廣東省2025屆高三上學(xué)期久洵杯七月調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣東省2025屆高三久洵杯七月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共7小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知向量，，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．4．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．15．記拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．記A，B為隨機(jī)事件，已知，，，則（

）A． B． C． D．7．已知（，）的部分圖象如圖所示，點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，若是直角三角形，且，則（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共1小題）8．已知面積為的銳角三角形滿足，將以為軸旋轉(zhuǎn)至，且，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B．1 C． D．2三、多選題（本大題共3小題）9．一組樣本數(shù)據(jù)為7，12，13，17，18，20，32，則（

）A．該組數(shù)據(jù)的極差為25B．該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19C．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為17D．若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù)，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等10．已知滿足，，記的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法中不一定正確的是（

）A．是等差數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為或C．若，則D．若，則為定值11．已知函數(shù)是偶函數(shù)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，記邊上的高為h，則（

）A． B．函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)C．點(diǎn)B可能在以為直徑的圓上 D．h的最大值為四、填空題（本大題共3小題）12．已知，則．13．寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)的函數(shù)．a(chǎn)．是偶函數(shù)

b．不存在對(duì)稱中心c．存在最小正周期，且最小正周期為214．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線交C的右支于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B上方），，過(guò)點(diǎn)作直線，交C于點(diǎn)E（點(diǎn)E在第二象限），若直線與直線的交點(diǎn)在直線上，則C的離心率為．五、解答題（本大題共5小題）15．投擲一枚硬幣n（，）次，正面向上與反面向上的概率均為0.5，記事件A為“n次拋擲中既有正面向上也有反面向上”，B為“n次拋擲中至多一次正面向上”．(1)若，求；(2)證明：事件A，B相互獨(dú)立的充要條件為．16．如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，．(1)證明：；(2)若二面角的余弦值為，求的值．17．已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，討論和的大小關(guān)系．18．記橢圓的左，右頂點(diǎn)和左，右焦點(diǎn)分別為，，，，P是E上除左右頂點(diǎn)外一點(diǎn)，記P在E處的切線為l，作直線交l于點(diǎn)，作直線交l于點(diǎn)，記直線與的交點(diǎn)為Q．(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)求；(3)求四邊形面積的最大值．附：橢圓在點(diǎn)處的切線為（P在橢圓上）．19．對(duì)于一個(gè)非零整數(shù)和質(zhì)數(shù)p，我們稱n中含的p冪次為，定義為最大的非負(fù)整數(shù)k，使得存在非零整數(shù)m，有，例如，等等．且補(bǔ)充定義一個(gè)非零有理數(shù)的，如，，且規(guī)定．現(xiàn)在對(duì)于任意一個(gè)有理數(shù)，我們定義其的“p示數(shù)”為，其中，規(guī)定．記兩個(gè)有理數(shù)x，y的“p示數(shù)距離”為．(1)計(jì)算，，；(2)證明對(duì)于一個(gè)正整數(shù)，存在一列非整數(shù)的正有理數(shù)，，……，使；(3)給定質(zhì)數(shù)p，若一個(gè)無(wú)窮集合A中任意一數(shù)列，對(duì)于任意，，則我們稱集合A是“p一緊致的”．是否存在質(zhì)數(shù)p，使得整數(shù)集是“p一緊致的”？若存在，求出所有p；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

參考答案1．【答案】D【分析】先分別求出每個(gè)集合，再利用交集的定義求解即可.【詳解】對(duì)于集合，，．對(duì)于集合，有，解得，..故選D．2．【答案】A【分析】利用平面向量的夾角余弦公式以及向量共線的條件求出“向量與向量的夾角為鈍角”的等價(jià)條件，再結(jié)合充分條件與必要條件的定義即可得解.【詳解】由向量與向量的夾角為鈍角，得，且向量與向量不共線，所以，即，由有，解得，所以的取值范圍是．故“”是“與的夾角為鈍角”的充分不必要條件.故選A．3．【答案】A【分析】根據(jù)求出，進(jìn)而求出，，最后求出.【詳解】由，有，，.故選A．4．【答案】D【分析】利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由正弦定理得，即，或．若，結(jié)合，有，故舍去．．，，故選D．5．【答案】B【分析】由拋物線的定義即可求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，則，如圖所示.所以最小值為.故選B．6．【答案】D【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解．【詳解】記，，，，由全概率公式有，代入數(shù)據(jù)有，解得，.故選D．7．【答案】C【分析】由正弦函數(shù)性質(zhì)得三點(diǎn)坐標(biāo)，再由，結(jié)合有，建立方程即可求出，最后將代入函數(shù)解析式即可得解.【詳解】由正弦函數(shù)性質(zhì)有，，，由是直角三角形，可得，結(jié)合，有，，，解得或（舍去），，，.故選C.8．【答案】A【分析】取中點(diǎn)為D，過(guò)作，記，，可得，．根據(jù)三角形面積得，利用表示錐體體積，結(jié)合導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的最大值.【詳解】取中點(diǎn)為D，則，．過(guò)作，垂足為．記，，則，．根據(jù)三角形面積得，要使三棱錐的體積最大，則最大．由余弦定理得，．，其中，令，記，，令或（舍），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；，，，故選A.【方法總結(jié)】求解三棱錐的體積方法：公式法；等體積變換法.9．【答案】ACD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的極差、第百分位數(shù)和平均數(shù)的公式計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：極差等于，故A正確；對(duì)于B：，故分位數(shù)為20，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：平均數(shù)等于，故C正確；對(duì)于D：去掉17后，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故D正確.故選ACD.10．【答案】AB【分析】對(duì)于AB，由題意得或．構(gòu)造數(shù)列1，1，，1，，1，，…，或中的所有項(xiàng)保持同樣的遞推關(guān)系判斷；對(duì)于C，滿足，累乘法求解通項(xiàng)公式和進(jìn)行判斷；對(duì)于D，若，有，，故．奇偶分類討論得到，為定值0，可進(jìn)行判斷.【詳解】由，因式分解得，或．對(duì)于AB：構(gòu)造數(shù)列1，1，，1，，1，，…，則該數(shù)列滿足題意且A，B均錯(cuò)誤，當(dāng)中的所有項(xiàng)保持同樣的遞推關(guān)系（即同為或），則A，B均正確，故A，B符合題意；對(duì)于C：注意到若存在使得，則，則對(duì)于C只能滿足，累乘得，，當(dāng)時(shí)也符合，，，故C正確，不符合題意；對(duì)于D：若，則，故，故．當(dāng)為奇數(shù)，，所以；當(dāng)為偶數(shù)，，所以.奇偶分類討論有，注意到，則為定值0，故D正確，不符合題意.故選AB．11．【答案】ABD【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解參數(shù)判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷B；利用圓的性質(zhì)判斷C；利用不等式的取等條件判斷D即可.【詳解】對(duì)于A：由是偶函數(shù)得到，則，解得，故A正確；對(duì)于B：，故，且恒成立，故得為單調(diào)遞減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：由B知，即，由對(duì)稱性，可設(shè)，則．若點(diǎn)B在以為直徑的圓上，則有，帶入即，即．若，則，不滿足題意；若，，而，所以，故B不可能在以為直徑的圓上，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交于點(diǎn)D，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，所以，記,，則，令則，易得，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)取得最大值為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，所以兩個(gè)不等號(hào)能同時(shí)取等號(hào)，故h的最大值為，故D正確．故選ABD.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】對(duì)于D，求得關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式后，構(gòu)造函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式的單調(diào)性，進(jìn)而得到，其中將代入化簡(jiǎn)時(shí)，利用，最后驗(yàn)證不等式是否能取等號(hào).12．【答案】【分析】利用給定條件得到相位差，表示出，再求解即可.【詳解】由，可得，與的相位差為，故，，.13．【答案】【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，不存在對(duì)稱中心，存在最小正周期，且最小正周期為2寫出.【詳解】由題意可知，是偶函數(shù)，不存在對(duì)稱中心，存在最小正周期，且最小正周期為2，所以滿足題意.14．【答案】【分析】利用給定條件分別求出邊長(zhǎng)，利用余弦定理表示同角的三角函數(shù)，建立齊次方程求解離心率即可.【詳解】如圖記直線與直線的交點(diǎn)為P，且連接，則，

由對(duì)稱性有過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且．由，有，，又，，，，，，，，，即，，在中，，在中，，解得.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】解題關(guān)鍵是利用給定條件求出各個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，然后利用余弦定理表示同一個(gè)角，得到所要求的離心率即可．15．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）由二項(xiàng)分布的概率公式直接計(jì)算即可；（2）分充分性、必要性兩方面進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）記X為n次投擲中硬幣正面朝上的次數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；（2），，．充分性：當(dāng)時(shí)，代入有，，此時(shí)，充分性成立；必要性：由有，記，，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，時(shí)，單調(diào)遞增，必要性成立．綜上所述，事件A，B相互獨(dú)立的充要條件為．16．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形得到和的關(guān)系，，和的長(zhǎng)度，根據(jù)側(cè)面是平行四邊形得到和，在中，由余弦定理得，判斷的形狀，證明平面，證明；（2）取的中點(diǎn)，記為D，連接，．證明，，平面，求出二面角的平面角，證明平面，記二面角為，表示出與的關(guān)系，找到和的關(guān)系，求出，求出，證明，求出.【詳解】（1）側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，，側(cè)面是平行四邊形，，在中，由余弦定理得，解得，，是直角三角形，，，，平面，平面，又平面，；（2）取的中點(diǎn)，記為D，連接，，，，，，，，平面，平面，為二面角的平面角．又平面，，平面，記二面角為，則，，，，．平面，，，，，的值為．17．【答案】(1)極小值為，沒有極大值(2)答案見詳解(3)答案見詳解【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，令求得，的零點(diǎn)把定義域劃分為和判斷各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，從而判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，再求出對(duì)應(yīng)的極值即可；（2）對(duì)求導(dǎo)，并對(duì)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行整理，整理成因式乘積的形式，然后根據(jù)不同的對(duì)的導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的影響進(jìn)行討論，從而得到的單調(diào)性；（3）由（2）可以得到，，結(jié)合，得到取不同范圍時(shí)的范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷和的大小關(guān)系．【詳解】（1），時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取到極小值，沒有極大值；（2），情形一

：若，可得恒成立，且，時(shí)，，在單調(diào)遞減；時(shí)，，在單調(diào)遞增.情形二

：若，，則，在單調(diào)遞增.情形三

：若，令，解得或，又由（1）知當(dāng)時(shí)，可得，時(shí)，，在單調(diào)遞減；和時(shí)，，在和單調(diào)遞增．綜上所述，若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；若，當(dāng)，單調(diào)遞增；若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增；（3）由（2）知，只能是，，由，則，解得且，又當(dāng)時(shí)，，，由在上單調(diào)遞減可知；當(dāng)時(shí)，，，由在上單調(diào)遞增可知．綜上所述，時(shí)，；時(shí)，．18．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線和的方程求出，則代入，可以得到點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式得到，，，，求出；求出，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，求出，結(jié)合初中幾何結(jié)論，求即可；（3）由（2）同理可求得，將四邊形轉(zhuǎn)化為，的面積之差，結(jié)合余弦定理和基本不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，則.由題知，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線和的方程有，設(shè)，則代入，得到,點(diǎn)Q的軌跡方程為；（2），同理可得，，，由對(duì)稱性，可設(shè)，時(shí)，則，；，此時(shí)；時(shí)，由對(duì)稱性可設(shè)，由已知結(jié)論可知，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，則，，根據(jù)初中幾何結(jié)論可得，其中，，，代入可得，，．綜上所述，；（3）由（2）同理可證明，記四邊形，，的面積分別為，，，則，由前面知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；在中，有，代入