安徽省安慶市銅陵市池州市2023-2024學年高二下學期7月三市聯(lián)合期末檢測數(shù)學試題

20232024學年第二學期三市聯(lián)合期末檢測高二數(shù)學滿分：150分考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰.3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)建立變量y關于x的經(jīng)驗回歸方程為.若y的均值為6.2，則x的均值為（）A.1.5 B.2 C.2.5 D.3【答案】B【解析】【分析】利用經(jīng)驗在歸方程經(jīng)過點,即可求出結(jié)果.【詳解】將代入方程，解得.故選：B.2.某寢室4名室友拍畢業(yè)照，4位同學站成一排，其中甲乙兩位同學必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法種數(shù)有（）A.24種 B.12種 C.8種 D.6種【答案】D【解析】【分析】先排甲乙，再根據(jù)全排列結(jié)合分步乘法公式計算.【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①甲，乙必須相鄰且甲在乙的右邊，將甲乙看成一個整體，有1種順序，②將甲乙整體與丙丁全排列，有種情況，則有種排法.故選：D3安徽年均降雨量近似服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為且，則，所以.故選：C4.在等比數(shù)列中，，則（）A.6 B.192 C.或192 D.6或【答案】D【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式進行求解，即可求出答案.【詳解】由題意，，在等比數(shù)列中，，，設公比為q，∴，即，解得或，∴，當時，，當時，.故選：D.5.已知圓心為圓與x軸交于A、B兩點，，則該圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設出圓的方程，令，得，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)弦長公式得到方程，求出，得到圓的方程.【詳解】由題意，可設圓的方程為，令，得，設，則，，，解得，∴圓的方程是，即.故選：C6.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，N點在邊AD上且，將沿BD翻折到的位置，使得.空間四點，B，C，D的外接球為球O，過N點作球O的截面，則截球O所得截面面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先找出BD的中點O為四面體的外接球球心，再分析當截面時截面面積最小，求出截面面積即可.【詳解】如圖，取BD的中點為O，由正方形ABCD的邊長為2，則，因此O為四面體的外接球球心，外接球半徑，設球心到平面的距離為d，截面圓的半徑為r，則有，即，當截面時，d最大，此時截面面積最小，且，在中，，，，由余弦定理可得，，此時，所以截面面積最小值為.故選：A7.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導得到單調(diào)性，結(jié)合，得到，根據(jù)單調(diào)性解不等式，求出解集.【詳解】令，則，所以不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式，即，構(gòu)造函數(shù)，則，由題意，，所以為上的增函數(shù)，又，所以，所以，解得，即，所以.故選：B【點睛】思路點睛：利用函數(shù)與導函數(shù)的相關不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見思路：比如：若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造.8.已知拋物線C：內(nèi)有一點，過點A作直線l與該拋物線交于P、Q兩點，經(jīng)過點和點Q的直線與該拋物線交于另一點T，則直線PT過定點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩個已知點在直線上，代入直線方程得出，然后簡化直線PT的的直線方程為，從而得解.【詳解】由題意，斜率都存在，設，，，直線l的斜率，直線l方程：，化簡得同理直線QT方程：，直線PT的方程：，點，分別代入直線QP，QT方程，即，消除，得，代入直線PT方程：，得，直線PT過定點.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知兩個離散型隨機變量，，滿足，其中的分布列如下：123Pab其中a，b為非負數(shù).若，，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】AB選項，根據(jù)概率之和為1和期望值得到方程組，求出，；CD選項，根據(jù)期望和方差的性質(zhì)得到，得到答案.【詳解】AB選項，由分布列的性質(zhì)，可得①，因為，所以②，聯(lián)立①②解得，，A正確，B錯誤；CD選項，因為，所以，，C錯誤，D正確.故選：AD10.定義：設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù).若方程有實數(shù)解，則稱點x0,fx0為函數(shù)y=fx的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)（）的對稱中心為，則下列說法中正確的是（）A.，B.函數(shù)有三個零點C.D.過可以作三條直線與y=fx圖象相切，則m的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，對函數(shù)連續(xù)兩次求導，然后“拐點”的定義列方程組可求出，對于B，對函數(shù)求后由導數(shù)的正可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合零點的定義分析判斷，對于C，由函數(shù)的對稱中心得，結(jié)合此結(jié)論求解即可，對于D，設切點為，然后利用導數(shù)的幾何意求出切線方程，轉(zhuǎn)化為關于的方程有3個不等的根，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】對于A，由，可得，則，因為是對稱中心，結(jié)合題設中心“拐點”的定義可知，且，解得，，所以A正確；對于B，由，，可知，則，令，可得或，當，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當x∈2,+∞時，，單調(diào)遞增；因為，，，所以函數(shù)只有兩個零點，所以B錯誤；對于C，因為是函數(shù)的對稱中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以C正確；對于D，設切點為，由，得，則切線的斜率為，所以切線方程為，即，因為切線經(jīng)過點，所以，化簡得，由題意可知關于的方程有3個不等的根，令，則，由，得或，當或時，，當時，，所以在和上遞減，在上遞增，所以的極小值為，極大值為，所以的大致圖象如圖所示，由圖象可知當時，直線與的圖象有3個交點，所以當時，關于的方程有3個不等的根，所以當時，過可以作三條直線與y=fx圖象相切，所以D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)綜合應用，考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題，考查函數(shù)的新定義，解題的關鍵是對函數(shù)新定義的正確理解，根據(jù)新定義解決問題，考查理解能力和計算能力，屬于較難題.11.已知數(shù)列滿足，（），數(shù)列前n項和為，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷A，應用累加法求通項范圍判斷B,C選項，應用前n項和判斷D.【詳解】∵，，又，可得，∴，∴，數(shù)列an單調(diào)遞減，故選項A正確；當時，；當時，，故選項D正確；∵，∴，∴，，∴，∴，，故選項B正確；又，∴，∴，，…，，∴，∴，∴（）；當時，.綜上，.故選項C錯誤.故選：ABD.【點睛】方法點睛：根據(jù)已知化簡裂項，結(jié)合累加法得出通項公式的不等關系判斷選項.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中x的一次項系數(shù)為，則實數(shù)a的值為_____________.【答案】2【解析】【分析】求出二項式展開式通項公式，然后令的次數(shù)為1，求出，從而可表示出一次項系數(shù)，列方程可求出a的值【詳解】的展開式通項為（，），∴令，解得，∴的展開式的常數(shù)項為，∴，.故答案為：213.雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，直線與雙曲線C的左、右支分別交于P，Q點.若，則該雙曲線的離心率為_____________.【答案】##【解析】【分析】由題意可得四邊形為矩形，在直角三角形中，利用勾股定理列方程化簡可求出離心率.【詳解】設雙曲線的半焦距為c，可得，即有四邊形為矩形，由雙曲線的定義可得，直角三角形中，，即有，可得，即.故答案為：14.已知正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為_____________.【答案】【解析】【分析】等價變形已知條件為，構(gòu)造函數(shù)，然后利用單調(diào)性，由，得出，從而可以將所求式子構(gòu)造新的函數(shù)，再一次借助導數(shù)求最值即可.【詳解】等式兩邊同乘，得，則，因為，，，所以，令（），則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，所以由，即，得，所以，所以，令（），則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且公比.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，記數(shù)列的前n項和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）可得的表達式，利用裂項相消法求和，即得答案.【小問1詳解】由題意知，，所以等比數(shù)列的首項為，公比為3，故，所以；【小問2詳解】由（1）得，故.16.如圖，四棱錐中，四邊形為正方形，為等邊三角形，為中點且.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理得到兩次線面垂直，再利用面面垂直的判定定理求解即可.（2）建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】取的中點，連接，，，故，所以，因為，面，，所以平面，又因為平面，所以，又因為為等邊三角形，所以，因為，面，所以平面，因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】設中點為，以分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則B1,0,0，，，，，，，設平面的法向量為m=x,y,z，即，令，則，，所以，設平面的法向量為n=a,b,c，即，令，則，，所以，設平面與平面的夾角為，故.17.已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，且，過點且與x軸不重合的直線與橢圓C交于P，Q兩點，已知的周長為8．（1）求橢圓C的方程；（2）過點作直線與直線垂直，且與橢圓C交于A，B兩點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求的值，從而得解；（2）分的斜率不存在和存在兩種情況討論，利用弦長公式求出兩個弦長，然后用二次函數(shù)知識求出范圍即可得解.【小問1詳解】已知，故，的周長為，故，，故橢圓C的方程為；【小問2詳解】①當?shù)男甭什淮嬖跁r，則的斜率為0，設P的坐標為，Q的坐標為，代入方程，解得，同理可得，所以，AB為長軸，∴；②當?shù)男甭蚀嬖跁r且不為0，則的斜率存在且不為0，設Ax1,y1設直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為，將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：3+4k2x∴，，∴，同理，，∴，令，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即.綜上①②可知，的取值范圍為.18.某射擊隊員進行打靶訓練，每次是否命中十環(huán)相互獨立，且每次命中十環(huán)的概率為0.9，現(xiàn)進行了n次打靶射擊，其中打中十環(huán)的數(shù)量為.（1）若，求恰好打中4次十環(huán)的概率（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；（2）要使的值最大，求n的值；（3）設隨機變量X的數(shù)學期望及方差都存在，則，，，這就是著名的切比雪夫不等式.對于給定的隨機變量，其方差如果存在則是唯一確定的數(shù)，所以該不等式告訴我們：的概率必然隨的變大而縮?。疄榱酥辽儆?0%的把握使命中十環(huán)的頻率落在區(qū)間，請利用切比雪夫不等式估計射擊隊員打靶次數(shù)n的最小值.【答案】（1）（2）（3）360【解析】【分析】（1）應用n次獨立重復實驗求出概率即可；（2）把概率最大列出不等式組計算即可得出范圍；（3）根據(jù)二項分布的期望和方差結(jié)合由切比雪夫不等式計算即得.【小問1詳解】；【小問2詳解】，由題意有，則，解得，由于n為整數(shù)，故；【小問3詳解】，則，.由題意，，即，，也即.由切比雪夫不等式，有，從而，解得，故估計n的最小值為360.19.已知函數(shù)，，其中.（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）證明：當時；（3）對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）令，對函數(shù)求導，再令，求導后無法判斷導數(shù)的正負，再令，對其求導后可判斷單調(diào)遞增，從而可判斷單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，進而可證得結(jié)論；（3）令，求導后可判斷時，在上單調(diào)遞增，滿足題意，當時，再分，和討論即可.【小問1詳解】解：時，，，則切點為，，，故切線方程為；【小問2詳解】證明：令，，令，則，令，恒成立，故單調(diào)遞增，，即，所以單調(diào)遞增，，即，得單調(diào)遞增，，