第14講相似三角形的性質(zhì)與位似(4大考點(diǎn))(原卷版+解析)2

第14講相似三角形的性質(zhì)與位似（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、相似三角形的性質(zhì)1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；2、拓展：對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）二、利用相似三角形測(cè)高1）、利用相似三角形的性質(zhì)測(cè)量河的寬度，計(jì)算不能直接測(cè)量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測(cè)物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對(duì)應(yīng)邊易測(cè)這一原則。三、位似的概念及性質(zhì)1）兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。位似中心的位置：可能位于兩個(gè)圖形之間，也可能位于兩個(gè)圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“位似中心的位置：可能位于兩個(gè)圖形之間，也可能位于兩個(gè)圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)位似中心”的特點(diǎn)確定位似中心的位置。區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。4)、位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比。四、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過(guò)位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過(guò)位似變換把原圖形縮小。畫(huà)位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長(zhǎng)（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng)）；③根據(jù)相似比確定各線段的長(zhǎng)度；④順次連接上述個(gè)點(diǎn)，得到圖形。五、圖形的變換與坐標(biāo)1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，當(dāng)向右平移n個(gè)單位時(shí)，橫坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加n個(gè)單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加、下減。2）、軸對(duì)稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。3）、以原點(diǎn)為位似中心的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者－k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或?？键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．相似三角形的性質(zhì)（共9小題）1．（2021秋?青岡縣期末）若兩個(gè)相似三角形的相似之比為1：2，則它們的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：162．（2021秋?威縣期末）若兩個(gè)相似三角形的相似比為1：3．則它們的對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)比為（）A．1：9 B．1：6 C．6：1 D．1：33．（2021秋?秦皇島期末）若兩個(gè)相似三角形的面積比是1：9，則它們對(duì)應(yīng)邊的中線之比為（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．9：14．（2021秋?梧州期末）若△ABC∽△EFG，并且它們的相似比AB：EF＝2：5，則它們的周長(zhǎng)比C△ABC：C△EFG＝（）A．2：5 B．4：25 C．25：4 D．6：155．（2021秋?滕州市期末）兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的長(zhǎng)分別為6cm和12cm，若較大三角形的面積是12cm2，則較小的三角形的面積為（）A．6cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．1cm26．（2021秋?本溪縣期末）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對(duì)應(yīng)中線．若AD＝10，A'D'＝6，則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)比是（）A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：97．（2022秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，求四邊形DBCE的面積．8．（2022?福州模擬）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD有交點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝90°．點(diǎn)E與點(diǎn)C在BD同側(cè)，連接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE．（1）求證：DC⊥CE；（2）若，BD＝20，，求△BDE的面積．9．（2021秋?交城縣期末）閱讀理解：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD為△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）10．（2021秋?吉安縣期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，點(diǎn)D在AB上．（1）當(dāng)△ABC∽△CBD時(shí)，求BD的長(zhǎng)；（2）在（1）中的CD是否平分∠ACB？如果平分，說(shuō)明理由；如果不平分，利用備用圖，畫(huà)出∠ACB的平分線CD（CD交AB于D），并求BD的長(zhǎng)．11．（2021秋?新野縣期末）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）已知AB＝8，BC＝12，求AF的長(zhǎng)．12．（2021秋?宛城區(qū)期末）閱讀與計(jì)算，請(qǐng)閱讀以下材料，完成相應(yīng)的任務(wù)．角平分線分線段成比例定理：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．任務(wù)一：請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；任務(wù)二：如圖3，△ABC中，E是BC中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于F．若AB＝11，AC＝15，直接寫(xiě)出線段FC的長(zhǎng)．13．（2022?南充模擬）如圖，AB是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，BC與⊙O交于D，弧CD上一點(diǎn)E，使得點(diǎn)D成為弧AE的中點(diǎn)，連接AE與BC交于F．（1）比較AB與AF的長(zhǎng)度．并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)AB＝6，BC＝10時(shí)，求CF的長(zhǎng)．三．作圖-相似變換（共5小題）14．（2021秋?蒲城縣期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°．利用尺規(guī)分別在AB、AC邊上求作點(diǎn)D、E，使△ADE∽△ABC，且點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)E是AC是的中心．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）15．（2022秋?瑞安市月考）如圖，在6×8的方格紙中，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，請(qǐng)按要求在方格紙內(nèi)作圖．（1）在圖1中作出與△ABC相似的格點(diǎn)△CDE；（2）在圖2中作出與∠C相等的∠AFB，點(diǎn)F為格點(diǎn)且不與點(diǎn)C重合．16．（2022秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，連接EF．已知點(diǎn)P在邊CD上，以CP為邊，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點(diǎn)Q，使得△CPQ∽△AEF．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）17．（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．（1）在AB上求作一點(diǎn)D，使△ABC∽△CBD（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）的條件下，求△ACD的周長(zhǎng)．18．（2022秋?晉江市校級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)在邊BC上，連接AE．（1）利用尺規(guī)在AE上求作一點(diǎn)F，使得△ABE∽△DFA．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的長(zhǎng)．四．位似變換（共3小題）19．（2021秋?長(zhǎng)子縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（，1） C．（1，2） D．（，2）20．（2021秋?建平縣期末）如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（3，1），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來(lái)的2倍后得到線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（）A．（3，1） B．（3，3） C．（4，1） D．（4，4）21．（2022秋?于洪區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得到△A'OB．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（2，4） B．（4，2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）五．作圖-位似變換（共3小題）22．（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)正方形ABCD及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)t，將得到的點(diǎn)先向右平移a個(gè)單位，再向上平移b個(gè)單位（a＞0，b＞0），得到正方形A'B'C'D'及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'．①a＝，b＝；②已知正方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)F經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F'與點(diǎn)F重合，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是．23．（2021秋?蒲城縣期末）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（4，0），C（4，6）．以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限畫(huà)出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為1：2，并寫(xiě)出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)．24．（2022秋?富川縣期中）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A．（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）作△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1并寫(xiě)出A1、B1、C1的坐標(biāo)．（2）以點(diǎn)O為位似中心畫(huà)△DEF，使它與△ABC位似，且相似比為2：1．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·北京房山·九年級(jí)期中）如圖是測(cè)量河寬的示意圖，測(cè)得，，，則河寬的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD相交于F，則下列結(jié)論一定正確的是（）．A． B． C． D．3．（2021·四川·達(dá)州市通川區(qū)第八中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O與矩形OABC位似，位似中心是原點(diǎn)O，且矩形OA1B1C1的面積等于矩形OABC面積的4倍，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（）A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6）C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）4．（2021·浙江·翠苑中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A'B'C'，已知OB'：OB＝1：3，則△A'B'C'與△ABC的面積比為（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：95．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第四十三中學(xué)九年級(jí)月考）小亮用自制的直角三角板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知直角三角板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝30cm，又測(cè)得AM＝10m，邊DF離地面的高度DM＝1.5m，則樹(shù)高AB為（）A．7.5m B．9m C．6m D．5.25m二、填空題6．（2021·福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)期中）AOB三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將AOB縮小，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___．7．（2021·四川南溪·九年級(jí)期中）如圖，某小區(qū)車庫(kù)出入口的欄桿短臂長(zhǎng)1m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)8m，當(dāng)短臂外端下降0.5m時(shí)，長(zhǎng)臂外端升高_(dá)______________________．8．（2021·廣東高州·九年級(jí)期中）如圖，路燈距地面，身高的小明從點(diǎn)處沿所在的直線行走到點(diǎn)時(shí)，人影長(zhǎng)度變短______．9．（2021·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測(cè)量教學(xué)樓前的一棵樹(shù)的樹(shù)高．下午課外活動(dòng)時(shí)，她測(cè)得根長(zhǎng)為1m的竹桿的影長(zhǎng)是0.8m．但當(dāng)她馬上測(cè)量樹(shù)高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上．她先測(cè)得留在墻壁上的影高為1.2m，又測(cè)得地面的影長(zhǎng)為2.6m，請(qǐng)你幫她算一下，樹(shù)高是________m．10．（2021·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，，，AC為對(duì)角線，E、F分別為邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)M，連接AF、CE，求的最小值是_____．三、解答題11．（2021·廣東·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的下方畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2，并寫(xiě)出A2，B2，C2的坐標(biāo)．12．（2021·山東高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)·九年級(jí)期中）小強(qiáng)在地面E處放一面鏡子，當(dāng)他垂直于地面AC站立于點(diǎn)C處時(shí)，剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，法線FE⊥AC，根據(jù)光的反射定律有∠FEB=∠FED，此時(shí)EA=20米，CE=2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC=1.6米，請(qǐng)計(jì)算出教學(xué)樓的高度．13．（2021·陜西·西安市第六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，華華同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上、已知紙板的兩條邊DF＝1m，DE＝0.8m，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝24m，求樹(shù)高AB．14．（2021·福建·晉江市第一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．

（1）以點(diǎn)為位似中心在軸的左側(cè)將放大到原圖的倍（即新圖與原圖的相似比為），畫(huà)出對(duì)應(yīng)的；

（2）在（1）的條件下，若內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______；

（3）求出變化后的面積______．15．（2021·山東章丘·九年級(jí)期中）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．（1）求證：△APQ∽△ABC；（2）若這個(gè)矩形的邊PN：PQ＝2：1，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各是多少？16．（2021·陜西師大附中九年級(jí)期中）大雁塔是西安市的標(biāo)志性建筑和著名古跡，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所繪制的便是這座著名古塔．我校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量大雁塔的高度AB，在地面上立兩根高為2m的標(biāo)桿CD和GH，兩桿之間的距離米，點(diǎn)G、C、B成一線．從C處退行4米到點(diǎn)E處，人的眼睛貼著地面觀察A點(diǎn)，A、D、E三點(diǎn)成一線；從G處退行6米到點(diǎn)F處，從F觀察A點(diǎn)，A、F、H也成一線．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算大雁塔的高度AB．17．（2021·浙江金華·九年級(jí)期中）矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，，點(diǎn)F為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連結(jié)EF，將矩形ABCD沿著EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在AB上，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M．（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：?AEF是等腰三角形；（2）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，求的值；（3）在圖3所示中，若，當(dāng)時(shí)，求n的值．18．（2021·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B在線段AO上，且AB＝2BO，若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，連接BP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PB．（1）如圖1，點(diǎn)E是射線PQ上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．求證：△BOP∽△PCE；（2）在（1）的條件下，如圖2，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0）．過(guò)點(diǎn)A作DA⊥y軸，且和CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)C′正好落在線段AD上．連接PC'，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖3，若∠BPO＝60°，點(diǎn)E在直線PQ上，EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，若以點(diǎn)E，P，C為頂點(diǎn)的三角形和△BPE相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．19．（2021·重慶一中九年級(jí)期中）如圖，在等邊?ABC中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）如圖1，若，，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，若，點(diǎn)在的垂直平分線上，點(diǎn)在邊上，連接交于點(diǎn)，且，求證：；（3）如圖3，若，，，點(diǎn)、、分別是?BCE三邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，取線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，連接、，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最大值．第14講相似三角形的性質(zhì)與位似（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、相似三角形的性質(zhì)1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；2、拓展：對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）二、利用相似三角形測(cè)高1）、利用相似三角形的性質(zhì)測(cè)量河的寬度，計(jì)算不能直接測(cè)量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的核心是構(gòu)造相似三角形，在構(gòu)造的相似三角形中，被測(cè)物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對(duì)應(yīng)邊易測(cè)這一原則。三、位似的概念及性質(zhì)1）兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。位似中心的位置：可能位于兩個(gè)圖形之間，也可能位于兩個(gè)圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“位似中心的位置：可能位于兩個(gè)圖形之間，也可能位于兩個(gè)圖形一側(cè)，也可能位于兩圖形內(nèi)。位似中心的確定：根據(jù)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)位似中心”的特點(diǎn)確定位似中心的位置。區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒(méi)有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒(méi)有。聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。4)、位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比。四、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過(guò)位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過(guò)位似變換把原圖形縮小。畫(huà)位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長(zhǎng)（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng)）；③根據(jù)相似比確定各線段的長(zhǎng)度；④順次連接上述個(gè)點(diǎn)，得到圖形。五、圖形的變換與坐標(biāo)1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，當(dāng)向右平移n個(gè)單位時(shí)，橫坐標(biāo)應(yīng)相應(yīng)地加n個(gè)單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加、下減。2）、軸對(duì)稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。3）、以原點(diǎn)為位似中心的位似變換在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變化是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心同側(cè)）或者－k（對(duì)應(yīng)點(diǎn)在位似中心異側(cè)）。即：若設(shè)原圖形的某一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則其位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或?？键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．相似三角形的性質(zhì)（共9小題）1．（2021秋?青岡縣期末）若兩個(gè)相似三角形的相似之比為1：2，則它們的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答．【解答】解：兩個(gè)相似三角形的相似比為1：2，相似三角形面積的比等于相似比的平方是1：4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形性質(zhì)，正確記憶相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．2．（2021秋?威縣期末）若兩個(gè)相似三角形的相似比為1：3．則它們的對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)比為（）A．1：9 B．1：6 C．6：1 D．1：3【分析】根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為1：3，∴它們對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比為1：3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．3．（2021秋?秦皇島期末）若兩個(gè)相似三角形的面積比是1：9，則它們對(duì)應(yīng)邊的中線之比為（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．9：1【分析】根據(jù)兩個(gè)相似三角形的面積之比是對(duì)應(yīng)邊上的中線之比的平方．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積之比是對(duì)應(yīng)邊上的中線之比的平方，兩個(gè)相似三角形的面積之比為1：9∴它們對(duì)應(yīng)邊上的中線之比為1：3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握兩個(gè)相似三角形的面積之比是對(duì)應(yīng)邊上的中線之比的平方，開(kāi)平方是解題關(guān)鍵．4．（2021秋?梧州期末）若△ABC∽△EFG，并且它們的相似比AB：EF＝2：5，則它們的周長(zhǎng)比C△ABC：C△EFG＝（）A．2：5 B．4：25 C．25：4 D．6：15【分析】利用周長(zhǎng)的比等于相似比寫(xiě)出答案即可．【解答】解：∵△ABC∽△EFG，并且它們的相似比AB：EF＝2：5，∴周長(zhǎng)比C△ABC：C△EFG＝2：5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比相等，難度不大．5．（2021秋?滕州市期末）兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的長(zhǎng)分別為6cm和12cm，若較大三角形的面積是12cm2，則較小的三角形的面積為（）A．6cm2 B．4cm2 C．3cm2 D．1cm2【分析】首先根據(jù)中線的比求得相似比，然后根據(jù)面積的比等于相似比的平方求得答案即可．【解答】解：根據(jù)題意兩三角形的相似比是：6：12＝1：2，則面積比為1：4，已知大三角形面積為12cm2，則小三角形的面積為3cm2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題比較容易，考查相似三角形的性質(zhì)．利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，要注意相似比的順序，同時(shí)也不能忽視面積比與相似比的關(guān)系．相似比是聯(lián)系周長(zhǎng)、面積、對(duì)應(yīng)線段等的媒介，也是相似三角形計(jì)算中常用的一個(gè)比值．6．（2021秋?本溪縣期末）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對(duì)應(yīng)中線．若AD＝10，A'D'＝6，則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)比是（）A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9【分析】相似三角形的周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)的中線的比．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對(duì)應(yīng)中線，AD＝10，A'D'＝6，∴△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住相似三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．7．（2022秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，求四邊形DBCE的面積．【分析】由△ADE和△ABC的相似比是1：2及△ADE的面積是1，利用相似三角形的性質(zhì)可得出S△ABC的值，再利用S四邊形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE，即可求出四邊形DBCE的面積．【解答】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝4S△ADE＝4，∴S四邊形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，牢記“相似三角形的面積的比等于相似比的平方”是解題的關(guān)鍵．8．（2022?福州模擬）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD有交點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝90°．點(diǎn)E與點(diǎn)C在BD同側(cè)，連接BE，CE，DE，若△ABD∽△CBE．（1）求證：DC⊥CE；（2）若，BD＝20，，求△BDE的面積．【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠DAB+∠DCB＝270°，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證得∠BCE＝∠BAD，可得∠BCE+∠BCD＝270°，再根據(jù)周角360°即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BE于N，設(shè)CE＝16k（k＞0），則AF＝5k，通過(guò)證明△BAD∽△BCE，求得AD＝10k，解直角三角形得∠ABC＝60°，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BE的長(zhǎng)和∠DBE的度數(shù)，由勾股定理得DN，則答案可解．【解答】（1）證明：∵∠ABC+∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝270°，∵△ABD∽△CBE，∴∠BCE＝∠BAD，∴∠BCE+∠BCD＝270°，∴∠DCE＝360°﹣∠BCE﹣∠BCD＝90°，∴CD⊥CE；（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，∵，∴，∴設(shè)CE＝16k（k＞0），則AF＝5k，∵△BAD∽△BCE，∴，∴AD＝10k，在Rt△DAF中，，∴∠AFD＝90°，∴sin∠ADF＝，∴∠ADC＝30°，∵∠ABC十∠ADC＝90°，∴∠ABC＝60°，∵△BAD∽△BCE，∴∠ABD＝∠CBE，，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，∴BE＝BD?＝20×＝32，∴∠DBE＝∠ABC＝60°，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BE于N，在Rt△DBN中，∠DBN＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝BD＝10，DN＝，∴BE?DN＝×32×10＝160．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三邊形解決問(wèn)題．9．（2021秋?交城縣期末）閱讀理解：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD為△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義，先證明△ABC不是等腰三角形，再證明△ACD為等腰三角形，最后證明△BCD∽△BAC；（2）根據(jù)△ACD為等腰三角形，需要分三種情況討論）①如圖3所示，當(dāng)AD＝CD時(shí)，②如圖4所示，當(dāng)AD＝AC，③如圖5所示，當(dāng)AC＝CD，然后結(jié)合美分割線的定義可得△BDC∽△BCA，可以分別求出∠ACB的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，∵∠A≠∠B≠∠ACB，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD為等腰三角形．∴∠DCB＝∠A＝40°，∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線．（2）解：①如圖3所示，當(dāng)AD＝CD時(shí)，∠ACD＝∠A＝48°，根據(jù)完美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，則∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．②如圖4所示，當(dāng)AD＝AC時(shí)，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，根據(jù)完美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．③如圖5所示，當(dāng)AC＝CD時(shí)，∠ADC＝∠A＝48°．∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，根據(jù)完美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴這與∠ADC＞∠BCD矛盾，所以圖5的情況不符合題意．綜上所述，∠ACB的度數(shù)為96°或114°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，理解完美分割線的定義是解決本題的關(guān)鍵．二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共4小題）10．（2021秋?吉安縣期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，點(diǎn)D在AB上．（1）當(dāng)△ABC∽△CBD時(shí)，求BD的長(zhǎng)；（2）在（1）中的CD是否平分∠ACB？如果平分，說(shuō)明理由；如果不平分，利用備用圖，畫(huà)出∠ACB的平分線CD（CD交AB于D），并求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再代入求出BD即可；（2）CD不平分∠ACB，畫(huà)出圖形，求出BC＝CE＝4，再得出比例式＝，再求出BD即可．【解答】解：（1）∵△ABC∽△CBD，∴＝，∵BC＝4，AB＝6，∴＝，解得：BD＝；（2）在（1）中的CD不平分∠ACB，理由是：過(guò)B作BE∥DC，交AC的延長(zhǎng)線于E，∵DC∥BE，∴∠E＝∠ACD，∠DCB＝∠CBE，＝，∵BD＝，AD＝AB﹣BD＝6﹣＝，AC＝6，∴＝，∴CE＝4.8，∵BC＝4，∴CE≠BC，∴∠E≠∠CBE，即∠ACD≠∠DCB，∴CD不平分∠ACB；當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，如圖2，∵DC∥BE，∴∠E＝∠ACD，∠DCB＝∠CBE，＝，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠E＝∠CBE，∴CE＝BC＝4，∵＝，∴＝，解得：BD＝2.4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．11．（2021秋?新野縣期末）如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）求證：．（2）已知AB＝8，BC＝12，求AF的長(zhǎng)．【分析】（1）由四邊形ABCD為矩形，DF⊥AE，可得∠BAE＝∠ADF，即可證明結(jié)論；（2）E為BC的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理可得AE＝10，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可列出比例式求得AF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得EF的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，DF⊥AE，∴∠B＝∠AFD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ADF∽△EAB，∴．（2）解：∵E為BC的中點(diǎn)，∴，在Rt△ABE中，由勾股定理可知，AE＝10．∵，∴，∴AF＝7.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?宛城區(qū)期末）閱讀與計(jì)算，請(qǐng)閱讀以下材料，完成相應(yīng)的任務(wù)．角平分線分線段成比例定理：如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則．下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．任務(wù)一：請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；任務(wù)二：如圖3，△ABC中，E是BC中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于F．若AB＝11，AC＝15，直接寫(xiě)出線段FC的長(zhǎng)．【分析】任務(wù)一、由平行線分線段成比例可得BD：CD＝AB：AE，由等腰三角形的性質(zhì)可證AE＝AC，可得結(jié)論；任務(wù)二、利用上述結(jié)論可得BD：CD＝11：15，設(shè)BD＝11a，則CD＝15a，由此可得CE的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線分線段成比例可得出FC的長(zhǎng)．【解答】任務(wù)一、證明：如圖2，過(guò)C作CE∥DA．交BA的延長(zhǎng)線于E，∵CE∥AD，∴BD：CD＝AB：AE，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴；任務(wù)二、解：∵AD是△ABC的平分線，∴，∵AB＝11，AC＝15，∴＝；設(shè)BD＝11a，則CD＝15a，∴BC＝26a，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BC＝13a，∵EF∥AD，∴FC：AC＝EC：CD，即FC：15＝13a：（15a），解得FC＝13．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．13．（2022?南充模擬）如圖，AB是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，BC與⊙O交于D，弧CD上一點(diǎn)E，使得點(diǎn)D成為弧AE的中點(diǎn)，連接AE與BC交于F．（1）比較AB與AF的長(zhǎng)度．并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)AB＝6，BC＝10時(shí)，求CF的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AD．由圓周角定理、切線的性質(zhì)，先說(shuō)明∠ADC＝∠BAC＝90°、∠DAE＝∠C，再由三角形的內(nèi)角和定理推出∠B＝∠AFB，利用等腰三角形的判定得結(jié)論．（2）先說(shuō)明△ABD∽△CBA，再利用相似三角形的性質(zhì)求出BD，最后由線段的和差關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：（1）AB＝AF．理由：連接AD．∵AB是的切線，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°．∴∠B+∠C＝90°．∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°．∴∠CAD+∠C＝90°．∴∠CAD＝∠B＝∠DAE+∠CAE．∵D為的中點(diǎn)，∴＝．∴∠DAE＝∠C．∵∠AFB＝∠CAE+∠C，∴∠B＝∠AFB．∴AB＝AF．（2）∵∠B＝∠B，∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△CBA．∴＝．∴．∴BD＝3.6．由（1）知AB＝AF，且AD⊥BC，∴BD＝DF＝3.6．∴BF＝BD+DF＝7.2．∴CF＝BC﹣BF＝10﹣7.2＝2.8．即CF的長(zhǎng)為2.8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了與圓有關(guān)的證明和計(jì)算，掌握?qǐng)A周角定理及推論、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．三．作圖-相似變換（共5小題）14．（2021秋?蒲城縣期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90°．利用尺規(guī)分別在AB、AC邊上求作點(diǎn)D、E，使△ADE∽△ABC，且點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)E是AC是的中心．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】作AC的垂直平分線l分別交AC、AB于E、D點(diǎn)，則△ADE滿足條件．【解答】解：如圖，點(diǎn)D、E為所作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣相似變換：常常把一個(gè)圖形放大或縮小得到它的相似圖形．靈活運(yùn)用相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（2022秋?瑞安市月考）如圖，在6×8的方格紙中，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，請(qǐng)按要求在方格紙內(nèi)作圖．（1）在圖1中作出與△ABC相似的格點(diǎn)△CDE；（2）在圖2中作出與∠C相等的∠AFB，點(diǎn)F為格點(diǎn)且不與點(diǎn)C重合．【分析】（1）利用新三角形的判定畫(huà)出三角形即可（答案不唯一）；（2）利用圓周角定理解決問(wèn)題即可．【解答】解：（1）如圖1中，△CDE即為所求；（2）如圖2中，∠AFB即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣相似變換，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．16．（2022秋?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，連接EF．已知點(diǎn)P在邊CD上，以CP為邊，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點(diǎn)Q，使得△CPQ∽△AEF．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】在CD的左側(cè)作∠CPQ＝∠AEF，PQ交AC于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求．【解答】解：如圖，點(diǎn)Q即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣相似變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．17．（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．（1）在AB上求作一點(diǎn)D，使△ABC∽△CBD（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）在（1）的條件下，求△ACD的周長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)D即為所求；（2）∵∠ACB＝90°，AC＝4，CB＝4，∴AB＝＝＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)＝3+4+5＝12，∵△ABC∽△CBD，∴＝＝．∴△CBD的周長(zhǎng)＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣相似變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．18．（2022秋?晉江市校級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)在邊BC上，連接AE．（1）利用尺規(guī)在AE上求作一點(diǎn)F，使得△ABE∽△DFA．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求；（2）利用勾股定理全等三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)F即為所求．（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝3，∵△ABE∽△DFA，∴＝，∴＝，∴DF＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣相似變換，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．四．位似變換（共3小題）19．（2021秋?長(zhǎng)子縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（，1） C．（1，2） D．（，2）【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到DA∥GB，＝，證明△OAD∽△OBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OA，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是位似圖形，相似比為，∴DA∥GB，＝，∵BG＝6，∴AD＝2，∵DA∥GB，∴△OAD∽△OBG，∴＝，即＝，解得：OA＝1，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，證明△OAD∽△OBG是解題的關(guān)鍵．20．（2021秋?建平縣期末）如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（3，1），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來(lái)的2倍后得到線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（）A．（3，1） B．（3，3） C．（4，1） D．（4，4）【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)與位似比的關(guān)系得出C點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來(lái)的2倍后得到線段CD，∴A點(diǎn)與C點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∵C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），位似比為：1：2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，4）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確把握位似比與對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．21．（2022秋?于洪區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得到△A'OB．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（2，4） B．（4，2） C．（2，4）或（﹣2，﹣4） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)為位似中心的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)位似的性質(zhì)可知：A的坐標(biāo)為（1，2）擴(kuò)大2倍，則A′（4，2）或（﹣4，﹣2）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)．五．作圖-位似變換（共3小題）22．（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)正方形ABCD及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)t，將得到的點(diǎn)先向右平移a個(gè)單位，再向上平移b個(gè)單位（a＞0，b＞0），得到正方形A'B'C'D'及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'．①a＝，b＝2；②已知正方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)F經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F'與點(diǎn)F重合，則點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，4）．【分析】①根據(jù)點(diǎn)A到點(diǎn)A'及點(diǎn)B到點(diǎn)B'的坐標(biāo)可列出方程，求解方程即可得出答案．②設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)點(diǎn)F和點(diǎn)F'重合可列出方程組，解方程即可得出答案．【解答】解：①由題意，點(diǎn)A到點(diǎn)A'可得方程組為，由點(diǎn)B到點(diǎn)B'可得方程組為，解得．②設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），∴，解得，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，4）．故答案為：；2；（1，4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平移變換、二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)列出方程組．23．（2021秋?蒲城縣期末）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（4，0），C（4，6）．以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限畫(huà)出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為1：2，并寫(xiě)出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)．【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：△A1B1C1，即為所求，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．24．（2022秋?富川縣期中）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A．（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）作△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1并寫(xiě)出A1、B1、C1的坐標(biāo)．（2）以點(diǎn)O為位似中心畫(huà)△DEF，使它與△ABC位似，且相似比為2：1．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可．【解答】解：（1）如圖，A1B1C1即為所求，A1（﹣1，1），B1（﹣2，3），C1（﹣3，0）；（2）如圖，△DEF和△D'E'F'都符合題意．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換、位似變換，熟練掌握軸對(duì)稱和位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·北京房山·九年級(jí)期中）如圖是測(cè)量河寬的示意圖，測(cè)得，，，則河寬的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAD∽△CED，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB．【詳解】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB＝（米）．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是證明兩個(gè)三角形相似，熟練運(yùn)用比例式求解．2．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，BE與CD相交于F，則下列結(jié)論一定正確的是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)相似三角形的判定可得，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：，??ADE~?ABCA、由?ADE~?ABCB、由?ADE~?ABCC、由?DEF~?CBF由?ADE~?ABC則，此項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由?DEF~?CBF故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2021·四川·達(dá)州市通川區(qū)第八中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O與矩形OABC位似，位似中心是原點(diǎn)O，且矩形OA1B1C1的面積等于矩形OABC面積的4倍，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（）A．（8，6） B．（8，6）或（﹣8，﹣6）C．（16，12） D．（16，12）或（﹣16，﹣12）【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)矩形的面積關(guān)系得到面積比，由此得到位似比，利用點(diǎn)的坐標(biāo)得到OA1=16，OC1=12，由此得到答案．【詳解】解：∵矩形OA1B1C1的面積等于矩形OABC面積的4倍，∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的面積比為4:1，∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的位似比為2:1，∵O（0，0），A（8，0），C（0，6）．∴OA=8，OC=6，∴OA1=16，OC1=12，∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（16，12）或（﹣16，﹣12），故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查位似圖形的性質(zhì)：兩個(gè)位似圖形的位似比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021·浙江·翠苑中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A'B'C'，已知OB'：OB＝1：3，則△A'B'C'與△ABC的面積比為（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9【答案】D【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)可知，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可求解．【詳解】解：由點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A'B'C'，∴△ABC∽△A'B'C'，∵OB'：OB＝1：3，∴，∴△A'B'C'與△ABC的面積比為1：9；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)及位似，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及位似是解題的關(guān)鍵．5．（2021·遼寧·沈陽(yáng)市第四十三中學(xué)九年級(jí)月考）小亮用自制的直角三角板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知直角三角板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝30cm，又測(cè)得AM＝10m，邊DF離地面的高度DM＝1.5m，則樹(shù)高AB為（）A．7.5m B．9m C．6m D．5.25m【答案】B【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長(zhǎng)后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹(shù)高AB．【詳解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，

∴△DEF∽△DCB，

∴，

∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，

∴，

∴BC＝7.5米，

∴AB＝AC＋BC＝1.5＋7.5＝9米，

∴樹(shù)高為9米，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出相似三角形的模型．二、填空題6．（2021·福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)期中）AOB三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將AOB縮小，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___．【答案】（【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵△AOB頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將△AOB縮小，∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（3×，6×）或，即（1，2）或（-1，-2），故答案為：（1，2）或（-1，-2）．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．7．（2021·四川南溪·九年級(jí)期中）如圖，某小區(qū)車庫(kù)出入口的欄桿短臂長(zhǎng)1m，長(zhǎng)臂長(zhǎng)8m，當(dāng)短臂外端下降0.5m時(shí)，長(zhǎng)臂外端升高_(dá)______________________．【答案】【分析】欄桿長(zhǎng)短臂在升降過(guò)程中，將形成兩個(gè)相似三角形，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可．【詳解】解：如圖所示，由題意知，∵∴∴，即解得：．即長(zhǎng)臂外端B升高4m．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．8．（2021·廣東高州·九年級(jí)期中）如圖，路燈距地面，身高的小明從點(diǎn)處沿所在的直線行走到點(diǎn)時(shí)，人影長(zhǎng)度變短______．【答案】【分析】小明在不同的位置時(shí)，均可構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，可利用相似比求人影長(zhǎng)度的變化．【詳解】解：設(shè)小明在A處時(shí)影長(zhǎng)為x，AO長(zhǎng)為a，B處時(shí)影長(zhǎng)為y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，則，∴x＝a；，∴y＝a?3.5，∴x?y＝3.5，故變短了3.5米．故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，應(yīng)注意題中三角形的變化．9．（2021·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組的小穎想測(cè)量教學(xué)樓前的一棵樹(shù)的樹(shù)高．下午課外活動(dòng)時(shí)，她測(cè)得根長(zhǎng)為1m的竹桿的影長(zhǎng)是0.8m．但當(dāng)她馬上測(cè)量樹(shù)高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上．她先測(cè)得留在墻壁上的影高為1.2m，又測(cè)得地面的影長(zhǎng)為2.6m，請(qǐng)你幫她算一下，樹(shù)高是________m．【答案】4.45【分析】此題首先要知道在同一時(shí)刻任何物體的高與其影子的比值是相同的，所以竹竿的高與其影子的比值和樹(shù)高與其影子的比值相同，利用這個(gè)結(jié)論可以求出樹(shù)高．【詳解】解：如圖，設(shè)BD是BC在地面的影子，樹(shù)高為x，根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹(shù)高與其影子的比值相同得：，而CB=1.2，∴BD=0.96，∴樹(shù)在地面的實(shí)際影子長(zhǎng)是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高與其影子的比值和樹(shù)高與其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴樹(shù)高是4.45m，故答案為：4.45．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵要知道竹竿的高與其影子的比值和樹(shù)高與其影子的比值相同．10．（2021·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，，，AC為對(duì)角線，E、F分別為邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)M，連接AF、CE，求的最小值是_____．【答案】5【分析】AF與EC兩條線段不在同一條直線上，只需將兩條線段轉(zhuǎn)換在同一條直線上即可，作，且，連接AG，又因點(diǎn)F是DC上是一動(dòng)點(diǎn)，由三角形的邊與邊關(guān)系，只有當(dāng)點(diǎn)F在直線AG上時(shí)，最小，由平行四邊形CEFG可知時(shí)，可求的最小值【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作，且，連接FG，設(shè)，則,當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，的最值小，∵，且，∴四邊形CEFG是平行四邊形；∴，，又∵點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線，∴，又∵四邊形ABCD是矩形，∴，，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵，∴四邊形AECF是菱形，∴，在Rt?ADF中，由勾股定理得：，又∵，，則，∴，解得：，∴，在Rt?ADC中，由勾股定理得，，所以∴，又∵，∴，，∴?AMF??ACG，∴，即，∴，又∵，，∴，即最小值是5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理和最短距離問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法以及相似三角形的性質(zhì)與判定．三、解答題11．（2021·廣東·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的下方畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2，并寫(xiě)出A2，B2，C2的坐標(biāo)．【答案】（1）△A1B1C1為所求作，畫(huà)圖見(jiàn)詳解；（2）A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），△A2B2C2為所求作，畫(huà)圖見(jiàn)詳解．【分析】（1）利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，分別寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后分別描點(diǎn)，依次連接這三點(diǎn)即得符合要求的三角形；（2）根據(jù)位似圖形在x軸下方，結(jié)合位似比2，把A、B、C的橫縱坐標(biāo)分別乘-2，即得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，描點(diǎn)得到△A2B2C2．【詳解】解（1）∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的A1B1C1，∴A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)關(guān)于x軸對(duì)稱軸坐標(biāo)為A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），在平面直角坐標(biāo)系中描出A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），順次連結(jié)A1B1，B1C1，C1A1，如下圖，△A1B1C1為所求作；（2）△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)的位似點(diǎn)坐標(biāo)為A2（-2×（-2）,1×（-2））即（4，-2），B2（1×（-2），2×（-2））即（-2，-4），C2（-4×（-2），4×（-2））即（8，-8）在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），順次連結(jié)A2B2，B2C2，C2A2，如下圖，△A2B2C2為所求作

【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱變換和位似變換作圖；在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比為k或?yàn)?k．12．（2021·山東高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)·九年級(jí)期中）小強(qiáng)在地面E處放一面鏡子，當(dāng)他垂直于地面AC站立于點(diǎn)C處時(shí)，剛好能從鏡子中看到教學(xué)樓的頂端B，法線FE⊥AC，根據(jù)光的反射定律有∠FEB=∠FED，此時(shí)EA=20米，CE=2.5米．已知眼睛距離地面的高度DC=1.6米，請(qǐng)計(jì)算出教學(xué)樓的高度．【答案】教學(xué)樓AB的高度為12.8米．【分析】根據(jù)反射角等于入射角可得∠AEB=∠CED，則可判斷Rt△AEB∽R(shí)t△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出AB．【詳解】解：根據(jù)題意得∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴Rt△AEB∽R(shí)t△CED，∴，即，解得：AB=12.8（米）．答：教學(xué)樓AB的高度為12.8米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，利用入射與反射構(gòu)造相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2021·陜西·西安市第六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，華華同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上、已知紙板的兩條邊DF＝1m，DE＝0.8m，測(cè)得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝24m，求樹(shù)高AB．【答案】19.5m【分析】首先利用勾股定理計(jì)算出EF長(zhǎng)，再證明△DCB∽△DEF，由相似三角形的性質(zhì)可得，求出BC長(zhǎng)，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：在Rt△DEF中，DE2＋EF2＝DF2，

即：0.82＋EF2＝12，

∴EF＝0.6，

由題意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，

∴△DCB∽△DEF，

∴，

∵EF＝0.6m，DE＝0.8m，CD＝24m，

∴，

解得：BC＝18米，

∵AC＝1.5m，

∴AB＝AC＋BC＝1.5＋18＝19.5m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例．14．（2021·福建·晉江市第一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．

（1）以點(diǎn)為位似中心在軸的左側(cè)將放大到原圖的倍（即新圖與原圖的相似比為），畫(huà)出對(duì)應(yīng)的；

（2）在（1）的條件下，若內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______；

（3）求出變化后的面積______．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

；（3）10【分析】（1）把B、C的橫縱坐標(biāo)都乘以-2得到B′、C′的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線即可；（2）利用（1）中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系求解；（3）先計(jì)算的面積，然后利用相似的性質(zhì)把的面積乘以4得到的面積．【詳解】解：（1）由圖可得，由題意可得：，如圖，為所作；

（2）點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換：熟練應(yīng)用以原點(diǎn)為位似中心的兩位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系確定變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)得到變換后的圖形．15．（2021·山東章丘·九年級(jí)期中）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．（1）求證：△APQ∽△ABC；（2）若這個(gè)矩形的邊PN：PQ＝2：1，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各是多少？【答案】（1）見(jiàn)解析，（2）矩形的長(zhǎng)為60mm，寬是30mm．【分析】（1）根據(jù)PQ∥BC證明即可．（2）設(shè)PQ為xmm，則PN為2xmm，同（1）列出比例關(guān)系求解即可．【詳解】（1）證明：∵PQMN是矩形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，（2）設(shè)邊PQ為xmm，則PN為2xmm，∵PQMN是矩形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵AD是高，∴PN∥AD，∴△PBN∽△ABD，∴、，即，，∵AP+BP＝AB，∴＝1，解得x＝30，2x＝60．即長(zhǎng)為60mm，寬為30mm．答：矩形的長(zhǎng)為60mm，寬是30mm．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定，證明三角形相似，列出比例式求解．16．（2021·陜西師大附中九年級(jí)期中）大雁塔是西安市的標(biāo)志性建筑和著名古跡，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所繪制的便是這座著名古塔．我校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量大雁塔的高度AB，在地面上立兩根高為2m的標(biāo)桿CD和GH，兩桿之間的距離米，點(diǎn)G、C、B成一線．從C處退行4米到點(diǎn)E處，人的眼睛貼著地面觀察A點(diǎn)，A、D、E三點(diǎn)成一線；從G處退行6米到點(diǎn)F處，從F觀察A點(diǎn)，A、F、H也成一線．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算大雁塔的高度AB．【答案】大雁塔的高度AB為64米【分析】易知△EDC∽△EAB，△FHG∽△FAB，可得，，因?yàn)镈C＝HG，推出，列出方程求出BC＝124（米），由，可得，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵△EDC∽△EAB，△FHG∽△FAB，

∴，，

∵DC＝HG，

∴，

∴，

∴BC＝124（米），

∵，

∴，

∴AB＝64（米），

答：大雁塔的高度AB為64米．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．17．（2021·浙江金華·九年級(jí)期中）矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，，點(diǎn)F為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連結(jié)EF，將矩形ABCD沿著EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在AB上，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M．（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：?AEF是等腰三角形；（2）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，求的值；（3）在圖3所示中，若，當(dāng)時(shí)，求n的值．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）；（3）6【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)證明即可得解；（2）設(shè)，則，，，由（1）得?BEM~?AMD，即可得解；（3）設(shè)，則，，，證明?BEM~?GFN即可得解；【詳解】（1）由題意可知：，，在矩形ABCD中，，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴?AEF是等腰三角形；（2）設(shè)，則，，，同理可得：?BEM~?∴，即，解得：，∴；（3）設(shè)，則，，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴?BEM~∴，解得：，故，同理可得：?BEM~∴，∴，解得：，故，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．（2021·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B在線段AO上，且AB＝2BO，若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，連接BP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥PB．（1）如圖1，點(diǎn)E是射線PQ上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．求證：△BOP∽△PCE；（2）在（1）的條件下，如圖2，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（4，0）．過(guò)點(diǎn)A作DA⊥y軸，且和CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)C′正好落在線段AD上．連接PC'，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖3，若∠BPO＝60°，點(diǎn)E在直線PQ上，EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，若以點(diǎn)E，P，C為頂點(diǎn)的三角形和△BPE相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或；（3）或或或．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，先根據(jù)（1）中相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的判定證出?FPC'~?DC'E，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)建立方程，解方程即可得；（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，再分①?ECP~?BPE和?PCE~?BPE兩種情況，每一種情況中再分點(diǎn)在軸上方和點(diǎn)在【詳解】證明：（1）軸軸，軸,，，，，在和?PCE中，，??BOP~（2）由題