第05講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(5種題型)(原卷版+解析)

第05講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（5種題型）【知識(shí)梳理】韋達(dá)定理：如果是一元二次方程的兩個(gè)根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．【考點(diǎn)剖析】題型1：求根與系數(shù)關(guān)系例1．（2020秋·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一元二次方程的兩根分別為，，則的值得為_(kāi)__________．題型2：利用根與系數(shù)的關(guān)系式求代數(shù)式的值例2．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知方程的兩根分別為、，則的值為（

）A．1 B． C．2023 D．例3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知a、b是一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值是______．例4．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）若實(shí)數(shù)分別滿足，且，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．題型3：已知一元二次方程的兩根關(guān)系求字母的取值（范圍）例5．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知，是關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，且，，則的值為_(kāi)___________，的值是__________．例6．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的方程的兩根均大于1且小于2，則的取值范圍是_____.題型4：已知含字母的一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母的值例7．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)判斷方程根的情況，并說(shuō)明理由；(2)若方程的一個(gè)根為，求的值和方程的另一個(gè)根．題型5：有關(guān)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的創(chuàng)新題例8.已知一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)恰好是方程：兩個(gè)根，求這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)．例9.已知關(guān)于x的方程有兩根，其中且，求m的取值范圍．例10.已知方程：的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，求a的取值范圍．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·河南新鄉(xiāng)·河南師大附中?？既＃┤绻?，是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，，那么代數(shù)式的值是（）A．19 B．18 C．16 D．152．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）若關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式，則的值為(

)A．11 B． C．11或 D．11或或13．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）一元二次方程的兩個(gè)根分則為和，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北武漢·武漢市卓刀泉中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．6．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，是一元二次方程的兩根，且代數(shù)式的值為，則k的值為（

）A． B． C． D．7．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于的一元二次方程（k為常數(shù)），下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．該方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根C．拋物線與直線必相交 D．該方程有兩實(shí)根但不互為相反數(shù)8．（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程：，有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，方程不可能有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根；③當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根不可能都小于1；④當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)大于3，另一個(gè)小于3．以上4個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題9．（2023·四川成都·?？既＃┤羰且辉畏匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)___________．10．（2023·湖南永州·?？既＃┮阎謩e為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則的值為_(kāi)_____．11．（2023·新疆博爾塔拉·?？级＃┮阎欠匠痰膬筛?，則的值為_(kāi)_________．12．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）若是方程的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是______．13．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，則__________．14．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根、且，則m的取值范圍是________；15．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）已知方程的兩個(gè)解分別為，則的值為_(kāi)______．16．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，，則_______．17．（2023·江蘇泰州·泰州市海軍中學(xué)?？级＃┤絷P(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則________．18．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是______19．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則______．20．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若邊長(zhǎng)為5的菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程兩根的2倍，則m的值為_(kāi)__________．21．（2023·江西撫州·校聯(lián)考三模）設(shè)m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．三、解答題22．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）【閱讀與思考】如表是小亮同學(xué)在數(shù)學(xué)雜志上看到的小片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系通過(guò)學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與系數(shù)關(guān)系的一種形式．除此以外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還有一些其他形式的關(guān)系．從因式分解的角度思考這個(gè)問(wèn)題，若把一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別記為，，則有恒等式，即．比較兩邊系數(shù)可得：______，______．任務(wù)：(1)填空：______，______．(2)小亮同學(xué)利用求根公式進(jìn)行推理，同樣能夠得出一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系．下面是小亮同學(xué)的部分推理過(guò)程，請(qǐng)完成填空，并將推理和運(yùn)算過(guò)程補(bǔ)充完整．解：對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根______，______．……(3)已知關(guān)于x的方程的兩根之和與兩根之積的和等于2，直接寫(xiě)出的值．23．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，且，求證：．小明在思考時(shí)，感覺(jué)無(wú)從下手，就去請(qǐng)教學(xué)霸小剛,小剛審題后思考了片刻，對(duì)小明說(shuō)：我們可以構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入即可解答，并寫(xiě)下了部分解題過(guò)程供小明參考：令，則，原等式可變形為關(guān)于x的一元二次方程：．可以發(fā)現(xiàn)：．從而可知構(gòu)造的方程兩個(gè)根分別是1和利用根與系數(shù)的關(guān)系得：_____；_____；…請(qǐng)你根據(jù)小剛的思路完整地解答本題．24．（2023·江蘇泰州·泰州市海軍中學(xué)?？级＃┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)試說(shuō)明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若這個(gè)一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范圍．25．（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)若為正整數(shù)，求的值；(2)若滿足，求的值．26．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．(1)求m的取值范圍；(2)若，求m的值．27．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）閱讀材料，解答問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，則，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，，且，則_____，______；(2)間接應(yīng)用：在（1）條件下，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)，滿足：，且，則______．28．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為，，且滿足，求實(shí)數(shù)的值．第05講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（5種題型）【知識(shí)梳理】韋達(dá)定理：如果是一元二次方程的兩個(gè)根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．【考點(diǎn)剖析】題型1：求根與系數(shù)關(guān)系例1．（2020秋·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一元二次方程的兩根分別為，，則的值得為_(kāi)__________．【答案】【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求得即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．題型2：利用根與系數(shù)的關(guān)系式求代數(shù)式的值例2．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）已知方程的兩根分別為、，則的值為（

）A．1 B． C．2023 D．【答案】B【分析】由題意得，，將代數(shù)式變形后再代入求解即可．【詳解】解：∵方程的兩根分別為、，∴，，，∴∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查根的定義及根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．熟練掌握代數(shù)式的求值技巧是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知a、b是一元二次方程的兩個(gè)根，那么的值是______．【答案】3【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵a、b是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，因式分解，代數(shù)式求值．熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）若實(shí)數(shù)分別滿足，且，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：設(shè)是的根，則，，∴【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟悉一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式．題型3：已知一元二次方程的兩根關(guān)系求字母的取值（范圍）例5．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）已知，是關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，且，，則的值為_(kāi)___________，的值是__________．【答案】2/【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：∵，是關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，，∵，，∴，即，∴．故答案為：2；【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，是解題的關(guān)鍵．例6．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的方程的兩根均大于1且小于2，則的取值范圍是_____.【答案】【分析】先化簡(jiǎn)分式方程得一元二次方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出兩個(gè)根與a，b，的關(guān)系式，最后根據(jù)根的范圍，求出的取值范圍.【詳解】解：，去分母得，，設(shè)的兩個(gè)根為，，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，，，∴，∵，，均大于1且小于2，∴，，∴．∴．∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系和代數(shù)式取值范圍問(wèn)題，熟練進(jìn)行解方程，解不等式，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.題型4：已知含字母的一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及字母的值例7．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)判斷方程根的情況，并說(shuō)明理由；(2)若方程的一個(gè)根為，求的值和方程的另一個(gè)根．【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，理由見(jiàn)解析(2)，另一個(gè)根為【分析】（1）求得，根據(jù)，可得，進(jìn)而即可求解；（2）把代入方程，求出的值，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，即，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）解：∵方程的一個(gè)根為，∴，解得：，設(shè)方程的另一個(gè)根為，∵，，，∴，∴另一個(gè)根為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程、根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，能熟記根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．題型5：有關(guān)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的創(chuàng)新題例8.已知一個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)恰好是方程：兩個(gè)根，求這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)．【答案】．【解析】解：設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為，，，且是斜邊長(zhǎng)，由題知，，，由勾股定理，可得：，所以，所以直角三角形的周長(zhǎng)．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用，并且考查了直角三角形的性質(zhì)，即勾股定理的應(yīng)用．例9.已知關(guān)于x的方程有兩根，其中且，求m的取值范圍．【答案】．【解析】因?yàn)榉匠逃袃筛?，所以，即；由韋達(dá)定理，可得：，，因?yàn)榍?，所以，，即，解得：．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理的應(yīng)用和一元二次方程的概念以及解不等式的應(yīng)用．例10.已知方程：的一個(gè)根大于3，另一個(gè)根小于3，求a的取值范圍．【答案】．【解析】解：設(shè)方程的兩根為，，由，，可得：，即，而由韋達(dá)定理可得，，所以，即．【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理，的靈活應(yīng)用．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·河南新鄉(xiāng)·河南師大附中?？既＃┤绻莾蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足，，那么代數(shù)式的值是（）A．19 B．18 C．16 D．15【答案】A【分析】根據(jù)題意，，可以看作一元二次方程的兩根，則，，代入代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，可以看作一元二次方程的兩根，∴，，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程解的定義以及一元二次方程兩根之和為，兩根之積為．2．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）若關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式，則的值為(

)A．11 B． C．11或 D．11或或1【答案】C【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再把兩邊平方后利用完全平方公式變形得到，然后將代入求關(guān)于k的方程，最后再利用判別式確定k的取值．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴，∵∴∴，整理得：，解得，當(dāng)時(shí)，方程變形為，即，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程變形為，即，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；∴k的值為11或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，若方程兩個(gè)為，則是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是一元二次方程的兩根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，進(jìn)而可得，，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴∴，∴∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）一元二次方程的兩個(gè)根分則為和，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：一元二次方程化為一般形式為∵一元二次方程的兩個(gè)根分則為和，∴，，∴，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．若是一元二次方程的兩根時(shí)，，．5．（2023·湖北武漢·武漢市卓刀泉中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】原式∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴則原式故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，韋達(dá)定理，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，是一元二次方程的兩根，且代數(shù)式的值為，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，根據(jù)異分母分式的加減進(jìn)行化簡(jiǎn)，解方程即可求解．【詳解】解：∵，是一元二次方程的兩根，∴∵∴解得：，（經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解）故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握解分式方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于的一元二次方程（k為常數(shù)），下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．該方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根C．拋物線與直線必相交 D．該方程有兩實(shí)根但不互為相反數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)根的判別式，韋達(dá)定理，依次判斷即可解答．【詳解】解：A：根據(jù)，可得，所以該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故A選項(xiàng)正確；B：根據(jù)韋達(dá)定理，可得，所以異號(hào)，故B選項(xiàng)正確；C：將與，連理可得方程，即，根據(jù)A選項(xiàng)說(shuō)明，可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以拋物線與直線有交點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；D：根據(jù)韋達(dá)定理可得，當(dāng)時(shí)，，即互為相反數(shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，韋達(dá)定理，熟知相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程：，有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，方程不可能有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根；③當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根不可能都小于1；④當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)大于3，另一個(gè)小于3．以上4個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的求根公式對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷即可．【詳解】解：∵，∴Δ＝4+4a，∴①當(dāng)時(shí)，Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故①正確，②當(dāng)時(shí)，兩根之積，方程的兩根異號(hào)，故②錯(cuò)誤，③方程的根為x＝，∵，∴方程的兩個(gè)實(shí)根不可能都小于1，故③正確，④當(dāng)時(shí)，由（3）可知，兩個(gè)實(shí)根一個(gè)大于3，另一個(gè)小于3，故④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程的求根公式，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2023·四川成都·?？既＃┤羰且辉畏匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)___________．【答案】5【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系得出，，再將其代入整理后的代數(shù)式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，即：，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．也考查了一元二次方程的解．10．（2023·湖南永州·?？既＃┮阎謩e為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，根據(jù)分式的加法進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而代入即可求解．【詳解】解：∵，分別為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2023·新疆博爾塔拉·?？级＃┮阎?，是方程的兩根，則的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，即，代入得到，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的兩根∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的定義，一元二次工程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．12．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）若是方程的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是______．【答案】1【分析】設(shè)該方程的另一個(gè)根為，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】解：設(shè)該方程的另一個(gè)根為，根據(jù)題意得，解得，即該方程的另一個(gè)根為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．13．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，則__________．【答案】【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再由求出，，則，即可得到．【詳解】解：∵，∴，∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程，若是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．14．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根、且，則m的取值范圍是________；【答案】【分析】根據(jù)根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于的不等式組，通過(guò)解該不等式組，求得的取值范圍．【詳解】解：∵的一元二次方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根、∴，，解得：，∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式組，一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）已知方程的兩個(gè)解分別為，則的值為_(kāi)______．【答案】【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出和的值，然后再對(duì)因式分解后代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵方程的兩個(gè)解分別為，∴，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若為方程的兩個(gè)根，則與系數(shù)的關(guān)系式：，．16．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，，則_______．【答案】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，代入求得答案．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別為，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．注意二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：是方程的兩根時(shí)，17．（2023·江蘇泰州·泰州市海軍中學(xué)校考二模）若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，如果為一元二次方程的兩根，則，，熟練掌握內(nèi)容是關(guān)鍵．18．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)根是______【答案】【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，即，即可求解．【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．19．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則______．【答案】【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再利用可求出，則可計(jì)算出，然后計(jì)算代數(shù)式的值．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．20．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若邊長(zhǎng)為5的菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程兩根的2倍，則m的值為_(kāi)__________．【答案】【分析】設(shè)，利用勾股定理和菱形的性質(zhì)得到，再根據(jù)題意得到分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則由根與系數(shù)的關(guān)系得到，，進(jìn)而根據(jù)完全平方公式的變形建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，四邊形是邊長(zhǎng)為5的菱形，對(duì)角線交于O，∴，，設(shè)，在中，由勾股定理得，∴，∵菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程兩根的2倍，∴分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，∴，，∵，∴，∴，即，解得或；又∵，即，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，菱形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式的變形求值，正確建立方程是解題的關(guān)鍵．21．（2023·江西撫州·校聯(lián)考三模）設(shè)m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵m，n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題22．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）【閱讀與思考】如表是小亮同學(xué)在數(shù)學(xué)雜志上看到的小片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系通過(guò)學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程可以發(fā)現(xiàn)，一元二次方程的根完全由它的系數(shù)確定，求根公式就是根與系數(shù)關(guān)系的一種形式．除此以外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還有一些其他形式的關(guān)系．從因式分解的角度思考這個(gè)問(wèn)題，若把一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別記為，，則有恒等式，即．比較兩邊系數(shù)可得：______，______．任務(wù)：(1)填空：______，______．(2)小亮同學(xué)利用求根公式進(jìn)行推理，同樣能夠得出一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系．下面是小亮同學(xué)的部分推理過(guò)程，請(qǐng)完成填空，并將推理和運(yùn)算過(guò)程補(bǔ)充完整．解：對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根______，______．……(3)已知關(guān)于x的方程的兩根之和與兩根之積的和等于2，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)，(2)，，見(jiàn)解析(3)或4【分析】（1）由得，求解即可得到答案；（2）將方程兩邊同時(shí)除以可得，再配方可得，由，直接開(kāi)平方法解方程即可得到答案；（3）由（1）中的結(jié)論，可得，再由關(guān)于x的方程的兩根之和與兩根之積的和等于2，得到，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：由可得：，，故答案為：，；（2）解：，，，，，，，，，故答案為：，；（3）解：，，，關(guān)于x的方程的兩根之和與兩根之積的和等于2，，解得：或的值為：－1或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系在整式求值中的應(yīng)用，明確根與系數(shù)的關(guān)系并熟練運(yùn)用完全平方公式及配方法是解題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，且，求證：．小明在思考時(shí)，感覺(jué)無(wú)從下手，就去請(qǐng)教學(xué)霸小剛,小剛審題后思考了片刻，對(duì)小明說(shuō)：我們可以構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入即可解答，并寫(xiě)下了部分解題過(guò)程供小明參考：令，則，原等式可變形為關(guān)于x的一元二次方程：．可以發(fā)現(xiàn)：．從而可知構(gòu)造的方程兩個(gè)根分別是1和利用根與系數(shù)的關(guān)系得：_____；_____；…請(qǐng)你根據(jù)小剛的思路完整地解答本題．【答案】；；見(jiàn)解析【分析】令，則，原等式就可變?yōu)殛P(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出代數(shù)式的值．【詳解】解：令，則，原等式可變形為關(guān)于x的一元二次方程：．可以發(fā)現(xiàn)：．從而可知構(gòu)造的方程兩個(gè)根分別是1和.利用根與系數(shù)的關(guān)系得：；；∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意確定一元二次方程，得到方程的兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系用兩根之和與兩根之積表示代數(shù)式中的分式，代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值．24．（2023·江蘇泰州·泰州市海軍中學(xué)校考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)試說(shuō)明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若這個(gè)一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程判別式為即可解答；（2）根據(jù)一元二次方程的一根大于，另一根小于得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根其兩根與的差的積小于零，列出不等式即可解答．【詳解】（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程，∴，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)，該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，∴，，∵這個(gè)一元二次方程的一根大于2，另一根小于2，∴，∴，解得：，∴的取值范圍．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判