2024～2025學年度八年級數(shù)學上冊第3課時 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等教學設計

第3課時用“ASA”或“AAS”判定三角形全等教學目標課題12.2第3課時用“ASA”或“AAS”判定三角形全等授課人素養(yǎng)目標1.掌握基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，經(jīng)歷探索“ASA”的過程.2.證明定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等(AAS)，培養(yǎng)學生觀察、歸納及動手能力，發(fā)展學生幾何直觀感知能力與推理能力.3.能用尺規(guī)作圖：已知兩角及其夾邊作三角形，培養(yǎng)學生分析與作圖能力.教學重點探索“ASA”，用“ASA”證明“AAS”，運用“ASA”“AAS”判定三角形全等，尺規(guī)作圖：已知兩角及其夾邊作三角形．教學難點“ASA”的探究過程.教學活動教學步驟師生活動活動一：創(chuàng)設情境，新課導入設計意圖在進入新課的探究之前設置一個懸念，既是問題，也是探究的現(xiàn)實意義.【情境引入】如圖，小熊不慎將一塊三角形模具打碎為三塊，它是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來一樣的三角形模具？如果可以，帶哪塊去合適？你能說明其中的理由嗎？【教學建議】教師展示圖片并提出問題，使學生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的建模過程，激發(fā)學生的好奇心和求知欲．此處不必告知結(jié)果，使學生帶著疑問在后面的探究中找尋答案.活動二：動手操作，探究新知設計意圖以“兩角一邊分別相等”能否保證兩個三角形全等切入主題，經(jīng)歷探索三角形全等的判定條件——“ASA”的過程，學會尺規(guī)作圖：已知兩角及其夾邊作三角形的方法，并運用“ASA”解題.探究點1用“ASA”判定三角形全等我們在前面已經(jīng)知道用三個條件探索三角形全等共有四種情況——三邊分別相等、兩邊一角分別相等、兩角一邊分別相等、三角分別相等，而前兩種情況已經(jīng)在之前的兩個課時中分別探討了，這節(jié)課我們將探索后兩種情況.問題：“兩角一邊分別相等”有幾種可能性呢？請舉例.答：有兩種可能性，如圖所示.我們分情況進行討論，先來看“兩角及其夾邊分別相等”的情況.探究先任意畫出一個△ABC.再畫一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B(即兩角和它們的夾邊分別相等)．把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？【教學建議】本節(jié)課繼續(xù)探討三個條件能否保證兩個三角形全等．先發(fā)現(xiàn)“兩角一邊分別相等”存在兩種可能性，再分兩個探究點分別探究．在第一個探究過程中對“角邊角”判定方法的處理與“邊邊邊”“邊角邊”判定方法類似，先通過作圖實驗操作讓學生經(jīng)歷探究過程，然后在讓學生總結(jié)探究出的規(guī)律后，直接以基本事實的方式給出“角邊角”判定方法．需要注意已知兩角及其夾邊作三角形也是課標要求學生能夠作出的尺規(guī)作圖，其中蘊含兩個基本作圖，可讓學生口述是哪兩個.教學步驟師生活動如圖給出了畫△A′B′C′的方法．你是這樣畫的嗎？探究的結(jié)果反映了什么規(guī)律？由探究可以得到以下基本事實，用它可以判定兩個三角形全等：也就是說，三角形的兩個角的大小和它們的夾邊的長度確定了，這個三角形的形狀、大小就確定了.例1(教材P40例3)如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求證AD＝AE.分析：證明△ACD≌△ABE，就可以得出AD＝AE.證明：在△ACD和△ABE中，∴△ACD≌△ABE(ASA)．∴AD＝AE.【對應訓練】1.請解答“活動一”中的問題.解：能配一塊與原來一樣的三角形模具，帶③去合適，理由：由③可確定三角形的兩角及其夾邊，那么據(jù)此可確定唯一的三角形，這是“已知兩邊及其夾角作三角形”的實際模型，也是“ASA”的原理，所以帶③去合適.2.教材P41練習第2題.【教學建議】設置例1的目的是給學生應用“角邊角”解決問題做出示范，與上節(jié)課活動二中的例1類似，都是通過證明全等三角形的對應邊相等來證明線段相等的．在用大括號列舉證全等的條件時備注公共角∠A，因為它既是△ACD的角，又是△ABE的角．這說明在證兩個三角形全等時，公共角和公共邊一樣可作為已知條件使用.設計意圖使學生經(jīng)歷證明定理——“AAS”的過程，了解“ASA”與“AAS”的關系，并思考“AAA”無法判定兩個三角形全等的原因，最后對已學的三角形全等的判定方法做出總結(jié).探究點2用“AAS”判定三角形全等我們接著探究“兩角和其中一角的對邊分別相等”的情況，先看下面這道例題.例2(教材P40例4)如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求證△ABC≌△DEF.分析：如果能證明∠C＝∠F，就可以利用“角邊角”證明△ABC和△DEF全等．由三角形內(nèi)角和定理可以證明∠C＝∠F.證明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理∠F＝180°－∠D－∠E.又∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠E，,BC＝EF，,∠C＝∠F，))∴△ABC≌△DEF(ASA).【教學建議】與其他判定方法先由作圖實驗探究，再由基本事實給出的方式不同，這里是用“角邊角”來證明“角角邊”的正確性，所以設置例2來得到“角角邊”這個判定方法．首先例2的題干提出了問題，問題得證即可知“AAS”的正確性，接著在分析中教學步驟師生活動因此我們可以得到下面的結(jié)論：也就是說，三角形的兩個角的大小和其中一個角的對邊的長度確定了，這個三角形的形狀、大小就確定了.知識點睛“ASA”與“AAS”的區(qū)別與聯(lián)系：思考三角分別相等的兩個三角形全等嗎？解答上述問題后，把三角形全等的判定方法做一個小結(jié).答：不一定全等.如圖，DE∥BC，于是∠ADE=∠B，∠AED=∠C，又∠A=∠A，但顯然△ADE與△ABC大小不同，它們不全等.注意：為方便記憶，我們可將上述這種情形簡記為“AAA”.類似于“SSA”，“AAA”也不能作為判定三角形全等的依據(jù).歸納總結(jié)：【對應訓練】教材P41練習第1題.定理證明.通過例2說明“AAS”是“ASA”的推論.這一系列的推導過程可使學生了解到“AAS”不是基本事實，而是定理.教師注意跟學生強調(diào)這兩種判定方法之間的區(qū)別.至此，判定兩個三角形全等的“三個條件”中就剩下三角分別相等的條件了.【教學建議】這里用“思考”啟發(fā)學生自行探究.教師可引導學生作圖，不難發(fā)現(xiàn)這種情形舉出反例說明較容易.最后可讓學生代表對三角形全等的方法做一個總結(jié)，如有不全面的地方加以補充，培養(yǎng)學生歸納總結(jié)及表達能力，體會數(shù)學推理的嚴謹性及完整性.教學步驟師生活動活動三：綜合訓練，鞏固提升設計意圖將全等三角形的判定方法——“ASA”“AAS”與全等三角形的性質(zhì)綜合，強化學生對于新知的理解，鍛煉學生解題能力.例如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CF∥AB，DF交AC于點E，DE＝EF.(1)求證：△ADE≌△CFE；(2)若AB＝8，CF＝6，求BD的長.(1)證明：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠ECF，,∠ADE＝∠F，,DE＝FE，))∴△ADE≌△CFE(AAS).(2)解：由(1)可知△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝6.∵AB＝8，∴BD＝AB－AD＝8－6＝2，即BD的長是2.【對應訓練】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點，連接BE，CF，且BE∥CF.(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)若AE＝13，AF＝7，試求DE的長.(1)證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD.∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF.在△BDE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBE＝∠DCF，,BD＝CD，,∠BDE＝∠CDF，))∴△BDE≌△CDF(ASA).(2)解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE－AF＝13－7＝6.∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF.∵DE＋DF＝EF＝6，∴DE＝3.【教學建議】在選用“ASA”或“AAS”判定三角形全等時，注意要將判定方法描述正確，不要混淆．我們可以這樣區(qū)分：“ASA”必須是兩角及其夾邊，先確定是不是這種情況，否則就是“AAS”．而在找尋等角時，通常依靠以下辦法：①對頂角；②公共角；③等角加(減)等角；④同(等)角的余(補)角；⑤角平分線；⑥垂線或平行線；⑦全等三角形的性質(zhì)；⑧等量代換.活動四：隨堂訓練，課堂總結(jié)【隨堂訓練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.什么是“ASA”？什么是“AAS”？你能用“ASA”或“AAS”判定兩個三角形全等嗎？2.“AAA”一定能判定兩個三角形全等嗎？你能舉例說明嗎？3.判定兩個三角形全等的方法有哪些？能做一個總結(jié)嗎？4.你能用尺規(guī)作圖的方法已知兩角及其夾邊作三角形嗎？【知識結(jié)構】【作業(yè)布置】1.教材P44～45習題12.2第4，5，6，11，12題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應課時訓練．板書設計第3課時用“ASA”“AAS”判定三角形全等1.基本事實：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等(“角邊角”或“ASA”). 2.定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等(“角角邊”或“AAS”). 3.尺規(guī)作圖：已知兩角及其夾邊作三角形. 4.實際應用：用“ASA”“AAS”判定三角形全等. 教學步驟師生活動教學反思本節(jié)課探究三角形全等的判定方法——“ASA”“AAS”，教學的展開借助于動手操作、分組討論等，先引導學生從動手操作出發(fā)探索出“ASA”，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結(jié)論的方法，再借助例題利用“ASA”去證明“AAS”，加強學生數(shù)學推理里的邏輯思維能力．初學時學生對于“AAS”和“ASA”的選擇可能會混淆，需要講清楚分辨方法，并通過練習加強鞏固和理解.解題大招全等三角形的開放性問題開放性問題分為條件開放型與結(jié)論開放型，若是條件開放，一般從已知條件(包括隱含條件)入手，分析解決問題還缺少的條件，這個條件即為要補充的條件；若是結(jié)論開放，一般根據(jù)已知條件可以得到多種結(jié)論，可發(fā)揮想象，符合題目限制要求的答案均可．開放性問題有利于發(fā)散學生思維及提高創(chuàng)新能力．下面是證明全等三角形的一些常見思路總結(jié)，可作為解題時的一些參考.1.條件開放型例1如圖，在△ABE和△DCE中，∠A＝∠C，AE＝CD，請?zhí)砑右粋€條件：AB＝CE或∠AEB＝∠CDE或∠ABE＝∠CED，使△EAB≌△DCE.(添加一種情況即可)解析：在△ABE和△DCE中，已知∠A＝∠C，AE＝CD，若根據(jù)“SAS”，可添加AB＝CE；若根據(jù)“ASA”，可添加∠AEB＝∠CDE；若根據(jù)“AAS”，可添加∠ABE＝∠CED.2．結(jié)論開放型例2如圖，已知點A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)從圖中任找兩組全等三角形；(2)從(1)中任選一組進行證明．解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB(答案不唯一)．(2)選△ABE≌△CDF，證明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.在△ABE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠CDF，,∠BAE＝∠DCF，,AE＝CF，))∴△ABE≌△CDF(AAS)．培優(yōu)點全等三角形中的“一線三等角”模型(1)模型特征：在一條直線上有三個相等的角．模型展示如下：(2)解題思路：通過三角形外角的性質(zhì)，得到兩個三角形中的對應角相等，從而證明全等．例1如圖，點B，C在∠MAN的邊AM，AN上，AB＝AC，點E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC.求證：△ABE≌△CAF.證明：∵∠BED＝∠CFD＝∠BAC，∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∠CFD＝∠ACF＋∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠ACF.在△ABE和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠CAF，,AB＝CA，,∠BAE＝∠ACF，))∴△ABE≌△CAF(ASA)．例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D.(1)求證：△ADC≌△CEB；(2)AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的長．(1)證明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴易得∠BCE＝∠CAD.在△ADC和△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB＝90°，,∠CAD＝∠BCE，,AC＝CB，))∴△ADC≌△CEB(AAS)．(2)解：由(1)知△ADC≌△CEB，則AD＝CE＝5cm，CD＝BE.∴BE＝CD＝CE－DE＝5－3＝2(cm)．例3“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，“一線三等角”指的是圖形中出現(xiàn)同一條直線上有3個相等的角的情況．在學習過程中，我們發(fā)現(xiàn)“一線三等角”模型的出現(xiàn)還經(jīng)常會伴隨著出現(xiàn)全等三角形．請你根據(jù)對材料的理解解答以下問題：(1)如圖①，∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝BC，猜想DE，AD，BE之間的關系并說明理由．(2)如圖②，將(1)中條件改為∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝α(90°＜α＜180°)，AC＝BC，請問(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．(3)如圖③，在△ABC中，D為AB上一點，DE＝DF，∠A＝∠EDF＝∠B，AE＝3，BF＝5，請直接寫出AB的長．分析：(1)猜想：DE＝AD＋BE，證明△ADC≌△CEB(AAS)，推出AD＝CE，CD＝BE，可得結(jié)論；(2)結(jié)論成立．證明△