2024-2025新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.4.1二項(xiàng)分布素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE十三二項(xiàng)分布(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)如城鎮(zhèn)小汽車(chē)的普及率為75%,即平均每100個(gè)家庭有75個(gè)家庭擁有小汽車(chē),若從如城鎮(zhèn)中隨意選出5個(gè)家庭,則下列結(jié)論成立的是 ()A.這5個(gè)家庭均有小汽車(chē)的概率為QUOTEB.這5個(gè)家庭中,恰有三個(gè)家庭擁有小汽車(chē)的概率為QUOTEC.這5個(gè)家庭平均有3.75個(gè)家庭擁有小汽車(chē)D.這5個(gè)家庭中,四個(gè)家庭以上(含四個(gè)家庭)擁有小汽車(chē)的概率為QUOTE【解析】選ACD.由題得小汽車(chē)的普及率為QUOTE,A.這5個(gè)家庭均有小汽車(chē)的概率為QUOTE=QUOTE,故A成立;B.這5個(gè)家庭中,恰有三個(gè)家庭擁有小汽車(chē)的概率為QUOTE=QUOTE,故B不成立;C.這5個(gè)家庭平均有3.75個(gè)家庭擁有小汽車(chē),故C成立;D.這5個(gè)家庭中,四個(gè)家庭以上(含四個(gè)家庭)擁有小汽車(chē)的概率為QUOTE+QUOTE=QUOTE,故D成立.2.如圖是一塊高爾頓板示意圖:在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?小球從上方的通道口落下后,將與層層小木塊碰撞,最終掉入下方的某一個(gè)球槽內(nèi).若小球下落過(guò)程中向左、向右落下的機(jī)會(huì)均等,則小球最終落入④號(hào)球槽的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設(shè)這個(gè)球落入④號(hào)球槽為事務(wù)A,落入④號(hào)球槽要經(jīng)過(guò)兩次向左,三次向右,所以P(A)=QUOTE=QUOTE.3.隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從二項(xiàng)分布ξ～B(n,p),且E(ξ)=300,D(ξ)=200,則p等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.0【解析】選B.因?yàn)棣巍獴(n,p),所以QUOTE,解得QUOTE.即p等于QUOTE.4.若隨機(jī)變量X聽(tīng)從二項(xiàng)分布,即X～BQUOTE,則 ()A.P(X=1)=P(X=3) B.P(X=2)=2P(X=1)C.P(X=2)=P(X=3) D.P(X=3)=4P(X=1)【解析】選D.由題意,依據(jù)二項(xiàng)分布中概率的計(jì)算公式P(X=k)=QUOTEpk(1-p)n-k,則有P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE,因此有P(X=3)=4P(X=1).5.設(shè)X為隨機(jī)變量,X～BQUOTE,若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2,則P(X=2)等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)镋(X)=QUOTEn=2,得n=6,即X～BQUOTE.所以P(X=2)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.6.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為X,已知E(X)=3,則D(X)= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意知,X～BQUOTE,所以E(X)=5×QUOTE=3,解得m=2,所以X～BQUOTE,所以D(X)=5×QUOTE×QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)7.某大廈的一部電梯從底層動(dòng)身后只能在第18,19,20層?？?若該電梯在底層有6位乘客,且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為QUOTE,用X表示這6位乘客在第20層下電梯的人數(shù),則P(X=4)=.

【解析】考查一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn),這是6次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故X～BQUOTE.即有P(X=k)=QUOTE×QUOTE,k=0,1,2,3,4,5,6.所以P(X=4)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從二項(xiàng)分布,即X～B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,則n=,p=.

【解析】因?yàn)閄～B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,所以E(X)=1.6=np,①D(X)=1.28=np(1-p),②①與②相除可得1-p=QUOTE=0.8,所以p=0.2,n=QUOTE=8.答案:80.2三、解答題9.(10分)為了比較傳統(tǒng)糧食α與新型糧食β的產(chǎn)量是否有差別,探討人員在若干畝土地上分別種植了傳統(tǒng)糧食α與新型糧食β,并收集統(tǒng)計(jì)了β的畝產(chǎn)量,所得數(shù)據(jù)如圖所示.已知傳統(tǒng)糧食α的產(chǎn)量約為760公斤/畝.(1)通過(guò)計(jì)算比較傳統(tǒng)糧食α與新型糧食β的平均畝產(chǎn)量的大小關(guān)系;(2)以頻率估計(jì)概率,若在4塊不同的1畝的土地上播種新型糧食β,記畝產(chǎn)量不低于785公斤的土地塊數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望E(X).【解析】(1)依題意,所求新型糧食β的平均畝產(chǎn)量為750×0.05+760×0.1+770×0.2+780×0.25+790×0.2+800×0.1+810×0.05+820×0.05=37.5+76+154+195+158+80+40.5+41=782(公斤);因?yàn)?82>760,故傳統(tǒng)糧食α的平均畝產(chǎn)量低于新型糧食β的平均畝產(chǎn)量.(2)由題圖可知,新型糧食β畝產(chǎn)不低于785公斤的頻率為10×(0.02+0.01+0.005+0.005)=10×0.04=0.4,以頻率估計(jì)概率,任取1塊土地新型糧食β畝產(chǎn)不低于785公斤的概率為QUOTE,故X～BQUOTE,故P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,故X的分布列為:X01234PEQUOTE=4×QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.若X～B(20,0.3),則 ()A.E(X)=3 B.P(X≥1)=1-0.320C.D(X)=4 D.P(X=10)=QUOTE×0.2110【解析】選D.因?yàn)閚=20,p=0.3,所以E(X)=20×0.3=6,D(X)=20×0.3×(1-0.3)=4.2,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-QUOTE(1-0.3)20=1-0.720,P(X=10)=QUOTE0.310(1-0.3)10=QUOTE·0.2110.2.設(shè)隨機(jī)變量X～B(2,p),隨機(jī)變量Y～B(3,p),若P(X≥1)=QUOTE,則D(3Y+1)= ()A.2 B.3 C.6 D.7【解析】選C.因?yàn)殡S機(jī)變量X～BQUOTE,所以PQUOTE=1-P(X=0)=1-QUOTE(1-p)2=QUOTE,解得p=QUOTE,所以D(Y)=3×QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以D(3Y+1)=9D(Y)=9×QUOTE=6.3.(多選題)下列結(jié)論正確的有 ()A.公共汽車(chē)上有10位乘客,沿途5個(gè)車(chē)站,乘客下車(chē)的可能方式有105種B.兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列,則兩位女生不相鄰的概率是QUOTEC.若隨機(jī)変量X聽(tīng)從二項(xiàng)分布X～BQUOTE,則PQUOTE≤X≤QUOTE=QUOTED.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè),剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3,3,5,3,6,11,若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列,則丟失數(shù)據(jù)的全部可能值的和為12【解析】選BD.對(duì)于A:公共汽車(chē)上有10位乘客,沿途5個(gè)車(chē)站,則每個(gè)乘客由5種下車(chē)的方式,則依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得乘客下車(chē)的可能方式有510種,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列,共有QUOTE=24(種)排法;兩位女生不相鄰的排法有QUOTE=12(種),故兩位女生不相鄰的概率是QUOTE,故B正確;對(duì)于C:若隨機(jī)變量X聽(tīng)從二項(xiàng)分布X～BQUOTE,則PQUOTE≤X≤QUOTE=P(X=2)+P(X=3)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:設(shè)這個(gè)數(shù)字是x,則平均數(shù)為QUOTE,眾數(shù)是3,若x≤3,則中位數(shù)為3,此時(shí)x=-10,若3<x<5,則中位數(shù)為x,此時(shí)2x=QUOTE+3,x=4,若x≥5,則中位數(shù)為5,2×5=QUOTE+3,x=18,全部可能值為-10,4,18,其和為12,故D正確.4.設(shè)X～B(4,p),其中QUOTE<p<1,且P(X=2)=QUOTE,則P(X=3)= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.X～BQUOTE,所以PQUOTE=QUOTEp2(1-p)2=QUOTE,所以p2(1-p)2=QUOTE,因?yàn)镼UOTE<p<1,所以p(1-p)=QUOTE,所以p=QUOTE,PQUOTE=QUOTEp3(1-p)1=4×QUOTE×QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)5.設(shè)隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從二項(xiàng)分布ξ～BQUOTE,則P(ξ≤2)等于.

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ聽(tīng)從二項(xiàng)分布ξ～BQUOTE,所以P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=QUOTE,則D(η)=.

【解析】因?yàn)棣巍獴(2,p),P(ξ≥1)=QUOTE,所以P(ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1-(1-p)2=QUOTE,解得p=QUOTE,所以η～BQUOTE,所以D(η)=4×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.已知兩名射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平:甲擊中目標(biāo)靶的概率是0.7,乙擊中目標(biāo)靶的概率是0.6.若讓甲、乙兩人各自向目標(biāo)靶射擊3次,則:(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)(1)甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率是;

(2)兩名運(yùn)動(dòng)員都恰好擊中目標(biāo)2次的概率是.

【解析】由題意,甲向目標(biāo)靶射擊1次,擊中目標(biāo)靶的概率為0.7,乙向目標(biāo)靶射擊1次,擊中目標(biāo)靶的概率為0.6,兩人射擊均聽(tīng)從二項(xiàng)分布.(1)甲向目標(biāo)靶射擊3次,恰好擊中2次的概率是QUOTE×0.72×(1-0.7)≈0.44.(2)甲、乙兩人各向目標(biāo)靶射擊3次,恰好都擊中2次的概率是QUOTE×[QUOTE×0.62×(1-0.6)]≈0.19.答案:(1)0.44(2)0.198.某陶瓷廠打算燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過(guò)程必需先后經(jīng)過(guò)兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入其次次燒制,再次燒制過(guò)程相互獨(dú)立.依據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過(guò)第一次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4,經(jīng)過(guò)其次次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6,0.5,0.75;則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為;經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后,合格工藝品的件數(shù)為ξ,則隨機(jī)變量ξ的期望為.

【解析】第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為:P=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1-0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38.甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為:P1=0.5×0.6=0.3,P2=0.6×0.5=0.3,P3=0.4×0.75=0.3.故EQUOTE=0.3×3=0.9.答案:0.380.9三、解答題(每小題10分,共20分)9.為調(diào)查人們?cè)谫?gòu)物時(shí)的支付習(xí)慣,某超市對(duì)隨機(jī)抽取的300名顧客的支付方式進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如表所示:支付方式微信支付寶購(gòu)物卡現(xiàn)金人數(shù)100757550現(xiàn)有甲,乙,丙三人將進(jìn)入該超市購(gòu)物,各人支付方式相互獨(dú)立,假設(shè)以頻率近似代替概率.(1)求三人中用支付寶支付的人數(shù)多于購(gòu)物卡支付人數(shù)的概率;(2)記X為三人中用微信支付的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)運(yùn)用微信支付的概率為QUOTE=QUOTE,運(yùn)用支付寶支付的概率為QUOTE=QUOTE,運(yùn)用購(gòu)物卡支付的概率為QUOTE=QUOTE,運(yùn)用現(xiàn)金支付的概率為QUOTE=QUOTE,由題意得三人中運(yùn)用支付寶支付的人數(shù)多于運(yùn)用購(gòu)物卡支付的人數(shù)的概率為:QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)隨機(jī)變量X的全部可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE.X的分布列為:X0123P期望值為E(X)=3×QUOTE=1.10.某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零件.這種零件有A,B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)須要檢測(cè),設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響.若A項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為QUOTE,B項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為QUOTE,按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定:兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品.(1)一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率;(2)隨意依次抽取該種零件4個(gè),設(shè)ξ表示其中合格品的個(gè)數(shù),求ξ的分布列及E(ξ).【解析】(1)設(shè)M:一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo),則QUOTE:A,B都不達(dá)標(biāo);故P(M)=1-P(QUOTE)=1-QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為QUOTE.(2)依題意兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的概率為QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以ξ～BQUOTE,P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,PQUOTE=QUOTE=QUOTE,ξ的分布列為:ξ01234PE(ξ)=QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】全國(guó)中小學(xué)生的體質(zhì)健康調(diào)研最新數(shù)據(jù)表明我國(guó)小學(xué)生近