廣東省深圳高級(jí)中學(xué)（集團(tuán)）中心校區(qū)2025屆高三開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

深圳高級(jí)中學(xué)（集團(tuán)）中心校區(qū)2025屆高三開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的特征，即可判斷.【詳解】，則，有.故選：A2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.18 B.27 C.45 D.63【答案】C【解析】【分析】根據(jù)成等差數(shù)列，得到方程，求出答案.【詳解】由題意得成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即，解得.故選：C3.某校高三年級(jí)800名學(xué)生在高三的一次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，若某學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?02分，則該學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的年級(jí)排名大約是（）（附：，，）A.第18名 B.第127名 C.第245名 D.第546名【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的特征，求出數(shù)學(xué)成績(jī)不低于102分對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出對(duì)應(yīng)的人數(shù)，確定排名．【詳解】因?yàn)槌煽?jī)近似服從正態(tài)分布,，則，且，所以，因此該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于102分的人數(shù)即年級(jí)排名大約是．故選：B．4.已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（）A. B. C.3 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知結(jié)合投影向量的概念得出，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，在上的投影向量為，又在上的投影向量，所以，所以，所以，所以.故選：B.5.“方斗”常作為盛米的一種容器，其形狀是一個(gè)上大下小的正四棱臺(tái)，現(xiàn)有“方斗”容器如圖所示，已知，，現(xiàn)往容器里加米，當(dāng)米的高度是“方斗”高度的一半時(shí)，用米，則該“方斗”可盛米的總質(zhì)量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)線段、、、的中點(diǎn)分別為、、、，利用臺(tái)體的體積公式計(jì)算出棱臺(tái)與棱臺(tái)的體積之比，即可得出原“方斗”可盛米的總質(zhì)量.【詳解】設(shè)線段、、、的中點(diǎn)分別為、、、，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，因?yàn)榫€段、的中點(diǎn)分別為、，則，設(shè)棱臺(tái)的高為，體積為，則棱臺(tái)的高為，設(shè)其體積為，則，則，所以，，所以，該“方斗”可盛米的總質(zhì)量為.故選：D.6.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)于，擴(kuò)大適當(dāng)?shù)谋稊?shù)變?yōu)檎麛?shù)冪的形式比較即可；對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)比較大小即可【詳解】對(duì)于，同時(shí)12次方可得與，易知，所以；對(duì)于，同時(shí)次方可得與，由題干可知，所以，即；對(duì)于，同時(shí)取對(duì)數(shù)可得與，，，解得，易得在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，易知，所以．綜上可得，故選：B.7.將12名志愿者（含甲?乙?丙）安排到三個(gè)地區(qū)做環(huán)保宣傳工作，每個(gè)地區(qū)至少需要安排3人，則甲?乙?丙3人恰好被安排到同一個(gè)地區(qū)的安排方法總數(shù)為（）A.3129 B.4284 C.18774 D.25704【答案】C【解析】【分析】利用排列組合原理和分組分配方法求解.【詳解】先分類(lèi)討論人員分組情況．當(dāng)甲?乙?丙所在組恰有3人時(shí)，余下9人分成2組，有種方法；當(dāng)甲?乙?丙所在組恰有4人時(shí)，先從其他9人中選1人到這組，再將余下8人分成2組，有種方法；當(dāng)甲?乙?丙所在組恰有5人時(shí)，先從其他9人中選2人到這組，余下7人分成2組，有種方法當(dāng)甲?乙?丙所在組恰有6人時(shí)，先從其他9人中選3人到這組，余下6人分成2組，有種方法．再將三組人員分配到三個(gè)地區(qū)．因?yàn)檫@三組分配到三個(gè)地區(qū)有種方法，所以安排方法總數(shù)為.故選:C.8.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，點(diǎn)滿足，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由、結(jié)合正弦定理可得，又，故，再結(jié)合余弦定理計(jì)算即可得離心率.【詳解】由橢圓定義可知，由，故，，點(diǎn)滿足，即，則，又，，即，又，故，則，即，即平分，又，故，則，則，，，由，故，即，即，又，故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于由、，得到平分，結(jié)合，從而得到.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，我們聽(tīng)到的聲音多為復(fù)合音．若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.的一個(gè)周期為 B.的最大值為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D.在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】A.代入周期的定義，即可判斷；B.分別比較兩個(gè)函數(shù)分別取得最大值的值，即可判斷；C.代入對(duì)稱(chēng)性的公式，即可求解；D.根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程，即可判斷.【詳解】A.，，故A錯(cuò)誤；B.，當(dāng)，時(shí)，取得最大值1，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，所以兩個(gè)函數(shù)不可能同時(shí)取得最大值，所以的最大值不是，故B錯(cuò)誤；C.，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤；D.，即，即或，解得：，所以函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：D.10.四棱錐的底面為正方形，PA與底面垂直，，，動(dòng)點(diǎn)M在線段PC上，則（）A.不存在點(diǎn)M，使得B.的最小值為C.四棱錐的外接球表面積為5πD.點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值為【答案】BD【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可判斷A；利用展開(kāi)圖，利用數(shù)形結(jié)合求的最小值，即可判斷B；利用幾何體與外接球的關(guān)系，即可求解球心，并求外接球的表面積，即可判斷C；利用異面直線的距離的轉(zhuǎn)化，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：連接BD，且，如圖所示，當(dāng)MPC中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，因?yàn)锳BCD為正方形，所以．又因?yàn)椋褺D，平面BDM，所以平面BDM，因?yàn)槠矫鍮DM，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B：將和所在的平面沿著PC展開(kāi)在一個(gè)平面上，如圖所示，和是全等的直角三角形，，，連結(jié)，，則的最小值為BD，直角斜邊PC上高為，即，直角斜邊PC上高也為，所以的最小值為，所以B正確；對(duì)于C：易知四棱錐的外接球直徑為PC，半徑，表面積，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：點(diǎn)M到直線AB的距離的最小值即為異面直線PC與AB的距離，因?yàn)?，且平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，所以直線AB到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離，過(guò)點(diǎn)A作，因?yàn)槠矫鍭BCD，面，所以，又，且，面，故平面PAD，平面PAD，所以，因?yàn)?，且PD，平面PCD，所以平面PCD，所以點(diǎn)A到平面PCD的距離，即為AF的長(zhǎng)，如圖所示，在中，，，可得，所以由等面積得，即直線AB到平面PCD的距離等于，所以D正確，故選：BD．11.冒泡排序是一種計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的較簡(jiǎn)單的排序算法，其基本思想是：通過(guò)對(duì)待排序序列從左往右，依次對(duì)相鄰兩個(gè)元素比較大小，若，則交換兩個(gè)數(shù)的位置，使值較大的元素逐漸從左移向右，就如水底下的氣泡一樣逐漸向上冒，重復(fù)以上過(guò)程直到序列中所有數(shù)都是按照從小到大排列為止.例如：對(duì)于序列進(jìn)行冒泡排序，首先比較，需要交換1次位置，得到新序列，然后比較，無(wú)需交換位置，最后比較，又需要交換1次位置，得到新序列最終完成了冒泡排序，同樣地，序列需要依次交換完成冒泡排序.因此，和均是交換2次的序列.現(xiàn)在對(duì)任一個(gè)包含個(gè)不等實(shí)數(shù)的序列進(jìn)行冒泡排序，設(shè)在冒泡排序中序列需要交換的最大次數(shù)為，只需要交換1次的序列個(gè)數(shù)為，只需要交換2次的序列個(gè)數(shù)為，則（）A.序列是需要交換3次的序列 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)序列的n個(gè)元素為，由題意可判斷A中序列交換次數(shù)；再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可判斷B；得出只要交換1次的序列的特征即可判斷C；利用累加法求出通項(xiàng)公式即可判斷D.【詳解】對(duì)A，序列，比較，無(wú)需交換位置，比較，需要交換1次位置，得到新序列，比較，無(wú)需交換位置，最后比較，需要交換1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交換2次，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，不妨設(shè)序列的n個(gè)元素為，交換次數(shù)最多的序列為，將元素n冒泡到最右側(cè)，需交換次次，將元素n-1冒泡到最右側(cè)，需交換次次，，故共需要，即最大交換次數(shù)，故B正確；對(duì)C，只要交換1次的序列是將中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置的序列，故有個(gè)這樣的序列，即，故C正確；對(duì)D，當(dāng)n個(gè)元素的序列順序確定后，將元素n+1添加進(jìn)原序列，使得新序列（共n+1個(gè)元素）交換次數(shù)也是2，則元素n+1在新序列的位置只能是最后三個(gè)位置，若元素n+1在新序列的最后一個(gè)位置，則不會(huì)增加交換次數(shù)，故原序列交換次數(shù)為2（這樣的序列有個(gè)），若元素n+1在新序列的倒數(shù)第二個(gè)位置，則會(huì)增加1次交換，故原序列交換次數(shù)為1（這樣的序列有個(gè)），若元素n+1在新序列的倒數(shù)第三個(gè)位置，則會(huì)增加2次交換，故原序列交換次數(shù)為0（這樣的序列有1個(gè)），因此，，所以，顯然，所以，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解與數(shù)列新定義相關(guān)的題目時(shí)，理解新定義是解決本題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開(kāi)式中的系數(shù)為，則的值為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式分析求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，可知展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，則展開(kāi)式中的系數(shù)為，解得.故答案為：1.13.設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率與互斥事件的概率計(jì)算公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)榛コ?，所以，所以，解得，所?故答案為：.14.已知函數(shù)，且在處的瞬時(shí)變化率為．①______；②令，若函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念及于是即可得的值；分類(lèi)討論確定函數(shù)的圖象，滿足其與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，列不等式即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，由在處的瞬時(shí)變化率為得，所以；因?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下圖所示：要使得函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，所以；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下圖所示：要使得函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，不妨令，當(dāng)，恒成立，所以單調(diào)遞增，即，所以恒成立，故此時(shí)不等式解得；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下圖所示：要使得函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，所以；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下圖所示：要使得函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則，所以；對(duì)于函數(shù)，，當(dāng)，恒成立，所以單調(diào)遞減，即，所以恒成立，故此時(shí)不等式組無(wú)解；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程成演算步驟．15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，若，且，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合可以得到，進(jìn)而得到；（2）在和中分別利用余弦定理，結(jié)合，可以求得的值，進(jìn)而得到的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】由得，由正弦定理可得，，因?yàn)椋?，代入上式，整理得，又因，，所以，又因?yàn)?，解?【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理得，而，，所以①，在中，由余弦定理得②，由①②兩式消去a，得，所以，又，解得，．，所以的周長(zhǎng).16.已知在多面體中，，，，，且平面平面.（1）設(shè)點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，試證明平面；（2）若直線BE與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由四邊形為平行四邊形.∴，再結(jié)合平面，即可證明平面；（2）由空間向量的應(yīng)用，建立以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸的空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夾角公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交線為，平面，得平面.∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，且.又，，∴，且.∴四邊形為平行四邊形.∴，∴平面.【小問(wèn)2詳解】∵平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以三者兩兩互相垂直，∴以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，.∵平面，∴直線與平面所成的角為.∴.∴.可取平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，，則，取，則，.∴，∴，∴二面角的余弦值為.17.為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)防意識(shí)，某中學(xué)組織了一次國(guó)防知識(shí)競(jìng)賽，高一和高二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生參加知識(shí)競(jìng)賽，（1）兩個(gè)年級(jí)各派50名學(xué)生參加國(guó)防知識(shí)初賽，成績(jī)均在區(qū)間上，現(xiàn)將成績(jī)制成如圖所示頻率分布直方圖（每組均包括左端點(diǎn)，最后一組包括右端點(diǎn)），估計(jì)學(xué)生的成績(jī)的平均分（若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）兩個(gè)年級(jí)各派一位學(xué)生代表參加國(guó)防知識(shí)決賽，決賽的規(guī)則如下：①?zèng)Q賽一共五輪，在每一輪中，兩位學(xué)生各回答一次題目，兩隊(duì)累計(jì)答對(duì)題目數(shù)量多者勝；若五輪答滿，分?jǐn)?shù)持平，則并列為冠軍；②如果在答滿5輪前，其中一方答對(duì)題目數(shù)量已經(jīng)多于另一方答滿5次題可能答對(duì)的題目數(shù)量，則不需再答題，譬如：第3輪結(jié)束時(shí)，雙方答對(duì)題目數(shù)量比為，則不需再答第4輪了；③設(shè)高一年級(jí)的學(xué)生代表甲答對(duì)比賽題目的概率是，高二年級(jí)的學(xué)生代表乙答對(duì)比賽題目的概率是，每輪答題比賽中，答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響（i）在一次賽前訓(xùn)練中，學(xué)生代表甲同學(xué)答了3輪題，且每次答題互不影響，記為答對(duì)題目的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（ii）求在第4輪結(jié)束時(shí)，學(xué)生代表甲答對(duì)3道題并剛好勝出的概率【答案】（1）學(xué)生的成績(jī)的平均分的估計(jì)值為73.8分（2）（i）分布列見(jiàn)解析，（ii）.【解析】【分析】（1）利用頻率之和為1列出方程，求出a=0.018，進(jìn)而利用中間值求出平均分的估計(jì)值；（2）（i）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，根據(jù)二項(xiàng)分布求概率，寫(xiě)出分布列進(jìn)而求期望即可；（ii）將在第4輪結(jié)束時(shí)，學(xué)生代表甲答對(duì)3道題并剛好勝出的事件分拆成乙答對(duì)0道與1道兩個(gè)事件，再利用互斥事件的概率公式計(jì)算而得.【小問(wèn)1詳解】解：由頻率分布直方圖可知：可得∴平均分的估計(jì)值為∴學(xué)生的成績(jī)的平均分的估計(jì)值為73.8分【小問(wèn)2詳解】（i）由題可得，的可能取值為0，1，2，3∴∴的分布列為0123∴（ii）將“在第4輪結(jié)束時(shí)，學(xué)生代表甲答對(duì)3道題并剛好勝出”記為事件，“在第4輪結(jié)束時(shí)，學(xué)生代表乙答對(duì)0道題”記為事件，“在第4輪結(jié)束時(shí)，學(xué)生代表乙答對(duì)1道題”記為事件∴，，∴.∴在第4輪結(jié)束時(shí)，學(xué)生代表甲答對(duì)3道題并剛好勝出的概率為.18.已知且，函數(shù)．（1），，為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，試比較與2024的大小，并說(shuō)明理由：（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)且時(shí)，試討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1），理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）1個(gè).【解析】【分析】（1）求出，利用分組求和法及等差等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可得解.（2）把代入，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)推理即得.（3）按，分類(lèi)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合（2）的結(jié)論及零點(diǎn)存在性定理求解即得.小問(wèn)