第4章三角形證明 題型解讀10 證角相等的三大典型圖形-2020-2021學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊

《三角形證明》題型解讀10證角相等的三大典型圖形【知識梳理】1.共角模型如圖，∠BAD與∠CAE有一個共同的角：∠CAD用法：①當(dāng)∠BAC=∠DAE時，則∠BAD=∠CAE；即小角相等，必證大角相等；②當(dāng)∠BAD=∠CAE時，則∠BAC=∠DAE；即大角相等，必證小角相等；2.“8字模型”用法：如圖，∵∠1=∠2，若∠A=∠D，則∠B=∠E；若∠B=∠E，則∠A=∠D.3.角平分線上的典型圖形（1）兩條角平分線的夾角問題①兩內(nèi)角角平分線的夾角：∠②兩內(nèi)角角平分線的夾角：∠③兩內(nèi)角角平分線的夾角：∠（2）“角平分線+平行線=等腰△”模型【典型例題】例1.如圖所示，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求證：DE=AB.解析：“小角相等必證大角相等”，由∠DCA=∠ECB可得∠DCE=∠ACB，則在△DCE與△ACB中，∵CD=∴△DCE≌△ACB,∴DE=AB；例2.如圖，∠A=∠B，AE=BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O，求證：△AEC≌△BED.解析：由“8字模型”可知，∠2=∠BEA,則∠1=∠2可得∠1=∠BEA，“大角相等必證小角相等”，由∠1=∠BEA可得∠CEA=∠DEB，則在△CEA與△DEB中，∵∠CEA∴△CEA≌△DEB例3.如圖，點(diǎn)E在△ABC的外部，點(diǎn)D在邊BC上，DE交AC于點(diǎn)F，若∠1=∠2，AE=AC，BC=DE.（1）求證：AB=AD；（2）若∠1=60°，判斷△ABD的形狀，并說明理由.（提示：有一個60°的等腰三角形是等邊三角形）解析：（1）由“8字模型”可得，∠2=∠1,則∠E=∠C，則在△BAC與△DAE中，∵AC=AE∠C=∴AB=AD；（2）由△BAC≌△DAE可得AB=AD，∠BAC=∠DAE，“大角相等必證小角相等”，由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠1=60°，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△BAD是等邊三角形.例4.已知，BE⊥CD，BE=DE，CE=AD，（1）求證：△BEC≌△DEA；（2）求證：DF⊥BC.解析：（1）在△BEC與△DEA中，∵BE=∴△BEC≌△DEA；（2）由△BEC≌△DEA可得∠B=∠D，由△BFA與△DEA組成的“8字模型”可得∠BFA=∠AED=90°，即DF⊥BC.例5.如圖所示，在△ABC中，BO、CO是角平分線.（1）∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度數(shù)，并說明理由.（2）若將（1）中的“∠ABC=50°，∠ACB=60°”改為“∠A=70°”，求∠BOC的度數(shù)，并說明理由.（3）若∠A=n°,則∠BOC的度數(shù)為____________解析：（1）由BO、CO是角平分線可得∠OBC=12∠ABC=25°,∠OCB=12∠ACB=30°,在△OBC中，由三角形內(nèi)角和公式可得∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-30°=125°(2)∠BOC=90°+12∠A=90°+35°=125°.∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-12∠ABC-12=180°-12（∠ABC+∠ACB=180°-12（180°-∠A=180°-90°+12∠=90°+12∠A=125（3）∠BOC=90°+12∠A=90°+12例6.已知，如圖，BP、CP分別平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分別平分∠PBC、∠PCB.當(dāng)∠BAC=40°時，∠BPC=______;∠BQC=______.解析：由“兩條角平分線的夾角問題的結(jié)論③”可得∠BPC=90°-12∠A=90°由“兩條角平分線的夾角問題的結(jié)論①”可得∠BQC=90°+12∠BPC=90°例7：已知△ABC中，DE//BC，∠AED=50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度數(shù).解析：由CD平分∠ACB可得∠BCD=∠ECD，由DE//BC可得∠BCD=∠CDE，∴∠EDC=∠ECD，即△EDC是等腰三角形，由外角性質(zhì)可得∠AED=∠EDC+∠ECD=2∠CDE=50°,∴∠CDE=25°例8.如圖,∠ABC,∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DE//BC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若AB=9cm,AC=8cm,求△ADE的周長.解析：由“BF是角平分線+DE//BC=△DBF是等腰三角形”可得DB=D