2025屆新高三第一次月考聯(lián)合測評解析版

2025屆新高三第一次月考聯(lián)合測評解析版數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，先將自已的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，則集合的真子集個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【詳解】由且可知，可以取，則可取，即，故集合的真子集個數(shù)為.故選：C.2．若，則復(fù)數(shù)z的虛部（

）A．4 B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，，，解得或或所以復(fù)數(shù)z的虛部為．故選：C.3．已知，，，則的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】因為，，，則，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值是.故選：A.4．在平面內(nèi)，設(shè)是直線的法向量，、為兩個定點，，為一動點，若點滿足：，則動點的軌跡是（

）A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線【答案】B【詳解】由題意知，以為原點，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，Px,y，則，，因為，則，整理可得，，可知動點的軌跡為拋物線.故選：B5．已知等差數(shù)列前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在等差數(shù)列中，由，得.故選：D6．已知直線與圓交于兩點，則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】圓可得圓心，半徑，因為直線，恒過直線和的交點，即，解得：，，即直線恒過定點，因為，所以定點在圓內(nèi)，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長，當(dāng)時，弦長最大，這時過的最長弦長為圓的直徑2r=62，當(dāng)最大時，這時，所以弦長的最小值為，所以弦長AB的范圍為，故選：B.7．若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對立C．事件與相互獨立 D．事件與既互斥又相互獨立【答案】C【詳解】由得，因為，，所以事件與相互獨立，無法判斷事件與是否互斥.故選：C.8．已知定義在R上的函數(shù)滿足：，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的周期為4 C．關(guān)于對稱 D．在單調(diào)遞減【答案】C【詳解】由，可得，可設(shè)由，即，則可取，即進(jìn)行驗證.選項A：，故選項A不正確.選項B：由，則其最小正周期為,故選項B不正確.選項D：由于為周期函數(shù)，則在不可能為單調(diào)函數(shù).故選項D不正確.選項C：,又，故此時為其一條對稱軸.此時選項C正確,故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知的最小正周期是，下列說法正確的是（

）A．在是單調(diào)遞增B．是偶函數(shù)C．的最大值是D．是的對稱中心【答案】ABD【詳解】因為，因為函數(shù)的最小正周期為，所以，則，所以增區(qū)間由不等式，即，，當(dāng)時，A滿足條件，故正確；是偶函數(shù)，故B正確；的最大值是2，故C是錯的；，，故D正確故選：ABD.10．已知正方體外接球的體積為是空間中的一點，則下列命題正確的是（

）A．若點在正方體表面上運動，且，則點軌跡的長度為B．若是棱上的點（不包括點），則直線與是異面直線C．若點在線段上運動，則始終有D．若點在線段上運動，則三棱錐體積為定值【答案】BCD【詳解】方體外接球的體積為.設(shè)外接球的半徑為，則，解得.

設(shè)正方體的棱長為，則.對于，在平面中，點的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓弧；同理，在平面ABCD和平面中，點的軌跡都是以為圓心，2為半徑的圓弧.故點的軌跡的長度為.故錯誤；對于B，利用異面直線的判定定理可以判斷直線與是異面直線.故正確；對于，在正方體中，有平面平面平面平面.故C正確；

對于，在正方體中，平面為定值.故D正確.故選：BCD11．如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，,且共焦點的離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．若，則C．若，則的最小值為2D．【答案】AD【詳解】A.由題意可知，，，得，故A正確；B.中，若，設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為，根據(jù)余弦定理，，整理為，而，故B錯誤；C.若，則，則，則，，當(dāng)時，等號成立，這與矛盾，所以，故C錯誤；D.在橢圓中，，，整理為，在雙曲線中，，整理為，所以，即，而，則，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知M是拋物線上一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O為坐標(biāo)原點．若，則線段MF的長為.【答案】8【詳解】如圖所示：設(shè)，易求，作軸于點E，因為，所以，所以在，，所以，又因為M是拋物線上一點，所以，即，解得或(舍去所以線段MF的長為8.故答案為：813．已知甲同學(xué)在上學(xué)途中要經(jīng)過兩個路口，在第一個路口遇到紅燈的概率為0.5，兩個路口連續(xù)遇到紅燈的概率為0.4，則甲同學(xué)在第一個路口遇到紅燈的條件下，第二個路口遇到紅燈的概率是.【答案】0.8/4【詳解】令“第一個路口遇到紅燈”，“第二個路口遇到紅燈”則，于是，所以所求概率為.故答案為：14．已知點A是函數(shù)圖象上的動點，點B是函數(shù)圖象上的動點，過B點作x軸的垂線，垂足為M，則的最小值為．【答案】【詳解】由于是焦點在軸上的拋物線，故設(shè)其焦點為，則,所以,故求到上一點的最小距離即可，設(shè)，則，記，則由于函數(shù)在0,+∞單調(diào)遞增，且，故當(dāng)x∈0,1時，因此在0,1單調(diào)遞減，當(dāng)x∈1,+∞時，因此在1,+∞故，因此，故，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（本小題13分）已知等差數(shù)列的前n項和為．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項和，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由可得，解得，所以；因此的通項公式為，（2）由（1）可得；所以，因此數(shù)列的前n項和;即可得.16.（本小題15分）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對凸四邊形(凸四邊形是指沒有角度大于的四邊形)進(jìn)行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點共圓時等號成立．且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大．根據(jù)上述材料，解決以下問題：如圖，在凸四邊形中，(1)若，，(圖1)，求線段長度的最大值；(2)若，，，（圖2），求四邊形面積取得最大值時角A的余弦值，并求出四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)；，（其中）【詳解】（1）設(shè)，則，由材料可知，，即，解得，所以線段長度的最大值為；（2）由材料可知，當(dāng)四點共圓時，四邊形的面積達(dá)到最大．連接，分別在和利用余弦定理，可得，解得，，所以記，則上式，于是四邊形的面積為：.17.（本小題15分）在中，把，，…，稱為三項式系數(shù).(1)當(dāng)時，寫出三項式系數(shù)，，，，的值；(2)的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如圖，當(dāng)，時，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請列出三項式的次系數(shù)的數(shù)陣表；(3)求的值（用組合數(shù)作答）.【答案】(1)，，，，(2)答案見解析(3)【詳解】（1）因為，所以，，，，；（2）因為，，，，，所以三項式的（，）次系數(shù)的數(shù)陣表如下：（3），其中系數(shù)為，又而二項式的通項（且），由，解得，所以系數(shù)為，由代數(shù)式恒成立，所以.18.（本小題17分）如圖1，平面圖形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，與相交于點，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．(1)當(dāng)側(cè)面底面時，求點到平面的距離；(2)在（1）的條件下，線段上是否存在一點．使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）在中，，所以，因為在直角梯形中，，，，所以，所以四邊形為正方形，所以，，因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以底面，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離與點到平面的距離相等，設(shè)點到平面的距離為，由題意得，則，因為，所以，所以，解得，所以點到平面的距離為；（2）過作交于點，因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以底面，作交于點，連接，因為底面，底面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，所以為二面角的平面角，則，所以，所以，連接，交于點，因為四邊形為正方形，所以，所以，設(shè)，由，得，得，因為，所以，解得，因為底面，底面，所以所以，所以，即,所以線段上存在一點．使得平面與平面夾角的余弦值為，此時.19.（本小題17分）已知橢圓，左?右焦點分別為，短軸的其中一個端點為，長軸端點為，且是面積為的等邊三角形.

(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若雙曲線以為焦點，以為頂點，點為橢圓與雙曲線的一個交點，求的面積；(3)如圖，直線與橢