第10講圓的方程（原卷版）

第10講圓的方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2．能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．知識點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義：在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓．2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)若圓的圓心為C(a,b),半徑為r，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．(2)方程表示圓心為C(a,b),半徑為r的圓．3.點(diǎn)與⊙C的位置關(guān)系(1)|AC|<r?點(diǎn)A在圓內(nèi)?；(2)|AC|＝r?點(diǎn)A在圓上?；(3)|AC|>r?點(diǎn)A在圓外?.知識點(diǎn)2圓的一般方程(1)任意一個圓的方程都可化為：.這個方程就叫做圓的一般方程．(2)對方程：.①若，則方程表示以，為圓心,為半徑的圓；②若，則方程只表示一個點(diǎn)，；③若，則方程不表示任何圖形．考點(diǎn)一：由圓心（或半徑）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1.（2324高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）圓心在軸上，半徑為，且過點(diǎn)的圓的方程為（

）．A． B．C． D．【變式11】（2425高二下·全國·期末）以為圓心，為半徑的圓的方程是（

）A． B．C． D．【變式12】（2324高一下·上?！て谀┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，以為圓心，且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的方程為.【變式13】（2324高二上·新疆·期中）（1）寫出下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：①圓心為，半徑是；②圓心為，且經(jīng)過點(diǎn).考點(diǎn)二：求過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2.（多選）（2324高二上·新疆巴音郭楞·期末）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式21】（2324高二上·廣東東莞·期末）東莞鴻福路大橋是一座系桿拱橋，其圓拱結(jié)構(gòu)可近似看作圓的一部分，經(jīng)查詢資料知該拱橋（如下圖）的跨度AB約為126米，拱高OP約為9米，該拱橋每隔約7米用一根吊桿連接圓拱與系桿，則與OP相距35米的吊桿MN的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米【變式22】（2324高二下·云南玉溪·期中）過三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【變式23】（2324高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知，則外接圓的方程為．考點(diǎn)三：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的圓心、半徑例3.（2324高二·全國·課堂例題）若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，此圓的半徑一定是a嗎？圓心坐標(biāo)是嗎？【變式31】（2324高二上·山西太原·期末）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．， B．， C．，3 D．，3【變式32】（2324高二上·江蘇徐州·期末）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A． B．C． D．【變式33】（2324高三上·海南·期末）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且平分圓的面積，則的方程為．考點(diǎn)四：二元二次方程與圓的關(guān)系例4.（2324高二上·貴州六盤水·期末）已知曲線，則“”是“曲線是圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式41】（2324高二上·福建廈門·期中）若，則方程表示的圓的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式42】（多選）（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知方程表示一個圓，則實(shí)數(shù)m可能的取值為（

）A．－1 B．0 C． D．1【變式43】（2324高二·全國·課堂例題）如果方程表示一個圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是什么？與圓是怎樣的位置關(guān)系呢？考點(diǎn)五：兩種圓的方程的互化例5.（2024·廣東佛山·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【變式51】（2324高二上·新疆·期末）圓心為且過原點(diǎn)的圓的一般方程是（

）A． B．C． D．【變式52】（2324高二上·廣西南寧·期末）已知圓的方程為，則圓的半徑為．【變式53】（2324高二上·河南鄭州·階段練習(xí)）將下列圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出圓的圓心和半徑：①；②．考點(diǎn)六：求圓的一般方程例6.（2324高二下·重慶銅梁·開學(xué)考試）已知，，為原點(diǎn)，則的外接圓方程為.【變式61】（2324高二下·湖南邵陽·期中）過三點(diǎn)的圓的方程為．【變式62】（2024·山西臨汾·二模）已知圓過點(diǎn)，則的方程為.【變式63】（2021高二上·山東泰安·階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且過點(diǎn)，，則圓的一般方程為.考點(diǎn)七：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題例7.（2324高二上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍..【變式71】（2024·江西·模擬預(yù)測）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式72】（2122高二上·安徽·階段練習(xí)）若圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【變式73】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）若點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)八：圓過定點(diǎn)問題例8.（2223高二上·江蘇·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn).(1)當(dāng)，并且是圓的直徑，求此時圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如果是圓的直徑，證明：無論a取何正實(shí)數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個定點(diǎn)，求出這個定點(diǎn)坐標(biāo).【變式81】（2024高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)m變化時，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒過定點(diǎn).【變式82】（2324高二上·河南信陽·期中）圓恒過的定點(diǎn)是.【變式83】（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知曲線：．(1)當(dāng)取何值時，方程表示圓？(2)求證：不論為何值，曲線必過兩定點(diǎn)．考點(diǎn)九：圓的一般方程與圓心、半徑問題例9.（2324高二上·新疆·期中）求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑：①；②.【變式91】（2324高二下·上海閔行·階段練習(xí)）已知圓的一般方程為，則圓的面積為.【變式92】（2324高二上·北京石景山·期末）已知圓的半徑為3，則的值為.【變式93】（2324高二上·北京東城·期末）已知圓，則圓心坐標(biāo)為；半徑為.1．（2324高二上·廣東湛江·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（

）A． B．C． D．2.（2024·遼寧大連·一模）過點(diǎn)和，且圓心在x軸上的圓的方程為（

）A． B．C． D．3．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）下列方程能表示圓的是（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江·一模）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A． B．C． D．5．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．6．（2324高二上·廣東·期末）若方程表示一個圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．7．（2324高三下·上海·期中）已知圓的面積為，則實(shí)數(shù)的值為.8.（