考點08 一次不等式（組）（精講）（原卷版）

考點08.一次不等式（組）（精講）【命題趨勢】一次不等式（組）主要考查依據(jù)題意列不等式并解決問題、不等式（組）的解法，體現(xiàn)了不等式的工具性，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右。預計2024年各地中考還將繼續(xù)考查這些知識點，重要題型有解不等式（組）、不等式含參（難度相對大點）、不等式相關(guān)的應(yīng)用題以及不等式的性質(zhì)，為避免丟分，學生應(yīng)扎實掌握?！局R清單】1：不等式及不等式的基本性質(zhì)（☆☆）1）不等式：一般地，用符號“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。2）不等式的基本性質(zhì)理論依據(jù)式子表示性質(zhì)1不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變?nèi)?，則性質(zhì)2不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變?nèi)?，，則或性質(zhì)3不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變?nèi)?，，則或3）不等式的解集及表示方法（1）不等式的解集：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解是一個范圍，這個范圍就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等式有無限個解。2：一元一次不等式（☆☆）1）一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，這樣的不等式叫一元一次不等式。2）解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1（注意不等號方向是否改變）。3：一元一次不等式組（☆☆☆）1）一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組。2）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集，求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。3）一元一次不等式組的解法：先分別求出每個不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果沒有公共部分，則該不等式組無解。4）幾種常見的不等式組的解集：設(shè)，，是常數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號取不到時在數(shù)軸上用空心圓點表示）：不等式組（其中）數(shù)軸表示解集口訣同大取大同小取小大小、小大中間找無解大大、小小取不了4：不等式（組）的實際應(yīng)用（☆☆☆）列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗并寫出答案。注意：列不等式（組）解決實際問題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設(shè)計型問題相聯(lián)系，如最大利潤、最優(yōu)方案等。列不等式時，要抓住關(guān)鍵詞，如不大于、不超過、至多用“≤”連接，不少于、不低于、至少用“≥”連接?！疽族e點歸納】1.不等式兩邊不能同時除以0，即0不能作除數(shù)或分母。2.運用不等式的性質(zhì)進行不等式變形時，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個數(shù)時，必須先弄清楚這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù),不等號要改變方向。3.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是1。4.利用數(shù)軸表示不等式組解集時，要把幾個不等式的解集都表示出來，不能僅畫公共部分?！竞诵目键c】核心考點1.不等式及不等式的基本性質(zhì)例1：（2022·浙江麗水·中考真題）已知電燈電路兩端的電壓U為，通過燈泡的電流強度的最大限度不得超過．設(shè)選用燈泡的電阻為，下列說法正確的是（

）A．R至少 B．R至多 C．R至少 D．R至多變式1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）農(nóng)戶利用“立體大棚種植技術(shù)”把毛豆和芹菜進行混種．已知毛豆齊苗后棚溫在最適宜，播種芹菜的最適宜溫度是．農(nóng)戶在毛豆齊苗后在同一大棚播種了芹菜，這時應(yīng)該把大棚溫度設(shè)置在下列哪個范圍最適宜（

）A． B． C． D．以上例2：（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如果，那么下列運算正確的是（

）A． B． C． D．變式1.（2023年北京市中考數(shù)學真題）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．變式2．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考二模）在復習不等式的性質(zhì)時，張老師給出以下兩個說法：①不等式一定不成立，因為不等式兩邊同時除以，會出現(xiàn)的錯誤結(jié)論；②如果，那么一定會得到；下列判斷正確的是（

）A．①√，②× B．①×，②× C．①√，②√ D．①×，②√例3：（2023·浙江紹興市·統(tǒng)考模擬預測）甲在集市上先買了3只羊，平均每只a元，稍后又買了2只，平均每只羊b元，后來他以每只元的價格把羊全賣給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢．賠錢的原因是（）A． B． C． D．與a、b大小無關(guān)變式1．（2023·浙江舟山·統(tǒng)考三模）觀察：，，，．(1)猜想：當時，______，______，______（“>”“＝”“<”填空）(2)探究：當時，與（其中n為正整數(shù)）的大小關(guān)系，并說明理由．例4：（2022·廣西桂林·中考真題）把不等式x﹣1＜2的解集在數(shù)軸上表示出來，正確的是（

）A． B．C． D．變式1．（2023·重慶一模）不等式在數(shù)軸上表示正確的是（）A．B．C．D．變式2.（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在數(shù)軸上表示x的取值范圍是________．核心考點2.一元一次不等式例5：（2023·浙江·九年級專題練習）下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．是一元一次不等式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式1．（2022·黑龍江·九年級期中）若是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為________．變式2．（2022·山西忻州·九年級期末）下列說法錯誤的是（

）A．不等式的解集是B．不等式的整數(shù)解有無數(shù)個C．不等式的整數(shù)解是0D．是不等式的一個解例6：（2023·綿陽市·統(tǒng)考模擬預測）解不等式．變式1．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）解不等式：．變式2．（2023·四川眉山·一模）若關(guān)于的不等式只有3個正整數(shù)解，則的取值范圍是__．核心考點3.一元一次不等式組例7：（2023年廣東廣州中考數(shù)學真題）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（

）A．B．

C．

D．

變式1．（2023年四川省德陽市中考數(shù)學真題）不等式組，的解集是（

）A． B． C． D．無解變式2．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）（1）計算：．（2）解不等式組：變式3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考模擬預測）解不等式組．請結(jié)合題意完成本題的解答（每空只需填出最后結(jié)果）．解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來．所以原不等式組解集為______．例8：（2023年四川省宜賓中考數(shù)學真題）若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為，則整數(shù)的值為．變式1．（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學真題）已知不等式組的解集是，則（）A．0 B． C．1 D．2023變式2．（2023年四川省眉山市中考數(shù)學真題）關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．（2023年四川省遂寧市中考數(shù)學真題）若關(guān)于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9：（2023·九龍縣九年級期末）已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足不等式2x+y>8，則m的值是_____．變式1．（2023·浙江杭州市·九年級模擬）已知方程組的解為正數(shù)，求a的取值范圍是_______．變式2．（2023·浙江金華市·九年級期中）若不等式組有解，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．變式3．（2023·安岳縣九年級期中）已知關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜3 B．a(chǎn)≥3 C．a(chǎn)＞3 D．a(chǎn)≤3例10：（2023·遼寧九年級期末）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答：例題：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0解：由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”有①或②解不等式組①得x＞3，解不等式組②得x＜﹣3故原不等式的解集為：x＞3或x＜﹣3問題：求不等式的解集．變式1．（2023·寧夏·石嘴山九年級階段練習）閱讀下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式時，是這樣思考的：根據(jù)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負．原分式不等式可轉(zhuǎn)化為下面兩個不等式組：①或②解不等式組①得，解不等式組②得．所以原不等式的解集為或．請你參考小亮思考問題的方法，解分式不等式．變式2．（2023·四川九年級期末）先閱讀理解下列例題：例題：解一元二次不等式由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”可得有：①或②解不等式組①得；解不等式組②得∴一元二次不等式的解集是或根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（1）求不等式的解集；（2）求不等式的解集．核心考點4.不等式（組）的實際應(yīng)用例11：（2023·北京石景山·七年級期末）按照下面給定的計算程序，當時，輸出的結(jié)果是_____；使代數(shù)式的值小于20的最大整數(shù)x是__________．變式1．（2023·湖北黃陂·九年級期末）如圖是一個數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器，按該程序進行運算，若輸入，則該程序需要運行________次才停止；若該程序只運行了次就停止了，則的取值范圍是________．例12：（2023·射陽縣九年級期中）有學生若干人，住若干間宿舍，若每間住5人，則有14人無法安排住宿，若每間住8人，則最后有一間宿舍不滿也不空，則學生人數(shù)為_____．變式1.（2022·寧波市鄞州區(qū)九年級期中）一次生活常識知識競賽一共有20道題，答對一題得5分，不答得0分，答錯扣2分，小聰有1道題沒答，競賽成績超過80分，則小聰至少答對了_______道題．變式2．（2023年湖南省長沙市中考數(shù)學真題）為提升學生身體素質(zhì)，落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神．某校利用課后服務(wù)時間，在九年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共個班級參加．(1)比賽積分規(guī)定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積分，負一場積分．某班級在場比賽中獲得總積分為分，問該班級勝負場數(shù)分別是多少？(2)投籃得分規(guī)則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內(nèi)含分線投籃，投中一球可得分，某班級在其中一場比賽中，共投中個球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級這場比賽中至少投中了多少個分球？例13：（2023·山東濟寧市·九年級期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超過18分鐘的時間內(nèi)到達，已知他每分鐘走90米．若跑步每分鐘可跑210米，問這人完成這段路程，至少要跑()A．3分鐘 B．4分鐘 C．4.5分鐘 D．5分鐘變式1．（2023年黑龍江省大慶市中考數(shù)學真題）端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)前夕，某商家出售粽子的標價比成本高25%，當粽子降價出售時，為了不虧本，降價幅度最多為（

）A． B． C． D．變式2.（2023·浙江紹興市·九年級模擬）某家庭投資3.5萬元資金建造屋頂光伏發(fā)電結(jié)，遇到晴天平均每天可發(fā)電30度，其他天氣平均每天可發(fā)電5度，已知某月（按30天計）共發(fā)電600度．信息鏈接：根據(jù)國家相關(guān)規(guī)定，凡是屋頂光伏發(fā)電站生產(chǎn)的電，家庭用電后剩余部分可以0.45元/度賣給電力公可，同時可獲得政府補貼0.52元/度．（1）求這個月晴天的天數(shù)；（2）已知該家庭每月平均用電150度，若按每月發(fā)電600度計算，問至少需要幾年才能收回成本？（不計其他費用，結(jié)果取整數(shù)）例14：（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）某縣著名傳統(tǒng)土特產(chǎn)品“豆筍”、“豆干”以“濃郁豆香，綠色健康”享譽全國，深受廣大消費者喜愛．已知2件豆筍和3件豆干進貨價為240元，3件豆筍和4件豆干進貨價為340元．(1)分別求出每件豆筍、豆干的進價；(2)某特產(chǎn)店計劃用不超過元購進豆筍、豆干共件，且豆筍的數(shù)量不低于豆干數(shù)量的，該特產(chǎn)店有哪幾種進貨方案？(3)若該特產(chǎn)店每件豆筍售價為80元，每件豆干售價為55元，在（2）的條件下，怎樣進貨可使該特產(chǎn)店獲得利潤最大，最大利潤為多少元？變式1．（2021·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）某學校準備購進單價分別為5元和7元的A、B兩種筆記本共