專題04特殊的平行四邊形中的最值模型-瓜豆模型(原理)(原卷版+解析)

專題04特殊的平行四邊形中的最值模型-瓜豆模型（原理）動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學(xué)生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ徒庾x】瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進程影響，故只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型：運動軌跡為直線型1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？解析：當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段?！咀钪翟怼縿狱c軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。1）當(dāng)動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值；2）當(dāng)動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進行確定：=1\*GB3①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變，若存在該動點的軌跡為直線；=2\*GB3②當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；=3\*GB3③當(dāng)一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；④若動點軌跡用上述方法都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。例1．（2022·湖北·鄂州市三模）如圖，在邊長為的正方形中，是邊的中點，是邊上的一個動點不與重合，以線段為邊在正方形內(nèi)作等邊，是邊的中點，連接，則在點運動過程中，的最小值是（

）A． B． C． D．例2．（2022·江蘇·八年級期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是________．例3．（2023·綿陽市·八年級期中）如圖，菱形中，，，點在邊上，且，動點在邊上，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，則線段長的最小值為__．例4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點是上一動點，點是的中點，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．則______，若正方形的邊長為2，則點在射線上運動時，的最小值是______．例5．（2022·廣東·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為10，E為BA延長線上一動點，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為__________．例6．（2022·江蘇蘇州·八年級期末）如圖，菱形ABCD的邊長為，∠ABC＝60°，對角線AC、BD交于點O．點E為直線AD上的一個動點，連接CE，將線段EC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對應(yīng)的線段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長度的最小值為_________．變式1．（2023·江蘇·一模）如圖，正方形ABCD的邊長為7，E為BC上一點，且BE＝，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為_____．變式2．（2023·安徽·八年級期中）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點是直線上的點，點是直線上的點，連接，，，點，分別是，的中點．連接，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．變式3．（2022·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F(xiàn)為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．變式4．（2023春·全國·八年級期末）如圖，已知點，，，，為直線上一動點，則的對角線的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．變式5．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點E在線段BC上運動（含B、C兩點）．連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線段DF長度的最小值為______．變式6．（2023·江蘇無錫·一模）如圖，長方形中，，，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，則的最小值為______．課后專項訓(xùn)練1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，M為線段上一動點，于點P，于點Q，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．2．（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是菱形，點和分別是邊和上的動點，線段的最大值是，最小值是，則這個菱形的邊長是___________．

3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點是的中點，點是上一動點，連接，點分別是的中點，連接，則的最小值是_________．4．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，以邊長為2的正方形的中心O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點，則線段AB長度的最小值為_________．5．（2023春·山東青島·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，，，是邊上任意一點，過點A、C、D作射線的垂線，垂足分別是E、F、G，若，則m的最小值是__________．

6．（2023·吉林·長春二模）如圖，在中，，，為邊上一動點，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線的最小值為．7．（2022·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點E為邊上一動點，將點A繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，則的最小值為__________．8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點為邊上的動點，連接，過點作，且，連接，則線段長度的最小值為______．9．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點P在線段上運動（含B，C兩點），連接，以點A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為_____．10．（2022·廣東·珠海三模）如圖正方形的邊長為3，E是上一點且，F(xiàn)是線段上的動點．連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的最小值是_____．11．（2022·重慶·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為______．12．（2022·河南開封·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，對角線上的有一動點E，以為邊作正方形，點H是上一點，．連接，則的最小值是________．12．（2022·福建福州模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，是直線上的一個動點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點，連接，則最小值為______．14．（2022·福建·福州三牧中學(xué)八年級期中）如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動點，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點D從點A運動到點H的過程中，點E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長為_______，當(dāng)點D運動到點H，此時線段BE的長為__________．15．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時，求的長；(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．補充：單線段最值并非都用瓜豆原理，有時也可轉(zhuǎn)化為三邊關(guān)系去處理，如16-18題。16．（2023·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，CD＝BC＝4，AB＝1，E為BC中點，∠AED＝120°，則AD的最大值是_____．17．（2022·江蘇·連云港三模）如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=4，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF，則線段OF長的最小值為_____18．（2023·江蘇·揚州三模）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，正方形BDEF的邊長為，將正方形BDEF繞點B旋轉(zhuǎn)一周，連接AE，點M為AE的中點，連接FM，則線段FM的最大值是___．

專題04特殊的平行四邊形中的最值模型-瓜豆模型（原理）動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學(xué)生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型解讀】瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進程影響，故只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型：運動軌跡為直線型1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？解析：當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段?！咀钪翟怼縿狱c軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。1）當(dāng)動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值；2）當(dāng)動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進行確定：=1\*GB3①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變，若存在該動點的軌跡為直線；=2\*GB3②當(dāng)某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；=3\*GB3③當(dāng)一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；④若動點軌跡用上述方法都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。例1．（2022·湖北·鄂州市三模）如圖，在邊長為的正方形中，是邊的中點，是邊上的一個動點不與重合，以線段為邊在正方形內(nèi)作等邊，是邊的中點，連接，則在點運動過程中，的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AM，在點運動過程中，點M在∠EAF的平分線上，所以當(dāng)AM⊥PM時，PM取得最小值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，進而即可得到PM最小值．【詳解】解：∵P是邊AD的中點，AD=6，∴AP=3，如圖，連接AM，∵等邊，是邊的中點，∴AM平分∠EAF，∴在點運動過程中，點M在∠EAF的平分線上，∴當(dāng)AM⊥PM時，PM取得最小值，∵是等邊的邊的中點，∴PM⊥AM，∠EAM=30°，∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，推出在點E運動過程中，點M在∠EAF的平分線上，是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·江蘇·八年級期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是________．【答案】【分析】取CD中點H，連接AH，BH，可證四邊形AECH是平行四邊形，可得AH//CE，由三角形中位線定理可得PH//EC，可得點P在AH上，當(dāng)BP⊥AH時，PB有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，取CD中點H，連接AH，BH，設(shè)AH與DE的交點為O，連接BO，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，∵點E是AB中點，點H是CD中點，∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，∴四邊形AECH是平行四邊形，∴AH//CE，∵點P是DF的中點，點H是CD的中點，∴PH//EC，∴點P在AH上，∴當(dāng)BP⊥AH時，此時點P與H重合，BP有最小值，∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝，∴∠AHB＝90°，∴BP的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，確定點P的運動軌跡是本題的關(guān)鍵．例3．（2023·綿陽市·八年級期中）如圖，菱形中，，，點在邊上，且，動點在邊上，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，則線段長的最小值為__．【答案】【分析】在上取一點，使得，連接，，作直線交于，過點作于．證明，推出點在射線上運動，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點與重合時，的值最小，求出即可．【詳解】解：在上取一點，使得，連接，，作直線交于，過點作于．，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，點在射線上運動，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點與重合時，的值最小，，，，，，∴GT//AB∵BG//AT四邊形是平行四邊形，，，∴在中，∴，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．例4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點是上一動點，點是的中點，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．則______，若正方形的邊長為2，則點在射線上運動時，的最小值是______．【答案】/度【分析】如圖1所示，延長交的延長線于點，由“”可證，可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可求，可得，即可求出；如圖2所示，連接，過點作于，由，知點在直線上運動，即得當(dāng)時，有最小值為的長度，而，即有最小值為．【詳解】解：如圖1所示，延長交的延長線于點，點是的中點，，四邊形是正方形，，，，，，又，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，；如圖2所示，連接，過點作于，，點在直線上運動，當(dāng)時，有最小值，最小值為的長度，，，，即有最小值為，故答案為：，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例5．（2022·廣東·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為10，E為BA延長線上一動點，連接DE，以DE為邊作等邊，連接AF，則AF的最小值為__________．【答案】5【分析】以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，由“SAS”可證△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂線段最短可得當(dāng)EH⊥AB時，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，以AD為邊作等邊三角形△ADH，連接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA，在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH，∴當(dāng)EH⊥AB時，EH有最小值，即AF有最小值，

∵∠EAH＝90°?∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值為5，故答案為：5．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，含30°直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例6．（2022·江蘇蘇州·八年級期末）如圖，菱形ABCD的邊長為，∠ABC＝60°，對角線AC、BD交于點O．點E為直線AD上的一個動點，連接CE，將線段EC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對應(yīng)的線段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長度的最小值為_________．【答案】3【分析】連接BE，作BH⊥AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值，再根據(jù)垂線段最短可得答案．【詳解】解：連接BE，作BH⊥AD交DA的延長線于H，菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF由旋轉(zhuǎn)可得：EC=FC，在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE，即求DF的最小值轉(zhuǎn)化為求BE的最小值．∵在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB=，∴BH==3，當(dāng)E與H重合時，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案為：3．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇·一模）如圖，正方形ABCD的邊長為7，E為BC上一點，且BE＝，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為_____．【答案】【分析】根據(jù)等邊△EFG，EF＝EG，把△EBF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EHG，延長HG交CD于M，過C點作CQ⊥HM，過E點作EP⊥CQ，從而得出矩形HEPQ，從而找到最短CG，再利用30°角所對直角邊為斜邊一半，從而得解．【詳解】∵△EFG為等邊三角形，∴EF＝EG，把△EBF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EHG，如圖，延長HG交CD于M，過C點作CQ⊥HM，過E點作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G點在過H點且垂直于EH的線段HM上，易得四邊形HEPQ為矩形，∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝，∴CQ＝CP+PQ＝+＝．∴CG的最小值為．故答案為．【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，30°角所對直角邊為斜邊一半，牢固掌握幾何相關(guān)知識點，靈活添加輔助線構(gòu)造矩形是解題關(guān)鍵變式2．（2023·安徽·八年級期中）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，點是直線上的點，點是直線上的點，連接，，，點，分別是，的中點．連接，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中位線性質(zhì)可得MN是AE的一半，則當(dāng)AE最小時，MN最小，利用30°直角三角形求出AE最小值，解答即可．【詳解】解：∵點，分別是，的中點，∴MN是△AEF的中位線，∴MN，∴當(dāng)AE最小時，MN最小，當(dāng)AE⊥BC時，AE最小，在四邊形是平行四邊形，，∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=60，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=30°，∴BE，∴，∴MN，∴MN最小為：．【點睛】本體考查了三角形中位線以及30°直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握三角形中位線以及30°直角三角形的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F(xiàn)為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，則當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，∴當(dāng)F與D重合時，CG有最小值，此時AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故選B．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點G的運動軌跡是本題的關(guān)鍵．變式4．（2023春·全國·八年級期末）如圖，已知點，，，，為直線上一動點，則的對角線的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】A【分析】連接，設(shè)交于點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出點，進而根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短，可知當(dāng)時，取得最小值，勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，設(shè)交于點，如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴當(dāng)取得最小值時，取得最小值，∴當(dāng)時，取得最小值，∵，，∴，,∴是等腰直角三角形，∴此時是直角三角形，且是斜邊，∵,∴，∴的對角線的最小值是，故選：A．【點睛】本題考查了坐標與圖形，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，點到直線的距離，垂線段最短，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式5．（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點E在線段BC上運動（含B、C兩點）．連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線段DF長度的最小值為______．【答案】【分析】以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點H，過點D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AGF＝60°，得出點F在平行于AB的射線GH上運動，求出DM即可．【詳解】解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABG，作射線GF交AD于點H，過點D作DM⊥GH于M．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△ABG是等邊三角形，∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，∴∠BAE＝∠FAG，∴△BAE≌△GAF（SAS），∴∠B＝∠AGF＝60°，∴點F在平行于AB的射線GH上運動，∵∠HAG＝∠AGF＝60°，∴△AHG是等邊三角形，∴AB＝AG＝AH＝6，∴DH＝AD﹣AH＝4，∵∠DHM＝∠AHG＝60°，∴DM＝DH?sin60°，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點F與M重合時，DF的值最小，最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點F的在射線GH上運動，屬于中考填空題中的壓軸題．變式6．（2023·江蘇無錫·一模）如圖，長方形中，，，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，則的最小值為______．【答案】【分析】如圖，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于．首先證明，推出點在射線上運動，推出當(dāng)時，的值最小，進一步即得答案．【詳解】解：如圖，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，連接交于．∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∴點在射線上運動，∴當(dāng)時，的值最小，∵，，，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．課后專項訓(xùn)練1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，M為線段上一動點，于點P，于點Q，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】連接，先證四邊形是矩形，得，再由勾股定理得，當(dāng)時，最小，則最小，然后由面積法求出的長，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，于點，于點，，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，由勾股定理得：，當(dāng)時，最小，則最小，此時，，即，，的最小值為，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是菱形，點和分別是邊和上的動點，線段的最大值是，最小值是，則這個菱形的邊長是___________．

【答案】【分析】當(dāng)點與重合，點與點重合時，線段的最大值是，當(dāng)時，最小值是，如圖所示（見詳解），過點作延長線于，在，中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是菱形，點和分別是邊和上的動點，當(dāng)點與重合，點與點重合時，線段的最大值是，當(dāng)時，最小值是，如圖所示，過點作延長線于，∵四邊形是菱形，∴，當(dāng)點與重合，點與點重合時，線段的最大值是，即，當(dāng)時，最小值是，∴（是邊上的高），且，∴在中，，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查動點與菱形，直角三角形勾股定理的綜合，理解動點中線段最大值與最小值，菱形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點是的中點，點是上一動點，連接，點分別是的中點，連接，則的最小值是_________．【答案】【分析】連接交于點，連接易證得，得到點G為的中點，所以是中位線，可得到，求最小值即為求最小值的一半，隨著點E的變化，點M在上動，即當(dāng)時，有最小值，然后在中，借助三角函數(shù)計算即可．【詳解】解：如圖，連接交于點，連接，過點作于點N，∵點為中點，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點G為的中點，∵點H為的中點，∴是中位線，∴，∴求最小值即為求最小值的一半，隨著點E的變化，點M在上動，即當(dāng)時，有最小值，即最小值=，∵是的中點，∴，∵∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查動點最值，根據(jù)條件做出輔助線，利用中位線轉(zhuǎn)化所求線段，然后借助點到線距離垂線段最短計算即可．4．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，以邊長為2的正方形的中心O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點，則線段AB長度的最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的對角線互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”證明△COA和△DOB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，再根據(jù)垂線段最短可得OA⊥CD時，OA最小，然后求出OA，再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍解答．【詳解】解：如圖，∵四邊形CDEF是正方形，，，，在與中，，，∴OA=OB，∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得：,要使AB最小，只要OA取最小值即可，根據(jù)垂線段最短，OA⊥CD時，OA最小，∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD=OF，∴CA=DA，∴OA=,∴AB=．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山東青島·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，，，是邊上任意一點，過點A、C、D作射線的垂線，垂足分別是E、F、G，若，則m的最小值是__________．

【答案】【分析】連接、，由矩形的性質(zhì)得，，，再由勾股定理得，然后求出，則，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接、

∵四邊形是矩形∴，，由勾股定理得：∵∴∵和的邊上的高∴∵∴∴∴∴∵∴m隨著的增大而減小∴時，m最小，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積以及最小值等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023·吉林·長春二模）如圖，在中，，，為邊上一動點，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線的最小值為．【答案】【分析】過作于，依據(jù)是等腰直角三角形，即可得出，依據(jù)，即可得到當(dāng)時，的最小值等于的長，進而得到答案．【詳解】解：如圖所示，過作于，，，是等腰直角三角形，，四邊形是平行四邊形，，當(dāng)時，的最小值等于的長，對角線的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點E為邊上一動點，將點A繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，則的最小值為__________．【答案】【分析】上截取，過點作交的延長線于點，證明，是等腰直角三角形，進而根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】如圖，上截取，過點作交的延長線于點，正方形中，，將點A繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，是等腰直角三角形,在射線上運動，則是等腰直角三角形，與點重合時，取得最小值，等于即的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點為邊上的動點，連接，過點作，且，連接，則線段長度的最小值為______．【答案】【分析】如圖：在取一點T使得，連接，在上取一點K，使得，連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明，由矩形的性可得、，進而推出點F在射線上運動，當(dāng)時值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D：在取一點T使得，連接，在上取一點K，使得，連接∵∴，∴，∵，，∴，∵，∴∴,∵矩形中，，∴，∵,∴，∴,點F在射線上運動，當(dāng)時，的值最小，最小值為．故答案為．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形并確定是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點P在線段上運動（含B，C兩點），連接，以點A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為_____．【答案】【分析】如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點E，過點D作于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明，推出，推出點Q在射線上運動，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點E，過點D作于H．∵四邊形是矩形，∴，∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴點Q在射線上運動，∵，∴，∵，∴．根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點Q與H重合時，的值最小，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點Q的在射線上運動．10．（2022·廣東·珠海三模）如圖正方形的邊長為3，E是上一點且，F(xiàn)是線段上的動點．連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的最小值是_____．【答案】【分析】如圖，連接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因為∠CDF是定值，推出點G在射線BG上運動，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG⊥BG時，EG的長最短．【詳解】解：如圖，作射線BG．∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，∵∠CDF是定值，∴點G在射線BG上運動，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG⊥BG時，EG的長最短，此時tan∠EBG＝＝，設(shè)EG＝m，則BG＝3m，在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，∴m＝（負根已經(jīng)舍棄），∴EG的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022·重慶·九年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為______．【答案】【詳解】解：由題意可知，點F是主動點，點G是從動點，點F在線段上運動，點G也一定在直線軌跡上運動，將△EFB繞點E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG從而可知△EBH為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值；作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，則CM＝MP+CP＝HEEC＝1故答案為．12．（2022·河南開封·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，對角線上的有一動點E，以為邊作正方形，點H是上一點，．連接，則的最小值是________．【答案】【分析】連接CG．證明△ADE≌△CDG（SAS），推出∠DCG＝∠DAE＝45°，推出點G的運動軌跡是射線CG，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)GH⊥CG時，GH的值最小，最后根據(jù)正弦即可得出答案．【詳解】解：連接CG．∵四邊形ABCD是正方形，四邊形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝45°，∴點G的運動軌跡是射線CG，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)GH⊥CG時，GH的值最?。藭rCH＝∴故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線段最短，解決問題的關(guān)鍵是得到∠DCG＝∠DAE＝45°，及證明出點G的運動軌跡是射線CG．12．（2022·福建福州模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，是直線上的一個動點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點，連接，則最小值為______．【答案】【分析】設(shè)，作軸，作，作，根據(jù)可證明，由此可求，令，，可得在直線上運動，當(dāng)時，的值最小，再由得，進而得出，即可得出答案．【詳解】設(shè)，過點作軸，過點作交于點，過點作交于點，∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，，∴，令，，∴，∴點在直線上運動，當(dāng)時，的值最小.在中，令，則，令，則，∴，，∴．∵，∴，∴，在中，令，則，∴，∴.∵，即，解得，所以的最小值為.故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，確定點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．14．（2022·福建·福州三牧中學(xué)八年級期中）如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，高線AH=2，D是線段AH上一動點，以BD為邊向下作等邊三角形BDE，當(dāng)點D從點A運動到點H的過程中，點E所經(jīng)過的路徑為線段CM，則線段CM的長為_______，當(dāng)點D運動到點H，此時線段BE的長為__________．【答案】

【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得結(jié)論，再由勾股定理求解當(dāng)重合時，從而可得答案.【詳解】解：如圖，連接EC．∵△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD=EC，∵點D從點A運動到點H，∴點E的運動路徑的長為，當(dāng)重合，而（即）為等邊三角形，故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，動點的軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．15．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點E在上時，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時，求的長；(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．【答案】(1)見詳解(2)或(3)【分析】（1）證明即可得證．（2）分情況討論，當(dāng)點E在BC上時，借助，在中求解；當(dāng)點E在CD上時，過點E作EG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥AC于點H，借助并利用勾股定理求解即可．（3）分別討論當(dāng)點E在BC和CD上時，點F所在位置不同，DF的最小值也不同，綜合比較取最小即可．（1）如圖所示，由題意可知，，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AE=AF，在和中，，，．（2）當(dāng)點E在BC上時，在中，，，則，在中，，，則，由（1）可得，，在中，，，則，當(dāng)點E在CD上時，如圖，過點E作EG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥AC于點H，同（1）可得，，由勾股定理得；故CF的長為或．（3）如圖1所示，當(dāng)點E在BC邊上