第2章-點、直線、平面的投影

01第2章點、直線、平面的投影2.1點的投影點的三面投影點的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系12兩點的相對位置3作點的軸測圖4點、直線、平面是構(gòu)成形體的基本幾何元素。2.1點的投影面BCDA線點

1.點的三面投影2.1點的投影W投影面展開XVAYOWZaaYaZaXa″a′VHYWH面向下旋轉(zhuǎn)90°HW面向右旋轉(zhuǎn)90°OXZYHaxaza

ayayaa″V面不動

1.點的三面投影2.1點的投影點的投影規(guī)律：(1)點的投影連線，必定垂直于相應(yīng)的投影軸。

(2)點的投影到投影軸的距離，等于空間點到相應(yīng)的投影面的距離，即“影軸距等于點面距”。

2.點的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系2.1點的投影點的空間位置，可用直角坐標(biāo)來表示，點A坐標(biāo)的規(guī)定書寫形式為：A(x,y,z)。

點到各投影面的距離，為相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值X，Y，Z

。例1:已知點A(12，10，15)，判定點A的空間位置，并求點A點的三面投影圖。2.1點的投影1.作投影軸；

2.量?。篛ax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等點；作圖步驟:aa''a'OXYWHYZaZ15YWaYHa10aX123.過ax、az、aYH、aYW等點分別作所在軸的垂線，交點a、a′、a″既為所求。例2：已知點的兩個投影，求第三投影。2.1點的投影●●a

aax●a

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通過作45°線使a

az=aax用圓規(guī)直接量取a

az=aax3.兩點的相對位置2.1點的投影兩點的相對位置指兩點在空間的左右、前后、上下位置關(guān)系。

x坐標(biāo)大的在左；

y坐標(biāo)大的在前；

z坐標(biāo)大的在上。判斷方法：B點在A點的左、前、下方。

上下后左右前兩點重影2.1點的投影

當(dāng)空間兩點處于同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。()H面重影，被擋住的投影加()2.2直線的投影直線的三面投影屬于直線的點12各種位置平面的投影3兩直線的相對位置41.直線的三面投影2.2直線的投影

兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。2.屬于直線的點2.2直線的投影如果一個點在直線上，則該點的各個投影必在該直線的同面投影上。反之，如果點的各個投影都在直線的同面投影上，則該點一定在該直線上。直線與點的相對位置2.2直線的投影ABVHCbcac′b′a′e′eC點在直線AB上；D點不在直線AB上。D例1：判斷點K是否在線段AB上。2.2直線的投影a″b″●k″因k″不在a″

b″上，故點K不在AB上。abka′b′k′●●3.各種位置直線的投影2.2直線的投影投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面投影特性：（1）一般位置直線的各面投影都與投影軸傾斜；（2）一般位置直線的各面投影的長度均小于實長。一般位置直線2.2直線的投影2、投影面平行線投影特性：1.在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角。2.另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。2.2直線的投影與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ2.2直線的投影b″a″abab′b″aa″b′ba′水平線側(cè)平線正平線γ實長實長實長βγααβba″aa′b′b″′3、投影面垂直線投影特性：1.在其垂直的投影面上，投影有積聚性。2.另外兩個投影面上，投影反映線段實長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。2.2直線的投影2.2直線的投影鉛垂線正垂線側(cè)垂線●c′(d

)cdd″c″●a′b′a(b)a″b″●e′f′efe″(f″)積聚為點積聚為點積聚為點d′C′dddCAB為水平線CD為側(cè)平線2.2直線的投影例2：判斷下列直線的空間位置例3在立體的投影上判斷直線的位置AB水平

線；SB側(cè)平線；AC側(cè)垂

線；SA一般位置線。2.2直線的投影⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。4.兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。2.2直線的投影abcda′b′c″d″例4：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。結(jié)論：AB//CDX2.2直線的投影

對于投影面平行線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應(yīng)包括反映實長的投影。結(jié)論:AB與CD不平行例5：判斷圖中兩條直線是否平行2.2直線的投影cbadd′b′a′c′b″d″c″a″2.兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。2.2直線的投影HVXABCDabcda′b′c′d′abcdb′a′c′d′kk′交點是兩直線的共有點k′kK●●cabb′a′c′d′k′kd例6：過C點作水平線CD與AB相交先作正面投影2.2直線的投影3.兩直線交叉

同名投影可能相交，但“交點”不符合點的投影規(guī)律，是兩直線上的一對重影點的投影。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。AB與CD兩直線相交嗎結(jié)論：AB與CD兩直線不相交2.2直線的投影12●●d′b′a′abcdc

1′(2′

)3(4)●●3′

4′●●平面的表示法各種位置平面的投影12平面上直線和點的投影32.3平面的投影1.平面的表示法不屬于同一直線的三點可確定一平面。因此平面可以用如圖所示的任何一組幾何要素的投影來表示。在投影圖中，常用平面圖形來表示空間的平面。2.3平面的投影

2.各種位置平面的投影投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面2.3平面的投影一般位置平面投影特性:三面投影都是小于原平面圖形的類似形a"b"c"ca'b'baa"a'b'b"c'c"bacABC2.3平面的投影鉛垂面投影特性：1.H面投影積聚成一直線,反映平面與V面夾角β和與W面夾角γ；2.V面和W面投影是類似形。2.3平面的投影正垂面投影特性：1.V面投影積聚為一直線,反映直線與H面夾角α和與W面夾角γ；2.H面投影和W面投影為類似形。

2.3平面的投影側(cè)垂面

投影特性：1.W面投影積聚為一直線,反映平面與V面的夾角β和與H面的夾α；

2.V面投影和H面投影為類似形。2.3平面的投影投影面垂直面投影特性總結(jié)

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。

另外兩個投影面上的投影有類似性。2.3平面的投影投影面平行面投影特性：(1)水平投影△abc反映△ABC實形；(2)a′b′c′、a″b″c″積聚為一條線。CABa"b"c'baca'b'c"ca′b'b"baa"c′c"水平面2.3平面的投影直線的位置直觀圖正平面投影圖投影特性側(cè)平面水平面CBAb"c'ab"bac'1．水平投影反映實形。2．正面投影積聚成平行于X軸的直線。3．側(cè)面投影積聚成平行于Y軸的直線。1．正面投影反映實形。2．水平投影積聚成平行于X軸的直線。3．側(cè)面投影積聚成平行于Z軸的直線。1．側(cè)面投影反映實形。2．正面投影積聚成平行于Z軸的直線。3．水平投影積聚成平行于Y軸的直線。投影面平行面投影特性總結(jié)在它所平行的投影面上的投影反映實形。

另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。2.3平面的投影例1在立體的投影上判斷平面的位置▲SAB

面？▲ABC

面？

▲SAC

面？水平面一般位置側(cè)垂面2.3平面的投影

條件一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。

1、屬于平面的直線3.平面上直線和點的投影●●MN2.3平面的投影條件二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。AB●M2.3平面的投影有無數(shù)解abb′a′abnb′n′a′d′mnn′m′d例2：已知平面由直線AB、AN所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。

解法一：解法二：根據(jù)條件一有多少解根據(jù)條件二2.3平面的投影⒉屬于平面的點（平面上取點）

方法：先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。條件：若一點屬于平面內(nèi)一條線，則此點屬于該平面。2.3平面的投影例3：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。baca′k′b′●①c′利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解k●d′d②●abca′b′k′c′k●2.3平面的投影bckada′d′b′c′k′例4：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。2.3平面的投影換面法的概念點的投影變換12直線的投影變換32.4投影變換a1

c1

b1

V1X1X1

換面法—空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面來代替舊的投影面，使對新投影面的相對位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H

體系變?yōu)閂1/H

體系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.換面法的概念新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：1．新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。2．新投影面