3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）（精練）1一次函數(shù)模型1．（2022福建）一個(gè)矩形的周長(zhǎng)是20，矩形的長(zhǎng)y關(guān)于寬x的函數(shù)解析式為（）（默認(rèn)y>x）A．y＝10－x(0<x<5)B．y＝10－2x(0<x<10)C．y＝20－x(0<x<5)D．y＝20－2x(0<x<10)【答案】A【解析】由題意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函數(shù)解析式為.故選：A2．（2022上海）如圖所示，已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米.為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形塊BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上.（1）設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；（2）求矩形BNPM面積的最大值.【答案】（1）；（2）48.【解析】（1）如圖所示，延長(zhǎng)NP交AF于點(diǎn)Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.在中，，所以.所以，定義域?yàn)?（2）設(shè)矩形BNPM的面積為S，則，開口向下，且對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝8時(shí)，S取最大值48，所以矩形BNPM面積的最大值為48.3．（2022北京）小明和爸爸從家步行去公園，爸爸先出發(fā)一直勻速前行，小明后出發(fā)勻速前行，且途中休息一段時(shí)間后繼續(xù)以原速前行．家到公園的距離為2000m，如圖是小明和爸爸所走的路程s（m）與步行時(shí)間t（min）的函數(shù)圖象．（1）直接寫出BC段圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出t的取值范圍）_______．（2）小明出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與爸爸第三次相遇？（3）在速度都不變的情況下，小明希望比爸爸早18分鐘到達(dá)公園，則小明在步行過程中停留的時(shí)間需減少多少分鐘？【答案】(1)s=40t–400(2)37.5min(3)3min【解析】（1）設(shè)直線BC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為s=kt+b，將（30，800），（60，2000）代入得，，解得，∴直線BC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為s=40t–400．（2）設(shè)小明的爸爸所走路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s=mt+n，則，解得．即小明的爸爸所走路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式是s=24t+200，解方程組，得，即小明出發(fā)37.5min時(shí)與爸爸第三次相遇．（3）當(dāng)s=2000時(shí)，2000=24t+200，得t=75，∵75–60=15，∴小明希望比爸爸早18min到達(dá)公園，則小明在步行過程中停留的時(shí)間需要減少3min．2二次函數(shù)模型1．（2022安徽）生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為（萬元）.一萬件售價(jià)是20萬元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為（

）A．18萬件 B．20萬件 C．16萬件 D．8萬件【答案】A【解析】利潤(rùn).所以當(dāng)時(shí)，L(x)有最大值.故選：A2．（2022海南）已知某炮彈飛行高度h（單位：m）與時(shí)間x（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為，則炮彈飛行高度高于的時(shí)間長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可得，解得，則炮彈飛行高度高于的時(shí)間長(zhǎng)為（s）.故選：A.3．（2022山東）某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程，二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤(rùn)（萬元）與銷售時(shí)間（月）之間的關(guān)系（即前個(gè)月的利潤(rùn)總和與之間的關(guān)系）.根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題：（1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)（萬元）與時(shí)間（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到第幾個(gè)月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到萬元；（3）求第八個(gè)月公司所獲得的利潤(rùn).【答案】（1）；（2）第十個(gè)月；（3）利潤(rùn)為萬元.【解析】（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為.由題中函數(shù)圖象過點(diǎn)、、，得，解得，因此，所求函數(shù)關(guān)系式為；（2）把代入，得，整理得，，解得，因此，截止到第十個(gè)月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到萬元；（3）第八個(gè)月公司所獲得的利潤(rùn)為（萬元）.因此，第八個(gè)月公司所獲得的利潤(rùn)為萬元.4（2021·全國·高一專題練習(xí)）為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺(tái)了相關(guān)政策，由政府協(xié)調(diào)，企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān).某大學(xué)畢業(yè)生校照相關(guān)政策投資銷售一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月的銷售量(單位:件)與銷售單價(jià)(單位:元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù):.（1）設(shè)他每月獲得的利潤(rùn)為(單位:元)，寫出他每月獲得的利潤(rùn)與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式，并求出利潤(rùn)的最大值.（2）相關(guān)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于元.如果他想要每月獲得的利潤(rùn)不少于元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少?【答案】（1），；（2）.【解析】（1）依題意可得：每件的銷售利潤(rùn)為元，每月的銷售量為件，所以每月獲得的利潤(rùn)與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：，對(duì)稱軸為，開口向下，此時(shí)最大值為，所以利潤(rùn)與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式，最大利潤(rùn)為元.（2）由每月獲得的利潤(rùn)不小于元，得，即，解得：，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于元，所以，設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為元，則，由可得，所以政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是元.3分段函數(shù)模型1．（2022河南）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為0．5萬元，但每生產(chǎn)100件需要增加投入0．25萬元，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為500件，銷售收入為函數(shù)R(x)＝5x－(0≤x≤5)萬元，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百件)．(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)年產(chǎn)量為多少時(shí)，當(dāng)年公司所得利潤(rùn)最大？【答案】(1)f(x)＝；(2)475件．【解析】(1)產(chǎn)量為x(百件)，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)；當(dāng)x＞5時(shí)，銷售收入為萬元，此時(shí)f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x；∴f(x)＝；(2)當(dāng)0≤x≤5時(shí)，f(x)＝＋10.78125；當(dāng)x＞5時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)．∴當(dāng)x＝4.75時(shí)，即年產(chǎn)量為475件時(shí)，公司所得利潤(rùn)最大．2．（2022·湖南）十九大指出中國的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃，年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備看，通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本萬元，每生產(chǎn)（百輛）需另投入成本（萬元），且.由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車售價(jià)萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出年的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷售額—成本）(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】(1)(2)百輛，最大利潤(rùn)為萬【解析】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以,（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，時(shí)，，，時(shí)，即年產(chǎn)量為百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為萬元.3．（2022河南）年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.為降低疫情影響，某廠家擬盡快加大力度促進(jìn)生產(chǎn).已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足千件時(shí)，(萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不小于千件時(shí)，(萬元).每件商品售價(jià)為萬元.通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，該廠在這一商品生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.【解析】（1）因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為萬元，則千件商品銷售額為萬元，依題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，即萬元.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即萬元，由于，所以當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，該廠在這一商品生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.4基本不等式模型1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷．特別是美國對(duì)我國華為的限制．盡管美國對(duì)華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對(duì)各國的施壓，拉攏他們抵制華為，然而這并沒有讓華為卻步．華為在年不僅凈利潤(rùn)創(chuàng)下記錄，海外增長(zhǎng)同樣強(qiáng)勁．今年，我國華為某一企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本萬，每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，需另投入成本萬元，且．由市場(chǎng)調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完．(1)求出年的利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)解析式（利潤(rùn)銷售額成本）；(2)年產(chǎn)量為多少（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)；(2)年產(chǎn)量為（千部）手機(jī)時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.【解析】(1)由題意知：每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，投入的成本，，即；(2)①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），；綜上所述：年產(chǎn)量為（千部）手機(jī)時(shí)，企業(yè)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.2．（2022·江蘇）某汽車公司購買了輛大客車用于長(zhǎng)途客運(yùn)，每輛萬元，預(yù)計(jì)每輛客車每年收入約萬元，每輛客車第一年各種費(fèi)用約為萬元，從第二年開始每年比上一年所需費(fèi)用要增加萬元.（1）寫出輛客車運(yùn)營的總利潤(rùn)(萬元)與運(yùn)營年數(shù)的函數(shù)關(guān)系式：（2）這輛客車運(yùn)營多少年，可使年平均運(yùn)營利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）；（2）這4輛客車運(yùn)營年，可使年平均運(yùn)營利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為48萬元.【解析】（1）依題意得，每輛車年總收入為萬元，總支出為，所以輛客車運(yùn)營的總利潤(rùn).（2）年平均運(yùn)營利潤(rùn)為，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，所以這4輛客車運(yùn)營年，可使年平均運(yùn)營利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為48萬元.3．（2022·山西大附中）小李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬元，每年生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時(shí)，（萬元）；在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí)，（萬元）.每件產(chǎn)品售價(jià)為10元，經(jīng)分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.(1)寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式.（年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本）(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【答案】(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.【解析】(1)解：因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為10元，所以x萬件產(chǎn)品銷售收入為萬元.依題意得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以；(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，取得最大值.由，則可知當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）2022年第24屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，于2022年2月4日星期五開幕，將于2月20日星期日閉幕．該奧運(yùn)會(huì)激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情，與冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)的商品銷量持續(xù)增長(zhǎng)．對(duì)某店鋪某款冰雪運(yùn)動(dòng)裝備在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該款冰雪運(yùn)動(dòng)裝備的日銷售單價(jià)（元/套）與時(shí)間x（被調(diào)查的一個(gè)月內(nèi)的第x天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（k為正常數(shù)）．該商品的日銷售量（個(gè)）與時(shí)間x（天）部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：x10202530110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元．(1)求k的值；(2)給出兩種函數(shù)模型：①，②，請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量與時(shí)間x的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)求該商品的日銷售收入（