廣東省深圳市深圳技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

深圳技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)高一上第二次月考數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、單項(xiàng)選擇題：每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則=A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由題意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的概念.2.“且”是“”的（）A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當(dāng)且時(shí)，則成立，當(dāng)時(shí)，且，或且，所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意，，所以的大小關(guān)系為.故選：D.4.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，即可判斷和選擇.【詳解】定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)；又當(dāng)x>0時(shí)，，其為上的單調(diào)增函數(shù)；綜上所述，只有D選項(xiàng)滿(mǎn)足.故選：D.5.已知，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)計(jì)算【詳解】因?yàn)椋?，故選：D6.若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)分類(lèi)討論,利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系即可得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，則符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意可得，解得綜上，的取值范圍是.故選：B7.已知函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意，都有成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意可得在上單調(diào)遞減，即可得到，解得即可.【詳解】對(duì)任意，都有成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，故的取值范圍是.故選：A．8.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，首先得出的單調(diào)性與奇偶性，然后將條件表達(dá)式等價(jià)轉(zhuǎn)換即可得解.【詳解】令，因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以是上的奇函數(shù)，注意到冪函數(shù)都是上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，而，所以，解得，綜上所述，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式.二、多項(xiàng)選擇題：每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若函數(shù)且的圖象過(guò)第一?三?四象限，則參數(shù)需滿(mǎn)足（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象，則，又由，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)且的圖象不可能同時(shí)經(jīng)過(guò)第一?三?四象限，不滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)且的圖象過(guò)第一?三?四象限，則，得.則，.故選：BD.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.如果是第一象限的角，則是第四象限的角B.角與角終邊重合C.若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形面積為D.若是第二象限角，則點(diǎn)在第四象限【答案】ABD【解析】【分析】利用象限角的概念判斷A；利用終邊相同的角的特征判斷B；求出扇形所在圓半徑，再求出扇形面積判斷C；利用三角形函數(shù)值的符號(hào)法則判斷D.【詳解】對(duì)于A，是第一象限的角，即，則，因此是第四象限的角，A正確；對(duì)于B，由于，因此角與角終邊重合，B正確；對(duì)于C，由圓心角為的扇形弧長(zhǎng)為，得該扇形弧所在圓半徑為3，則該扇形面積為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由是第二象限角，得，則點(diǎn)在第四象限，D正確.故選：ABD11.若，則下列命題中為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】取特值可判斷A，D；由不等式的性質(zhì)可判斷B，C.【詳解】對(duì)于A，取，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，對(duì)不等式兩邊同時(shí)平方則，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以，故C正確；對(duì)于D，若，取，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的定義域?yàn)?B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) D.函數(shù)在上為減函數(shù)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義、單調(diào)性的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，故A正確；B：，由，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；C：因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤；D：因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)是減函數(shù)，因此函數(shù)是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系及的范圍求出答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，所?故答案為：14.已知，則______（結(jié)果用a，b表示）.【答案】【解析】【分析】利用換底公式及同底對(duì)數(shù)加減運(yùn)算法則即可解題.【詳解】,故答案為：.15.已知函數(shù)若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值是______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)解析式分析的單調(diào)性并畫(huà)出大致圖象，將問(wèn)題化為與僅有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)值.【詳解】由函數(shù)解析式，在上遞減，、上遞增，且在處連續(xù)，所以大致圖象如下，由函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即與僅有一個(gè)交點(diǎn)，由圖知：.故答案為：016.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)同增異減的法則可得在區(qū)間上也是單調(diào)遞減，且真數(shù)大于0，那么得到關(guān)于的不等式即，即可求出的范圍.【詳解】令，即對(duì)稱(chēng)軸，且開(kāi)口朝上，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在區(qū)間上也是單調(diào)遞減，且，故即，所以實(shí)數(shù)取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求;（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式化簡(jiǎn)集合A，B，再利用并集的定義求解即得.（2）求出集合B，利用充分條件的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解即得.【小問(wèn)1詳解】由不等式，得，解得，即，當(dāng)時(shí)，解不等式，得或，即或，所以.【小問(wèn)2詳解】依題意，或，由（1）知，由“”是“”的充分條件，得，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義和單調(diào)性可構(gòu)造方程組求得，從而得到；（2）根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，解得：，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，在上連續(xù)且單調(diào)遞增，，解得：，即的取值范圍為.19.已知，，且.（1）求的最大值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用基本不等式得，進(jìn)而有，注意等號(hào)成立條件，即可得最大值；（2）應(yīng)用基本不等式“1”的代換求左側(cè)的最小值，根據(jù)恒成立有，再解一元二次不等式求參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.【小問(wèn)2詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最小值為，又恒成立，即，所以.20.已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且．（1）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）令函數(shù)，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由是奇函數(shù)，可知，，進(jìn)而列出關(guān)系式，求出，即可得到函數(shù)的解析式，然后利用定義法，可判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）由函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，整理得方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得到，求解即可；【小問(wèn)1詳解】，且是奇函數(shù)，，，解得，，檢驗(yàn)，由解析式可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以是奇函數(shù)，滿(mǎn)足要求；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，，且，∴x1?∴，，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減.同理可證明函數(shù)在上單調(diào)遞增．小問(wèn)2詳解】函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知指數(shù)函數(shù)（且）的圖象過(guò)點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的值域【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入即可求解，（2）利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且）的圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得，因此，．【小問(wèn)2詳解】，令，因?yàn)?，則，令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，故，所以，函?shù)在上的值域?yàn)椋?2.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意的，都有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)可得，由此可求a，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求時(shí)，的解析式，由此可得函數(shù)的解析式；(2)先求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，由此可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）依題可知，解得，所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，