77-第七章習(xí)題課(概率統(tǒng)計(jì))

第七章參數(shù)估計(jì)習(xí)題課

參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題之一.如果我們確定了總體的未知參數(shù),或者接受了未知參數(shù)的的某個(gè)取值,我們就完全掌控了所研究的總體性質(zhì)已知其分布類型(包含未知參數(shù)),通過樣本對(duì)總體中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的問題就是本章的參數(shù)估計(jì)問題.分三塊講解:一是“主要內(nèi)容歸納”，二是“例題分類解析”，三是“學(xué)習(xí)與研究方法”總結(jié).內(nèi)容簡介：在“例題分類解析”部分，講解了：1.參數(shù)的矩估計(jì)法；2.估計(jì)量的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)；3.參數(shù)的最大似然估計(jì)法；4.參數(shù)的區(qū)間估計(jì)；5.區(qū)間估計(jì)方法的綜合問題舉例.本章重點(diǎn)：

2.置信區(qū)間的基本概念;

1.矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法,估計(jì)量的三個(gè)評(píng)選標(biāo)準(zhǔn);3.正態(tài)總體均值和方差在給定置信水平條件下的置信區(qū)間的求法;4.單側(cè)置信區(qū)間的概念.

本章難點(diǎn)：1.最大似然估計(jì)法的應(yīng)用;

2.正態(tài)總體均值和方差的單側(cè)置信區(qū)間的求法.一、主要內(nèi)容歸納1.參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)表7-1參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的概念點(diǎn)估計(jì)問題

總體X的分布函數(shù)的形式已知,有一個(gè)或多個(gè)未知參數(shù),借助其樣本估計(jì)總體未知參數(shù)的值.這類問題稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題.估計(jì)量與估計(jì)值

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;θ)的形式已知,其中θ是未知參數(shù)(待估參數(shù)),X1,X2,…,Xn是X的一個(gè)樣本,x1,x2,…,xn是相應(yīng)的樣本值.我們構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)統(tǒng)計(jì)量

矩估計(jì)法

用相應(yīng)的樣本的l階矩作為總體的l階矩的估計(jì)量,這種估計(jì)方法稱為矩估計(jì)法.為θ的一個(gè)估計(jì)量.,用它的觀察值

作為未知參數(shù)θ的估計(jì)值.稱

最大似然原理在多個(gè)隨機(jī)事件中,實(shí)際發(fā)生的事件應(yīng)該是概率最大的事件,此即為極大似然原理(又稱大概率原理).

最大似然估計(jì)法已知樣本值x1,x2,…,xn,在θ取值的可能范圍Θ內(nèi)挑選使似然函數(shù)L(x1,x2,…,xn;θ)達(dá)到最大的參數(shù)值,把作為未知參數(shù)θ的估計(jì)值.即取這樣得到的(x1,x2,…,xn)稱

為參數(shù)θ的最大似然估計(jì)值,而相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量

(X1,X2,…,Xn)稱為參數(shù)θ的最大似然估計(jì)量.

使L(

我們一定要注意區(qū)分“估計(jì)量”與“估計(jì)值”這兩個(gè)作用不同的概念.同時(shí)要注意區(qū)分大小寫字母.講評(píng)2.

矩估計(jì)法與最大似然估計(jì)法常用的構(gòu)造估計(jì)量的具體步驟矩估計(jì)法的具體步驟:(1)寫出總體的l階矩:

設(shè)這是包含k個(gè)未知參數(shù)

的方程組.(2)寫出樣本的l階矩:(3)令

(4)解由(3)確定的方程組

解出上面的方程組,得到

并記為

這種估計(jì)量稱為矩估計(jì)量.

矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值.記為(5)確定矩估計(jì)量和矩估計(jì)值：以作為的估計(jì)量.最大似然估計(jì)法的基本步驟(1)由總體分布寫出樣本的似然函數(shù)L(θ).若總體X屬于離散型,其分布律P{X=x}=p(x,θ)

的形式為已知,θ為待估參數(shù),是θ可能取值的范圍.設(shè)X1,X2,…,Xn是來自X的一個(gè)樣本,則X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布律為又設(shè)x1,x2,…,xn是相應(yīng)于樣本X1,X2,…,Xn

的一組樣本值,則事件{X1=x1,X2=

x2,…,

Xn=

xn}發(fā)生的概率,即樣本的似然函數(shù)為若總體X屬于連續(xù)型,其概率密度f(x;θ)的形式已知,θ為待估參數(shù),是θ可能取值的范圍.

設(shè)X1,X2,…,Xn是來自X的樣本,x1,x2,…,xn是相應(yīng)于樣本X1,X2,…,Xn的一組樣本值.則樣本的似然函數(shù)為其聯(lián)合概率密度(2)建立似然方程,即令

(這個(gè)方程也稱為對(duì)數(shù)似然方程);..(3)解上面的似然方程或?qū)?shù)似然方程即得

...

(1)似然函數(shù)中的未知參數(shù)可以有多個(gè).若未知參數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)以上,則在第二步中就改為求偏導(dǎo).在第二步中我們要求的是L(θ)的最大值點(diǎn),而lnL(θ)的最大值點(diǎn)與L(θ)的最大值點(diǎn)是相同的.講評(píng)

(2)關(guān)于“最大似然估計(jì)”的方法,我們一定要注意:本質(zhì)是求L(θ)的最大值點(diǎn).

所以,如果似然函數(shù)沒有導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),應(yīng)分析L(θ)或ln

L(θ)的單調(diào)性質(zhì),得到最大值點(diǎn).3．估計(jì)量的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)(1)

無偏性

的數(shù)學(xué)期望

,則

,有

對(duì)于若估計(jì)量

是θ的無偏估計(jì)量.(2)

有效性

使上式中設(shè)

與

都是的無偏估計(jì)量,若對(duì)于任意

,有,且至少對(duì)于某一個(gè)

的不等號(hào)成立.則稱

較有效.

則稱是θ的一致估計(jì)量.一致估計(jì)量又稱為相合估計(jì)量.即,若對(duì)于任意的

滿足:對(duì)于任意

有

設(shè)

為參數(shù)

的估計(jì)量,,當(dāng)

時(shí)

依概率收斂于θ,

則稱

是θ的一致估計(jì)量.若對(duì)于任意(3)

一致性(相合性)

對(duì)于任意

滿足是

則稱隨機(jī)區(qū)間

的置信水平為

α(0<α<1),

對(duì)于給定值確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)若由總體X的樣本

和

量4．區(qū)間估計(jì)的置信區(qū)間.和

分別稱為置信水平

的雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限和置信上限.稱為置信水平,又叫置信度.求未知參數(shù)

的置信區(qū)間的具體做法:

(1)尋求一個(gè)樣本

的函數(shù),而不含,它包含待估參數(shù)

其它未知參數(shù),并且

的分布已知且不依賴于任何未知參數(shù)(當(dāng)然也不依賴于待估參數(shù)(2)對(duì)于給定的置信水平

,定出兩個(gè)常數(shù)

使

講評(píng)

那么

就是的一個(gè)置信水平為

的置信區(qū)間.

都是統(tǒng)計(jì)量,

(3)若能從

得到等價(jià)不等式

,其中

以上三步中,第一步是關(guān)鍵.尋找函的方法,一般從

著手考慮.數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量較大,對(duì)于給定的置信水平

,于是可有

從總體中抽取樣本

,因樣本容5．大樣本非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體

的分布函數(shù)為

,其中

是未知參

數(shù).于是總體均值

,總體方差

都是

的函數(shù).

的置信水平為

那么就是的近似的置信區(qū)間.

6．單側(cè)置信區(qū)間解出等價(jià)不等式設(shè)已知樣本的觀察值為

,若能從不等式總體X中含有未知參數(shù)θ,對(duì)于給定值,若由來自總體的樣本

α稱為θ的置信水平

間,又若統(tǒng)計(jì)量

,對(duì)于任意

滿足

，則稱隨機(jī)區(qū)間

是θ的置信水平為

的單側(cè)置信區(qū)單側(cè)置信上限.的單側(cè)置信區(qū)間,

,對(duì)于任意

滿足則稱隨機(jī)區(qū)間

置信水平為

的

置信水平為的單側(cè)置信下限.確定的統(tǒng)計(jì)量是θ的稱為θ的單個(gè)正態(tài)總體均值的置信區(qū)間

已知

未知方差的置信區(qū)間

7.正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間

兩個(gè)正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間

均為已知

=但

方差比的置信區(qū)間

=為未知

二、例題分類解析1.參數(shù)的矩估計(jì)法例1

設(shè)某打字員一天中打錯(cuò)字的次數(shù)X服從參數(shù)為λ的泊松分布,λ未知.有以下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):打錯(cuò)字次數(shù)k

0123456

k

發(fā)生打錯(cuò)字k次天數(shù)nk

75905422621

試用矩估計(jì)法估計(jì)參數(shù)λ.

本題目涉及矩估計(jì)的概念或性質(zhì),是離散型總體的點(diǎn)估計(jì)問題.令,則得λ的矩估計(jì)量為

代入樣本值,得到λ的矩估計(jì)值為

先求總體矩和樣本矩.又總體只有一個(gè)待估參數(shù),則只用一階原點(diǎn)矩即可.分析解

講評(píng)解題關(guān)鍵步驟在于:用離散型總體的樣本矩代替總體矩計(jì)算.這是離散型總體情形,關(guān)于連續(xù)型總體的矩估計(jì)法參見下例.

擴(kuò)展本題目條件改為指數(shù)分布,或者考慮連續(xù)型總體的點(diǎn)估計(jì)問題.

分析本題目涉及矩估計(jì)的概念(或性質(zhì)),是連續(xù)型總體的點(diǎn)估計(jì)問題.為來自X的一個(gè)樣本,例2

設(shè)總體X的概率密度為X1,X2,

…,Xn求θ的矩估計(jì)量.

由矩估計(jì)的基本思想,先求總體矩和樣本矩.由于只有一個(gè)待估參數(shù),用一階原點(diǎn)矩即可.令

,則得θ的矩估計(jì)量為

講評(píng)解題關(guān)鍵在于:用連續(xù)型總體的樣本均值代替總體均值計(jì)算.

擴(kuò)展改變概率密度，用正態(tài)分布等.解計(jì)算得到

分析本題目涉及估計(jì)量的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),直接利用無偏估計(jì)量和有效性定義即可.證由于例3

設(shè)總體

為來自X的樣試證:和

都是總體期望的無偏估計(jì),并比較哪一個(gè)更有效?本.2.估計(jì)量的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)故

與

都是

的無偏估計(jì)量.

又因?yàn)?/p>

可見故

是比

更有效的估計(jì)量.

講評(píng)本題旨在使學(xué)生理解與掌握估計(jì)量的無偏性及有效性概念及判別的具體方法.

擴(kuò)展有效性是在滿足無偏性條件下的標(biāo)準(zhǔn),應(yīng)先檢驗(yàn)無偏性;如果此題直接問“哪一個(gè)更有效?”,讀者需要注意什么問題?

3.參數(shù)的極大似然估計(jì)法例4

設(shè)總體X的概率密度為其中a>0為待估參數(shù),X1,X2,…,Xn為來自X的一組樣本,求a的最大似然估計(jì)量.分析本題是在連續(xù)型總體的假設(shè)下,涉及最大似然估計(jì)量的求法.

解設(shè)x1,x2,…,xn是樣本X1,X2,

…,Xn的觀察值,則似然函數(shù)為取自然對(duì)數(shù)得到

求導(dǎo),得似然方程a的最大似然估計(jì)量為

講評(píng)本題旨在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)最大似然估計(jì)理論的理解,訓(xùn)練最大似然估計(jì)量的求法,關(guān)鍵在于似然函數(shù)的寫出和其最大值點(diǎn)的求法.解上述對(duì)數(shù)似然方程,可得a的極大似然估計(jì)值為擴(kuò)展

(1)用最大似然估計(jì)法求待定參數(shù)的最大似然估計(jì)量,要先寫出樣本值(見本題),得到最大似然估計(jì)值,再改寫大寫字母,得到最大似然估計(jì)量.

(2)在實(shí)際應(yīng)用中,通常樣本值x1,x2,…,

xn是一組具體的數(shù)值,這樣得到具體的最大似然估計(jì)值.比如,x1=0.1,x2=0,x3=0.5,x4=0.8,x5=0.2,請(qǐng)讀者求解這個(gè)問題.注意解答時(shí)正確書寫解題過程.(3)關(guān)于離散型總體應(yīng)用最大似然估計(jì)理論參見下例題.X

0123P

例5

設(shè)總體X的概率分布為其中

是未知參數(shù),利用樣本值

的矩估計(jì)值,求

和最大似然估計(jì)值.

分析本題目是在離散型總體條件下,考查讀者掌握矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法的應(yīng)用能力.解因?yàn)榭傮w一階矩而樣本一階矩

令,即

的矩估計(jì)量

故所以

的矩估計(jì)值

對(duì)于給定的樣本值,似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)得

令解得

講評(píng)矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法是兩種求未知參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的方法,這兩種方法求出的估計(jì)量或估計(jì)值可能是不一樣的,見本例解法及答案.因不合題意,所以的最大似然估計(jì)值為.

擴(kuò)展

(1)如果要求“求

的最大似然估計(jì)量”,讀者考慮一下,怎樣書寫解答過程?

(2)條件

可以去掉,解題時(shí)自己挖掘出來,想一想為什么?4.參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

例6

某自動(dòng)包裝機(jī)包裝食用糖,其重量服從正態(tài)分布N(μ,σ2).今隨機(jī)抽查12袋,測得重量(單位:克)分別為:1001,1004,1003,1000,997,999,1004,1000,996,1002,998,999.(1)求總體平均袋重μ的矩估計(jì)值;(2)求總體方差σ2的矩估計(jì)值;(3)求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間;(4)求σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間;(5)若已知σ2=8,求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間.

分析本題涉及比較全面的參數(shù)估計(jì)方法,包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì),考查矩估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的理論.解

(1)總體平均袋重μ的矩估計(jì)值為(2)總體方差σ2的矩估計(jì)值為(3)由于σ2未知,μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間應(yīng)為由樣本得s=2.6328,n=12,查表得

則所求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為

(4)由于μ未知,σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間應(yīng)為查表得

所以σ2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為由樣本得n=12,查表得

,則所求μ的置信水平為0.95置信區(qū)間為

(5)由于假設(shè)總體方差已知σ2=8,

所以μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間應(yīng)為講評(píng)本題旨在訓(xùn)練矩估計(jì)量和置信區(qū)間的求法,本題比較綜合地考查了根據(jù)樣本全面估計(jì)、了解總體性質(zhì)的具體方法和步驟,體現(xiàn)了通過樣本深入挖掘總體信息的整體思路.擴(kuò)展

(1)總體方差的矩估計(jì)量

但是樣本方差

,對(duì)此,讀者應(yīng)明確些什么問題?

(2)何時(shí)應(yīng)該大寫字母,還是應(yīng)該小寫字母,讀者能區(qū)分開嗎?考查本題的整個(gè)解析過程.例7

在測量人對(duì)某事件的反應(yīng)時(shí)間時(shí),某專家估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.05秒.為了以0.95的置信度使他對(duì)平均反應(yīng)時(shí)間的估計(jì)誤差不超過0.01秒,問應(yīng)取多大的樣本容量n?

分析本題涉及到區(qū)間估計(jì)問題,考查區(qū)間估計(jì)方法的靈活應(yīng)用,應(yīng)從區(qū)間估計(jì)基本方法入手.解以X表示反應(yīng)時(shí)間,則μ=E(X)為平均反應(yīng)時(shí)間.由條件知,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=0.05,以樣本均值

估計(jì)μ

.當(dāng)n充分大時(shí)統(tǒng)計(jì)量

近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).

根據(jù)條件,要求樣本容量n滿足

即

,查表得

得到

即取樣本容量n為68即可滿足要求

講評(píng)本題說明根據(jù)區(qū)間估計(jì)的思想和方法可以求出所需的樣本容量,這在設(shè)計(jì)對(duì)總體的估計(jì)時(shí)很重要,尤其是在總體分布參數(shù)未知時(shí)根據(jù)中心極限定理,大樣本下可將總體視為正態(tài)總體.分析置信區(qū)間的結(jié)構(gòu),可以理解:如果給定了其中的某些數(shù)據(jù),就可以求得剩余變量的取值，如本例求樣本容量n.如果樣本容量n已知,我們可以計(jì)算總體標(biāo)準(zhǔn)差σ或置信區(qū)間長度.

擴(kuò)展

n2=50的樣本,且算得

Y~N(μ2,36),從

=82,中分別抽取容量為n1=75,與

例8

設(shè)兩總體

與

獨(dú)立,X~N(μ1,60),

=76.在置信水平0.95下,試求

的置信區(qū)間.

本題是在兩正態(tài)總體方差已知的條件下,求均值差的置信區(qū)間,可直接套用公式.分析解由公式知,所求置信區(qū)間為查表可得,代入相應(yīng)的數(shù)據(jù),可得

置信度為0.95的置信區(qū)間為講評(píng)此題旨在考查兩個(gè)正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間,關(guān)鍵在于置信區(qū)間的理論和公式要理解并掌握.擴(kuò)展考查總體均值差

,本質(zhì)上是在考查兩個(gè)總體之間的均值相差多少.本題的實(shí),即

際意義:.假設(shè)性能指標(biāo)服從正.在置信水平0.90下,求兩正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間.

態(tài)分布例9

甲、乙兩工廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.為比較兩種產(chǎn)品的性能,從甲乙兩廠產(chǎn)品中分別抽取了8件和9件,測得其性能指標(biāo)X,得到兩組數(shù)據(jù).計(jì)算得到：

分析本題是求兩正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間,可直接利用公式.解因?yàn)?/p>

公式得

的置信水平為的置信區(qū)間為，則由已知,查表并計(jì)算得故

的置信水平為0.90的置信區(qū)間為擴(kuò)展考查總體方差比,本質(zhì)上是在考查兩個(gè)總體之間的方差是否可以認(rèn)為相等,或者相差多少.以本題為例,可以認(rèn)為兩總體的方差相等嗎?講評(píng)此題旨在考查兩個(gè)正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間,關(guān)鍵在于置信區(qū)間的理論和公式要理解并掌握.5.區(qū)間估計(jì)方法的綜合問題舉例例10

假設(shè)0.50,1.25,0.80,2.00是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本值.已知Y=lnX服從正態(tài)分布N(μ,1).(1)求總體X的數(shù)學(xué)期望E(X)(記E(X)為b)；(2)求總體均值μ的置信度為0.95的置信區(qū)間；(3)利用上述結(jié)果,求總體數(shù)學(xué)期望b

的置信度為0.95的置信區(qū)間.

分析本題目涉及正態(tài)分布隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望以及對(duì)數(shù)學(xué)期望進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的方法,再利用函數(shù)的單調(diào)性求出隨機(jī)變量函數(shù)的置信區(qū)間.解

(1)Y

的概率密度為于是有

(2)當(dāng)置信度1?α=0.95時(shí),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對(duì)應(yīng)于α=0.05的上分位點(diǎn)等于1.96.故由

可得

參數(shù)μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為令,于是

其中

表示總體Y

的樣本均值，且有

將其代入上式,得μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為(?0.98,0.98).(3)由指數(shù)函數(shù)ex

的嚴(yán)格單調(diào)性，知b