．則下列命題為真命題的是()A．p∧q B．?p∧qC．p∧?q D．?p∧?qC[當(dāng)n＝1時(shí)，f(x)＝x3為冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故p是真命題，則?p是假命題；“?x∈R，x2＋2>3x”的否定是“?x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命題，?q是真命題．所以p∧q，?p∧q，?p∧?q均為假命題，p∧?q為真命題，選C．]8．已知命題p：若(x－1)(x－2)≠0，則x≠1且x≠2；命題q：存在實(shí)數(shù)x0，使2x0＜0.下列選項(xiàng)中為真命題的是()A．?p B．?p∨qC．?q∧p D．qC[很明顯命題p為真命題，所以?p為假命題；由于函數(shù)y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命題，所以?q是真命題．所以?p∨q為假命題，?q∧p為真命題，故選C．]9．條件p：x≤1，且?p是q的充分不必要條件，則q可以是()A．x>1 B．x>0C．x≤2 D．－1<x<0B[∵p：x≤1，∴?p：x>1，又∵?p是q的充分不必要條件，∴?p?q，q推不出?p，即：?p是q的子集．]10．命題p：x＋y≠3，命題q：x≠1或y≠2，則命題p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[命題“若p，則q”的逆否命題為：“若x＝1且y＝2，則x＋y＝3”，是真命題，故原命題為真，反之不成立．11．已知函數(shù)f(x)＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))，則()A．?x0∈R，f(x0)<0B．?x∈(0，＋∞)，f(x)≥0C．?x1，x2∈[0，＋∞)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0D．?x1∈[0，＋∞)，?x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)B[冪函數(shù)f(x)＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))的值域?yàn)閇0，＋∞)，且在定義域上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤，D選項(xiàng)中當(dāng)x1＝0時(shí)，結(jié)論不成立，選B．]12．設(shè)f(x)＝x2－4x(x∈R)，則f(x)>0的一個(gè)必要不充分條件是()A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3C[由f(x)＝x2－4x>0，得x<0或x>4.由|x－1|>1，得x<0或x>2.由|x－2|>3，得x<－1或x>5，所以只有C是必要不充分條件．故選C．]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)13．命題“不等式x2＋x－6>0的解為x<－3或x>2”若－3≤x≤2，則x2＋x－6≤0[“不等式x2＋x－6>0的解為x<－3或x>2”即為：“若x2＋x－6>0，則x<－3或x>2”，依據(jù)逆否命題的定義可得：若－3≤x≤2，則x2＋x－6≤14．寫(xiě)出命題“若x2＝4，則x＝2或x＝－2”“若x2≠4，則x≠2且x≠－2”[命題“若x2＝4，則x＝2或x＝－2”的否命題為“若x2≠4，則x≠2且x≠－215．若命題“?t∈R，t2－2t－a<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a(－∞，－1][命題“?t∈R，t2－2t－a<0”則?t∈R，t2－2t－a≥0是真命題，∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]．]16．已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(3－x)>0，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[－1,6][p：－4<x－a<4?a－4<x<a＋4，q：(x－2)(3－x)>0?2<x<3.因?yàn)?p是q的充分條件，即p?q，所以q是p的充分條件，即q?p，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤6.]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)將命題“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，并寫(xiě)出它的逆命題、否命題和逆否命題，同時(shí)推斷它們的真假．[解]“若p，則q”的形式：若一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形．(真命題)逆命題：若一個(gè)四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等．(真命題)否命題：若一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊不平行或不相等，則這個(gè)四邊形不是平行四邊形．(真命題)逆否命題：若一個(gè)四邊形不是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊不平行或不相等．(真命題)18．(本小題滿分12分)寫(xiě)出下列命題的否定，并推斷其真假，同時(shí)說(shuō)明理由．(1)q：全部的矩形都是正方形；(2)r：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0；(3)s：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使xeq\o\al(3,0)＋3＝0.[解](1)?q：至少存在一個(gè)矩形不是正方形，真命題．這是由于原命題是假命題．(2)?r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命題．這是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)?s：?x∈R，x3＋3≠0，假命題．這是由于當(dāng)x＝－eq\r(3,3)時(shí)，x3＋3＝0.19．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；(2)若命題q：“?x0∈A，x0∈B”是真命題，求m的取值范圍．[解](1)A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B≠?∵命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，∴B?A，B≠?，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.(2)q為真，則A∩B≠?，∵B≠?，∴m≥2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤m＋1≤5，,m≥2，))∴2≤m≤4.20．(本小題滿分12分)設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿意x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：實(shí)數(shù)x滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－12≤0，,x2＋3x－10>0，))若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]∵p是q的必要不充分條件，即q?p但pq，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則BA，又B＝(2,3]，當(dāng)a>0時(shí)，A＝(a,3a)；當(dāng)a<0時(shí)，A＝(3a，∴當(dāng)a>0時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a>3，))解得1<a≤2；當(dāng)a<0時(shí)，明顯A∩B＝?，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．21．(本小題滿分12分)求證：方程x2－2x－3m＝0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件是－eq\f(1,3)<m<0.[證明](1)充分性：∵－eq\f(1,3)<m<0，∴方程x2－2x－3m＝0的判別式Δ＝4＋12且－3m∴方程x2－2x－3m(2)必要性：若方程x2－2x－3m則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4＋12m>0，,x1x2＝－3m>0，))解得－eq\f(1,3)<m<0.結(jié)合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)根的充要條件是－eq\f(1,3)<m<0.22．(本小題滿分12分)已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集為R.若p或q為真，q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]由方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，得Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2.∴命題p為真時(shí)，m>