專題12應(yīng)用一元二次方程之九大考點(傳播,增長率,與圖形有關(guān),數(shù)字,營銷,動態(tài)幾何,工程,行程,圖標(biāo)信息問題)(原卷版+解析)

專題12應(yīng)用一元二次方程之九大考點(傳播,增長率,與圖形有關(guān),數(shù)字,營銷,動態(tài)幾何,工程,行程,圖標(biāo)信息問題)【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】 1【考點二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】 3【考點三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】 4【考點四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】 7【考點五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】 8【考點六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】 10【考點七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】 14【考點八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】 16【考點九一元二次方程的應(yīng)用--圖表信息問題】 18【過關(guān)檢測】 20【典型例題】【考點一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】例題：（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶八中校考期末）有一個人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染個人，可列方程為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）在元旦慶?；顒又校總€參加活動的同學(xué)都給其余參加活動的同學(xué)各送1張賀卡，共送賀卡42張，設(shè)參加活動的同學(xué)有人，根據(jù)題意，可列方程是2．（2023秋·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪感染后共有81個人患了流感．(1)求每輪感染中平均一個人會傳染了幾個人？(2)如果按這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪感染后共有多少個人患流感？【考點二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】例題：（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）張師傅去年開了一家超市，今年2月份開始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利達(dá)到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長率都相同，則每月盈利的平均增長率是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山西太原·校聯(lián)考三模）春節(jié)期間電影《滿江紅》的公映帶火拍攝地太原古縣城，太原古縣城也因此迎來了旅游的高峰期．據(jù)了解，今年1月份第一周該景點參觀人數(shù)約10萬人，第三周參觀人數(shù)增加到約萬人，這兩周參觀人數(shù)的平均增長率為．

2．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)預(yù)計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【考點三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）在學(xué)校勞動實踐基地里有一塊長20米、寬10米的長方形菜地，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫開辟三條等寬的小道（如圖中陰影部分所示），剩下部分種植蔬菜，已知種植蔬菜的面積為171平方米，則小道的寬為____米．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，某農(nóng)場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為27米和15米．該農(nóng)場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場，其中和兩邊借助墻體且不超出墻體，其余部分用

總長45米的木欄圍成．中間預(yù)留1米寬的通道，在和邊上各留1米寬的門．設(shè)長x米．(1)求的長度(用含x的代數(shù)式表示)．(2)若飼養(yǎng)場的面積為180平方米，求x的值．2．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，墻可利用的最大長度為15米，花圃一面利用墻，其余三面用籬笆圍成，籬笆總長為24米．

(1)若圍成的花圃面積為40平方米時，求的長；(2)圍成的花圃面積能否為75平方米，如果能，請求的長；如果不能，請說明理由．【考點四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個兩位數(shù)等于它個位數(shù)字的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個兩位數(shù)是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）兩個連續(xù)奇數(shù)的積為323，設(shè)其中的一個奇數(shù)為，可得方程________．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個兩位數(shù)是_____．【考點五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）某水果批發(fā)商店經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商店要保證每天盈利5000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）某商場一種商品的進(jìn)價為每件30元，售價為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價多少元？2．（2023春·八年級單元測試）在國家積極政策的鼓勵下，環(huán)保意識日漸深入人心，新能源汽車的市場需求逐年上升．(1)某汽車企業(yè)2020年到2022年這兩年新能源汽車的銷售總量增長了96%．求該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率；(2)某汽車企業(yè)下屬的一個專賣店經(jīng)銷一款進(jìn)價為15萬元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛．若該店計劃下調(diào)售價使平均每周的銷售利潤為96萬元，并且盡量讓利于顧客，求下調(diào)后每輛汽車的售價．【考點六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】例題：（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)校考期中）在中，，動點M、N分別從點A和點C同時開始移動，點M的速度為/秒，點N的速度為/秒，點M移動到點C后停止，點N移動到點B后停止．問經(jīng)過幾秒鐘，的面積為？

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）等腰中，，動點從點出發(fā)，沿向點移動，通過點引平行于、的直線與、分別交于點、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于．2．（2023春·八年級單元測試）等邊，邊長為，點P從點C出發(fā)以向點B運(yùn)動，同時點Q以向點A運(yùn)動，當(dāng)一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，

(1)求當(dāng)為直角三角形時的時間；(2)的面積能否為，若存在求時間，若不存在請說明理由．【考點七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】例題：（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）某工程隊采用A，B兩種設(shè)備同時對長度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計劃A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設(shè)備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）全球疫情爆發(fā)時，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線？【考點八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是__．2．（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃榍袑嵧七M(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動．學(xué)生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【考點九一元二次方程的應(yīng)用--圖表信息問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）根據(jù)紹興市某風(fēng)景區(qū)的旅游信息：旅游人數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過30人人均收費(fèi)80元超過30人每增加1人，人均收費(fèi)降低1元，但人均收費(fèi)不低于55元A公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．（1）當(dāng)時，請直接寫出的值；（2）當(dāng)時，求的值．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，下列所列方程正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間息息相關(guān)密不可分的動人故事，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達(dá)10億元，若把增長率記作x，則方程可以列為（

）A． B．C． D．3．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）某商場銷售一批襯衣，平均每天可售出30件，每件襯衣盈利50元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價10元，商場平均每天可多售出20件．若商場平均每天盈利2000元．每件襯衣應(yīng)降價（）元．A．10 B．15 C．20 D．254．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）某公司計劃用的材料沿墻（可利用）建造一個面積為的倉庫，設(shè)倉庫與墻平行的一邊長為，則下列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10二、填空題6．（2023春·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)?？计谀┠硨W(xué)習(xí)小組的成員互贈新年賀卡，共用去90張賀卡，則該學(xué)習(xí)小組成員的人數(shù)是．7．（2023春·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期末）有一個兩位數(shù)，如果個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大1，并其十位上的數(shù)的平方比個位上的數(shù)也大1，那么這個兩位數(shù)是．8．（2023春·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）書香相伴，香滿校園，某校學(xué)生9月份借閱圖書500本，11月份借閱圖書845本，如果每月借閱圖書數(shù)量的增長率相同，設(shè)這個增長率為x，那么根據(jù)題意可列方程為．9．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┠成虉鰧⑦M(jìn)貨價為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件降價1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應(yīng)降價元．10．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖所示，中，，點P沿射線AB方向從點A出發(fā)以的速度移動，點Q沿射線CB方向從點C出發(fā)以的速度移動，P，Q同時出發(fā)，秒后，的面積為．三、解答題11．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個方框圈出的四個數(shù)．(1)若圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個最小數(shù)．12．（2023秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）2019年以來，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)一種新型冠狀病毒引起的急性呼吸道傳染疾病，(1)在新冠初期，因為人們不了解病毒而沒發(fā)現(xiàn)也沒隔離，所以1人感染后經(jīng)過兩輪傳染共有144人感染了“新冠”，那么每輪傳染后平均一個人傳染了幾個人？(2)后來，大家眾志成城，全都隔離在家，玲玲爺爺種的糖心蘋果遇到滯銷，于是玲玲在朋友圈幫爺爺銷售，糖心蘋果的成本為4元/斤，她發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價為6元/斤時，每天可賣出80斤，而每漲（降）1元時，每天就少（多）賣出20斤．如果每天要達(dá)到100元的利潤而且又最大限度地增加銷量，請幫玲玲確定銷售單價．13．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某農(nóng)場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為米和米．該農(nóng)場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場，用總長米的木欄圍成，中間預(yù)留1米寬的通道，在和邊上各留1米寬的門，設(shè)長x米．

(1)寫出的長（用含x的代數(shù)式表示）．(2)若飼養(yǎng)場的面積為平方米，求x的值．14．（2023春·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期末）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔3月份到5月份的銷量，該品牌頭盔3月份銷售256個，5月份銷售400個，且從3月份到5月份銷售量的月增長率均為．(1)求月增長率r；(2)經(jīng)在市場中調(diào)查，若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個時，定價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為多少元/個？15．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，動點P、Q分別以，的速度從點A，C同時出發(fā)，沿規(guī)定路線移動．

(1)若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，問經(jīng)過多長時間P，Q兩點之間的距離是？(2)若點P沿著移動，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間的面積為？16．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）2023年杭州亞運(yùn)會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某商店以每件35元的價格購進(jìn)某款亞運(yùn)會吉祥物，以每件58元的價格出售．經(jīng)統(tǒng)計，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件．(1)求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長率．(2)從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客．經(jīng)試驗，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件．當(dāng)該吉祥物售價為多少元時，月銷售利潤達(dá)8400元？17．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中校考期末）甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，計劃每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共萬元．因地質(zhì)情況不同，甲每合格完成米橋梁施工成本比乙每合格完成米的橋梁施工成本多萬元．(1)分別求出甲，乙每合格完成米的橋梁施工成本；(2)實際施工開始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加萬元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加萬元，且每天多挖米．若最終每天實際總成本比計劃多萬元，求的值．

專題12應(yīng)用一元二次方程之九大考點(傳播,增長率,與圖形有關(guān),數(shù)字,營銷,動態(tài)幾何,工程,行程,圖標(biāo)信息問題)【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】 1【考點二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】 3【考點三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】 4【考點四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】 7【考點五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】 8【考點六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】 10【考點七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】 14【考點八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】 16【考點九一元二次方程的應(yīng)用--圖表信息問題】 18【過關(guān)檢測】 20【典型例題】【考點一一元二次方程的應(yīng)用--傳播問題】例題：（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谀┯幸粋€人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64個人患流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染個人，可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均一個人傳染個人，有一個人患流感，第一輪有人患流感，第二輪共有人，即64人患流感，由此列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染個人，第一輪有人患流感，第二輪共有人，根據(jù)題意可得：，整理得：，故選：D．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是得到兩輪傳染數(shù)量關(guān)系，從而可列出方程求解．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）在元旦慶?；顒又校總€參加活動的同學(xué)都給其余參加活動的同學(xué)各送1張賀卡，共送賀卡42張，設(shè)參加活動的同學(xué)有人，根據(jù)題意，可列方程是【答案】【分析】設(shè)參加活動的同學(xué)有人，從而可得每位同學(xué)贈送的賀卡張數(shù)為張，再根據(jù)“共送賀卡張”建立方程，然后解方程即可得．【詳解】設(shè)參加活動的同學(xué)有人，由題意得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，依據(jù)題意，正確建立方程是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪感染后共有81個人患了流感．(1)求每輪感染中平均一個人會傳染了幾個人？(2)如果按這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪感染后共有多少個人患流感？【答案】(1)8人(2)729人【分析】（1）設(shè)第一個人傳染了人，根據(jù)兩輪傳染后共有人患了流感列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意列式計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個人會傳染x個人，依題意可得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均一個人會傳染了8個人．（2）解：第三輪的患病人數(shù)為：（人）．答：三輪感染后，共有729人患流感．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列式計算等知識點，讀懂題意、設(shè)出合適的未知數(shù)、找出等量關(guān)系，列方程求解是解答本題的關(guān)鍵．【考點二一元二次方程的應(yīng)用--增長率問題】例題：（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）張師傅去年開了一家超市，今年2月份開始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利達(dá)到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長率都相同，則每月盈利的平均增長率是．【答案】【分析】設(shè)該超市的月平均增長率為x，根據(jù)等量關(guān)系：三月份盈利額五月份的盈利額列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每月盈利平均增長率為x，根據(jù)題意得：．解得：，（不符合題意，舍去），故答案為：．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，屬于增長率的問題，一般公式為原來的量后來的量，其中增長用＋，減少用?，難度一般．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山西太原·校聯(lián)考三模）春節(jié)期間電影《滿江紅》的公映帶火拍攝地太原古縣城，太原古縣城也因此迎來了旅游的高峰期．據(jù)了解，今年1月份第一周該景點參觀人數(shù)約10萬人，第三周參觀人數(shù)增加到約萬人，這兩周參觀人數(shù)的平均增長率為．

【答案】【分析】設(shè)這兩周參觀人數(shù)的平均增長率為x，根據(jù)今年1月份第一周該景點參觀人數(shù)約10萬人，第三周參觀人數(shù)增加到約萬人，列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)這兩周參觀人數(shù)的平均增長率為x，則由題意可得，，解得（不合題意，舍去），∴這兩周參觀人數(shù)的平均增長率為，故答案為：【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握增長率問題的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)預(yù)計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【答案】(1)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為(2)5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人【分析】（1）設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，根據(jù)題意，列出不等式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為，由題意，得：，解得：（負(fù)值已舍掉）；答：這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬人，由題意，得：，解得：；∴5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人．【點睛】本題考查一元二次方程和一元一次不等式的實際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．【考點三一元二次方程的應(yīng)用--與圖形有關(guān)的問題】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）在學(xué)校勞動實踐基地里有一塊長20米、寬10米的長方形菜地，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫開辟三條等寬的小道（如圖中陰影部分所示），剩下部分種植蔬菜，已知種植蔬菜的面積為171平方米，則小道的寬為____米．【答案】1【分析】設(shè)小道的寬為米，則剩下部分可合成長為米，寬為米的長方形，根據(jù)“剩下部分種植蔬菜，種植蔬菜的面積為171平方米”，可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小道的寬為米，則剩下部分可合成長為米，寬為米的長方形，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），小道的寬為1米．故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，某農(nóng)場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為27米和15米．該農(nóng)場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場，其中和兩邊借助墻體且不超出墻體，其余部分用

總長45米的木欄圍成．中間預(yù)留1米寬的通道，在和邊上各留1米寬的門．設(shè)長x米．(1)求的長度(用含x的代數(shù)式表示)．(2)若飼養(yǎng)場的面積為180平方米，求x的值．【答案】(1)米(2)米．【分析】（1）由得，再由即可得出答案；（2）根據(jù)矩形的面積等于長×寬建立方程，求解并檢驗即可．【詳解】（1）解：如圖，∴∴即長度為米．（2）解：由題意知，解得，又∵，且∴，∴米．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用、一元二次方程的求解及一元一次不等組的求解；根據(jù)實際情境確定變量的取值范圍，對方程解作合理取舍是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，墻可利用的最大長度為15米，花圃一面利用墻，其余三面用籬笆圍成，籬笆總長為24米．

(1)若圍成的花圃面積為40平方米時，求的長；(2)圍成的花圃面積能否為75平方米，如果能，請求的長；如果不能，請說明理由．【答案】(1)BC的長為4米(2)不能圍成面積為75平方米的花圃．理由見解析【分析】（1）設(shè)的長度為x米，根據(jù)矩形的面積公式，列出方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，列出方程，利用判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：設(shè)的長度為x米，則的長度為米，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：．

∵，∴舍去．答：的長為4米．（2）不能圍成，理由如下：

當(dāng)時，

整理得，

∴該方程無實數(shù)根，∴不能圍成面積為75平方米的花圃．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．【考點四一元二次方程的應(yīng)用--數(shù)字問題】例題：（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個兩位數(shù)等于它個位數(shù)字的平方，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，則這個兩位數(shù)是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【答案】C【分析】設(shè)十位數(shù)字為，表示出個位數(shù)字，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為，則個位數(shù)字為．依題意得：，解得:.∴這個兩位數(shù)為25或36．故選C．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）兩個連續(xù)奇數(shù)的積為323，設(shè)其中的一個奇數(shù)為，可得方程________．【答案】或【分析】已知設(shè)其中的一個奇數(shù)為，且設(shè)其中的一個奇數(shù)為，分兩種情況討論：若為較小的奇數(shù)，則另一個奇數(shù)為，即可列出方程；若為較大的奇數(shù)，則另一個奇數(shù)為，即可列出方程，即可正確解答．【詳解】①若為較小的奇數(shù)，則另一個奇數(shù)為，∵兩個連續(xù)奇數(shù)的積為323，∴；②若為較大的奇數(shù)，則另一個奇數(shù)為，∴；故答案為：或【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程，正確的理解題意，找出題目中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個兩位數(shù)是_____．【答案】98【分析】設(shè)這個兩位數(shù)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為，根據(jù)“個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，”列出方程，即可求解．【詳解】解∶設(shè)這個兩位數(shù)個位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為，依題意，得：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去），，∴．故答案為：98【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確表示出這個兩位數(shù)的十位數(shù)字是解題的關(guān)鍵．【考點五一元二次方程的應(yīng)用--營銷問題】例題：（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）某水果批發(fā)商店經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商店要保證每天盈利5000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？【答案】每千克水果應(yīng)漲價5元【分析】設(shè)每千克應(yīng)漲價元，根據(jù)每千克盈利5元，每天可售出600千克，每天盈利5000元，列出方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)每千克應(yīng)漲價元，由題意列方程得：，解得：或，為了使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價5元；答：每千克水果應(yīng)漲價5元．【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）某商場一種商品的進(jìn)價為每件30元，售價為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】（1）設(shè)每次降價的百分率為，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價元，由銷售問題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每次降價的百分率為，由題意，得，（不符合題意，舍去）．答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件元，兩次下降的百分率為；（2）解：設(shè)每天要想獲得512元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應(yīng)降價元，由題意，得，解得：．答：要使商場每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價2元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出方程，解答即可．2．（2023春·八年級單元測試）在國家積極政策的鼓勵下，環(huán)保意識日漸深入人心，新能源汽車的市場需求逐年上升．(1)某汽車企業(yè)2020年到2022年這兩年新能源汽車的銷售總量增長了96%．求該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率；(2)某汽車企業(yè)下屬的一個專賣店經(jīng)銷一款進(jìn)價為15萬元/輛的新能源汽車，經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛．若該店計劃下調(diào)售價使平均每周的銷售利潤為96萬元，并且盡量讓利于顧客，求下調(diào)后每輛汽車的售價．【答案】(1)該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為(2)下調(diào)后每輛汽車的售價為21萬元【分析】（1）設(shè)該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為x，然后根據(jù)題意可得方程，進(jìn)而問題可求解；（2）設(shè)下調(diào)后每輛汽車的售價為m萬元，則銷售量為輛，然后可得方程為，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：由題意可把2020年新能源汽車的銷售總量看作單位“1”，則設(shè)該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為x，則有：，解得：（不符合題意，舍去），答：該汽車企業(yè)這兩年新能源汽車銷售總量的平均年增長率為．（2）解：設(shè)下調(diào)后每輛汽車的售價為m萬元，由題意得：解得：，∵盡量讓利于顧客，∴；答：下調(diào)后每輛汽車的售價為21萬元．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【考點六一元二次方程的應(yīng)用--動態(tài)幾何問題】例題：（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學(xué)?？计谥校┰谥?，，動點M、N分別從點A和點C同時開始移動，點M的速度為/秒，點N的速度為/秒，點M移動到點C后停止，點N移動到點B后停止．問經(jīng)過幾秒鐘，的面積為？

【答案】2秒【分析】設(shè)經(jīng)過x秒鐘后，的面積為，則，據(jù)此利用三角形面積公式建立方程求解即可.【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x秒鐘后，的面積為，由題意得，，∴，∴．∵，即，∴舍去，即．答：經(jīng)過2秒，的面積為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）等腰中，，動點從點出發(fā)，沿向點移動，通過點引平行于、的直線與、分別交于點、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于．【答案】【分析】設(shè)，則，由題意可知和均為等腰直角三角形，利用平行四邊形面積公式求解出的值即可．【詳解】設(shè)，則，由題意可知和均為等腰直角三角形，的面積等于，依題意可得，解得：，即長為．故長為時，平行四邊形的面積等于．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，動點問題的應(yīng)用求解，應(yīng)用平行四邊形面積公式求解出是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級單元測試）等邊，邊長為，點P從點C出發(fā)以向點B運(yùn)動，同時點Q以向點A運(yùn)動，當(dāng)一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，

(1)求當(dāng)為直角三角形時的時間；(2)的面積能否為，若存在求時間，若不存在請說明理由．【答案】(1)或者(2)存在，2【分析】（1）根據(jù)題意有，，即，即可得，分當(dāng)為直角三角形,且時和當(dāng)為直角三角形,且時，兩種情況討論，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）過Q點作于點M，先求出，即有，進(jìn)而有，即，令，可得，解方程即可求解．【詳解】（1）根據(jù)題意有，，即，∵，∴，當(dāng)為直角三角形,且時，如圖，

∵等邊中，，∴，∴，∴，解得：；當(dāng)為直角三角形,且時，如圖，

∵等邊中，，∴，∴，∴，解得：；即t的值為或者；（2）存在，理由如下：過Q點作于點M，如圖，

∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，令，∴，整理得：，解得：，或者，∵，∴，即t的值為2．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用等知識，明確題意，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)正確列式，是解答本題的關(guān)鍵．【考點七一元二次方程的應(yīng)用--工程問題】例題：（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）某工程隊采用A，B兩種設(shè)備同時對長度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計劃A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設(shè)備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【答案】(1)型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度為90米(2)的值為10【分析】（1）設(shè)型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意得，，解得：，則，答：型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度為90米；（2）根據(jù)題意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值為10．【點睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）全球疫情爆發(fā)時，口罩極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極地生產(chǎn)口罩以應(yīng)對疫情，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：1條口罩生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是78000個/天，每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線減少1625個/天，工廠的產(chǎn)線共x條（1）該工廠最大產(chǎn)能是_____個/天（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若該工廠引進(jìn)的生產(chǎn)線每天恰好能生產(chǎn)口702000個，該工廠引進(jìn)了多少條生產(chǎn)線？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根據(jù)題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，得該工廠最大產(chǎn)能是：個/天故答案為：；（2）根據(jù)題意，得：或∴即該工廠引進(jìn)了12或36條生產(chǎn)線．【點睛】本題考查了一元二次方程、代數(shù)式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【考點八一元二次方程的應(yīng)用--行程問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t值，將其值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），∴．故乙走的步數(shù)是．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數(shù)是__．【答案】【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出值，將其正值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，則依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），，即甲走的步數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃榍袑嵧七M(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場、走進(jìn)大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動．學(xué)生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480米(2)70分鐘【分析】（1）設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，再根據(jù)熱量的消耗規(guī)律建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，既是所列分式方程的解也符合題意，則，答：小明每分鐘跑480米．（2）解：設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：小明從地到地鍛煉共用70分鐘．【點睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．【考點九一元二次方程的應(yīng)用--圖表信息問題】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）根據(jù)紹興市某風(fēng)景區(qū)的旅游信息：旅游人數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過30人人均收費(fèi)80元超過30人每增加1人，人均收費(fèi)降低1元，但人均收費(fèi)不低于55元A公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？【答案】A公司參加這次旅游的員工有40人．【分析】設(shè)參加這次旅游的員工有人，由可得出，根據(jù)總價單價人數(shù)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)參加這次旅游的員工有x人，∵30×80=2400<2800，∴x>30．根據(jù)題意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．當(dāng)x=40時，80-（x-30）=70>55，當(dāng)x=70時，80-（x-30）=40<55，舍去．答：A公司參加這次旅游的員工有40人．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．（1）當(dāng)時，請直接寫出的值；（2）當(dāng)時，求的值．【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）根據(jù)題意可得：，然后求解一元二次方程即可；（2）根據(jù)題中計算圖可得：，由，代入化簡可得：，求解方程，然后代入即可得．【詳解】解：（1）由題意可得：，，則或，解得或；（2）由題意得：，，，整理得：，∴，則或，解得或，或．【點睛】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程，正確理解題意得出與之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，下列所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意列出第一輪傳染后患流感的人數(shù)，再根據(jù)題意列出第二輪傳染后患流感的人數(shù)，而已知第二輪傳染后患流感的人數(shù)，故可得方程．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，第一輪傳染后患流感的人數(shù)是：，第二輪傳染后患流感的人數(shù)是：，而已知經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，則可得方程，．即故選：A．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，要根據(jù)題意列出第一輪傳染后患流感的人數(shù)，再根據(jù)題意列出第二輪傳染后患流感的人數(shù)，而已知第二輪傳染后患流感的人數(shù)，故可得方程．2．（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間息息相關(guān)密不可分的動人故事，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達(dá)10億元，若把增長率記作x，則方程可以列為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)平均每天票房的增長率為，根據(jù)三天后累計票房收入達(dá)10億元，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)平均每天票房的增長率為，根據(jù)題意得：．故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）某商場銷售一批襯衣，平均每天可售出30件，每件襯衣盈利50元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衣降價10元，商場平均每天可多售出20件．若商場平均每天盈利2000元．每件襯衣應(yīng)降價（）元．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】利用襯衣平均每天售出的件數(shù)每件盈利每天銷售這種襯衣利潤列出方程解答即可．【詳解】解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價元．根據(jù)題意，得：，整理，得，解得，．“增加盈利，減少庫存”，應(yīng)舍去，．故選：D．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用基本數(shù)量關(guān)系：平均每天售出的件數(shù)每件盈利每天銷售的利潤是解題關(guān)鍵．4．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）某公司計劃用的材料沿墻（可利用）建造一個面積為的倉庫，設(shè)倉庫與墻平行的一邊長為，則下列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】分別表示地處倉庫的長和寬，然后根據(jù)長方形的面積計算方法列出方程即可．【詳解】解：設(shè)倉庫與墻平行的一邊長為，則垂直于墻的一邊長為，由題意得，，故選B．【點睛】查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是表示出垂直與墻的邊長，難度不大．．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t值，將其值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），∴．故乙走的步數(shù)是．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)校考期末）某學(xué)習(xí)小組的成員互贈新年賀卡，共用去90張賀卡，則該學(xué)習(xí)小組成員的人數(shù)是．【答案】10【分析】設(shè)該學(xué)習(xí)小組有x名成員，則小組內(nèi)每名成員需送出張賀卡，由該小組互贈新年賀卡共90張，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)該學(xué)習(xí)小組有x名成員，則小組內(nèi)每名成員需送出張賀卡，根據(jù)題意得：，解得：（不合題意，舍去），即該學(xué)習(xí)小組有10名成員．故答案為：10．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期末）有一個兩位數(shù)，如果個位上的數(shù)比十位上的數(shù)大1，并其十位上的數(shù)的平方比個位上的數(shù)也大1，那么這個兩位數(shù)是．【答案】23【分析】設(shè)十位上的數(shù)為x，則個位上的數(shù)位，十位上的數(shù)的平方比個位上的數(shù)也大1，再建立方程求出其解就可以得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，根據(jù)題意得：∴，解得：，（不符合題意舍去）答：這個兩位數(shù)為23，故答案為23．【點睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．8．（2023春·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）書香相伴，香滿校園，某校學(xué)生9月份借閱圖書500本，11月份借閱圖書845本，如果每月借閱圖書數(shù)量的增長率相同，設(shè)這個增長率為x，那么根據(jù)題意可列方程為．【答案】【分析】根據(jù)9月份借閱圖書500本，11月份借閱圖書845本，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)這個增長率為x，由題意，得：；故答案為：【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┠成虉鰧⑦M(jìn)貨價為45元的某種服裝以65元售出，平均每天可售30件，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件降價1元，則每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應(yīng)降價元．【答案】10【分析】設(shè)每件降價元則每件的盈利為元，每天可出售件，由總利潤每件的盈利日銷量，進(jìn)而列出方程，求出結(jié)果要結(jié)合盡快減少庫存，即可得解．【詳解】解：設(shè)每件降價元，則每件的銷售利潤為元，每天可售出件，根據(jù)題意得：，解得：，．要盡快減少庫存，．故每件應(yīng)降價10元．故答案為：10．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖所示，中，，點P沿射線AB方向從點A出發(fā)以的速度移動，點Q沿射線CB方向從點C出發(fā)以的速度移動，P，Q同時出發(fā)，秒后，的面積為．【答案】或7或【分析】當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，，根據(jù)的面積為，列出關(guān)于t的一元二次方程求解即可．【詳解】解：當(dāng)運(yùn)動時間為t秒時，，根據(jù)題意得：，∴，∴．當(dāng)時，，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）；當(dāng)時，，整理得：，解得：；當(dāng)時，，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），．綜上所述，或7或秒后，的面積為．故答案為：或7或．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個方框圈出的四個數(shù)．(1)若圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；(2)若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為153，求這個最小數(shù)．【答案】(1)；(2)9．【分析】（1）設(shè)圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，根據(jù)日歷上兩個數(shù)之間的關(guān)系可得答案；（2）根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為105，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)圈出的四個數(shù)中，最小的數(shù)為，則最大的數(shù)為故答案為：（2）設(shè)四個數(shù)中，最小數(shù)為，根據(jù)題意，得.解得（不符合題意負(fù)值舍去）答：這個最小值為9.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）2019年以來，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)一種新型冠狀病毒引起的急性呼吸道傳染疾病，(1)在新冠初期，因為人們不了解病毒而沒發(fā)現(xiàn)也沒隔離，所以1人感染后經(jīng)過兩輪傳染共有144人感染了“新冠”，那么每輪傳染后平均一個人傳染了幾個人？(2)后來，大家眾志成城，全都隔離在家，玲玲爺爺種的糖心蘋果遇到滯銷，于是玲玲在朋友圈幫爺爺銷售，糖心蘋果的成本為4元/斤，她發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價為6元/斤時，每天可賣出80斤，而每漲（降）1元時，每天就少（多）賣出20斤．如果每天要達(dá)到100元的利潤而且又最大限度地增加銷量，請幫玲玲確定銷售單價．【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染了11人(2)小玲應(yīng)該將售價定為5元【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了人，根據(jù)1人感染“新冠”經(jīng)過兩輪傳染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)小玲應(yīng)該將售價定為元，則每天可以賣出斤，根據(jù)總利潤=每斤的利潤×銷售數(shù)量，列出一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了人，依題意，得：，即解得：（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了11人；（2）設(shè)小玲應(yīng)該將售價定為元，則每天可以賣出斤，依題意，得：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去）．答：小玲應(yīng)該將售價定為5元．【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，某農(nóng)場有兩堵互相垂直的墻，長度分別為米和米．該農(nóng)場打算借這兩堵墻建一個長方形飼養(yǎng)場，用總長米的木欄圍成，中間預(yù)留1米寬的通道，在和邊上各留1米寬的門，設(shè)長x米．

(1)寫出的長（用含x的代數(shù)式表示）．(2)若飼養(yǎng)場的面積為平方米，求x的值．【答案】(1)米(2)米【分析】（1）用（總長個1米的門的寬度）即為所求；（2）由（1）表示飼養(yǎng)場面積計算即可．【詳解】（1）解：如圖，∵，∴，∴，即長度為米；（2）解：由題意知，，解得，，又∵，且，∴，∴（