專題02勾股定理中的七類翻折模型(原卷版+解析)

專題02勾股定理中的七類翻折模型翻折（折疊）問題屬于圖形變換中的實際問題，也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問題的有關(guān)的題目中，要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等，這樣就好出現(xiàn)相等的線段和相等的角；因為大部分翻折問題是對矩形進行翻折，所以翻折后由于線段交錯，出現(xiàn)的直角三角形也引起注意；因為翻折問題本身是軸對稱的問題，所以翻折前后對應(yīng)點所連線段會被折痕所在直線垂直平分；折痕還會平分翻折所形成的的兩個角?？傊?，翻折問題并不復(fù)雜，只要要把隱含已知條件熟記于心，再結(jié)合其他有關(guān)知識就能讓此類問題迎刃而解了?！局R儲備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。模型1.折痕過對角線模型【模型解讀】沿著矩形的對角線所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以對角線AC為折痕，折疊ABC，點B的對應(yīng)點為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形。例1．（2023·成都市八年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，，將△ABD沿對角線BD對折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．6例2．（2022·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形ABCD中，，，如果將該矩形沿對角線BD折疊，使點C落在點F處，那么圖中陰影部分的面積是______．變式1．（2022·四川初二期末）如圖，在長方形紙片中，，.把長方形紙片沿直線折疊，點落在點處，交于點，則的長為（）A． B． C． D．變式2．（2022春·福建泉州·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對角線AC折疊，點D落在處．(1)求CF的長；(2)求重疊部分△AFC的面積．模型2.折痕過一頂點模型【模型解讀】沿著矩形的一個頂點和一邊上的點的線段所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點B的對應(yīng)點為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形。例1．（2022秋·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，使點落在對角線上的點處，則的長為（）A． B． C． D．例2．（2023·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點在矩形的邊上由點向點運動.沿直線翻折，形成如下四種情形，設(shè)，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.（1）如圖4，當點運動到與點重合時，求重疊部分的面積；（2）如圖2，當點運動到何處時，翻折后，點恰好落在邊上？這時重疊部分的面積等于多少？變式1．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形邊沿折痕折疊，使點落在上的處，已知，的面積為，則等于（

）A． B． C． D．變式2．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)的點F處，連接CF，則CF的長為（）A． B． C． D．變式3．（2023春·成都市八年級課時練習）如圖，折疊矩形紙片的，使點落在對角線上的點處，得折痕，若，，求折痕的長（結(jié)果保留根號）．模型3.折痕任意兩點模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點B的對應(yīng)點為B’，點C的對應(yīng)點為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形。例1．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級?？计谥校┤鐖D所示，四邊形是一張長方形紙片，將該紙片沿著翻折，頂點B與頂點D重合，點A的對應(yīng)點為點，若，，則的面積為_________．例2．（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長為_______例3．（2023春·重慶八年級課時練習）如圖，在矩形中，，，是邊上的中點，是邊上的一動點．連接，將沿折疊，點的對應(yīng)點為點，連接．當為直角三角形時，的長為________．變式1．（2022·成都市八年級月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．變式2．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）在矩形中，，點G在邊上，，邊上有一點H，將矩形沿邊折疊，點C和D的對應(yīng)點分別是和，若點A、和三個點恰好在同一條直線上時，的長為__________．變式3．（2022·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點E在邊上，點A、D關(guān)于直線的對稱點分別是點M、N．如果直線恰好經(jīng)過點C，那么的長是__________．模型4.過一個頂點所在直線（落點在一邊上）翻折模型【模型解讀】1）沿過點A的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；2）沿過點C的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；3）沿過點B的直線翻折使得點A的對應(yīng)點為E落在BC邊上，折痕為BD。例1．（2023春·廣西·八年級專題練習）（1）如圖①，的斜邊比直角邊長2cm，另一直角邊長為6cm，求的長．（2）拓展：如圖②，在圖①的的邊上取一點D，連接，將沿翻折，使點B的對稱點E落在邊上．①求的長．②求的長．例2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長是___________．變式1．（2022·浙江衢州·八年級期末）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點C落在BD邊上的點E處．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，則AB2﹣AC2的值是（）A．8 B．12 C．16 D．24變式2．（2023春·重慶九龍坡·八年級校考期中）如圖，在中，，，，點D在邊上，連接．將沿翻折后得到，若，則線段的長為______．變式3．（2023春·廣東陽江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，．(1)的長為．(2)把沿著直線翻折，使得點C落在邊上E處，求的長．模型5.過斜邊中點所在直線翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN（N為斜邊中點）翻折使得點A與點C重合；2）沿中線BE翻折，使得點A落在點F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點O.3）沿中線BE翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)AD，CD.例1．（2022·山東棗莊·八年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為______．例2．（2022·上海八年級期末）已知，如圖，在中，是上的中線，如果將沿翻折后，點的對應(yīng)點，那么的長為__________．變式1．（2022·江蘇無錫·八年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則AE的長為（

）A． B．3 C． D．變式2．（2022·安徽·合肥市八年級期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點B恰好落在邊AC上．與點重合，AE為折痕，則的長為（

）A．12 B．25 C．20 D．15模型6.過任意兩點所在直線（落在其中一邊）翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)CD.2）沿直線DE翻折使得點C與邊AB上的點F重合；例1．（2022·河南鶴壁·八年級期末）如圖，中，，M，N分別是邊上的兩個動點．將沿直線折疊，使得點A的對應(yīng)點D落在邊的三等分點處，則線段的長為（

）A．3 B． C．3或 D．3或例2．（2022·重慶市七年級期中）如圖，在中，，點D，E分別在邊，上，且，將沿折疊，點C恰好落在邊上的F點，若，，，則的長為______．變式1．（2022·陜西西安·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分別是AB和BC上的點，若把△BDE沿DE翻折，B的對應(yīng)點恰好落在AC的中點處，則BD的長是___．變式2．（2022·貴州遵義·八年級期末）在中，，，，點、分別是直角邊和斜邊上的點，把沿著直線折疊，點恰好落在邊的中點上，則線段的長度為（

）A． B． C．3 D．4模型7其他三角形翻折模型【模型解讀】例1．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點是邊上一點，連接，把沿著直線翻折，得到，交于點，連接交于點，若，的面積為，則的長是（

）A． B． C． D．例2．（2022·成都西川中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點B與點F重合．當CF⊥AB時，線段EB的長為_____．變式1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，點在上，并且，點為上的動點（點不與點重合），將沿直線翻折，使點落在點處，的長為，則邊的長為（

）A． B．3 C． D．4變式2．（2022·內(nèi)江九年級期中）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點E．若為直角三角形，則BD的長是_____．變式3．（2022·江蘇西附初中八年級月考）如圖，中，，，，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則線段的長為（）A． B． C． D．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·成都市八年級期中）如圖，已知中，，，將此三角形沿翻折，使得點A與點B重合，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023春·重慶渝北·八年級?？茧A段練習）如圖，已知直角三角形，點D是邊上一點，連接，把沿著翻折，得到，連接交于點F．若，，則點E到的距離為（）A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，點落在點處，連接交于點，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2023春·成都市八年級課時練習）如圖，在中，，cm，cm，點、分別在、邊上．現(xiàn)將沿翻折，使點落在點處．連接，則長度的最小值為（

）A．0 B．2 C．4 D．65．（2023·浙江八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一點，連接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于點F，連接BE，則點E到BC的距離為（）A． B．3 C．2 D．6．（2022·河北保定·八年級?？计谀┤鐖D，已知中，，將它的銳角翻折，使得點落在邊的中點處，折痕交邊于點，交邊于點，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2022·重慶八年級月考）如圖，已知ABCD是長方形紙片，，在CD上存在一點E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．8．（2022·廣東·江門八年級期中）已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，則BE的長為（）A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm9．（2022·山東濟寧·中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是（

）A． B． C． D．10．（2022·深圳市初三月考）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為()A．3B．4C．5D．611．（2022·江蘇·無錫八年級期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的處，點A對應(yīng)點為，且＝3，則BN＝______，AM＝______．12．（2022·江西·興國縣八年級期末）如圖，將一個邊長分別為8，16的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則折痕EF的長是___________．13．（2023·山東濟南·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點N為邊DC上一動點（不與C、D重合），連接BN，作C關(guān)于直線BN的對稱點C′連接BC′，C′N，當C′恰好在△ABD的邊上時，CN的長為__________．14．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，將邊沿翻折，使點A落在上的點D處；再將邊沿翻折，使點B落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點E、F，則線段的長為____________．15．（2022秋·江蘇無錫·八年級校考期中）如圖，中，，，，，，，P是直線上一點，把沿所在的直線翻折后，點C落在直線上的點H處，______．16．（2023春·浙江·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，，,，點E在線段AC上，D是線段BC上的一點，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當點G恰好落在線段AC上時，，則______．17．（2023·貴州黔東南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點的坐標為.將矩形沿對角線翻折，點落在點的位置，且交軸于點，那么點的坐標為______.18．（2023·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D為AB的中點，E為BC上一點，將△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于點G，則△ECG的周長是___________．19．（2022·吉林白城·八年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．20．（2023·安徽阜陽·八年級期末）如圖，在矩形紙片中，，將紙片折疊，使頂點B落在邊上的E處，折痕的一端G點在上．(1)如圖1，當折痕的另一端F在上且時，求的長；(2)如圖2，當折痕的另一端F在上且時，求的長．21．（2023·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.(1)如圖①，E、F分別為CD、AB邊上的點，將矩形ABCD沿EF翻折，使點A與點C重合，設(shè)CE=x，則DE=(用含x的代數(shù)式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE=.(2)如圖②，將△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于點E，求此時CE的長；(3)如圖③，P為AD邊上的一點，將△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分別交CD邊于E.F，且DF=A′F，請直接寫出此時CE的長.22．（2023·江蘇蘇州·八年級期末）(1)如圖1，將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為BE，點C落在點C'處，若∠ADB=46°，則∠DBE的度數(shù)為______°.(2)小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9．【畫一畫】如圖2，點E在這張矩形紙片的邊AD上，將紙片折疊，使AB落在CE所在直線上，折痕設(shè)為MN(點M，N分別在邊AD，BC上)，利用直尺和圓規(guī)畫出折痕MN(不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色水筆把線段描清楚)；【算一算】如圖3，點F在這張矩形紙片的邊BC上，將紙片折疊，使FB落在射線FD上，折痕為GF，點A，B分別落在點A'，B'處，若AG=，求B'D的長；23．（2023·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）圖形的折疊即圖形的翻折或者說是對稱變換.這類問題與生活緊密聯(lián)系，內(nèi)容豐富，解法靈活，具有開放性，可以培養(yǎng)我們的動手能力，空間想象能力和幾何變換的思想.在綜合與實踐課上，每個小組剪了一些如圖1所示的直角三角形紙片（，，），并將紙片中的各內(nèi)角進行折疊操作：（1）如圖2，“奮斗”小組將紙片中的進行折疊，使直角邊落在斜邊上，點落在點位置，折痕為，則的長為______.（2）如圖3，“勤奮”小組將中的進行折疊，使點落在直角邊中點上，折痕為，則的長為______.（3）如圖4，“雄鷹”小組將紙片中的進行折疊，使點落在直角邊延長線上的點處，折痕為，求出的長.

專題02勾股定理中的七類翻折模型翻折問題屬于圖形變換中的實際問題，也是近些年中考試卷出題老師青睞的題型。在解決翻折問題的有關(guān)的題目中，要注意隱含的已知條件比較多。比如翻折前后的圖形全等，這樣就好出現(xiàn)相等的線段和相等的角；因為大部分翻折問題是對矩形進行翻折，所以翻折后由于線段交錯，出現(xiàn)的直角三角形也引起注意；因為翻折問題本身是軸對稱的問題，所以翻折前后對應(yīng)點所連線段會被折痕所在直線垂直平分；折痕還會平分翻折所形成的的兩個角。總之，翻折問題并不復(fù)雜，只要要把隱含已知條件熟記于心，再結(jié)合其他有關(guān)知識就能讓此類問題迎刃而解了?！局R儲備】勾股定理在有關(guān)圖形折疊計算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一未知數(shù)為x，將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含x的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程，從而得出要求的線段的長度。模型1.折痕過對角線模型【模型解讀】沿著矩形的對角線所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以對角線AC為折痕，折疊ABC，點B的對應(yīng)點為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形。例1．（2023·成都市八年級課時練習）如圖，在矩形ABCD中，，將△ABD沿對角線BD對折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．【詳解】解：∵，，∴AD=，，由折疊可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，∴在Rt中，由勾股定理得：，∴，解得：EF=，故選：A．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，靈活利用折疊進行發(fā)掘條件是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形ABCD中，，，如果將該矩形沿對角線BD折疊，使點C落在點F處，那么圖中陰影部分的面積是______．【答案】【分析】要求陰影部分的面積就要先求得它的底和高，這個三角形的高就是，，由此關(guān)系就可利用勾股定理求出AE及EF的長，從而求三角形的面積．【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，，，，，由折疊的性質(zhì)，可得，，，，，設(shè)，則，，即，解得，．故答案為．【點睛】此題考查翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求三角形的底和高，從而求三角形的面積．變式1．（2022·四川初二期末）如圖，在長方形紙片中，，.把長方形紙片沿直線折疊，點落在點處，交于點，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件可證△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折疊知AE=AB=8cm，設(shè)AF=xcm，則DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.【解析】∵四邊形ABCD是長方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF設(shè)AF=xcm，則DF=（8-x）cm在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，故選擇A.【點睛】此題是翻折問題，利用勾股定理求線段的長度.變式2．（2022春·福建泉州·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿對角線AC折疊，點D落在處．(1)求CF的長；(2)求重疊部分△AFC的面積．【答案】(1)5(2)10【分析】（1）矩形沿對角線AC對折后，所以，，，可得，再設(shè)AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案；（2）直接根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）依題意可知，矩形沿對角線AC對折后有：以，，，∴（AAS），∴CF＝AF.設(shè)AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，，即，解得x＝5．所以CF=5；（2）由（1）得AF=CF=5，根據(jù)題意，得．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的運用等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF=CF是解題的關(guān)鍵．模型2.折痕過一頂點模型【模型解讀】沿著矩形的一個頂點和一邊上的點的線段所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點B的對應(yīng)點為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形。例1．（2022秋·廣東深圳·八年級校考期中）如圖，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，使點落在對角線上的點處，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理即可求出的長，設(shè)，則，在中根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：，，，，根據(jù)折疊可得：，，設(shè)，則，，在中：，解得：，故選：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點在矩形的邊上由點向點運動.沿直線翻折，形成如下四種情形，設(shè)，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.（1）如圖4，當點運動到與點重合時，求重疊部分的面積；（2）如圖2，當點運動到何處時，翻折后，點恰好落在邊上？這時重疊部分的面積等于多少？【答案】（1）；（2）當時，點恰好落在邊上,這時.【分析】（1）根據(jù)折疊或者軸對稱的性質(zhì),找到數(shù)量關(guān)系,運用方程思想設(shè)未知數(shù),結(jié)合勾股定理解答;（2）同樣根據(jù)軸對稱的性質(zhì),找到數(shù)量關(guān)系,運用方程思想設(shè)未知數(shù),結(jié)合勾股定理解答;【詳解】解：（1）由題意可得,∴設(shè),則在中,∴重疊的面積（2）由題意可得∴

在中∵∴∴在中此時∴當時，點恰好落在邊上這時.【點睛】本題綜合考查了多個知識點,包括折疊與軸對稱、方程、勾股定理等,在結(jié)合圖形及其變化,充分理解題意的前提下,熟練掌握運用各個知識點方可解答.變式1．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形邊沿折痕折疊，使點落在上的處，已知，的面積為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，；根據(jù)，解出，可得的值，根據(jù)直角三角形，利用勾股定理，即可求出．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，，∵是沿折痕折疊得到的，∴，，∵，∴，∴在直角三角形中，，∴，∴，∴，，設(shè)，∴，∴在直角三角形，，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，勾股定理的運用．變式2．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)的點F處，連接CF，則CF的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接BF，（見詳解圖），由翻折變換可知，BF⊥AE，BE=EF，由點E是BC的中點，可知BE=3，根據(jù)勾股定理即可求得AE；根據(jù)三角形的面積公式可求得BH，進而可得到BF的長度；結(jié)合題意可知FE=BE=EC，進而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的長度即可【詳解】如圖，連接BF．∵△AEF是由△ABE沿AE折疊得到的，∴BF⊥AE，BE=EF．∵BC=6，點E為BC的中點，∴BE=EC=EF=3根據(jù)勾股定理有AE=AB+BE代入數(shù)據(jù)求得AE=5根據(jù)三角形的面積公式得BH=即可得BF=由FE=BE=EC，可得∠BFC=90°再由勾股定理有BC-BF=CF代入數(shù)據(jù)求得CF=故答案為：【點睛】此題考查矩形性質(zhì)和折疊問題，解題關(guān)鍵在于利用好折疊的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線被折痕垂直平分．變式3．（2023春·成都市八年級課時練習）如圖，折疊矩形紙片的，使點落在對角線上的點處，得折痕，若，，求折痕的長（結(jié)果保留根號）．【答案】折痕的長【分析】在中，，，由勾股定理得到，由折疊性質(zhì)得到，從而得到，設(shè)，則，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，從而得到答案．【詳解】解：由題意可知，在中，，，則由勾股定理得到，折疊矩形紙片的，使點落在對角線上的點處，，，設(shè)，則，在中，利用勾股定理得到，解得，，在中，利用勾股定理得到，折痕的長．【點睛】本題考查利用勾股定理求線段長，涉及折疊的性質(zhì)、解方程等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理的運用是解決問題的關(guān)鍵．模型3.折痕任意兩點模型【模型解讀】沿著矩形邊上的任意兩點所在直線進行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點B的對應(yīng)點為B’，點C的對應(yīng)點為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形。例1．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級校考期中）如圖所示，四邊形是一張長方形紙片，將該紙片沿著翻折，頂點B與頂點D重合，點A的對應(yīng)點為點，若，，則的面積為_________．【答案】【分析】根據(jù)長方形得到，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴，,如圖所示：∵將該紙片沿著EF翻折，頂點B與頂點D重合，∴A'D，，∴，，，∴，∴，，∴，解得，∴，∴過作于H，∴，∴AA'E的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），長方形的性質(zhì)，三角形面積的計算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C′上．若AB=6，BC=9，則BF的長為_______【答案】4【分析】首先求出BC′的長度，設(shè)出C′F的長，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段C′F的方程，解方程求出C′F的長，即可解決問題．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝90°；∵點C′為AB的中點，AB＝6，∴BC′＝3；由題意得：C′F＝CF（設(shè)為x），則BF＝9?x，由勾股定理得：x2＝32＋(9?x)2，解得：x＝5，∴BF＝9?5＝4．故答案為4．【點睛】本題以矩形為載體，以翻折變換為方法，以考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等幾何知識點為核心構(gòu)造而成；靈活運用有關(guān)定理來解題是關(guān)鍵．例3．（2023春·重慶八年級課時練習）如圖，在矩形中，，，是邊上的中點，是邊上的一動點．連接，將沿折疊，點的對應(yīng)點為點，連接．當為直角三角形時，的長為________．【答案】2或【分析】分情況討論：當時，當時，當時三種情況下，分別利用勾股定理和翻折的性質(zhì)可得到答案．【詳解】解：當為直角三角形時，可有：①當時，如圖1，此時，由折疊性質(zhì)可知，，∵，∴，∴；②當時，如圖2，由折疊性質(zhì)可知，，，，∴，即M、E、C三點共線，設(shè)，則，在中，，∴，在中，有，即，解得，即，③當時，點E在直線CD上，此時，故此種情況不符合題意．綜上所述，滿足條件的BN的長為2或．故答案為：2或．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)和勾股定理的運用，根據(jù)題意畫出圖形并分情況討論是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·成都市八年級月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．【答案】【分析】設(shè)，在中利用勾股定理求出x即可解決問題．【詳解】解：∵是的中點，，，∴，由折疊的性質(zhì)知：，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，利用方程的去思考問題，屬于中考?？碱}型．變式2．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）在矩形中，，點G在邊上，，邊上有一點H，將矩形沿邊折疊，點C和D的對應(yīng)點分別是和，若點A、和三個點恰好在同一條直線上時，的長為__________．【答案】7或1/1或7【分析】分兩種情況，分別畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求出線段長，進而得出答案．【詳解】當點A，點，點，共線時，根據(jù)題意可知，，∴．在中，，∴；當點A，點，點，共線時，根據(jù)題意可知，，∴．在中，，∴.所以的長為7或1．故答案為：7或1．【點睛】這是一道關(guān)于矩形的折疊問題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等，準確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，點E在邊上，點A、D關(guān)于直線的對稱點分別是點M、N．如果直線恰好經(jīng)過點C，那么的長是__________．【答案】【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，則有四邊形，四邊形相當于四邊形沿邊對折得到．已知，，則，，在中，，則，設(shè)，則，，在中，，即，解得，故答案為：．【點睛】主要考查了三角形勾股定理的應(yīng)用，三角形勾股定理是經(jīng)常考查的一個知識點．模型4.過一個頂點所在直線（落點在一邊上）翻折模型【模型解讀】1）沿過點A的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；2）沿過點C的直線翻折使得點B的對應(yīng)點為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；3）沿過點B的直線翻折使得點A的對應(yīng)點為E落在BC邊上，折痕為BD。例1．（2023春·廣西·八年級專題練習）（1）如圖①，的斜邊比直角邊長2cm，另一直角邊長為6cm，求的長．（2）拓展：如圖②，在圖①的的邊上取一點D，連接，將沿翻折，使點B的對稱點E落在邊上．①求的長．②求的長．【答案】（1）10cm；（2）①4cm；②3cm【分析】（1）利用勾股定理，進行求解即可；（2）①根據(jù)翻折得到，利用求出的長即可；②在中，利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)，則，在中：，即：，解得：；∴；（2）①∵將沿翻折，使點B的對稱點E落在邊上，∴，∴；②∵將沿翻折，使點B的對稱點E落在邊上，∴，設(shè)，則，在中：，即：，解得：；即：．【點睛】本題考查勾股定理與折疊問題．熟練掌握折疊的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，以及勾股定理，是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長是___________．【答案】【分析】先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，進一步求出，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，則．【詳解】解：在中，由勾股定理得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，∵，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得∴，解得∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問題，正確利用勾股定理結(jié)合方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·浙江衢州·八年級期末）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點C落在BD邊上的點E處．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，則AB2﹣AC2的值是（）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=AD，AB=2AD=4，可求AB2-AC2的值．【詳解】解：∵將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點C落在BD邊上的點E處，∴∠ADC=∠ADE=90°，∵∠C=45°，AD=2，∴AC=AD=，∵∠B=30°，∴AB=2AD=2×2=4，∴AB2-AC2=42-（）2=8，故選：A．【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，熟練運用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．變式2．（2023春·重慶九龍坡·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點D在邊上，連接．將沿翻折后得到，若，則線段的長為______．【答案】【分析】與交于點F，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，，再由翻折的性質(zhì)得出，，設(shè)，則，繼續(xù)利用勾股定理求解即可．【詳解】解：與交于點F，設(shè)，則，∵，，，，∴即，解得：，∴，∴，∵將沿翻折后得到，∴，，∴，設(shè)，則，∴即，解得：線段的長為故答案為：【點睛】本題考翻折變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運用勾股定理進行求解，屬中考常考題型．變式3．（2023春·廣東陽江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，．(1)的長為．(2)把沿著直線翻折，使得點C落在邊上E處，求的長．【答案】(1)20(2)6【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的長；（2）首先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，則，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出即可求出．【詳解】（1）解：∵

∴∵，∴故答案為：；（2）根據(jù)折疊可得：，

則，設(shè)，則，∵∴

解得：，

∴【點睛】該題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型5.過斜邊中點所在直線翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN（N為斜邊中點）翻折使得點A與點C重合；2）沿中線BE翻折，使得點A落在點F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點O.3）沿中線BE翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)AD，CD.例1．（2022·山東棗莊·八年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為______．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=BE，設(shè)CE=x，則BE=8-x，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：AE=BE，∵AC=8，∴BE+CE=8，設(shè)CE=x，則BE=8-x，在中，，∴，解得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握圖形的折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·上海八年級期末）已知，如圖，在中，是上的中線，如果將沿翻折后，點的對應(yīng)點，那么的長為__________．【答案】．【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜邊上的中線性質(zhì)，求得CD，BD的長，再利用折疊的性質(zhì)，引進未知數(shù)，用勾股定理列出兩個等式，聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】如圖所示，∵，∴BC==8，∵CD是上的中線，∴CD=BD=AD=5，設(shè)DE=x，BE=y，根據(jù)題意，得，，解得x=，y=,∴,故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，斜邊上中線的性質(zhì)，方程組的解法，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，正確構(gòu)造方程組計算是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇無錫·八年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則AE的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】先利用折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理可得到，求解即可．【詳解】解：∵沿DE翻折，使點A與點B重合，∴，∴，設(shè)，則，，在中，∵，∴，解得，∴，故選：D．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握勾股定理解三角形是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·安徽·合肥市八年級期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點B恰好落在邊AC上．與點重合，AE為折痕，則的長為（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC，再由折疊的性質(zhì)可知，，進而可得，設(shè)，在中，由勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，，∵折疊，點B與點重合，，，，，設(shè)，則，又，在中，，即，解得：，．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．模型6.過任意兩點所在直線（落在其中一邊）翻折模型【模型解讀】1）沿直線MN翻折，使得點C落在點D處，連結(jié)CD.2）沿直線DE翻折使得點C與邊AB上的點F重合；例1．（2022·河南鶴壁·八年級期末）如圖，中，，M，N分別是邊上的兩個動點．將沿直線折疊，使得點A的對應(yīng)點D落在邊的三等分點處，則線段的長為（

）A．3 B． C．3或 D．3或【答案】D【分析】根據(jù)題意，分和兩種情形，設(shè)，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：，點A的對應(yīng)點D落在邊的三等分點處，設(shè)BN＝x，則和，，在中，，當時，，解得：，當時，，解得：，故選D．【點睛】本題考查了折疊與勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·重慶市七年級期中）如圖，在中，，點D，E分別在邊，上，且，將沿折疊，點C恰好落在邊上的F點，若，，，則的長為______．【答案】【分析】由三角形面積公式可求得，由折疊的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，，即可求得AB．【詳解】解：∵將△CDE沿DE折疊，點C恰好落在AB上的F處，∴OC＝OF，CF⊥DE，∵，∴，∴，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運用相關(guān)知識解題．變式1．（2022·陜西西安·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分別是AB和BC上的點，若把△BDE沿DE翻折，B的對應(yīng)點恰好落在AC的中點處，則BD的長是___．【答案】/1.75【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，勾股定理列出方程即可求得的長，進而求得BD的長．【詳解】把△BDE沿DE翻折，B的對應(yīng)點恰好落在AC的中點處，,設(shè)，則，在中，即解得故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·貴州遵義·八年級期末）在中，，，，點、分別是直角邊和斜邊上的點，把沿著直線折疊，點恰好落在邊的中點上，則線段的長度為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，則DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出BE即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得AE＝DE，∵，，，點是邊的中點，∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，解得：BE＝，故選：B．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理得出關(guān)于BE的方程是解題的關(guān)鍵．模型7其他三角形翻折模型【模型解讀】例1．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖，三角形紙片中，點是邊上一點，連接，把沿著直線翻折，得到，交于點，連接交于點，若，的面積為，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用折疊和中線的性質(zhì)，得到的面積，利用勾股定理求出，利用三角形的面積公式求出，進而求出，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵∴為的中線，∴，∵翻折，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查勾股定理與折疊問題．熟練掌握折疊的性質(zhì)以及三角形的中線平分面積，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·成都西川中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點B與點F重合．當CF⊥AB時，線段EB的長為_____．【答案】2【分析】設(shè)CF與AB交于點H，利用勾股定理求出AB，利用面積法求出CH，求出HF和BH，設(shè)BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：設(shè)CF與AB交于點H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴S△ABC=，即，∴CH=，由折疊可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，在△BCH中，BH=，設(shè)BE=EF=x，則EH=-x，在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到相等線段，利用勾股定理列出方程．變式1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，，點在上，并且，點為上的動點（點不與點重合），將沿直線翻折，使點落在點處，的長為，則邊的長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】由折疊可得，，再利用勾股定理計算即可．【詳解】解：由折疊可得：，，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了折疊問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊得到相應(yīng)直角邊．變式2．（2022·內(nèi)江九年級期中）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點E．若為直角三角形，則BD的長是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的長，由折疊可知對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，當為直角三角形時，可以分為兩種情況進行考慮，分別利用勾股定理可求出的長．【詳解】解：在中，，（1）當時，如圖1，過點作，交的延長線于點，由折疊得：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當時，如圖2，此時點與點重合，由折疊得：，則，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：17或．【點睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是：分類討論思想的應(yīng)用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù)．變式3．（2022·江蘇西附初中八年級月考）如圖，中，，，，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處；再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則線段的長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB=5，再根據(jù)三角形的面積可求得B′F的長．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，∴AC?BC＝AB?CE，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝∴B′F＝．選：A．【點睛】此題主要考查了翻折變換，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得相等的角是本題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·成都市八年級期中）如圖，已知中，，，將此三角形沿翻折，使得點A與點B重合，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)折疊可得，再在中利用勾股定理列方程計算即可．【詳解】∵三角形沿翻折，使得點A與點B重合，∴，∵，∴，在中，∴，解得，故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶渝北·八年級校考階段練習）如圖，已知直角三角形，點D是邊上一點，連接，把沿著翻折，得到，連接交于點F．若，，則點E到的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點E作于點M，先根據(jù)勾股定理求出的長度，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，繼而利用三角形的面積公式求出，再求出,，利用三角形的面積求解即可．【詳解】過點E作于點M，∴，在直角三角形，，，，∴，∵把沿著翻折，得到，∴，∴，∴，即，解得，∴,，∵，∴，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，折疊的性質(zhì)，熟練掌握知識點，準確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，將邊沿翻折，點落在點處，連接交于點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可得最小時，最大，當時，最大，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)等面積法求得，進而即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，將邊沿翻折，∴，∵，∴當時，最小，此時最大，則，∴，∴的最大值為，故選：D．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，等面積法求得的最小值是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·成都市八年級課時練習）如圖，在中，，cm，cm，點、分別在、邊上．現(xiàn)將沿翻折，使點落在點處．連接，則長度的最小值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】當H落在AB上，點D與B重合時，AH長度的值最小，根據(jù)勾股定理得到AB=10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH=BC=6cm，于是得到結(jié)論．【詳解】解：當H落在AB上，點D與B重合時，AH長度的值最小，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故選：C．【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一點，連接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于點F，連接BE，則點E到BC的距離為（）A． B．3 C．2 D．【答案】C【分析】過點A作AG⊥BC，垂足為G，過點B作BH⊥AC，垂足為H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，可計算出BH、CG的長度，根據(jù)等面積法可計算出AG的長度，再由翻折的性質(zhì)可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可計算出DF的長度，即可得出DE的長，再由在△BDF中應(yīng)用等面積法即可得出答案．【詳解】解：過點A作AG⊥BC，垂足為G，過點B作BH⊥AC，垂足為H，∵AB＝BC＝5，∴，在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，BH2+()2＝52，解得BH＝，解得：AG＝3，在中，CG2+AG2＝AC2，CG2+33＝，解得：CG＝1，由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，∵DE⊥AB，∴∠AGD＝∠AFD＝90°，∴△AGD≌△AFD(AAS)，∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，設(shè)GD＝x，則DF＝x，BD＝4﹣x，在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2，x2+22＝（4﹣x）2，解得，∴DE＝CD＝，BD＝BC﹣CD＝，設(shè)點E到BC的距離為d，解得d＝2．所以點E到BC的距離為2．故選：C．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及等面積法，熟練應(yīng)用相關(guān)知識進行求解是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·河北保定·八年級?？计谀┤鐖D，已知中，，將它的銳角翻折，使得點落在邊的中點處，折痕交邊于點，交邊于點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由點為邊的中點，可求CD=，設(shè)DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．【詳解】解：∵將它的銳角翻折，使得點落在邊的中點處，折痕交邊于點，交邊于點，∴△AEF≌△DEF，∴AE=DE，∵點為邊的中點，∴CD=，設(shè)DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理，即，解得．故選擇：C．【點睛】本題考查折疊性質(zhì)，中點定義，勾股定理，掌握折疊性質(zhì)，中點定義，勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理構(gòu)造方程．7．（2022·重慶八年級月考）如圖，已知ABCD是長方形紙片，，在CD上存在一點E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且，則的面積是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．【詳解】解：ABCD是長方形紙片，∴AB=CD=3，，∴，∴BF=4，∴AF=，∴AF=AD=BC=5，CF=1，設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3-x，x2=(3-x)2+1，解得，x=，∴，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程．8．（2022·廣東·江門八年級期中）已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，則BE的長為（）A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE＝ED，設(shè)AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式計算即可得解．【詳解】解：∵長方形折疊點B與點D重合，∴BE＝ED，設(shè)AE＝x，則ED＝BE＝9﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x＝4，∴AE的長是4cm，∴BE＝9﹣4＝5（cm），故選：D．【點睛】本題考查翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于AE的長的方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022·山東濟寧·中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處；再折疊紙片，使點C與點D重合，若折痕與AC的交點為E，則AE的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，繼而設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點D處，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折疊紙片，使點C與點D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2=x2，解得即AE=故選A【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022·深圳市初三月考）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為()A．3B．4C．5D．6【答案】D分析：先根據(jù)矩形的特點求出BC的長，再由翻折變換的性質(zhì)得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF===4，設(shè)AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故選D．考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理．11．（2022·江蘇·無錫八年級期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的處，點A對應(yīng)點為，且＝3，則BN＝______，AM＝______．【答案】

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2【分析】由翻折的性質(zhì)可知：BN=NB′，設(shè)BN=x，在Rt△CNB′中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x；連接BM，MB′，由于CB′=3，則DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：BN=NB′，設(shè)BN=x，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=9，∠C=∠D=90°，∵NB′2=CB′2+CN2，∴x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴BN=5；設(shè)AM=y，連接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，∵MB=MB′，∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+y2=（9-y）2+（9-3）2，解得y=2，即AM=2，故答案為：5；2．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，利用了勾股定理建立方程求解．12．（2022·江西·興國縣八年級期末）如圖，將一個邊長分別為8，16的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則折痕EF的長是___________．【答案】4【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，得到EC=AE，∠AEF=∠CEF，推出AE=AF=CE，勾股定理求出AE，得到BE，作EG⊥AF于點G，根據(jù)勾股定理求出EF．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，EC=AE，∠AEF=∠CEF，∵AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=CE，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即82+（16-AE）2=AE2，解得，AE=AF=10，BE=6，作EG⊥AF于點G，則四邊形AGEB是矩形，有AG=6，GF=4，GE=AB=8，由勾股定理得EF=4．故答案為：4．【點睛】此題考查了矩形與翻折，勾股定理，等角對等邊證明邊相等，熟記翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·山東濟南·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點N為邊DC上一動點（不與C、D重合），連接BN，作C關(guān)于直線BN的對稱點C′連接BC′，C′N，當C′恰好在△ABD的邊上時，CN的長為__________．【答案】或【分析】分兩種情況討論：點C'在BD上或點C'在AD上，依勾股定理以及折疊的性質(zhì)，即可得到CN的長．【詳解】如圖所示，當點C'在BD上時，設(shè)CN=x，則C'N=x，DN=3-x，由折疊可得，∠C=∠BC'N=90°，BC'=BC=4，Rt△BCD中，BD=，∴C'D=5-4=1，∴Rt△DC'N中，12+x2=（3-x）2，解得x=；如圖所示，當點C'在AD上時，設(shè)CN=x，則C'N=x，DN=3-x，由折疊可得，BC'=BC=4，Rt△ABC'中，AC'=，∴C'D=，∴Rt△DC'N中，()2+(3?x)2＝x2，解得x=；綜上所述，CN的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查折疊問題以及勾股定理的運用，解題時，常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．14．（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，將邊沿翻折，使點A落在上的點D處；再將邊沿翻折，使點B落在的延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于點E、F，則線段的長為____________．【答案】【分析】由折疊可知可得，知，根據(jù)，，用面積法可得，由勾股定理得，即得，故．【詳解】解：由折疊可知，，，，，，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故答案為：．【點睛】本題考查圖形的折疊，熟練掌握勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·江蘇無錫·八年級?？计谥校┤鐖D，中，，，，，，，P是直線上一點，把沿所在的直線翻折后，點C落在直線上的點H處，______．【答案】或10【分析】分兩種情況：當P點在E點左邊時；當P點在E點右邊時．分別畫出圖形，利用折疊性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】解：當P點在E點左邊時，如圖1，由折疊性質(zhì)得，∵，，，∴，∵，∴，∵，∴∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得，，即；當P點在E點右邊時，如圖2，由折疊知，，∴，設(shè)，則，，∵，∴，解得，，即；綜上，或10．故答案為：或10．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識，注意分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023春·浙江·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，，,，點E在線段AC上，D是線段BC上的一點，連接DE，將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，當點G恰好落在線段AC上時，，則______．【答案】1【分析】連接BE，由將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，可得BE=4-AE，然后利用勾股定理即可得解．【詳解】解：如下圖，連接BE，∵將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE，∴BE=EG，∵，，∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，∵在Rt△ABC中，，，∴AE2+AB2=BE2即，∴AE=1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及勾股定理，利用勾股定理構(gòu)造方程求解是解題的關(guān)鍵．17．（2023·貴州黔東南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊在軸上，邊在軸上，點的坐標為.將矩形沿對角線翻折，點落在點的位置，且交軸于點，那么點的坐標為______.【答案】（0，）．【分析】先證明EA=EC（設(shè)為x）；根據(jù)勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解決問題．【詳解】由題意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，∴EA=EC（設(shè)為x）；由題意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，解得：x=，∴OE=3-=，∴E點的坐標為（0，）．故答案為（0，）．【點睛】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．18．（2023·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D為AB的中點，E為BC上一點，將△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于點G，則△ECG的周長是___________．【答案】【分析】連接CE．根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，【詳解】解：（1）如圖，連接CD、CF.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB邊的中點，∴BD=CD=1．BC=,∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周長=EG+GC+CE=BE+EC=BC=,故答案為.【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，能將三角形的周長轉(zhuǎn)移到已知線段上是解題的關(guān)鍵.．19．（2022·吉林白城·八年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．【答案】(1)16(2)36【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)CD＝x，則，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面積公式求解即可．（1）∵在中，，，，∴，故答案為：16；（2）由折疊可知，∵AC＝12，∴設(shè)CD＝x，則在中，，∴解得x＝6，∴．【點睛】