愛(ài)提分中考復(fù)習(xí) 9二輪-二次函數(shù)綜合-第02講 二次函數(shù)綜合（二）(教師版)

高思愛(ài)提分演示（KJ)初中數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義[教師版]學(xué)員姓名王李 年級(jí)輔導(dǎo)科目初中數(shù)學(xué)學(xué)科教師王涵上課時(shí)間01-1806:30:00-08:30:00 知識(shí)圖譜二次函數(shù)綜合（二）知識(shí)精講二次函數(shù)與三角形綜合1．二次函數(shù)與等腰三角形存在性問(wèn)題：

解題思路：先找后求．

（1）找法：已知三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，找第三個(gè)頂點(diǎn)，方法如下：（2）求法：分類討論；設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩腰長(zhǎng)相等，列方程求解．2．二次函數(shù)與直角三角形綜合二次函數(shù)與直角三角形存在性問(wèn)題：

解題思路：先找后求．（1）找法：已知直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，找第三個(gè)頂點(diǎn)，方法如下：（2）求法：分類討論；設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理，列方程求解．3．二次函數(shù)與相似三角形綜合問(wèn)題二次函數(shù)與相似三角形的存在性問(wèn)題：解題思路：先確定頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再分類討論相似比，最后通過(guò)線段的比例關(guān)系建立方程求出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。利用相似三角形解決二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題：解題思路：相似在二次函數(shù)綜合題中應(yīng)用較多，主要是利用直角三角形之間的相似來(lái)求解動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，期間注意比例線段的等量代換問(wèn)題。二．二次函數(shù)與四邊形綜合動(dòng)點(diǎn)與平行四邊形存在性問(wèn)題常見(jiàn)模型：

1．兩固兩動(dòng)型：兩個(gè)固定點(diǎn)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形（1）分類討論，分成兩個(gè)固定點(diǎn)連線為平行四邊形對(duì)邊和對(duì)角線來(lái)討論，利用對(duì)邊平行且相等找出所有的存在的情況．（2）設(shè)出一個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式法算出另外一個(gè)點(diǎn)的表達(dá)式，代入另一個(gè)點(diǎn)所在函數(shù)關(guān)系式．2．三固一動(dòng)型：三個(gè)固定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)線構(gòu)成平行四邊形（1）分類討論，可以利用大三角的方法來(lái)找出所有的點(diǎn)．

大三角：連接三個(gè)固定點(diǎn)形成一個(gè)三角形，過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)邊的平行線，三個(gè)平行線交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)．（2）利用中點(diǎn)公式法，求出點(diǎn)坐標(biāo)．中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若，為坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為．中點(diǎn)公式法：設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用線段的中點(diǎn)都為點(diǎn)，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)．總結(jié)：二次函數(shù)與四邊形綜合問(wèn)題常用的解題方法是：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度，進(jìn)而建立方程求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)．三、二次函數(shù)與其它動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題二次函數(shù)與面積問(wèn)題：一般是由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積最值問(wèn)題，需要設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出相應(yīng)圖形面積，最后利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解最值；二次函數(shù)與線段、直線、角度等特殊圖形產(chǎn)生的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：與線段和直線問(wèn)題主要涉及到平移，與角度相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題主要會(huì)涉及到圓周角定理，求解時(shí)需要數(shù)形結(jié)合，建立方程來(lái)求解。三點(diǎn)剖析考點(diǎn)：二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題二．重難點(diǎn)：二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題三．易錯(cuò)點(diǎn)：二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最容易出錯(cuò)的地方就是漏解，解題時(shí)要先根據(jù)模型等分析清楚結(jié)論的不同情形，然后再通過(guò)數(shù)形結(jié)合求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例題例題1、已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個(gè)公共點(diǎn)M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（Ⅱ）說(shuō)明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；（Ⅲ）直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為N．（?。┤舂?≤a≤﹣，求線段MN長(zhǎng)度的取值范圍；（ⅱ）求△QMN面積的最小值．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（Ⅰ）∵拋物線y=ax2+ax+b過(guò)點(diǎn)M（1，0），∴a+a+b=0，即b=﹣2a，∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，∴拋物線頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；（Ⅱ）∵直線y=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，0），∴0=2×1+m，解得m=﹣2，聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4，由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b，∴a＜0，b＞0，∴△＞0，∴方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；（Ⅲ）聯(lián)立直線與拋物線解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x2+（1﹣）x﹣2+=0，∴（x﹣1）[x﹣（﹣2）]=0，解得x=1或x=﹣2，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣6），（i）由勾股定理可得MN2=[（﹣2）﹣1]2+（﹣6）2=﹣+45=20（﹣）2，∵﹣1≤a≤﹣，∴﹣2≤≤﹣1，∴MN2隨的增大而減小，∴當(dāng)=﹣2時(shí)，MN2有最大值245，則MN有最大值7，當(dāng)=﹣1時(shí)，MN2有最小值125，則MN有最小值5，∴線段MN長(zhǎng)度的取值范圍為5≤MN≤7；（ii）如圖，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線與點(diǎn)E，∵拋物線對(duì)稱軸為x=﹣，∴E（﹣，﹣3），∵M(jìn)（1，0），N（﹣2，﹣6），且a＜0，設(shè)△QMN的面積為S，∴S=S△QEN+S△QEM=|（﹣2）﹣1|?|﹣﹣（﹣3）|=﹣﹣，∴27a2+（8S﹣54）a+24=0（*），∵關(guān)于a的方程（*）有實(shí)數(shù)根，∴△=（8S﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S﹣54）2≥（36）2，∵a＜0，∴S=，∴8S﹣54＞0，∴8S﹣54≥36，即S≥，當(dāng)S=時(shí)，由方程（*）可得a=滿足題意，∴當(dāng)a=，b=時(shí)，△QMN面積的最小值為．例題2、以菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸，已知A（﹣4，0），B（0，﹣2），M（0，4），P為折線BCD上一動(dòng)點(diǎn)，作PE⊥y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a．（1）求BC邊所在直線的解析式；（2）設(shè)y=MP2+OP2，求y關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)△OPM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵A（﹣4，0），B（0，﹣2），∴OA=4，OB=2，∵四邊形ABCD是菱形，∴OC=OA=4，OD=OB=2，∴C（4，0），D（0，2），設(shè)直線BC的解析式為y=kx﹣2，∴4k﹣2=0，∴k=，∴直線BC的解析式為y=x﹣2；（2）由（1）知，C（4，0），D（0，2），∴直線CD的解析式為y=﹣x+2，由（1）知，直線BC的解析式為y=x﹣2，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，設(shè)P（2a+4，a）（﹣2≤a＜0），∵M(jìn)（0，4），∴y=MP2+OP2=（2a+4）2+（a﹣4）2+（2a+4）2+a2=2（2a+4）2+（a﹣4）2+a2=10a2+24a+48當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a，∴P（4﹣2a，a）（0≤a≤2），∵M(jìn)（0，4），∴y=MP2+OP2=（4﹣2a）2+（a﹣4）2+（4﹣2a）2+a2=10a2﹣40a+48，（3）①當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，即：0≤a≤2，由（2）知，P（2a+4，a），∵M(jìn)（0，4），∴OP2=（2a+4）2+a2=5a2+16a+16，PM2=（2a+4）2+（a﹣4）2=5a2﹣8a+32，OM2=16，∵△POM是直角三角形，易知，PM最大，∴OP2+OM2=PM2，∴5a2+16a+16+16=5a2﹣8a+32，∴a=0（舍）②當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，即：0≤a≤2時(shí)，由（2）知，P（4﹣2a，a），∵M(jìn)（0，4），∴OP2=（4﹣2a）2+a2=5a2﹣16a+16，PM2=（4﹣2a）2+（a﹣4）2=5a2﹣24a+32，OM2=16，∵△POM是直角三角形，Ⅰ、當(dāng)∠POM=90°時(shí)，∴OP2+OM2=PM2，∴5a2﹣16a+16+16=5a2﹣24a+32，∴a=0，∴P（4，0），Ⅱ、當(dāng)∠MPO=90°時(shí)，OP2+PM2=5a2﹣16a+16+5a2﹣24a+32=10a2﹣40a+48=OM2=16，∴a=2+（舍）或a=2﹣，∴P（，2﹣），即：當(dāng)△OPM為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2﹣），（4，0）．例題3、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；（2）求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；（4）設(shè)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），對(duì)稱軸為直線x==1；（2）∵直線l：y=kx+b過(guò)A（﹣1，0），∴0=﹣k+b，即k=b，∴直線l：y=kx+k，∵拋物線與直線l交于點(diǎn)A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，∵CD=4AC，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，∴﹣3﹣=﹣1×4，∴k=a，∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a；（3）過(guò)E作EF∥y軸交直線l于F，設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面積的最大值=﹣a，∵△ACE的面積的最大值為，∴﹣a=，解得a=﹣；（4）以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=1，x2=4，∴D（4，5a），∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一條邊，則易得Q（﹣4，21a），m=21a+5a=26a，則P（1，26a），∵四邊形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的對(duì)角線，則易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，則P（1，8a），∵四邊形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4），綜上所述，點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P（1，﹣）或（1，﹣4）．例題4、如圖，已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣9a與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D的直線l與射線AC，AB分別交于點(diǎn)M，N．（1）直接寫出a的值、點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD為等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，均為定值，并求出該定值．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵C（0，3）．∴﹣9a=3，解得：a=﹣．令y=0得：ax2﹣2x﹣9a=0，∵a≠0，∴x2﹣2x﹣9=0，解得：x=﹣或x=3．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），B（3，0）．∴拋物線的對(duì)稱軸為x=．（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．∵AE為∠BAC的平分線，∴∠DAO=30°．∴DO=AO=1．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，a）．依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．當(dāng)AD=PA時(shí)，4=12+a2，方程無(wú)解．當(dāng)AD=DP時(shí)，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．當(dāng)AP=DP時(shí)，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣4）．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，﹣4）．（3）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：﹣m+3=0，解得：m=，∴直線AC的解析式為y=x+3．設(shè)直線MN的解析式為y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，0）．∴AN=﹣+=．將y=x+3與y=kx+1聯(lián)立解得：x=．∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=+．∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG=+2=．∴例題5、拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線BC的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使∠APB=∠ABC，利用圖1求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q在y軸右側(cè)的拋物線上，利用圖2比較∠OCQ與∠OCA的大小，并說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，令x=0可得y=3，∴B（3，0），C（0，3），∴可設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直線BC解析式為y=﹣x+3；（2）∵OB=OC，∴∠ABC=45°，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線對(duì)稱軸為x=1，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1，∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，∴∠PBA==67.5°，∠DPB=∠APB=22.5°，∴∠PBD=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DPB=∠DBP，∴DP=DB，在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，∴PE=2+2，∴P（1，2+2）；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，由對(duì)稱性可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2﹣2；綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2+2）或（1，﹣2﹣2）；（3）設(shè)Q（x，﹣x2+2x+3），當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，如圖2，過(guò)Q作QF⊥y軸于點(diǎn)F，當(dāng)∠OCA=∠OCQ時(shí)，則△QEC∽△AOC，∴，即，解得x=0（舍去）或x=5，∴當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為5時(shí)，∠OCA=∠OCQ；當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)大于5時(shí)，則∠OCQ逐漸變小，故∠OCA＞∠OCQ；當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)小于5且大于0時(shí)，則∠OCQ逐漸變大，故∠OCA＜∠OCQ．例題6、拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0）．（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）該拋物線與直線y=x+3相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N．①連結(jié)PC、PD，如圖1，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由；②連結(jié)PB，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥PM，垂足為點(diǎn)Q，如圖2，是否存在點(diǎn)P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（5，0），∴，解得，∴該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x2﹣x+3；（2）①∵點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方，∴可設(shè)P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN=t+3﹣（t2﹣t+3）=﹣（t﹣）2+聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分別過(guò)C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，則CE=t，DF=7﹣t，∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN?CE+PN?DF=PN=[﹣（t﹣）2+]=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，△PCD的面積有最大值，最大值為；②存在．∵∠CQN=∠PMB=90°，∴當(dāng)△CNQ與△PBM相似時(shí)，有或兩種情況，∵CQ⊥PM，垂足為Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，∴，∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣t+3）=﹣t2+t﹣3，當(dāng)時(shí)，則PM=BM，即﹣t2+t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此時(shí)P（2，）；當(dāng)時(shí)，則BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+t﹣3），解得t=或t=5（舍去），此時(shí)P（，﹣）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（2，）或（，﹣）．隨練隨練1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2﹣4x+3與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線BC的表達(dá)式；（2）垂直于y軸的直線l與拋物線交于點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），與直線BC交于點(diǎn)N（x3，y3），若x1＜x2＜x3，結(jié)合函數(shù)的圖象，求x1+x2+x3的取值范圍．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）由y=x2﹣4x+3得到：y=（x﹣3）（x﹣1），C（0，3）．所以A（1，0），B（3，0），設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y=kx+b（k≠0），則，解得，所以直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+3；（2）由y=x2﹣4x+3得到：y=（x﹣2）2﹣1，所以拋物線y=x2﹣4x+3的對(duì)稱軸是x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1）．∵y1=y2，∴x1+x2=4．令y=﹣1，y=﹣x+3，x=4．∵x1＜x2＜x3，∴3＜x3＜4，即7＜x1+x2+x3＜8．隨練2、如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)B（﹣2，0），點(diǎn)C（8，0），與y軸交于點(diǎn)A．（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式；（2）連接AC，AB，若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接OM，在（2）的結(jié)論下，求OM與AC的數(shù)量關(guān)系．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）將點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+4可得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，0）（﹣2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在中令x=0，可解得y=4，∴點(diǎn)A（0，4），OA=4，∴S△ABN=BN?OA=（n+2）×4=2（n+2），∵M(jìn)N∥AC，∴，∴，∴，∵﹣＜0，∴當(dāng)n=3時(shí)，即N（3，0）時(shí)，△AMN的面積最大；（3）當(dāng)N（3，0）時(shí)，N為BC邊中點(diǎn)，∵M(jìn)N∥AC，∴M為AB邊中點(diǎn)，∴OM=AB，∵，，∴AB=AC，∴OM=AC．隨練3、如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．（1）寫出C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；（2）設(shè)S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，求對(duì)應(yīng)拋物線的解析式．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如圖，設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，把C、D的坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD為直角三角形時(shí)，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況，①當(dāng)∠CBD=90°時(shí)，則有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此時(shí)拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；②當(dāng)∠CDB=90°時(shí)，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此時(shí)拋物線解析式為y=x2﹣2x+；綜上可知當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí)，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．隨練4、如圖甲，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C，P，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線對(duì)稱軸為x=2，P（2，﹣1），設(shè)M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM為等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，當(dāng)MC=MP時(shí)，則有=|t+1|，解得t=，此時(shí)M（2，）；②當(dāng)MC=PC時(shí)，則有=2，解得t=﹣1（與P點(diǎn)重合，舍去）或t=7，此時(shí)M（2，7）；當(dāng)MP=PC時(shí)，則有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時(shí)M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如圖，過(guò)E作EF⊥x軸，交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，設(shè)E（x，x2﹣4x+3），則F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時(shí)，△CBE的面積最大，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣），即當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）時(shí)，△CBE的面積最大．隨練5、如圖，直線y=﹣x+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）M（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)M，P，N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出使得M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）∵y=﹣x+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直線解析式為y=﹣x+2，∵M(jìn)（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，當(dāng)∠BNP=90°時(shí)，則有BN⊥MN，∴BN=OM=m，∴，即，解得m=0（舍去）或m=2.5，∴M（2.5，0）；當(dāng)∠NBP=90°時(shí)，則有，∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴BP=，AP=（3﹣m），∴，解得m=0（舍去）或m=，∴M（，0）；綜上可知當(dāng)以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M(jìn)，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，∴有P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的中點(diǎn)，當(dāng)P為線段MN的中點(diǎn)時(shí)，則有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三點(diǎn)重合，舍去）或m=；當(dāng)M為線段PN的中點(diǎn)時(shí)，則有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；當(dāng)N為線段PM的中點(diǎn)時(shí)，則有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；綜上可知當(dāng)M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值為或﹣1或﹣．隨練6、如圖，已知拋物線y=ax2+c過(guò)點(diǎn)（﹣2，2），（4，5），過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線l：y=kx+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系（＞、＜、=），并證明你的判斷；（3）P為y軸上一點(diǎn)，以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)點(diǎn)P（0，m），求自然數(shù)m的值；（4）若k=1，在直線l下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QBF的面積最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及△QBF的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）把點(diǎn)（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以拋物線解析式為y=x2+1；（2）BF=BC．理由如下：設(shè)B（x，x2+1），而F（0，2），∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，∴BF=x2+1，∵BC⊥x軸，∴BC=x2+1，∴BF=BC；（3）如圖1，m為自然數(shù)，則點(diǎn)P在F點(diǎn)上方，∵以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，∴CB=CF=PF，而CB=FB，∴BC=CF=BF，∴△BCF為等邊三角形，∴∠BCF=60°，∴∠OCF=30°，在Rt△OCF中，CF=2OF=4，∴PF=CF=4，∴P（0，6），即自然數(shù)m的值為6；（4）作QE∥y軸交AB于E，如圖2，當(dāng)k=1時(shí)，一次函數(shù)解析式為y=x+2，解方程組得或，則B（1+，3+），設(shè)Q（t，t2+1），則E（t，t+2），∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，∴S△QBF=S△EQF+S△EQB=?（1+）?EQ=?（1+））（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2++1，當(dāng)t=2時(shí)，S△QBF有最大值，最大值為+1，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．隨練7、已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t=1s時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，P，A三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）當(dāng)t=2s時(shí)，求tan∠QPA的值；（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，且BM=2AM時(shí)，求t（s）的值；（4）連接CQ，當(dāng)點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△CQP與矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．【答案】見(jiàn)解析【解析】解：（1）當(dāng)t=1s時(shí)，則CP=2，∵OC=3，四邊形OABC是矩形，∴P（2，3），且A（4，0），∵拋物線過(guò)原點(diǎn)O，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，∴，解得，∴過(guò)O、P、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=﹣x2+3x；（2）當(dāng)t=2s時(shí)，則CP=2×2=4=BC，即點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，OQ=2，如圖1，∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，∴tan∠QPA==；（3）當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，則可知點(diǎn)Q在線段OA上，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，如圖2，則CP=2t，OQ=t，∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，∴，且BM=2AM，∴=2，解得t=3，∴當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)M，且BM=2AM時(shí)，t為3s；（4）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖3，由題意可知CP=2t，∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)M，如圖4，由題意可知PC=2t，OQ=t，則BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，同（3）可得，∴BM=?AM，∴3﹣AM=?AM，解得AM=，∴S=S四邊形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；當(dāng)t＞4時(shí)，設(shè)CQ與AB交于點(diǎn)M，如圖5，由題意可知OQ=t，AQ=t﹣4，∵AB∥OC，∴，即，解得AM=，∴BM=3﹣=，∴S=S△BCM=；綜上可知S=．隨練8、在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax﹣a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．已知拋物線y=﹣x2﹣x+2與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為__________，點(diǎn)A的坐標(biāo)為__________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________；（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）∵拋物線y=﹣x2﹣x+2，∴其夢(mèng)想直線的解析式為y=﹣x+，聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案為：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如圖1，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC=，由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，∵△AMN為夢(mèng)想三角形，∴N點(diǎn)在y軸上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN==3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖2，過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵拋物線對(duì)稱軸為x=﹣1，∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或﹣2，∵點(diǎn)F在直線AB上，∴當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時(shí)，則F（0，），此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方，∴E到y(tǒng)軸的距離為EH﹣OF=2﹣=，即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣，∴E（﹣1，﹣）；當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2時(shí)，則F與A重合，不合題意，舍去；②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2.5，），設(shè)E（﹣1，t），F(xiàn)（x，y），則x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直線AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F(xiàn)（﹣4，）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．隨練9、如圖所示，頂點(diǎn)為（，﹣）的拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)M（2，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)A是拋物線與x軸的交點(diǎn)（不與點(diǎn)M重合），點(diǎn)B是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是直線y=x+1上一點(diǎn)（處于x軸下方），點(diǎn)D是反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求k的值．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）依題意可設(shè)拋物線方程為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x﹣）2﹣（a≠0），將點(diǎn)M（2，0）代入可得：a（2﹣）2﹣=0，解得a=1．故拋物線的解析式為：y=（x﹣）2﹣；（2）由（1）知，拋物線的解析式為：y=（x﹣）2﹣．則對(duì)稱軸為x=，∴點(diǎn)A與點(diǎn)M（2，0）關(guān)于直線x=對(duì)稱，∴A（1，0）．令x=0，則y=﹣2，∴B（0，﹣2）．在直角△OAB中，OA=1，OB=2，則AB=．設(shè)直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)G，易求G（0，1）．∴直角△AOG是等腰直角三角形，∴∠AGO=45°．∵點(diǎn)C是直線y=x+1上一點(diǎn)（處于x軸下方），而k＞0，所以反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象位于點(diǎn)一、三象限．故點(diǎn)D只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下2種情況：①此菱形以AB為邊且AC也為邊，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥y軸于點(diǎn)N，在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°，∴DN=BN==，∴D（﹣，﹣﹣2），∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象上，∴k=﹣×（﹣﹣2）=+；②此菱形以AB為對(duì)角線，如圖2，作AB的垂直平分線CD交直線y=x+1于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象于點(diǎn)D．再分別過(guò)點(diǎn)D、B作DE⊥x軸于點(diǎn)F，BE⊥y軸，DE與BE相較于點(diǎn)E．在直角△BDE中，同①可證∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°，∴BE=DE．可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x﹣2）．∵BE2+DE2=BD2，∴BD=BE=x．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=BD=x．∴在直角△ADF中，AD2=AF2+DF2，即（x）=（x+1）2+（x﹣2）2，解得x=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，）．∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象上，∴k=×=，綜上所述，k的值是+或．拓展拓展1、如圖，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），交y軸于點(diǎn)C；（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）；（2）點(diǎn)D為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D使S△ABC=S△ABD？若存在請(qǐng)直接給出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將直線BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，與拋物線交于另一點(diǎn)E，求BE的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；（2）由題意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），∴AB=5，OC=2，∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5，∵S△ABC=S△ABD，∴S△ABD=×5=，設(shè)D（x，y），∴AB?|y|=×5|y|=，解得|y|=3，當(dāng)y=3時(shí)，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）或（2，3）；當(dāng)y=﹣3時(shí)，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，﹣3）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)D，其坐標(biāo)為（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC=，BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC為直角三角形，即BC⊥AC，如圖，設(shè)直線AC與直線BE交于點(diǎn)F，過(guò)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，由題意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，∴CF=BC=2，∴，即，解得OM=2，，即，解得FM=6，∴F（2，6），且B（4，0），設(shè)直線BE解析式為y=kx+m，則可得，解得，∴直線BE解析式為y=﹣3x+12，聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可得，解得或，∴E（5，﹣3），∴BE=．拓展2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點(diǎn)D，交BC下方拋物線于點(diǎn)P，如圖1，∴PO=PD，此時(shí)P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，﹣2）；（3）∵點(diǎn)P在拋物線上，∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當(dāng)t=2時(shí)，S△PBC最大值為8，此時(shí)t2﹣3t﹣4=﹣6，∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣6）時(shí)，△PBC的最大面積為8．拓展3、如圖，拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b為常數(shù)）與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=x+．（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)M（m，0）是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時(shí)，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？（3）在（2）問(wèn)條件下，當(dāng)△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M′，將OM′繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ON（旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間）；i：探究：線段OB上是否存在定點(diǎn)P（P不與O、B重合），無(wú)論ON如何旋轉(zhuǎn)，始終保持不變，若存在，試求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；ii：試求出此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（NA+NB）的最小值．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）在y=x+中，令x=0，則y=，令y=0，則x=﹣6，∴B（0，），A（﹣6，0），把B（0，），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得，∴，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2﹣x+，令y=0，則=﹣x2﹣x+=0，∴x1=﹣6，x2=1，∴C（1，0）；（2）∵點(diǎn)M（m，0），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，∴D（m，m+），當(dāng)DE為底時(shí)，作BG⊥DE于G，則EG=GD=ED，GM=OB=，∴m+（﹣m2﹣m++m+）=，解得：m1=﹣4，m2=9（不合題意，舍去），∴當(dāng)m=﹣4時(shí)，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；（3）i：存在，∵ON=OM′=4，OB=，∵∠NOP=∠BON，∴當(dāng)△NOP∽△BON時(shí)，，∴不變，即OP==3，∴P（0，3）ii：∵N在以O(shè)為圓心，4為半徑的半圓上，由（i）知，，∴NP=NB，∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，∴此時(shí)N，A，P三點(diǎn)共線，∴（NA+NB）的最小值=．拓展4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，規(guī)定：拋物線y=a（x﹣h）2+k的伴隨直線為y=a（x﹣h）+k．例如：拋物線y=2（x+1）2﹣3的伴隨直線為y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．（1）在上面規(guī)定下，拋物線y=（x+1）2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________，伴隨直線為__________，拋物線y=（x+1）2﹣4與其伴隨直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________和__________；（2）如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線y=m（x﹣1）2﹣4m與其伴隨直線相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與x軸交于點(diǎn)C，D．①若∠CAB=90°，求m的值；②如果點(diǎn)P（x，y）是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PBC的面積記為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求m的值．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）∵y=（x+1）2﹣4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，∴其交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），故答案為：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；（2）①∵拋物線解析式為y=m（x﹣1）2﹣4m，∴其伴隨直線為y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，解得或，∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，∴C（﹣1，0），D（3，0），∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（拋物線開口向下，舍去）或m=﹣，∴當(dāng)∠CAB=90°時(shí)，m的值為﹣；②設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），∴，解得，∴直線BC解析式為y=﹣mx﹣m，過(guò)P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q，如圖，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），∵P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣）2﹣]，∴S△PBC=×[（2﹣（﹣1）]PQ=（x﹣）2﹣m，∴當(dāng)x=時(shí)，△PBC的面積有最大值﹣m，∴S取得最大值時(shí)，即﹣m=，解得m=﹣2．拓展5、已知拋物線y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接寫出關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根；（2）證明：拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)A在第三象限；（3）直線y=x+m與x，y軸分別相交于B，C兩點(diǎn)，與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，D兩點(diǎn)．設(shè)拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸與x軸相交于E．如果在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)F，使得△ADF與△BOC相似，并且S△ADF=S△ADE，求此時(shí)拋物線的表達(dá)式．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx+c，a+b+c=0，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根為x=1；（2）證明：∵2a=b，∴對(duì)稱軸x=﹣=﹣1，把b=2a代入a+b+c=0中得：c=﹣3a，∵a＞0，c＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，∴＜0，則頂點(diǎn)A（﹣1，）在第三象限；（3）由b=2a，c=﹣3a，得到x==，解得：x1=﹣3，x2=1，二次函數(shù)解析式為y=ax2+2ax﹣3a，∵直線y=x+m與x，y軸分別相交于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，則OB=OC=|m|，∴△BOC是以∠BOC為直角的等腰直角三角形，即此時(shí)直線y=x+m與對(duì)稱軸x=﹣1的夾角∠BAE=45°，∵點(diǎn)F在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上，則∠DAF＞45°，此時(shí)△ADF與△BOC相似，頂點(diǎn)A只可能對(duì)應(yīng)△BOC的直角頂點(diǎn)O，即△ADF是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且對(duì)稱軸為x=﹣1，設(shè)對(duì)稱軸x=﹣1與OF交于點(diǎn)G，∵直線y=x+m過(guò)頂點(diǎn)A（﹣1，﹣4a），∴m=1﹣4a，∴直線解析式為y=x+1﹣4a，聯(lián)立得：，解得：或，這里（﹣1，﹣4a）為頂點(diǎn)A，（﹣1，﹣4a）為點(diǎn)D坐標(biāo)，點(diǎn)D到對(duì)稱軸x=﹣1的距離為﹣1﹣（﹣1）=，AE=|﹣4a|=4a，∴S△ADE=××4a=2，即它的面積為定值，這時(shí)等腰直角△ADF的面積為1，∴底邊DF=2，而x=﹣1是它的對(duì)稱軸，此時(shí)D、C重合且在y軸上，由﹣1=0，解得：a=1，此時(shí)拋物線解析式為y=x2+2x﹣3．拓展6、拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（m，0），與y軸交于C．（1）若m=﹣3，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對(duì)稱軸；（2）如圖1，在（1）的條件下，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于D，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)E，使S△ACE=S△ACD，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，設(shè)F（﹣1，﹣4），F(xiàn)G⊥y于G，在線段OG上是否存在點(diǎn)P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)m=﹣3時(shí)，B（﹣3，0），把A（1，0），B（﹣3，0）代入到拋物線y=x2+bx+c中得：，解得，∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；對(duì)稱軸是：直線x=﹣1；（2）如圖1，設(shè)E（m，m2+2m﹣3），由題意得：AD=1+1=2，OC=3，S△ACE=S△ACD=×AD?OC=×2×3=10，設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b，把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，，解得：，∴直線AE的解析式為：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC?（1﹣m）=10，﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，（m+4）（m﹣5）=0，m1=﹣4，m2=5（舍），∴E（﹣4，5）；（3）如圖2，當(dāng)B在原點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，連接BF，以BF為直徑作圓E，當(dāng)⊙E與y軸相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P，∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，連接EP，則EP⊥OG，∵BE=EF，∴EP是梯形的中位線，∴OP=PG=2，∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，∴=，∴m=﹣4，∴當(dāng)﹣4≤m＜0時(shí)，在線段OG上存在點(diǎn)P，使∠OBP=∠FPG；如圖3，當(dāng)B在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，要想滿足∠OBP=∠FPG，則∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，綜上所述，當(dāng)﹣4≤m＜0或m=3時(shí)，在線段OG上存在點(diǎn)P，使∠OBP=∠FPG．拓展7、如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，已知OB=OC=6．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，以線段MN為對(duì)角線作菱形MPNQ，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上，且PQ=MN時(shí)，求菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）∵OB=OC=6，∴B（6，0），C（0，﹣6），∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣6，∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣8）；（2）如圖1，過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)F（x，x2﹣2x﹣6），則FG=|x2﹣2x﹣6|，在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，∴A（﹣2，0），∴OA=2，則AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，當(dāng)∠FAB=∠EDB時(shí)，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴，即==，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此進(jìn)F點(diǎn)坐標(biāo)為（7，）；當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，則有==﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此進(jìn)F點(diǎn)坐標(biāo)為（5，﹣）；綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（7，）或（5，﹣）；（3）∵點(diǎn)P在x軸上，∴由菱形的對(duì)稱性可知P（2，0），如圖2，當(dāng)MN在x軸上方時(shí)，設(shè)T為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，∵PQ=MN，∴MT=2PT，設(shè)PT=n，則MT=2n，∴M（2+2n，n），∵M(jìn)在拋物線上，∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=，∴MN=2MT=4n=+1；當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，同理可設(shè)PT=n，則M（2+2n，﹣n），∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=（舍去），∴MN=2MT=4n=﹣1；綜上可知菱形對(duì)角線MN的長(zhǎng)為+1或﹣1．拓展8、如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過(guò)點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D（﹣2，0），點(diǎn)P是線段CB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=t（0＜t＜10）．（1）請(qǐng)直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，交拋物線于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)t為何值時(shí)，∠PBE=∠OCD？（3）點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥BQ，交CQ于點(diǎn)M，作PN∥CQ，交BQ于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，請(qǐng)求出t的值．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；（2）由題意可設(shè)P（t，4），則E（t，﹣t2+t+4），∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴，即BP?OD=CO?PE，∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合題意，舍去），∴當(dāng)t=3時(shí)，∠PBE=∠OCD；（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，則∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽R(shí)t△QAB，∴，即OQ?AQ=CO?AB，設(shè)OQ=m，則AQ=10﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，①當(dāng)m=2時(shí)，CQ=，BQ=，∴sin∠BCQ=，sin∠CBQ=，∴PM=PC?sin∠PCQ=t，PN=PB?sin∠CBQ=（10﹣t），∴t=（10﹣t），解得t=，②當(dāng)m=8時(shí)，同理可求得t=，∴當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，t的值為或．拓展9、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形