高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)歸納及典型例題

高一數(shù)學(xué)集合知識(shí)點(diǎn)歸納和典型例題一、、知識(shí)點(diǎn)：本周主要學(xué)習(xí)集合的初步知識(shí)，包括集合的有關(guān)概念、集合的表示、集合之間的關(guān)系和集合的運(yùn)算等。在進(jìn)行集合間的運(yùn)算時(shí)要注意使用Venn圖。本章知識(shí)結(jié)構(gòu)1、集合的概念集合是集合論中的不定義的原始概念，教材中對(duì)集合的概念進(jìn)行了描述性說(shuō)明：“一般地，把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合（或集）”。理解這句話(huà)，應(yīng)該把握4個(gè)關(guān)鍵詞：對(duì)象、確定的、不同的、整體。對(duì)象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一確定的。整體――集合不是研究某一單一對(duì)象的，它關(guān)注的是這些對(duì)象的全體。確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關(guān)系。不同的――集合元素的互異性。2、有限集、無(wú)限集、空集的意義有限集和無(wú)限集是針對(duì)非空集合來(lái)說(shuō)的。我們理解起來(lái)并不困難。我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記做Φ。理解它時(shí)不妨思考一下“0與Φ”和“Φ與{Φ}”的關(guān)系。幾個(gè)常用數(shù)集N、N*、N＋、Z、Q、R要記牢。3、集合的表示方法（1）列舉法的表示形式比較容易掌握，并不是所有的集合都能用列舉法表示，同學(xué)們需要知道能用列舉法表示的三種集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素較多但呈現(xiàn)一定的規(guī)律的有限集，如{1，2，3，…，100}③呈現(xiàn)一定規(guī)律的無(wú)限集，如{1，2，3，…，n，…}●注意a與{a}的區(qū)別●注意用列舉法表示集合時(shí)，集合元素的“無(wú)序性”。（2）特征性質(zhì)描述法的關(guān)鍵是把所研究的集合的“特征性質(zhì)”找準(zhǔn)，然后適當(dāng)?shù)乇硎境鰜?lái)就行了。但關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)。學(xué)習(xí)時(shí)多加練習(xí)就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三個(gè)不同的集合。4、集合之間的關(guān)系●注意區(qū)分“從屬”關(guān)系與“包含”關(guān)系“從屬”關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系?！鞍标P(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，學(xué)會(huì)正確使用“”等符號(hào)，會(huì)用Venn圖描述集合之間的關(guān)系是基本要求?！褡⒁獗媲濡蹬c{Φ}兩種關(guān)系。5、集合的運(yùn)算集合運(yùn)算的過(guò)程，是一個(gè)創(chuàng)造新的集合的過(guò)程。在這里，我們學(xué)習(xí)了三種創(chuàng)造新集合的方式：交集、并集和補(bǔ)集。一方面，我們應(yīng)該嚴(yán)格把握它們的運(yùn)算規(guī)則。同時(shí)，我們還要掌握它們的運(yùn)算性質(zhì)：還要嘗試?yán)肰enn圖解決相關(guān)問(wèn)題。二、典型例題例1.已知集合，若，求a。解：根據(jù)集合元素的確定性，得：若a＋2＝1，得:，但此時(shí)，不符合集合元素的互異性。若，得：。但時(shí)，，不符合集合元素的互異性。若得：，都不符合集合元素的互異性。綜上可得，a＝0?！拘〗Y(jié)】集合元素的確定性和互異性是解決問(wèn)題的理論依據(jù)。確定性是入手點(diǎn)，互異性是檢驗(yàn)結(jié)論的工具。例2.已知集合M＝中只含有一個(gè)元素，求a的值。解：集合M中只含有一個(gè)元素，也就意味著方程只有一個(gè)解。（1），只有一個(gè)解（2）.綜上所述，可知a的值為a＝0或a＝1【小結(jié)】熟悉集合語(yǔ)言，會(huì)把集合語(yǔ)言翻譯成恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言是重要的學(xué)習(xí)要求，另外多體會(huì)知識(shí)轉(zhuǎn)化的方法。例3.已知集合且BA，求a的值。解：由已知，得：A＝{－3，2}，若BA，則B＝Φ，或{－3}，或{2}。若B＝Φ，即方程ax＋1＝0無(wú)解，得a＝0。若B＝{－3}，即方程ax＋1＝0的解是x＝－3，得a＝。若B＝{2}，即方程ax＋1＝0的解是x＝2，得a＝。綜上所述，可知a的值為a＝0或a＝，或a＝。【小結(jié)】本題多體會(huì)這種題型的處理思路和步驟。例4.已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2.設(shè)C＝{x1，x2}，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，若，試求b，c的值。解：由，則集合C中必定含有1，4，7，10中的2個(gè)。又因?yàn)?，則A中的1，3，5，7，9都不在C中，從而只能是C＝{4，10}因此，b＝－（x1＋x2）＝－14，c＝x1x2＝40【小結(jié)】對(duì)的含義的理解是本題的關(guān)鍵。例5.設(shè)集合，（1）若，求m的范圍；（2）若，求m的范圍。解：（1）若，則B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2當(dāng)B＝Φ時(shí)，m＋1>2m－1，得：m<2當(dāng)m＋1>5時(shí)，m＋1≤2m－1，得：m>4當(dāng)2m－1<－2時(shí)，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ綜上所述，可知m<2，或m>4（2）若，則BA，若B＝Φ，得m<2若B≠Φ，則，得：綜上，得m≤3【小結(jié)】本題多體會(huì)分析和討論的全面性。例6.已知A＝{0，1}，B＝{x|xA}，用列舉法表示集合B，并指出集合A與B的關(guān)系。解：因?yàn)閤A，所以x＝Φ，或x＝{0}，或x＝{1}，或x＝A，于是集合B＝{Φ，{0}，{1}，A}，從而A∈B三、練習(xí)題1.設(shè)集合M＝則（）A. B. C.a＝M D.a>M2.有下列命題：①是空集②若，則③集合有兩個(gè)元素④集合為無(wú)限集，其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.33.下列集合中，表示同一集合的是（）A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B.M＝{3，2}，N＝{（2，3）}C.M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D.M＝{1，2}，N＝{2，1}4.設(shè)集合，若，則a的取值集合是（）A. B.{－3} C. D.{－3，2}5.設(shè)集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，且，則實(shí)數(shù)a的范圍是（）A. B. C. D.6.設(shè)x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，B＝，則集合A，B的關(guān)系是（）A.AB B.BA C.A＝B D.AB7.已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，則M∩N＝（）A.Φ B.M C.N D.R8.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，則集合B＝_________________9.若，則a的值為_(kāi)____10.若{1，2，3}A{1，2，3，4，5}，則A＝____________11.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值12.已知集合求實(shí)數(shù)p的范圍。13.已知，且A，B滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①②③Φ，求實(shí)數(shù)a的值。四、練習(xí)題答案1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.B 7.C8.{0，1，2}9.2，或310.{1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}11.解：依題意，得：或，解得：，或，或結(jié)合集合元素的互異性，得或。12.解：B＝{x|x<－1，或x>2}①若A＝Φ，即，滿(mǎn)足AB，此時(shí)②若，要使AB，須使大根或小根（舍），解得：所以13.解：由已知條件求得B＝{2，3}，由，知AB。而由①知，所以AB。又因?yàn)棣?，故A≠Φ，從而A＝{2}或{