甘肅省武威市民勤縣等2地2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析）

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期開學(xué)考試高一數(shù)學(xué)（120分鐘，150分）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列計(jì)算正確是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)根式運(yùn)算法則一一判斷即可.【詳解】對A，，故A錯(cuò)誤；對B，，故B錯(cuò)誤；對C，，故C正確；對D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.2.由若干個(gè)完全相同的小正方體組成一個(gè)立體圖形，它的左視圖和俯視圖如圖所示，則小正方體的個(gè)數(shù)不可能是（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖的知識(shí)確定正確答案.【詳解】由左視圖可知，第層上至少有個(gè)小正方體；最多有個(gè)小正方體（結(jié)合俯視圖）.從俯視圖可知，第層上一共有個(gè)小正方體；所以小正方體的個(gè)數(shù)至少為個(gè)，最多為個(gè)，不可能是個(gè).故選：D3.為貫徹教育部《大中小學(xué)勞動(dòng)教育指導(dǎo)綱要（試行）》文件精神，某學(xué)校積極開設(shè)種植類勞動(dòng)教育課.某班決定每位學(xué)生隨機(jī)抽取一張卡片來確定自己的種植項(xiàng)目，老師提供6張背面完全相同的卡片，其中蔬菜類有4張，正面分別印有白菜、辣椒、豇豆、茄子圖案；水果類有2張，正面分別印有草莓、西瓜圖案，每個(gè)圖案對應(yīng)該種植項(xiàng)目.把這6張卡片背面朝上洗勻，小明隨機(jī)抽取一張，他恰好抽中水果類卡片的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用概率公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，隨機(jī)抽取一張，共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中水果類卡片的有2種，∴小明隨機(jī)抽取一張，他恰好抽中水果類卡片的概率是，故選：B.4.二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出在區(qū)間上單調(diào)遞增的等價(jià)條件為，通過充分不必要條件的定義，即可判斷【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以解得．因?yàn)橹挥蠧是其真子集，故選：C5.一商店在某一時(shí)間以每件120元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利20%，另一件虧損20%，在這次買賣中，這家商店（）A.不盈不虧 B.盈利20元C.虧損10元 D.虧損30元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求解兩件衣服的進(jìn)價(jià)，即可求解.【詳解】設(shè)兩件衣服的進(jìn)價(jià)分別為，根據(jù)題意可得，解得，所以，故虧損10元.故選：C6.如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點(diǎn)M和N，再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B連接AP并延長交BC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論不正確的是（）A.AD平分 B.C.點(diǎn)D在AB的垂直平分線上 D.【答案】D【解析】【分析】利用全等三角形得到是的平分線，從而可以判斷A；再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可以判斷B；根據(jù)題意可以得到，從而可以判斷C；根據(jù)題意可以得到和的關(guān)系，從而可以求得的值，從而可以判斷D．【詳解】連接，如圖，由題意可知，，又，所以，則，所以是的平分線，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，故，故B正確；因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)D在的垂直平分線上，故C正確；因?yàn)椋?，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：D．7.如圖1所示的圖形是一個(gè)軸對稱圖形，且每個(gè)角都是直角，長度如圖所示，小明按圖2所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個(gè)這樣的圖形拼出來的圖形的總長度是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得出口朝上的有個(gè)和口朝下的有個(gè)，分別求出其長度，求出它們的和即可求得.【詳解】因?yàn)樾∶饔脗€(gè)這樣的圖形拼出來的圖形，所以口朝上的有個(gè)，口朝下的有個(gè)，口朝上的個(gè)長度之和是，口朝下的有個(gè)長度為，所以總長度為.故選：D.8.若一組數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)和方差分別是（）A.4，3 B.6，3 C.3，4 D.6，5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)以及方差的性質(zhì)及可求解.【詳解】若一組數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為4，方差為3，那么數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)和方差分別是6，3，故選：B9.甲?乙兩人解關(guān)于的不等式，甲寫錯(cuò)了常數(shù)，得到的解集為；乙寫錯(cuò)了常數(shù)，得到的解集為.那么原不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理解出值，則得到不等式，解出即可.【詳解】根據(jù)韋達(dá)定理得，則，則原不等式為，解得，即解集為，故選：B.10.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，已知點(diǎn)，有下列結(jié)論：①點(diǎn)，都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；②若直線上的點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；③拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；④若點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則的最小值是.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】對于①：根據(jù)題目所給“倍增點(diǎn)”定義，分別驗(yàn)證即可；對于②：點(diǎn)，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義，列出方程，求出a的值，即可判斷；對于③：設(shè)拋物線上點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義列出方程，再根據(jù)判別式得出該方程根的情況，即可判斷；對于④：設(shè)點(diǎn)，根據(jù)“倍增點(diǎn)”定義可得，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，把代入化簡并配方，即可得出的最小值為，即可判斷.【詳解】對于①：因?yàn)?，，所以，所以，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；因?yàn)椋?，所以，所以，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；故①正確，符合題意；對于②：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”,所以，解得：，所以，故②不正確，不符合題意；對于③：設(shè)拋物線上點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，所以，整理得：，所以因，所以方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，即拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；故③正確，符合題意；對于④：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以的最小值為，所以的最小值是，故④正確，符合題意.綜上：正確的有①③④，共3個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給“倍增點(diǎn)”定義，根據(jù)定義列出方程求解.11.如圖，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)是邊BC上的點(diǎn)，且.連接AC，DF交于點(diǎn)G，連接AE，BG，有以下兩個(gè)結(jié)論：①；②GB平分.對于結(jié)論①和②，下列判斷正確的是（）A.①和②都對 B.①和②都不對C.①不對，②對 D.①對，②不對【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合三角形全等可得、和，則，根據(jù)等量代換即可求得進(jìn)而判定①結(jié)論；分析可知只有當(dāng)時(shí)，BG平分，故則可判定②．【詳解】對于①：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，則，，在和中，可知，則，所以，在和中，可知，則，所以，在和中，可知，則，所以，可得，所以，故①結(jié)論正確；對于②：假設(shè)GB平分，則，因?yàn)椴荒艽_定，所以不能確定BG平分，故②結(jié)論不正確；故選：D．12.如圖，點(diǎn)在雙曲線（）上，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)，作直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接.若，則的值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)交于，利用面積法求出的長，再利用三角形相似的性質(zhì)求出即可解決問題.【詳解】設(shè)交于，由已知可得垂直平分，在中，，，，由可得，故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實(shí)數(shù)m、n滿足m＋n＝4，，則以m、n為兩根的一個(gè)一元二次方程可以是______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)立方和公式，結(jié)合配方法，利用韋達(dá)定理，可得答案.【詳解】由，則，由，則，利用配方法，可得，由，解得，故答案為：（答案不唯一）.14.存在使不等式成立，則的取值范圍是_____【答案】【解析】詳解】由題意得15.如圖，正六邊形的邊長為2，以為圓心，的長為半徑畫弧，得弧、連結(jié)、，則圖中陰影部分的面積為______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合正六邊形的性質(zhì)及等腰三角形，直角三角形求得，應(yīng)用扇形面積公式即可求解.【詳解】解：∵正六邊形的邊長為2，∴，，∵∴，過作于，∴，在中，，∴，同理可證，，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積為.故答案為：.16.小明對自己上學(xué)路線的長度進(jìn)行了20次測量，得到20個(gè)數(shù)據(jù)，已知，當(dāng)代數(shù)式取得最小值時(shí)，x的值為______．【答案】【解析】【分析】令，將代數(shù)式最小值，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值，即∶當(dāng)，取得最小值，即可得解．【詳解】則當(dāng)時(shí)，取得最小值，即當(dāng)時(shí)，取得最小值；故答案為∶三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.化簡，并畫出簡圖，寫出最小值．【答案】圖象見解析，最小值為4.【解析】【分析】先利用根式的性質(zhì)化簡，再轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求解.【詳解】，，.由圖象可知，最小值為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查根式的性質(zhì)以及分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.18.已知集合，．（1）求A；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，解出分式不等式即可．（2）根據(jù)已知條件，分是否為空集討論，即可求解．【小問1詳解】由題意得，解得，則.【小問2詳解】因，當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．19.如圖，以邊長為4的正方形ABCD的中心為原點(diǎn)，構(gòu)建一個(gè)平面直角坐標(biāo)系．現(xiàn)做如下實(shí)驗(yàn)：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體的骰子（六個(gè)面分別標(biāo)有1至6這六個(gè)點(diǎn)數(shù)中的一個(gè)）兩次，將骰子朝上的點(diǎn)數(shù)作為直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P的坐標(biāo)（第一次的點(diǎn)數(shù)作為橫坐標(biāo)，第二次的點(diǎn)數(shù)作為縱坐標(biāo)）（1）①請用畫樹狀圖或列表的方法，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)的所有可能的結(jié)果；②求點(diǎn)P在正方形ABCD中（含正方形內(nèi)部和邊界）的概率．（2）試將正方形ABCD平移整數(shù)個(gè)單位長度，則是否存在一種平移，使點(diǎn)P在正方形ABCD中的概率為？若存在，請寫出平移方式；若不存在，請說明理由．【答案】（1）①答案見詳解；②（2）存在，平移方式見詳解【解析】【分析】（1）①用列表法寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)的所有可能的結(jié)果即可；②由古典概型計(jì)算即可得答案；（2）要使點(diǎn)P在正方形中的概率為，則需有且只有12個(gè)點(diǎn)落在正方形中（含正方形內(nèi)部和邊界），由此即可寫出答案.【小問1詳解】①設(shè)，則點(diǎn)坐標(biāo)的所有可能結(jié)果如下表所示．123456123456②由①知構(gòu)成的點(diǎn)的坐標(biāo)共有36種情況，其中在正方形中的有，，，這4種情況．所以點(diǎn)在正方形中的概率為．【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在正方形中的概率為，可知只能將正方形向上或向右平移整數(shù)個(gè)單位長度，且使點(diǎn)P在正方形中的情況有12種，所以滿足要求的平移方式有兩種，一種是將正方形先向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度（先向右再向上亦可）；另一種是將正方形先向上平移1個(gè)單位長度，再向右平移2個(gè)單位長度（先向右再向上亦可）．20.為落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標(biāo)一工程隊(duì)負(fù)責(zé)在山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù).該工程隊(duì)有兩種型號(hào)的挖掘機(jī)，已知3臺(tái)型和5臺(tái)型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土165立方米；4臺(tái)型和7臺(tái)型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土225立方米.每臺(tái)型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為300元，每臺(tái)型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為180元.（1）分別求每臺(tái)型，型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土多少立方米？（2）若不同數(shù)量的型和型挖掘機(jī)共12臺(tái)同時(shí)施工4小時(shí)，至少完成1080立方米的挖土量，且總費(fèi)用不超過12960元.問施工時(shí)有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？【答案】（1）每臺(tái)型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土30立方米，每臺(tái)型挖據(jù)機(jī)一小時(shí)挖土15立方米（2）型挖掘機(jī)7臺(tái)，型挖掘機(jī)5臺(tái)的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為12000元【解析】【分析】（1）設(shè)每臺(tái)A型，B型挖據(jù)機(jī)一小時(shí)分別挖土x立方米和y立方米，根據(jù)題意列出方程組，解答即可；（2）利用總費(fèi)用不超過12960元求出方案數(shù)量，再利用一次函數(shù)增減性求出最低費(fèi)用．【小問1詳解】設(shè)每臺(tái)型，型挖掘機(jī)一小時(shí)分別挖土立方米和立方米，根據(jù)題意，得，解得.所以，每臺(tái)型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土30立方米，每臺(tái)型挖據(jù)機(jī)一小時(shí)挖土15立方米.【小問2詳解】設(shè)型挖掘機(jī)有臺(tái)，總費(fèi)用為元，則型挖據(jù)機(jī)有臺(tái).根據(jù)題意，得，因?yàn)?，解得，又因?yàn)?，解得，所?所以，共有三種調(diào)配方案.方案一：當(dāng)時(shí)，，即型挖據(jù)機(jī)7臺(tái)，型挖掘機(jī)5臺(tái)；案二：當(dāng)時(shí)，，即型挖掘機(jī)8臺(tái)，型挖掘機(jī)4臺(tái)；方案三：當(dāng)時(shí)，，即型挖掘機(jī)9臺(tái)，型挖掘機(jī)3臺(tái).，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，隨的減小而減小，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)型挖掘機(jī)7臺(tái)，型挖掘機(jī)5臺(tái)的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為12000元.21.如圖（1），拋物線交軸于點(diǎn)A5,0，交軸于點(diǎn).（1）求和的值；（2）已知點(diǎn)，是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，且，，求此拋物線的頂點(diǎn)到的距離；（3）如圖（2），連接，點(diǎn)是拋物線在線段上方部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，交線段于點(diǎn)，設(shè)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）16（3）【解析】【分析】（1）將坐標(biāo)代入，列出方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)拋物線的解析式可得其對稱軸方程，再由拋物線的對稱性可得坐標(biāo)，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由條件可得直線的解析式，從而可得坐標(biāo)，再由列出方程，可得，由二次函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】將A5,0，代入二次函數(shù)中得，，解得：，∴此二次函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】由（1）知此二次函數(shù)的解