黃金卷：2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷-高三開(kāi)學(xué)學(xué)情調(diào)研卷01（摸底考試）（含答案及解析） (河北專用)

試卷第=page1010頁(yè)，共=sectionpages1010頁(yè)2024年高三數(shù)學(xué)秋季開(kāi)學(xué)考試（河北專用）注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，若中有3個(gè)元素，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．若向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．4．的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，則（

）A． B．4 C． D．35．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則該正方體的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知變量與變量線性相關(guān)，與的樣本相關(guān)系數(shù)為，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若在處取得極小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，直線上有且僅有一點(diǎn)，使，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．4 D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，10．平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比值為一定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內(nèi)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，則下列命題正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡的方程是B．過(guò)點(diǎn)的直線被點(diǎn)的軌跡所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值是C．直線與點(diǎn)的軌跡相離D．已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩條切線，切點(diǎn)為，則四邊形面積的最小值是411．已知，則關(guān)于事件與事件，下列說(shuō)法正確的有（

）A．事件與可能相互獨(dú)立 B．事件與一定不互斥C． D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開(kāi)式中的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）13．已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．已知是圓的直徑，，是圓上兩點(diǎn)，且，則的最小值為.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．(13分)如圖，在中，，，D是BC邊上一點(diǎn)，且，(1)求的長(zhǎng)；(2)若，求.16．(15分)已知橢圓，過(guò)點(diǎn)，，分別是的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，，直線，分別與直線交于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.17．(15分)在四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面PAD；(2)求證：；(3)若PD與平面所成的角為，求證：平面.18．(17分)已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．(17分)某疫苗生產(chǎn)單位通過(guò)驗(yàn)血的方式檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次；方式二：混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本混合檢驗(yàn)，若混合血樣無(wú)抗體，說(shuō)明這份血液樣本全無(wú)抗體，只需檢驗(yàn)1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對(duì)每份血液樣本再分別化驗(yàn)一次，檢驗(yàn)總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現(xiàn)有5份不同的血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；(2)現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．①若，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②已知，以檢驗(yàn)總次數(shù)的期望為依據(jù)，討論采用何種檢驗(yàn)方式更好？參考數(shù)據(jù)：，，，，．

2024年高三數(shù)學(xué)秋季開(kāi)學(xué)考試（河北專用）注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，若中有3個(gè)元素，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再利用交集含義即可得到.【詳解】，要使中有3個(gè)元素，只需，所以，故選：B．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B3．若向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，則，所以在上的投影向量.故選：B.4．的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，則（

）A． B．4 C． D．3【答案】A【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式可求的值，進(jìn)而利用余弦定理即可求解的值．【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，則由余弦定理可得．故選：A．5．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則該正方體的內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正方體內(nèi)切球特點(diǎn)即可得到球的半徑，再利用球的體積公式即可.【詳解】由正方體內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，所以，即，則球的體積，故選：D．6．已知變量與變量線性相關(guān)，與的樣本相關(guān)系數(shù)為，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)以及經(jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)榕c的樣本相關(guān)系數(shù)為，可知與為負(fù)相關(guān)，故A，B錯(cuò)誤；又因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，對(duì)于，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，則，故D正確．故選：D.7．已知函數(shù)，若在處取得極小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和，就參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可分析判斷，確定參數(shù)的范圍.【詳解】由題意得，，由可得，或，①若，即時(shí)，，顯然不合題意；②若，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，即在和上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，符合題意；③若，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，即在和上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，不符題意.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，故的取值范圍是.故選：A.8．在平面直角坐標(biāo)系中，直線上有且僅有一點(diǎn)，使，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】，化為一般式，即，直線上有且僅有一點(diǎn)，使，則圓心到直線的距離,即，圓心..故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】BC【分析】對(duì)于A，由等差數(shù)列求和公式結(jié)合已知即可驗(yàn)算；對(duì)于B，由等差數(shù)列求和公式結(jié)合即可驗(yàn)算；對(duì)于CD，由等差數(shù)列性質(zhì)即可驗(yàn)算.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比值為一定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內(nèi)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，則下列命題正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡的方程是B．過(guò)點(diǎn)的直線被點(diǎn)的軌跡所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值是C．直線與點(diǎn)的軌跡相離D．已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩條切線，切點(diǎn)為，則四邊形面積的最小值是4【答案】ACD【分析】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)，結(jié)合題意分析求解即可；對(duì)于B：分析可知點(diǎn)在圓內(nèi)，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解；對(duì)于C：求圓心到直線的距離，即可判斷；對(duì)于D：分析可知當(dāng)時(shí)，取到最小值，四邊形面積取最小值，運(yùn)算求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，整理可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因點(diǎn)的軌跡方程是，圓心是，半徑是，且，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的弦最短時(shí)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得弦的最小值是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樗倪呅蚊娣e，由數(shù)形分析可知：當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以四邊形面積取最小值，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于BD：先判斷點(diǎn)、線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合圓的性質(zhì)分析最值.11．已知，則關(guān)于事件與事件，下列說(shuō)法正確的有（

）A．事件與可能相互獨(dú)立 B．事件與一定不互斥C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘積公式判斷A選項(xiàng)，根據(jù)互斥事件定義判斷B選項(xiàng)，根據(jù)和的概率公式求解即可判斷C選項(xiàng)，應(yīng)用對(duì)立事件概率和為1判斷D選項(xiàng).【詳解】由，可知事件與不是相互獨(dú)立事件，故A不正確；由，可知事件與一定不互斥，故B正確；，故C正確；，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開(kāi)式中的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）【答案】40【分析】利用通項(xiàng)中的指數(shù)確定，然后可得.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)，所以含的項(xiàng)為第3項(xiàng)，即，所以的系數(shù)是.故答案為：4013．已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】運(yùn)用絕對(duì)值不等式解法求解，然后參變分離，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)求最值即可.【詳解】函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立．當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，化為恒成立.令，則,由于，則，則在上單調(diào)遞增，則.令，則時(shí)，單調(diào)遞增，則.因此對(duì)于任意時(shí)恒成立，則.故答案為：.14．已知是圓的直徑，，是圓上兩點(diǎn)，且，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，分析可知點(diǎn)為線段靠近的三等分點(diǎn)，，再結(jié)合數(shù)量積的定義分析求解.【詳解】由題意可知：圓的半徑為，

設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，則，，，設(shè)，則，即，可知點(diǎn)為線段靠近的三等分點(diǎn)，則，，設(shè)向量與的夾角為，可得，且，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．(13分)如圖，在中，，，D是BC邊上一點(diǎn)，且，(1)求的長(zhǎng)；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；（2）在中，先利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解.【詳解】（1）在中，，則，在中，，即，得.（2）因?yàn)樵谥校?，所以，則，又，即，解得，所以.16．(15分)已知橢圓，過(guò)點(diǎn)，，分別是的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，是右焦點(diǎn)，.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，，直線，分別與直線交于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得的方程.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由直線求出的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.【詳解】（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)，得，由，得橢圓半焦距，則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，，由消去x得，顯然，，直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此為定值，所以為定值.17．(15分)在四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面PAD；(2)求證：；(3)若PD與平面所成的角為，求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，由線面平行的判定定理即可得證；（2）先由線面垂直的判定定理證明平面，得到，再由（1）即可得證；（3）先由題意得到，，由線面垂直的判定定理證明平面，從而得證.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，底面是矩形，，，且，四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，平面.（2）平面，平面，，又底面是矩形，，又平面，平面，平面，，由（1）可知，.（3）平面，所以為與平面所成的角，，又，，即為等腰三角形，為中點(diǎn)，，又由（2）可得，平面，平面，由（1）可知：，平面.18．(17分)已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)仳?yàn)樵诤愠闪ⅲ瑯?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.【詳解】（1）由，得，對(duì)求導(dǎo)得，，在處的切線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，在恒成立，令，則，令，則，恒成立當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.19．(17分)某疫苗生產(chǎn)單位通過(guò)驗(yàn)血的方式檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次；方式二：混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本混合檢驗(yàn)，若混合血樣無(wú)抗體，說(shuō)明這份血液樣本全無(wú)抗體，只需檢驗(yàn)1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對(duì)每份血液樣本再分別化驗(yàn)一次，檢驗(yàn)總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，每份樣本有抗體的概率均為．(1)現(xiàn)有5份不同的血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗