第13講動點問題

第13講動點問題

知識點1動點問題中的函數(shù)圖象

本講例舉了以三角形、四邊形、圓為背景的因點運動而產(chǎn)生的函數(shù)問題，這

些問題的重點在于定性刻畫兩個變量之間的關系，能夠依據(jù)題意，在所給出的函

數(shù)圖象中，找準臨界點，數(shù)形結(jié)合，分段思考問題；如果是選擇題，綜合給出的

所有選項，找到異同點，深入分析，快速找到正確選項。

【典例】

1.已知：在如圖1所示的平面直角坐標系xOy中，A、C兩點的坐標分別為

A(4,2),C(n,-2)(其中〃>0)，點8在x軸的正半軸上.動點/，從點O出發(fā)，

在四邊形O43C的邊上依次沿O-A-3-C的順序向點C移動，當點P與點C重合

時停止運動.設點P移動的路徑的長為/,的面積為S,S與/的函數(shù)關系

的圖象如圖2所示,其中四邊形。。即是等腰梯形.

(1)結(jié)合以上信息及圖2填空：圖2中的相=；

⑵求3、C兩點的坐標及圖2中OF的長；

⑶若OM是ZAOB的角平分線，且點G與點H分別是線段AO與射線OM上的兩

個動

點，直接寫出+M的最小值，請在圖3中畫出示意圖并簡述理由.

【答案】

【解析】解：⑴〃?=26

⑵???四邊形所是等腰梯形

，可知四邊形OABC是平行四邊形.

由已知可得：S“叱=8，連接AC交x軸于R點，

又；A(4,2),C(n,-2)

?S=S+=—xROx2+—xROx2=2OR—8,

八AAITC4-SArtC/AAAnC/C22

；.OR=4,

：.OB=2RO=8,ARLOB

0),C(4,-2)且四邊形OABC是菱形

：.OF=3AO=6&

⑶如圖3,在08上找一點N使ON=OG,連接N”

?「O用平分ZAOB,

，ZAOM=NBOM.

①：OH=OH,

」.△GOHgAJVOH,

:.GH=NH.

：.GH+AH^AH+HN

根據(jù)垂線最短可知，4V是點A到。8的垂線段時，”點是與。用的交點，

GH+AH的最小值=AN=2

2.如圖，直線.v=-x+4與兩坐標軸分別交于A、B兩點，邊長為2的正方形XEF

沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為a(0WW4),正方形OCEF與“OB重

疊部分的面積為S.則表示S與“的函數(shù)關系的圖象大致是()

【答案】D.

【解析】解：如圖，當某時刻正方形由E運動到E1,

力i

22

易知:RtAEElF為等腰直角三角形，此時EEl=a,即吟,則S二吟,

故選D.

3.如圖，在半徑為1的中，直徑4?把。。分成上、下兩個半圓，點C是上半

圓上一個動點（C與點A、8不重合），過點C作弦，垂足為￡，/OCD的

平分線交。。于點P,設CE=x,AP=y,下列圖象中，最能刻畫），與x的函數(shù)關

系的圖象是（）

c

A.

【答案】A.

【解析】解：如圖，連接OP,

則由題意知：zl=z2=z3,

.'.OPllCD,zAOP=90°,

則AAOP為等腰直角三角形，

?.-OC=1,

.?.AP=V2,即AP為定值，

故選A.

【方法總結(jié)】

1、在圓中遇有圓周角的平分線時，注意角平分線平分這角所對的圓弧。

2、由于圓的半徑處處相等，這樣很容易構(gòu)造等腰三角形，進行角度轉(zhuǎn)移。

【隨堂練習】

1.如圖1,在矩形MNPQ中,動點/?從點/V出發(fā)，沿什―Q一例方向運動

至點例處停止.設點/?運動的路程為x,A/WV/?的面積為y,如果y關于的函

數(shù)圖象如圖2所示，則當x=9時，點/?應運動到（）

A./V處B.戶處C.Q處D.例處

【答案】C.

【解析】解：因為三角形的面積等于底乘高，由圖2知，當x=4和9時，y都

是取最大值的臨界點，結(jié)合圖1,知此時點R應該運動到點Q處，

故選C.

2.如圖，在直角梯形ABC￡＞中，DC//AB,ZA=90°,AB=28cm,DC=24cm,

AO=4cm，點M從點。出發(fā)，以Icm/s的速度向點。運動，點N從點3同時出發(fā),

以2cm/s的速度向點A運動，當其中一^動點到達端點停止運動時，另一個動點

也隨之停止運動.則四邊形MWD的面積y（cm?）與兩動點運動的時間心）的函數(shù)

圖象大致是（）

DMC

NB

【解析】解:由題意知：DM=t,BN=2t,AN=28-2t,

:.y=-(DM+AN)xAD=-2t+56(0<t<14)

故選D.

3.如圖點A、B、C、。為圓。的四等分點動點P從圓心。出發(fā)，沿線段OC-C。-

線段。。的路線作勻速運動.設運動時間為，秒，〃必8的度數(shù)為了度，則下列圖

象中表示y與/的函數(shù)關系最恰當?shù)氖?)

D.

【答案】C.

【解析】解：當點P從點。出發(fā)時，NAPB=90。，從。到C時，zAPB逐漸減

小，至IJ達C時，NAPB=45°;當在CD時，zAPB保持45°不變；從D到。時，

zAPB逐漸增大到90°o

故選C。

知識點2動點與存在性問題

【典例】

1.已知：如圖，在RtZXACB中，NC=90°,AC4cm,BC=3cm，點P由8出發(fā)

沿5A方向向點A勻速運動，速度為Icm/s；點。由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運

動，速度為2cm/s；連接PQ,若設運動的時間為f(s)(0<r<2),解答下列問題：

⑴當f為何值時,PQ//BC?

⑵設△AQP的面積為y(cn?),求與「之間的函數(shù)關系式；

⑶是否存在某一時刻/,使線段PQ恰好把RtZXACB的周長和面積同時平分？若存

在，求出此時/的值；若不存在，說明理由.

【答案】

【解析】解：⑴在RtAABC中，AB=y/BC2+AC2=5,

由題意知：AP=5T,AQ=2t,

若PQ〃BC,則XAPQsXABC,

.AQAP日n.2t5—t

ACAB45

?T

7

⑵如圖，過點P作P"LAC于”.

.「△AWsAABC,

?PHAP.PH3

5—7.\PH=3--t,

?亍一號

.,.y=；x4QxPH=；x2rx[3-|'=-|/+3f.

⑶若PQ把人針。周長平分,

貝UAP+AQ=3P+3C+CQ.

.,.(5-r)+2r=/+3+(4-2z),解得：t=l.

若PQ把A4BC面積平分，

10

則s△一=產(chǎn)詆，即？+3f=3.

?L=l代入上面方程不成立，

.?不存在這一時刻r,使線段PQ把8△AC8的周長和面積同時平分.

2.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=6cm,CD=4cm,3c=3￡＞=10cm,

點尸由8出發(fā)沿8。方向勻速運動，速度為Icm/S;同時，線段）由OU出發(fā)

沿。力方向勻速運動，速度為Icm/S,交BD于Q,連接PE.若設運動時間為/

（5）（0＜，＜5）.解答下歹1」問題：

⑴過P作尸”〃4），交4?于M.當/為何值時，四邊形AWPE是平行四邊形？

⑵設y=E0，Q,求y與/之間的函數(shù)關系式，并求/為何值時，.v有最大值，

最大值是多少；

⑶連接P廠，在上述運動過程中，五邊形的面積是否發(fā)生變化？說明理由.

【答案】

【解析】解:⑴如圖:

,??四邊形4WPE是平行四邊形.

：.PE//AB=

而。E=f,DP=10-t，.一=吐^,"

6104

「?當仁”時，四邊形4WPE是平行四邊形.

4

⑵〈EF平行且等于CD，:"DQE=NBDC.

AD//BC，:./EDQ=NCBD.：./\DEQ^/\BCD.

.DE=EQ即_L=絲

.BC一CD，即10—4.'.EQ=-t.

245

,:DQ=BP=t,.'.PQ=10-2t：.y=EQPQ=-t(10-2r)=--(r-1)2+5.

???當f=|時，y有最大值5.

⑶在■和行?2中，

DE=BP=t

PD=BF=10-t[=>/\PDE^/\FBP

ZPDE=NFBP

一liUDfiPFCDE=S&PDE+S四邊形戶FC。=S&FBP+^PFCD=^ABC?=，&?

???在運動過程中，五邊形PFCDE的面積不變.

3.如圖，四邊形為矩形，AB=4,AD=3,動點M從。點出發(fā)以1個單位/

秒的速度沿向終點A運動，動點N從A點出發(fā)以2個單位/秒的速度沿AB向終

點3運動.當其中一點到達終點時，運動結(jié)束.過點N作NPL鉆交AC于點P,

連接,已知動點運動了x秒.

（1）請直接寫出PN的長；（用含x的代數(shù)式表示）

⑵試求人1仍4的面積S與時間x秒的函數(shù)關系式，寫出自變量x的取值范圍，并

求出S的最大值；

⑶在這個運動過程中，/WPA能否為一個等腰三角形.若能，求出所有x的對

應值；若不能，請說明理由.

【答案】

【解析】解：⑴白；

其中0<xW2,

時，S取得最大值卜

（3）由⑴可知：AP=|尤

①若=,則3-x=gx,解得犬=5/

②若=,則過夕點作PQ_LA。于。，

易得AQPN是矩形，AQ=PN=^x,PQ=AN=2x

y.AM=PM=3-x,貝!JM2=3T——x=3——x,

-22

?,.(2力2+(3-gx)=(3-/『，解得玉=|^,々=°(舍去)

36

?x=-

37

另解：過點M作MELAC.

3

sinZAME=sinZBAC=-,

5

.AE3._3f.、

3-x55V7

又AE=2AP,.，.|（3-x）=^x-|x,解得X=|1.

25V72237

③若AP=MP,則過P點作PH±于H,

31i

易得AHPN是矩形，AH=PN-，且AH=—AM=—（3—x）,

?'?1x=^（3-x）,解得x=\.

綜上所述，若Z\A仍4可以成為等腰三角形，滿足條件的x的值可以為2---.

7374

【方法總結(jié)】

在探究平行四邊形的存在性問題時，具體方法如下：

(1)假設結(jié)論成立；

(2)探究平行四邊形存在問題一般是已知平行四邊形的3個頂點，再去求另外

一個頂點，具體方法有兩種：第一種是：①從給定的3個頂點中任選2個定點確

定的線段作為探究平行四邊形的邊或?qū)蔷€分別作出平行四邊形;②根據(jù)題干要

求找出符合條件的平行四邊形；第二種是：①以給定的3個定點兩兩組合成3條

線段，分別以這3條線段為對角線作出平行四邊形；②根據(jù)題干要求找出符合條

件的平行四邊形；

（3）建立關系式，并計算；根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，

可以利用平行四邊形的性質(zhì)進行計算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直

角三角形的性質(zhì)進行計算，要具體情況具體分析，有時也可以利用直線的解析式

聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點坐標的方法求解.

【隨堂練習】

1.如圖：在平面直角坐標系中，。為坐標原點，四邊形O43C是矩形，點A、C的

坐標分別為410,0）、C（0,4）,點。是OA的中點，點P在比■邊上運動，當AODP

是腰長為5的等腰三角形時，點P的所有坐標為（）

C.⑵4）、（8,4）D.（3,4）（8,4）

【答案】B.

【解析】解：如圖，分別以D為圓心，以5為半徑作圓與BC交于Pl、P2兩點,

以O為圓心，以5為半徑作圓與BC交于P3、

①當DP1=OD=5時，過點Pl作PlE±x軸于點E,P1E=4,據(jù)勾股定理得：

DE=3,0E=2，得Pl(2,4);當DP2=OD=5時，因為Pl、P2均在圓D上,

由對稱性得：P2(8,4)②當OP3=OD=5時，過點P3作P3F±x軸于點F,

在RfOP3F中，得0F=3，得P3(3,4).

綜上：當是腰長為5的等腰三角形時，點P的所有坐標為⑶"、(2’4)、

(8,4)

/

故選B。

2.如圖在梯形。中ADUBC,E是8U的中點/IZ7=5,BC=12,CD=^,

NU=45°,點戶是8U邊上一動點，設08的長為x,當以點P、4D、￡為頂

點的四邊形為平行四邊形時，x的值為()

A.1,B.11C.1或11D.2或10

【答案】C.

【解析】解：如圖，過點A、D分別作BC垂線，垂足為F,G,

1、當點P位于圖示所在位置時，由題意知：RfCDG為等腰三角形，則

DG=GC=4,BF=3,EG=EC-CG=2,當四邊形PADE為平行四邊形時，

PF=EG=2,BP=BF-PF=1:

2、取DE的中點M,則直線AM與BC的交點即為滿足題意的動點P1的位置

所在,此時,EP=5,此時，BP1=BE+EP1=11

綜上：當BP=1或11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形.

故選C.

3.已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△他C的邊

A3上沿A3方向以1厘米/秒的速度向B點運動(運動開始時，點M與點4重合,

點N到達點B時運動終止)，過點M、N分別作AB邊的垂線，與AABC的其它邊

交于P、。兩點，線段運動的時間為/秒.線段MN在運動的過程中，，為

()時，四邊形MNQP恰為矩形？

35

A.2B.-C.3D.-

22

【答案】B.

【解析】解：如圖，過點C作CDJLM,垂足為。.

則4>=2,

當仞V運動到被8垂直平分時，四邊形MNQP是矩形,

即AM時，四邊形MNQP是矩形，

.?“W秒時，四邊形MNQP是矩形.

故選B.

綜合運用

1.如圖所示，在直角坐標系中，四邊形O48U為直角梯形，041180,14cm,

/點坐標為(16,0),。點坐標為(0,2).點尺Q分別從C/同時出發(fā)，

點戶以2cm/s的速度由U向8運動，點Q以4cm/s的速度由/向。運動，當

點Q停止運動時，點戶也停止運動，設運動時間為ts(0Wr<4).

(1)求當,為多少時，四邊形P08為平行四邊形？

⑵求當才為多少時，PQ所在直線將梯形048。分成左右兩部分，其中左部分

的面積為右部分面積的一半，求出此時直線PQ的函數(shù)關系式.

【答案】

【解析】解:(i)；ts后,8A(14-2f)cm,AQ=Atcm.

7

由/Q,得14—2r=4r,t=—s

7

???當t=-s時，BP=AQ,又OAWBC,

二?四邊形夕08為平行四邊形.

⑵???0點坐標為(0,2),/點坐標為(16,0),

.,.(9C=2cm,04=16cm.

???S梯形。.(0/+800金;x(16+14)x2=30(cm2).

,.is后，PC=2rcm,(9(2=i6-4rcm,

由題意可得S四邊形「20c=10'-1-16-2/=10,解得t=3s.

此時直線戶Q的函數(shù)關系式為.v=x-4

2.正方形力8。的邊長為2厘米，點￡從點力開始沿邊移動到點8,點尸

從點8開始沿8U邊移動到點C,點G從點U開始沿。邊移動到點。，點H

從點。開始沿DA邊移動到點4它們同時開始移動且速度均為0.5厘米/秒設

運動的時間為秒）

⑴求證：dHAE&EBF;

⑵設四邊形的面積為S（平方厘米），求S與f之間的函數(shù)關系式，并寫

出自變量f的取值范圍；

【答案】

【解析】解:QN秒時,AE=0.5t,BF=Q.St,DH=05t

:.AE=BF=DH,

???四邊形28。為正方形，

，N/=N8=90°,AD=AB

:.AH=BE=2-05t

:?HAmEBF.

⑵由⑴同理可得^HAE,RUEBF,Rt△&石以及RfG?！ㄋ膫€三角形兩兩全

等，

S=4—gx0.5fx（2-0.5/）*4=g『—2f+4.

自變量子的取值范圍是0W/W4

3.如圖所示，在直角坐標系中，矩形力8。的邊力。在X軸上，點/在原點，

AB=3,AD=S.若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動.同時

點戶從/點出發(fā)以每秒1個單位長度沿A-B-C-。的路線作勻速運動.當P

點運動到。點時停止運動，矩形力8。也隨之停止運動.

（1）求戶點從/點運動到。點所需的時間；

⑵設戶點運動時間為「（秒）

①當仁5時，求出點P的坐標；

②若△包"的面積為S,試求出s與f之間的函數(shù)關系式（并寫出相應的自變

量子的取值范圍）.

【答案】

【解析】解：⑴"點從/點運動到。點所需的時間=（3+5+3）+1=11（秒）

⑵①當t=5時，"點從/點運動到86■上，

此時04=10,AB+BP=S,:.BP=2

過點戶作戶￡1/。于點E,貝?。軵E=AB=3,AE=BP=2

力+/￡=10+2=12

???點戶的坐標為（12,3）.

②分三種情況：

i.當0<fW3時，點戶在上運動，此時04=21,AP=t

.,.S=-x2txt=t2,

2

ii.當3<fW8時，點戶在力8上運動，此時OA=2t

--，S=-x2fx3=3t,

2

iii.當8<11時，點戶在。上運動，此時OA=2t,AB+BC+CP=t

:.DP={AB+BC+CD)-{AB+BC+CP)=u-t

??.S=；x2fx(ll-?=_g+llt

綜上所述，s與f之間的函數(shù)關系式是：

當0<rW3時，5=t2；當3<rW8時，S=31；當8<11時，S=-t2+llt

4.平面直角坐標系中，四邊形Q48U為矩形，點48的坐標分別為(3,0),

(3,4).動點M./V分別從Q8同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動.其

中，點例沿OA向終點/運動，點/V沿8U向終點U運動過點/V作NP1.BC,

交/U于P,連接MP.已知動點運動了x秒.請你探索：若"點坐標為(3-x,

)當x為何值時，&MPA是一個等腰三角形？有幾種情況?寫出研究成果并

證明.

【答案】

【解析】解：當石，或，吟,或V時,是—個等腰三角形.

如圖，延長NP交x軸于Q,則有PQ±OA

第MP二PA.PQ工MA

:.MQ-QA-x

.??3—2x=x,:.x=l

②若例后例，貝(]MQ=3-2X,PQ=Y,PM=MA=3-X.

在RbPMQ中，:.PM?=MQ2+PQ2,

」.(3-x)2=(3-2xf+(gxf-1-x=|^

③若%=/〃，...％=：尤,AM=3-X

.5__._9

??—x=3—x??x=一

38

綜上所述，ml，或X=微，或x=3

438

5.如圖，在直角梯形中,O3AB,以O為原點建立平面直角坐標系，4

8、。三點的坐標分別為A(8。)，8(8,10),C(0,4),點。為線段8U的中點，動點

戶從點。出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線。/8。的路線移動，移動的時

間為f秒.

⑴求直線夕。的解析式；

⑵若動點戶在線段04上移動，當r為何值時，四邊形。戶。0的面積是梯形COAB

面積的2.

7

B

【解析】解：⑴直線比的解析式為片%+4

⑵如圖，過點。作。例，y軸，