專(zhuān)題02勾股定理中的七類(lèi)翻折模型(原卷版+解析)

專(zhuān)題02勾股定理中的七類(lèi)翻折模型翻折（折疊）問(wèn)題屬于圖形變換中的實(shí)際問(wèn)題，也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問(wèn)題的有關(guān)的題目中，要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等，這樣就好出現(xiàn)相等的線(xiàn)段和相等的角；因?yàn)榇蟛糠址蹎?wèn)題是對(duì)矩形進(jìn)行翻折，所以翻折后由于線(xiàn)段交錯(cuò)，出現(xiàn)的直角三角形也引起注意；因?yàn)榉蹎?wèn)題本身是軸對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，所以翻折前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段會(huì)被折痕所在直線(xiàn)垂直平分；折痕還會(huì)平分翻折所形成的的兩個(gè)角。總之，翻折問(wèn)題并不復(fù)雜，只要要把隱含已知條件熟記于心，再結(jié)合其他有關(guān)知識(shí)就能讓此類(lèi)問(wèn)題迎刃而解了?！局R(shí)儲(chǔ)備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計(jì)算的問(wèn)題中的共同方法是：在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長(zhǎng)用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線(xiàn)段的長(zhǎng)度。模型1.折痕過(guò)對(duì)角線(xiàn)模型【模型解讀】沿著矩形的對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以對(duì)角線(xiàn)AC為折痕，折疊ABC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形。例1．（2023·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，將△ABD沿對(duì)角線(xiàn)BD對(duì)折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．6例2．（2022·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形ABCD中，，，如果將該矩形沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，那么圖中陰影部分的面積是______．變式1．（2022·四川初二期末）如圖，在長(zhǎng)方形紙片中，，.把長(zhǎng)方形紙片沿直線(xiàn)折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．變式2．（2022春·福建泉州·八年級(jí)校考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊，點(diǎn)D落在處．(1)求CF的長(zhǎng)；(2)求重疊部分△AFC的面積．模型2.折痕過(guò)一頂點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形的一個(gè)頂點(diǎn)和一邊上的點(diǎn)的線(xiàn)段所在直線(xiàn)進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形。例1．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形紙片中，，，點(diǎn)在上，將沿折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．例2．（2023·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在矩形的邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng).沿直線(xiàn)翻折，形成如下四種情形，設(shè)，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.（1）如圖4，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，求重疊部分的面積；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，翻折后，點(diǎn)恰好落在邊上？這時(shí)重疊部分的面積等于多少？變式1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形邊沿折痕折疊，使點(diǎn)落在上的處，已知，的面積為，則等于（

）A． B． C． D．變式2．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)的點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．變式3．（2023春·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，折疊矩形紙片的，使點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，得折痕，若，，求折痕的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．模型3.折痕任意兩點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點(diǎn)所在直線(xiàn)進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形。例1．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，四邊形是一張長(zhǎng)方形紙片，將該紙片沿著翻折，頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若，，則的面積為_(kāi)________．例2．（2023春·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長(zhǎng)為_(kāi)______例3．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是邊上的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接．當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．變式1．（2022·成都市八年級(jí)月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)________________．變式2．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在矩形中，，點(diǎn)G在邊上，，邊上有一點(diǎn)H，將矩形沿邊折疊，點(diǎn)C和D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是和，若點(diǎn)A、和三個(gè)點(diǎn)恰好在同一條直線(xiàn)上時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_________．變式3．（2022·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)A、D關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是點(diǎn)M、N．如果直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，那么的長(zhǎng)是__________．模型4.過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)所在直線(xiàn)（落點(diǎn)在一邊上）翻折模型【模型解讀】1）沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；2）沿過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；3）沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)翻折使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E落在BC邊上，折痕為BD。例1．（2023春·廣西·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖①，的斜邊比直角邊長(zhǎng)2cm，另一直角邊長(zhǎng)為6cm，求的長(zhǎng)．（2）拓展：如圖②，在圖①的的邊上取一點(diǎn)D，連接，將沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在邊上．①求的長(zhǎng)．②求的長(zhǎng)．例2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)是___________．變式1．（2022·浙江衢州·八年級(jí)期末）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，則AB2﹣AC2的值是（）A．8 B．12 C．16 D．24變式2．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，連接．將沿翻折后得到，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．變式3．（2023春·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，．(1)的長(zhǎng)為．(2)把沿著直線(xiàn)翻折，使得點(diǎn)C落在邊上E處，求的長(zhǎng)．模型5.過(guò)斜邊中點(diǎn)所在直線(xiàn)翻折模型【模型解讀】1）沿直線(xiàn)MN（N為斜邊中點(diǎn)）翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合；2）沿中線(xiàn)BE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點(diǎn)O.3）沿中線(xiàn)BE翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)AD，CD.例1．（2022·山東棗莊·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．例2．（2022·上海八年級(jí)期末）已知，如圖，在中，是上的中線(xiàn)，如果將沿翻折后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_________．變式1．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則AE的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．變式2．（2022·安徽·合肥市八年級(jí)期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上．與點(diǎn)重合，AE為折痕，則的長(zhǎng)為（

）A．12 B．25 C．20 D．15模型6.過(guò)任意兩點(diǎn)所在直線(xiàn)（落在其中一邊）翻折模型【模型解讀】1）沿直線(xiàn)MN翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)CD.2）沿直線(xiàn)DE翻折使得點(diǎn)C與邊AB上的點(diǎn)F重合；例1．（2022·河南鶴壁·八年級(jí)期末）如圖，中，，M，N分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿直線(xiàn)折疊，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊的三等分點(diǎn)處，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．3或 D．3或例2．（2022·重慶市七年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的F點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．變式1．（2022·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分別是AB和BC上的點(diǎn)，若把△BDE沿DE翻折，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在AC的中點(diǎn)處，則BD的長(zhǎng)是___．變式2．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）在中，，，，點(diǎn)、分別是直角邊和斜邊上的點(diǎn)，把沿著直線(xiàn)折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．3 D．4模型7其他三角形翻折模型【模型解讀】例1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，把沿著直線(xiàn)翻折，得到，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，的面積為，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．例2．（2022·成都西川中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．將△CEB沿直線(xiàn)CE折疊到△CEF，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合．當(dāng)CF⊥AB時(shí)，線(xiàn)段EB的長(zhǎng)為_(kāi)____．變式1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，并且，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），將沿直線(xiàn)翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，的長(zhǎng)為，則邊的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．4變式2．（2022·內(nèi)江九年級(jí)期中）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點(diǎn)E．若為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是_____．變式3．（2022·江蘇西附初中八年級(jí)月考）如圖，中，，，，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·成都市八年級(jí)期中）如圖，已知中，，，將此三角形沿翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023春·重慶渝北·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直角三角形，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，把沿著翻折，得到，連接交于點(diǎn)F．若，，則點(diǎn)E到的距離為（）A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2023春·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm，點(diǎn)、分別在、邊上．現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．連接，則長(zhǎng)度的最小值為（

）A．0 B．2 C．4 D．65．（2023·浙江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一點(diǎn)，連接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于點(diǎn)F，連接BE，則點(diǎn)E到BC的距離為（）A． B．3 C．2 D．6．（2022·河北保定·八年級(jí)校考期末）如圖，已知中，，將它的銳角翻折，使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2022·重慶八年級(jí)月考）如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線(xiàn)AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．8．（2022·廣東·江門(mén)八年級(jí)期中）已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，則BE的長(zhǎng)為（）A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm9．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．10．（2022·深圳市初三月考）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線(xiàn)AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為()A．3B．4C．5D．611．（2022·江蘇·無(wú)錫八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的處，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且＝3，則BN＝______，AM＝______．12．（2022·江西·興國(guó)縣八年級(jí)期末）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為8，16的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折痕EF的長(zhǎng)是___________．13．（2023·山東濟(jì)南·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)N為邊DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），連接BN，作C關(guān)于直線(xiàn)BN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′連接BC′，C′N(xiāo)，當(dāng)C′恰好在△ABD的邊上時(shí)，CN的長(zhǎng)為_(kāi)_________．14．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，，將邊沿翻折，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)D處；再將邊沿翻折，使點(diǎn)B落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)處，兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)E、F，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)___________．15．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，，，，，P是直線(xiàn)上一點(diǎn)，把沿所在的直線(xiàn)翻折后，點(diǎn)C落在直線(xiàn)上的點(diǎn)H處，______．16．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，，,，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，D是線(xiàn)段BC上的一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿直線(xiàn)DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線(xiàn)段AC上時(shí)，，則______．17．（2023·貴州黔東南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為.將矩形沿對(duì)角線(xiàn)翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且交軸于點(diǎn)，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.18．（2023·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D為AB的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，將△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于點(diǎn)G，則△ECG的周長(zhǎng)是___________．19．（2022·吉林白城·八年級(jí)期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線(xiàn)AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．20．（2023·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，在矩形紙片中，，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊上的E處，折痕的一端G點(diǎn)在上．(1)如圖1，當(dāng)折痕的另一端F在上且時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)折痕的另一端F在上且時(shí)，求的長(zhǎng)．21．（2023·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.(1)如圖①，E、F分別為CD、AB邊上的點(diǎn)，將矩形ABCD沿EF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，設(shè)CE=x，則DE=(用含x的代數(shù)式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE=.(2)如圖②，將△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于點(diǎn)E，求此時(shí)CE的長(zhǎng)；(3)如圖③，P為AD邊上的一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分別交CD邊于E.F，且DF=A′F，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)CE的長(zhǎng).22．（2023·江蘇蘇州·八年級(jí)期末）(1)如圖1，將矩形ABCD折疊，使BC落在對(duì)角線(xiàn)BD上，折痕為BE，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，若∠ADB=46°，則∠DBE的度數(shù)為_(kāi)_____°.(2)小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9．【畫(huà)一畫(huà)】如圖2，點(diǎn)E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線(xiàn)上，折痕設(shè)為MN(點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上)，利用直尺和圓規(guī)畫(huà)出折痕MN(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線(xiàn)段描清楚)；【算一算】如圖3，點(diǎn)F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線(xiàn)FD上，折痕為GF，點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A'，B'處，若AG=，求B'D的長(zhǎng)；23．（2023·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）圖形的折疊即圖形的翻折或者說(shuō)是對(duì)稱(chēng)變換.這類(lèi)問(wèn)題與生活緊密聯(lián)系，內(nèi)容豐富，解法靈活，具有開(kāi)放性，可以培養(yǎng)我們的動(dòng)手能力，空間想象能力和幾何變換的思想.在綜合與實(shí)踐課上，每個(gè)小組剪了一些如圖1所示的直角三角形紙片（，，），并將紙片中的各內(nèi)角進(jìn)行折疊操作：（1）如圖2，“奮斗”小組將紙片中的進(jìn)行折疊，使直角邊落在斜邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)位置，折痕為，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____.（2）如圖3，“勤奮”小組將中的進(jìn)行折疊，使點(diǎn)落在直角邊中點(diǎn)上，折痕為，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____.（3）如圖4，“雄鷹”小組將紙片中的進(jìn)行折疊，使點(diǎn)落在直角邊延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)處，折痕為，求出的長(zhǎng).

專(zhuān)題02勾股定理中的七類(lèi)翻折模型翻折問(wèn)題屬于圖形變換中的實(shí)際問(wèn)題，也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問(wèn)題的有關(guān)的題目中，要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等，這樣就好出現(xiàn)相等的線(xiàn)段和相等的角；因?yàn)榇蟛糠址蹎?wèn)題是對(duì)矩形進(jìn)行翻折，所以翻折后由于線(xiàn)段交錯(cuò)，出現(xiàn)的直角三角形也引起注意；因?yàn)榉蹎?wèn)題本身是軸對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，所以翻折前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段會(huì)被折痕所在直線(xiàn)垂直平分；折痕還會(huì)平分翻折所形成的的兩個(gè)角。總之，翻折問(wèn)題并不復(fù)雜，只要要把隱含已知條件熟記于心，再結(jié)合其他有關(guān)知識(shí)就能讓此類(lèi)問(wèn)題迎刃而解了?！局R(shí)儲(chǔ)備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計(jì)算的問(wèn)題中的共同方法是：在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長(zhǎng)用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線(xiàn)段的長(zhǎng)度。模型1.折痕過(guò)對(duì)角線(xiàn)模型【模型解讀】沿著矩形的對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以對(duì)角線(xiàn)AC為折痕，折疊ABC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形。例1．（2023·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，將△ABD沿對(duì)角線(xiàn)BD對(duì)折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．【詳解】解：∵，，∴AD=，，由折疊可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，∴在Rt中，由勾股定理得：，∴，解得：EF=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，靈活利用折疊進(jìn)行發(fā)掘條件是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形ABCD中，，，如果將該矩形沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，那么圖中陰影部分的面積是______．【答案】【分析】要求陰影部分的面積就要先求得它的底和高，這個(gè)三角形的高就是，，由此關(guān)系就可利用勾股定理求出AE及EF的長(zhǎng)，從而求三角形的面積．【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，，，，，由折疊的性質(zhì)，可得，，，，，設(shè)，則，，即，解得，．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求三角形的底和高，從而求三角形的面積．變式1．（2022·四川初二期末）如圖，在長(zhǎng)方形紙片中，，.把長(zhǎng)方形紙片沿直線(xiàn)折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件可證△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折疊知AE=AB=8cm，設(shè)AF=xcm，則DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.【解析】∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF設(shè)AF=xcm，則DF=（8-x）cm在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，故選擇A.【點(diǎn)睛】此題是翻折問(wèn)題，利用勾股定理求線(xiàn)段的長(zhǎng)度.變式2．（2022春·福建泉州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC折疊，點(diǎn)D落在處．(1)求CF的長(zhǎng)；(2)求重疊部分△AFC的面積．【答案】(1)5(2)10【分析】（1）矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC對(duì)折后，所以，，，可得，再設(shè)AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案；（2）直接根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）依題意可知，矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC對(duì)折后有：以，，，∴（AAS），∴CF＝AF.設(shè)AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，，即，解得x＝5．所以CF=5；（2）由（1）得AF=CF=5，根據(jù)題意，得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的運(yùn)用等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF=CF是解題的關(guān)鍵．模型2.折痕過(guò)一頂點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形的一個(gè)頂點(diǎn)和一邊上的點(diǎn)的線(xiàn)段所在直線(xiàn)進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形。例1．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形紙片中，，，點(diǎn)在上，將沿折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)，設(shè)，則，在中根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：，，，，根據(jù)折疊可得：，，設(shè)，則，，在中：，解得：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在矩形的邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng).沿直線(xiàn)翻折，形成如下四種情形，設(shè)，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.（1）如圖4，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，求重疊部分的面積；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，翻折后，點(diǎn)恰好落在邊上？這時(shí)重疊部分的面積等于多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好落在邊上,這時(shí).【分析】（1）根據(jù)折疊或者軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),找到數(shù)量關(guān)系,運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù),結(jié)合勾股定理解答;（2）同樣根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),找到數(shù)量關(guān)系,運(yùn)用方程思想設(shè)未知數(shù),結(jié)合勾股定理解答;【詳解】解：（1）由題意可得,∴設(shè),則在中,∴重疊的面積（2）由題意可得∴

在中∵∴∴在中此時(shí)∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好落在邊上這時(shí).【點(diǎn)睛】本題綜合考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn),包括折疊與軸對(duì)稱(chēng)、方程、勾股定理等,在結(jié)合圖形及其變化,充分理解題意的前提下,熟練掌握運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)方可解答.變式1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形邊沿折痕折疊，使點(diǎn)落在上的處，已知，的面積為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，；根據(jù)，解出，可得的值，根據(jù)直角三角形，利用勾股定理，即可求出．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，，∵是沿折痕折疊得到的，∴，，∵，∴，∴在直角三角形中，，∴，∴，∴，，設(shè)，∴，∴在直角三角形，，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．變式2．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)的點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接BF，（見(jiàn)詳解圖），由翻折變換可知，BF⊥AE，BE=EF，由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可知BE=3，根據(jù)勾股定理即可求得AE；根據(jù)三角形的面積公式可求得BH，進(jìn)而可得到BF的長(zhǎng)度；結(jié)合題意可知FE=BE=EC，進(jìn)而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的長(zhǎng)度即可【詳解】如圖，連接BF．∵△AEF是由△ABE沿AE折疊得到的，∴BF⊥AE，BE=EF．∵BC=6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE=EC=EF=3根據(jù)勾股定理有AE=AB+BE代入數(shù)據(jù)求得AE=5根據(jù)三角形的面積公式得BH=即可得BF=由FE=BE=EC，可得∠BFC=90°再由勾股定理有BC-BF=CF代入數(shù)據(jù)求得CF=故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查矩形性質(zhì)和折疊問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于利用好折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)被折痕垂直平分．變式3．（2023春·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，折疊矩形紙片的，使點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，得折痕，若，，求折痕的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】折痕的長(zhǎng)【分析】在中，，，由勾股定理得到，由折疊性質(zhì)得到，從而得到，設(shè)，則，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，從而得到答案．【詳解】解：由題意可知，在中，，，則由勾股定理得到，折疊矩形紙片的，使點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，，，設(shè)，則，在中，利用勾股定理得到，解得，，在中，利用勾股定理得到，折痕的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)，涉及折疊的性質(zhì)、解方程等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．模型3.折痕任意兩點(diǎn)模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點(diǎn)所在直線(xiàn)進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形。例1．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，四邊形是一張長(zhǎng)方形紙片，將該紙片沿著翻折，頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若，，則的面積為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形得到，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴，,如圖所示：∵將該紙片沿著EF翻折，頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)D重合，∴A'D，，∴，，，∴，∴，，∴，解得，∴，∴過(guò)作于H，∴，∴AA'E的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），長(zhǎng)方形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在AB邊的中點(diǎn)C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長(zhǎng)為_(kāi)______【答案】4【分析】首先求出BC′的長(zhǎng)度，設(shè)出C′F的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線(xiàn)段C′F的方程，解方程求出C′F的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝90°；∵點(diǎn)C′為AB的中點(diǎn)，AB＝6，∴BC′＝3；由題意得：C′F＝CF（設(shè)為x），則BF＝9?x，由勾股定理得：x2＝32＋(9?x)2，解得：x＝5，∴BF＝9?5＝4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題以矩形為載體，以翻折變換為方法，以考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)解題是關(guān)鍵．例3．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是邊上的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接．當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】2或【分析】分情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況下，分別利用勾股定理和翻折的性質(zhì)可得到答案．【詳解】解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，可有：①當(dāng)時(shí)，如圖1，此時(shí)，由折疊性質(zhì)可知，，∵，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖2，由折疊性質(zhì)可知，，，，∴，即M、E、C三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，則，在中，，∴，在中，有，即，解得，即，③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E在直線(xiàn)CD上，此時(shí)，故此種情況不符合題意．綜上所述，滿(mǎn)足條件的BN的長(zhǎng)為2或．故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)題意畫(huà)出圖形并分情況討論是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·成都市八年級(jí)月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長(zhǎng)為_(kāi)________________．【答案】【分析】設(shè)，在中利用勾股定理求出x即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，，，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，利用方程的去思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．變式2．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在矩形中，，點(diǎn)G在邊上，，邊上有一點(diǎn)H，將矩形沿邊折疊，點(diǎn)C和D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是和，若點(diǎn)A、和三個(gè)點(diǎn)恰好在同一條直線(xiàn)上時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】7或1/1或7【分析】分兩種情況，分別畫(huà)出圖形，再根據(jù)勾股定理求出線(xiàn)段長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【詳解】當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)，點(diǎn)，共線(xiàn)時(shí)，根據(jù)題意可知，，∴．在中，，∴；當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)，點(diǎn)，共線(xiàn)時(shí)，根據(jù)題意可知，，∴．在中，，∴.所以的長(zhǎng)為7或1．故答案為：7或1．【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于矩形的折疊問(wèn)題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等，準(zhǔn)確的畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)A、D關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是點(diǎn)M、N．如果直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，那么的長(zhǎng)是__________．【答案】【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，則有四邊形，四邊形相當(dāng)于四邊形沿邊對(duì)折得到．已知，，則，，在中，，則，設(shè)，則，，在中，，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】主要考查了三角形勾股定理的應(yīng)用，三角形勾股定理是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)．模型4.過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)所在直線(xiàn)（落點(diǎn)在一邊上）翻折模型【模型解讀】1）沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；2）沿過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；3）沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)翻折使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E落在BC邊上，折痕為BD。例1．（2023春·廣西·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖①，的斜邊比直角邊長(zhǎng)2cm，另一直角邊長(zhǎng)為6cm，求的長(zhǎng)．（2）拓展：如圖②，在圖①的的邊上取一點(diǎn)D，連接，將沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在邊上．①求的長(zhǎng)．②求的長(zhǎng)．【答案】（1）10cm；（2）①4cm；②3cm【分析】（1）利用勾股定理，進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)翻折得到，利用求出的長(zhǎng)即可；②在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)，則，在中：，即：，解得：；∴；（2）①∵將沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在邊上，∴，∴；②∵將沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在邊上，∴，設(shè)，則，在中：，即：，解得：；即：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題．熟練掌握折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，以及勾股定理，是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)是___________．【答案】【分析】先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，進(jìn)一步求出，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，則．【詳解】解：在中，由勾股定理得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，∵，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得∴，解得∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，正確利用勾股定理結(jié)合方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·浙江衢州·八年級(jí)期末）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，則AB2﹣AC2的值是（）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=AD，AB=2AD=4，可求AB2-AC2的值．【詳解】解：∵將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處，∴∠ADC=∠ADE=90°，∵∠C=45°，AD=2，∴AC=AD=，∵∠B=30°，∴AB=2AD=2×2=4，∴AB2-AC2=42-（）2=8，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．變式2．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，連接．將沿翻折后得到，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】與交于點(diǎn)F，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，，再由翻折的性質(zhì)得出，，設(shè)，則，繼續(xù)利用勾股定理求解即可．【詳解】解：與交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵，，，，∴即，解得：，∴，∴，∵將沿翻折后得到，∴，，∴，設(shè)，則，∴即，解得：線(xiàn)段的長(zhǎng)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解，屬中考?？碱}型．變式3．（2023春·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，．(1)的長(zhǎng)為．(2)把沿著直線(xiàn)翻折，使得點(diǎn)C落在邊上E處，求的長(zhǎng)．【答案】(1)20(2)6【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）首先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，則，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出即可求出．【詳解】（1）解：∵

∴∵，∴故答案為：；（2）根據(jù)折疊可得：，

則，設(shè)，則，∵∴

解得：，

∴【點(diǎn)睛】該題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型5.過(guò)斜邊中點(diǎn)所在直線(xiàn)翻折模型【模型解讀】1）沿直線(xiàn)MN（N為斜邊中點(diǎn)）翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合；2）沿中線(xiàn)BE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點(diǎn)O.3）沿中線(xiàn)BE翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)AD，CD.例1．（2022·山東棗莊·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=BE，設(shè)CE=x，則BE=8-x，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：AE=BE，∵AC=8，∴BE+CE=8，設(shè)CE=x，則BE=8-x，在中，，∴，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握?qǐng)D形的折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·上海八年級(jí)期末）已知，如圖，在中，是上的中線(xiàn)，如果將沿翻折后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】．【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)，求得CD，BD的長(zhǎng)，再利用折疊的性質(zhì)，引進(jìn)未知數(shù)，用勾股定理列出兩個(gè)等式，聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】如圖所示，∵，∴BC==8，∵CD是上的中線(xiàn)，∴CD=BD=AD=5，設(shè)DE=x，BE=y，根據(jù)題意，得，，解得x=，y=,∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，斜邊上中線(xiàn)的性質(zhì)，方程組的解法，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，正確構(gòu)造方程組計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則AE的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先利用折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理可得到，求解即可．【詳解】解：∵沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，∴，∴，設(shè)，則，，在中，∵，∴，解得，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·安徽·合肥市八年級(jí)期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上．與點(diǎn)重合，AE為折痕，則的長(zhǎng)為（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC，再由折疊的性質(zhì)可知，，進(jìn)而可得，設(shè)，在中，由勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，，∵折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)重合，，，，，設(shè)，則，又，在中，，即，解得：，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．模型6.過(guò)任意兩點(diǎn)所在直線(xiàn)（落在其中一邊）翻折模型【模型解讀】1）沿直線(xiàn)MN翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)CD.2）沿直線(xiàn)DE翻折使得點(diǎn)C與邊AB上的點(diǎn)F重合；例1．（2022·河南鶴壁·八年級(jí)期末）如圖，中，，M，N分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿直線(xiàn)折疊，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊的三等分點(diǎn)處，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．3或 D．3或【答案】D【分析】根據(jù)題意，分和兩種情形，設(shè)，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在邊的三等分點(diǎn)處，設(shè)BN＝x，則和，，在中，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊與勾股定理，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·重慶市七年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的F點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】由三角形面積公式可求得，由折疊的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，，即可求得AB．【詳解】解：∵將△CDE沿DE折疊，點(diǎn)C恰好落在AB上的F處，∴OC＝OF，CF⊥DE，∵，∴，∴，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解題．變式1．（2022·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分別是AB和BC上的點(diǎn)，若把△BDE沿DE翻折，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在AC的中點(diǎn)處，則BD的長(zhǎng)是___．【答案】/1.75【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，勾股定理列出方程即可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得BD的長(zhǎng)．【詳解】把△BDE沿DE翻折，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在AC的中點(diǎn)處，,設(shè)，則，在中，即解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）在中，，，，點(diǎn)、分別是直角邊和斜邊上的點(diǎn)，把沿著直線(xiàn)折疊，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，則DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出BE即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，∵，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，解得：BE＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理得出關(guān)于BE的方程是解題的關(guān)鍵．模型7其他三角形翻折模型【模型解讀】例1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，把沿著直線(xiàn)翻折，得到，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，的面積為，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用折疊和中線(xiàn)的性質(zhì)，得到的面積，利用勾股定理求出，利用三角形的面積公式求出，進(jìn)而求出，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵∴為的中線(xiàn)，∴，∵翻折，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題．熟練掌握折疊的性質(zhì)以及三角形的中線(xiàn)平分面積，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·成都西川中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．將△CEB沿直線(xiàn)CE折疊到△CEF，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合．當(dāng)CF⊥AB時(shí)，線(xiàn)段EB的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】2【分析】設(shè)CF與AB交于點(diǎn)H，利用勾股定理求出AB，利用面積法求出CH，求出HF和BH，設(shè)BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：設(shè)CF與AB交于點(diǎn)H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴S△ABC=，即，∴CH=，由折疊可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，在△BCH中，BH=，設(shè)BE=EF=x，則EH=-x，在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到相等線(xiàn)段，利用勾股定理列出方程．變式1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，并且，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），將沿直線(xiàn)翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，的長(zhǎng)為，則邊的長(zhǎng)為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】由折疊可得，，再利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：由折疊可得：，，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊得到相應(yīng)直角邊．變式2．（2022·內(nèi)江九年級(jí)期中）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點(diǎn)E．若為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的長(zhǎng)，由折疊可知對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，當(dāng)為直角三角形時(shí)，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，，（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，由折疊得：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，由折疊得：，則，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：17或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：分類(lèi)討論思想的應(yīng)用注意分類(lèi)的原則是不遺漏、不重復(fù)．變式3．（2022·江蘇西附初中八年級(jí)月考）如圖，中，，，，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處；再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB=5，再根據(jù)三角形的面積可求得B′F的長(zhǎng)．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，∴AC?BC＝AB?CE，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝∴B′F＝．選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是本題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·成都市八年級(jí)期中）如圖，已知中，，，將此三角形沿翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)折疊可得，再在中利用勾股定理列方程計(jì)算即可．【詳解】∵三角形沿翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，∴，∵，∴，在中，∴，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶渝北·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知直角三角形，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，把沿著翻折，得到，連接交于點(diǎn)F．若，，則點(diǎn)E到的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)M，先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，繼而利用三角形的面積公式求出，再求出,，利用三角形的面積求解即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)M，∴，在直角三角形，，，，∴，∵把沿著翻折，得到，∴，∴，∴，即，解得，∴,，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，折疊的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可得最小時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，最大，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)等面積法求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，將邊沿翻折，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最大，則，∴，∴的最大值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，垂線(xiàn)段最短，等面積法求得的最小值是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm，點(diǎn)、分別在、邊上．現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．連接，則長(zhǎng)度的最小值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】當(dāng)H落在AB上，點(diǎn)D與B重合時(shí)，AH長(zhǎng)度的值最小，根據(jù)勾股定理得到AB=10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH=BC=6cm，于是得到結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)H落在AB上，點(diǎn)D與B重合時(shí)，AH長(zhǎng)度的值最小，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一點(diǎn)，連接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于點(diǎn)F，連接BE，則點(diǎn)E到BC的距離為（）A． B．3 C．2 D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，可計(jì)算出BH、CG的長(zhǎng)度，根據(jù)等面積法可計(jì)算出AG的長(zhǎng)度，再由翻折的性質(zhì)可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可計(jì)算出DF的長(zhǎng)度，即可得出DE的長(zhǎng)，再由在△BDF中應(yīng)用等面積法即可得出答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，垂足為H，∵AB＝BC＝5，∴，在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，BH2+()2＝52，解得BH＝，解得：AG＝3，在中，CG2+AG2＝AC2，CG2+33＝，解得：CG＝1，由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，∵DE⊥AB，∴∠AGD＝∠AFD＝90°，∴△AGD≌△AFD(AAS)，∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，設(shè)GD＝x，則DF＝x，BD＝4﹣x，在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2，x2+22＝（4﹣x）2，解得，∴DE＝CD＝，BD＝BC﹣CD＝，設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為d，解得d＝2．所以點(diǎn)E到BC的距離為2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及等面積法，熟練應(yīng)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·河北保定·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知中，，將它的銳角翻折，使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，可求CD=，設(shè)DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．【詳解】解：∵將它的銳角翻折，使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，∴△AEF≌△DEF，∴AE=DE，∵點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴CD=，設(shè)DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理，即，解得．故選擇：C．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，中點(diǎn)定義，勾股定理，掌握折疊性質(zhì)，中點(diǎn)定義，勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理構(gòu)造方程．7．（2022·重慶八年級(jí)月考）如圖，已知ABCD是長(zhǎng)方形紙片，，在CD上存在一點(diǎn)E，沿直線(xiàn)AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．【詳解】解：ABCD是長(zhǎng)方形紙片，∴AB=CD=3，，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x=，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程．8．（2022·廣東·江門(mén)八年級(jí)期中）已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，則BE的長(zhǎng)為（）A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE＝ED，設(shè)AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵長(zhǎng)方形折疊點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，∴BE＝ED，設(shè)AE＝x，則ED＝BE＝9﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x＝4，∴AE的長(zhǎng)是4cm，∴BE＝9﹣4＝5（cm），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于AE的長(zhǎng)的方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，繼而設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2=x2，解得即AE=故選A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022·深圳市初三月考）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線(xiàn)AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為()A．3B．4C．5D．6【答案】D分析：先根據(jù)矩形的特點(diǎn)求出BC的長(zhǎng)，再由翻折變換的性質(zhì)得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長(zhǎng)，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF===4，設(shè)AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故選D．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）；勾股定理．11．（2022·江蘇·無(wú)錫八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的處，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且＝3，則BN＝______，AM＝______．【答案】

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2【分析】由翻折的性質(zhì)可知：BN=NB′，設(shè)BN=x，在Rt△CNB′中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x；連接BM，MB′，由于CB′=3，則DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：BN=NB′，設(shè)BN=x，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=9，∠C=∠D=90°，∵NB′2=CB′2+CN2，∴x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴BN=5；設(shè)AM=y，連接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，∵M(jìn)B=MB′，∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+y2=（9-y）2+（9-3）2，解得y=2，即AM=2，故答案為：5；2．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等，利用了勾股定理建立方程求解．12．（2022·江西·興國(guó)縣八年級(jí)期末）如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為8，16的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折痕EF的長(zhǎng)是___________．【答案】4【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，得到EC=AE，∠AEF=∠CEF，推出AE=AF=CE，勾股定理求出AE，得到BE，作EG⊥AF于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理求出EF．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，EC=AE，∠AEF=∠CEF，∵AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=CE，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即82+（16-AE）2=AE2，解得，AE=AF=10，BE=6，作EG⊥AF于點(diǎn)G，則四邊形AGEB是矩形，有AG=6，GF=4，GE=AB=8，由勾股定理得EF=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形與翻折，勾股定理，等角對(duì)等邊證明邊相等，熟記翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·山東濟(jì)南·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)N為邊DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），連接BN，作C關(guān)于直線(xiàn)BN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′連接BC′，C′N(xiāo)，當(dāng)C′恰好在△ABD的邊上時(shí)，CN的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】或【分析】分兩種情況討論：點(diǎn)C'在BD上或點(diǎn)C'在AD上，依勾股定理以及折疊的性質(zhì)，即可得到CN的長(zhǎng)．【詳解】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C'在BD上時(shí)，設(shè)CN=x，則C'N=x，DN=3-x，由折疊可得，∠C=∠BC'N=90°，BC'=BC=4，Rt△BCD中，BD=，∴C'D=5-4=1，∴Rt△DC'N中，12+x2=（3-x）2，解得x=；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C'在AD上時(shí)，設(shè)CN=x，則C'N=x，DN=3-x，由折疊可得，BC'=BC=4，Rt△ABC'中，AC'=，∴C'D=，∴Rt△DC'N中，()2+(3?x)2＝x2，解得x=；綜上所述，CN的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問(wèn)題以及勾股定理的運(yùn)用，解題時(shí)，常常設(shè)要求的線(xiàn)段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線(xiàn)段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．14．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）如圖，中，，，，將邊沿翻折，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)D處；再將邊沿翻折，使點(diǎn)B落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)處，兩條折痕與斜邊分別交于點(diǎn)E、F，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)___________．【答案】【分析】由折疊可知可得，知，根據(jù)，，用面積法可得，由勾股定理得，即得，故．【詳解】解：由折疊可知，，，，，，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊，熟練掌握勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，，，，，P是直線(xiàn)上一點(diǎn)，把沿所在的直線(xiàn)翻折后，點(diǎn)C落在直線(xiàn)上的點(diǎn)H處，______．【答案】或10【分析】分兩種情況：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)；當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)．分別畫(huà)出圖形，利用折疊性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)，如圖1，由折疊性質(zhì)得，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得，，即；當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)，如圖2，由折疊知，，∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得，，即；綜上，或10．故答案為：或10．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，注意分類(lèi)討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，，,，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，D是線(xiàn)段BC上的一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿直線(xiàn)DE翻折，得到四邊形FGDE，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在線(xiàn)段AC上時(shí)，，則______．【答案】1【分析】連接BE，由將四邊形ABDE沿直線(xiàn)DE翻折，得到四邊形FGDE，可得BE=4-AE，然后利用勾股定理即可得解．【詳解】解：如下圖，連接BE，∵將四邊形ABDE沿直線(xiàn)DE翻折，得到四邊形FGDE，∴BE=EG，∵，，∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，∵在Rt△ABC中，，，∴AE2+AB2=BE2即，∴AE=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及勾股定理，利用勾股定理構(gòu)造方程求解是解題的關(guān)鍵．17．（2023·貴州黔東南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為.將矩形沿對(duì)角線(xiàn)翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且交軸于點(diǎn)，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】（0，）．【分析】先證明EA=EC（設(shè)為x）；根據(jù)勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解決問(wèn)題．【詳解】由題意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，∴EA=EC（設(shè)為x）；由題意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，解得：x=，∴OE=3-=，∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）．故答案為（0，）．【點(diǎn)睛】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．18．（2023·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D為AB的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，將△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于點(diǎn)G，則△ECG的周長(zhǎng)是___________．【答案】【分析】連接CE．根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”、等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，【詳解】解：（1）如圖，連接CD、CF.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB邊的中點(diǎn)，∴BD=CD=1．BC=,∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周長(zhǎng)=EG+GC+CE=BE+EC=BC=,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，能將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)移到已知線(xiàn)段上是解題的關(guān)鍵.．19．（2022·吉林白城·八年級(jí)期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線(xiàn)AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．【答案】(1)16(2)36【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)CD＝x，則，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面積公式求解即可．（1）∵在中，，，，∴，故答案為：16；（2）由折疊可知，∵AC＝12，∴設(shè)CD＝x，則在中，，∴解得x＝6，∴．【點(diǎn)睛】