2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（預(yù)賽）

..,FF2=2PFS1為r的實(shí)數(shù)等比數(shù)列{an}n≥1，滿足an≥C對所有正整數(shù)n成立x表示實(shí)數(shù)x對任意實(shí)數(shù)x，顯然有故滿足要求的C不超過.又取{an}的首項(xiàng)注意到對任意正整數(shù)n，均有rn-1為奇數(shù)，因此情形2：r為偶數(shù).*)．對任意實(shí)數(shù)α,我們證明a1與a2中必有一數(shù)不超過事實(shí)上，設(shè)a1=k士δ,其中k是與a1最近的整數(shù)（之一且0≤δ≤.注意到，對任意實(shí)數(shù)x及任意整數(shù)k，均有x十k=x，以及-x=x.若，則<2mδ≤m，即m-<δr≤m，此時另一方面，取a1=則對任意正整數(shù)n，有an=n-1，由二 這意味著滿足要求.從而滿足要求的C的最大值為2綜上，當(dāng)r為奇數(shù)時，所求C的最大值為；當(dāng)r為偶數(shù)時，所求二本題滿分40分）如圖，在凸四邊形ABCD中，AC平分上BAD，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，滿足EF||BD．分別延長FA,EA至點(diǎn)P,Q，使得過點(diǎn)圓.QQPAB··DEFCQPAKBDEFC故BP,CA的延長線相交，記交點(diǎn)為L.由EF||BD知在線段AC上取點(diǎn)K，使得則KE||AB,KF||AD．…………10分可知△ABL∽△KAF，所以AL=．…………20分同理，記DQ,CA的延長線交于點(diǎn)L/，則A又由KE||AB,KF||AD知，即KE.AD=KF.AB.所以AL/=AL，即L/與L重合.由切割線定理知LP.LB=LA2=LQ.LD，所以B,P,Q,D四點(diǎn)共圓.構(gòu)成的集合S稱為“連通的”，如果對S中任意兩個不同的小方格A,B，存在整3白色，總存在一個連通的集合S，使得S中的黑格個數(shù)與白格個數(shù)之差的絕對值不小于K.對一個由小方格構(gòu)成的集合S，記Sb是S中的黑格個數(shù)，Sw是S中的白格個取不屬于S的黑格A滿足d(A,S)最小，這里d(A,S)=d(A,B).易知若d(A,S)=2，則存在與A相鄰的白格C，而C與S中某個方格B相鄰，取S′=SU{A,B}，則S’仍是連通的，且S?S不變.因而可逐步擴(kuò)充S，使得S包含所有黑格，保持S的連通性，且Sb?Sw不減.w設(shè)表格中共有X個黑格和Y個白格，在第二行中有x個黑格和y個白格.于由平均值原理可知max{X?y,Y?x}≥n.不妨設(shè)X?y≥n.取S為第二行中的y個白格以及所有X個黑格.由于S包綜上所述，Kmax=n.4證明：先證明下述引理.2n即Ak—1n另一方面，因(D,A)=1，故由歐拉定理知DAφ(D)—對任意n∈N*,(n,B)=1，存在正整1答案：4049.2.設(shè)無窮等比數(shù)列{an}的公比q滿足0<q<1．若{an}的各項(xiàng)和等于{an}各項(xiàng)的平方和，則a2的取值范圍是解：因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)和為注意到{an}各項(xiàng)的平方依次構(gòu)成首項(xiàng)2為a、公比為q2的等比數(shù)列，于是{a}的各項(xiàng)和為.2當(dāng)時，a2=3答案：7.—a，故A是一個包含[4,9]且以x=5進(jìn)一步可知B只能為[4,十∞)，故b<0且4b=b3，得b=—2.4.在三棱錐P—ABC中，若PA丄底面ABC，且棱AB,BP,BC,CP的長分解：由條件知PA丄AB，PA丄AC.PA22所以S△ABC=AB.BC.sinB=又該三棱錐的高為PA，故其體積為.S△ABC.PA=解：設(shè)擲出1,2,…,6點(diǎn)的概率分別為p1,p2,…,p6．由于p1,p2,…,p6成等差數(shù)列，且p1十p2十…十p6=1，故p1十p6=p2十p5=p3十p4=.=(p1十p4)2=3.,6.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽、最小正周期為5的函數(shù)．若函數(shù)g(x)=f(2x)在區(qū)間[0,5)上的零點(diǎn)個數(shù)為25，則g(x)在區(qū)間[1,4)上的零點(diǎn)個數(shù)為.答案：11.g(x)在[0,5)上的零點(diǎn)個數(shù)等于f(t)在[1,32)上的零點(diǎn)個數(shù).注意到f(t)有最小正周期5，設(shè)f(t)在一個最小正周期上有m個零點(diǎn)，則f(t)在[2,32)上有6m個零點(diǎn)，又設(shè)f(t)在[1,2)上有n個零點(diǎn)，則6m十n=25，且0≤n≤m，因此m=4,n=1.從而g(x)在[1,4)上的零點(diǎn)個數(shù)等于f(t)在[2,16)=[1,16)\[1,2)上的零點(diǎn)個 記PF1=u,PF2=v,F1F2=d，則2—u23故由條件知=u2十v2d2，即8.若三個正整數(shù)a,b,c的位數(shù)之和為8，且組成a,b,c的8個數(shù)碼能排列為數(shù)組．滿足10<a<b<c的幸運(yùn)數(shù)組(a,b,c)的個數(shù)為.答案：591.解：對于幸運(yùn)數(shù)組(a,b,c)，當(dāng)10<a<b暫不考慮b,c的大小關(guān)系，先在a,b,c的非最高位（五個位置）中選三個位置填0，剩下五個位置還未填，任選其中兩個填2，最后三個位置填寫4,8,9，這樣的填法數(shù)為C×C×3!=600．再考慮其中b,c的大小關(guān)系，由于不可能有b=c，因此b<c與b>c的填法各占一半，故有300個滿足要求的幸運(yùn)數(shù)組.情形2：a,b是兩位數(shù)，c是四位數(shù).置）中選三個位置填0，剩下五個位置填2,2,4,8,9，這樣的填法數(shù)為600．再考慮其中a,b的大小關(guān)系．若a=b，則必有a=b=20，c的四個數(shù)字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有3×3!=18種填法，除這些填法外，a<b與a>b的填法各占一半，故有=291個滿足要求的幸運(yùn)數(shù)組.程或演算步驟.22求cosC的值.4為A．將圓心在y軸上，且與Γ的兩支各恰有一個公共PA0與Γ的方程消去x，得關(guān)于y的二次方程2y22y0y十y十1r02=0.對于外切于點(diǎn)P的兩個好圓Ω1,Ω2，顯然P在y軸上．設(shè)P(0,h)，Ω1,Ω2的>0，故化簡得h=.r2=h22(rr)2的最小可能值.≥a2—b2的最小值.5 由f(t)=f(4—t)，不妨設(shè)t≥2．我們證明f(t)≥f(t0)，其中t0=B.0]時，t404]，f(t)—f(t0)=(B—t2)十(B(t4)2)(B(t04)2)04)2(t2十(t4)2)=(2t8t0)(2t28t)f(t)—f(t0)=t2—B十(t4)2B(t04)2B≥t2t(t4)2(t04)2=(tt0)(t十t0t十t08)01=51時，S取到最小值8516.w22z=(x24x1—y2)十(2x4)yi. 當(dāng)x≥52時，由①得S≥8x≥8516.當(dāng)0≤x<52時，由②得S≥2(1—x2)>2(1(52)2)=8516.z22(2z)=z2十2z4=z十1十5.z十15；(2z)2