湖南省長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三上學(xué)期第一次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題（解析）

2025屆麓山國際高三第一次學(xué)情檢測試卷高三年級數(shù)學(xué)試卷總分：150分時量：120分鐘一、單選題（每小題5分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，結(jié)合交集概念即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.2.復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）．A.3 B. C.i D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)，所以的虛部為故選：B.3.已知向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的公式求解.【詳解】根據(jù)題意，在上的投影向量為：.故選：A4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”求解即可.【詳解】解：由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則“同增異減”得：在上單調(diào)遞減，且，所以且，解得：.故的取值范圍是故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)問題，是中檔題.5.已知函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢特征即得參數(shù)范圍.【詳解】由，，可得：，令，依題意，函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn).又，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故時，取得極大值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn).，需使，解得.故選：C.6.將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.7.如圖，在中，C是的中點(diǎn)，P在線段上，且.過點(diǎn)P的直線交線段分別于點(diǎn)N，M，且，其中，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得，再根據(jù)平面向量共線定理得到，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：，則，，又P，M，N共線，∴.又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：C.8.已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換然后結(jié)合整體法結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對進(jìn)行最值分析，對區(qū)間上進(jìn)行單調(diào)分析；【詳解】因?yàn)椋?dāng)時，因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最值，則，解得，當(dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因?yàn)?，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．又因?yàn)?，因此的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：整體法分析是本題的突破點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)圖像分析是本題的核心；二、多選題（每小題6分，共18分，每題全對得6分，部分選對得部分分，有錯選得0分）9.下列說法中，正確的命題有（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則c，k的值分別是和0.3C.在做回歸分析時，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好D.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為16【答案】ABC【解析】【分析】對于A，利用正態(tài)分布的對稱性計(jì)算判斷；對于B，對給定模型取對數(shù)比對即得；對于C，利用殘差圖的意義即可判斷；對于D，利用新數(shù)據(jù)方差計(jì)算公式判斷作答.【詳解】對于A，因，且，于是得，故A正確；對于B，由得，依題意得，即，故B正確；對于C，在做回歸分析時，由殘差圖表達(dá)的意義知，C正確；對于D，依題意的方差為，故D不正確．故選：ABC.10.已知函數(shù)，若將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡，并結(jié)合給定條件判斷A，利用函數(shù)平移的性質(zhì)結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B，利用對稱中心的求法求解對稱中心判斷C，舉反例判斷D即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，而將的圖象平移后能與函數(shù)的圖象完全重合，所以，解得，故A錯誤，此時，向右平移個單位長度后，設(shè)得到的新函數(shù)為，，由正弦函數(shù)性質(zhì)得是奇函數(shù)，故B正確，令，解得，當(dāng)時，，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確，由題意得，，，所以在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：BC11.如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.平面C.的最小值為D.當(dāng)，C，，P四點(diǎn)共面時，四面體的外接球的體積為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求出為定值，且P到平面的距離為1，從而由等體積得到錐體體積為定值；B選項(xiàng)，證明出面面平行，得到線面平行；C選項(xiàng)，將兩平面展開到同一平面，連接，交于點(diǎn)，此時最小，最小值即為的長，由勾股定理得到最小值；D選項(xiàng)，點(diǎn)P在點(diǎn)B處，，C，，P四點(diǎn)共面，四面體的外接球即正方體的外接球，求出正方體的外接球半徑，得到外接球體積.【詳解】對于A，因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，平面，所以平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，又為定值，故定值，A正確；對于B，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理可知平面，又，平面，所以平面平面，由于平面，故平面，B正確.對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，連接，交于點(diǎn)，此時最小，最小值即為的長，過點(diǎn)作⊥，交的延長線于點(diǎn)，其中，故，又勾股定理得，C正確；對于D，點(diǎn)P在點(diǎn)B處，，C，，P四點(diǎn)共面，四面體的外接球即正方體的外接球，故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】特殊幾何體的內(nèi)切球或外接球的問題，常常進(jìn)行補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為更容易求出外接球或內(nèi)切球球心和半徑的幾何體，比如墻角模型，對棱相等的三棱錐常常轉(zhuǎn)化為棱柱來進(jìn)行求解.三、填空題（每小題5分，共15分）12.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則________.【答案】95【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則故答案為：.13.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_____________．【答案】【解析】【分析】降次作差得，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案.【詳解】①，②，兩式相減得，故，，令中得，，所以，而不適合上式，故答案為：.14.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)A，若，且的內(nèi)切圓半徑為1，則該橢圓的離心率是______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合直角三角形以及內(nèi)切圓的性質(zhì)分析可得，結(jié)合橢圓的定義以及勾股定理可得，即可求得橢圓的離心率.【詳解】如圖，的內(nèi)切圓與三邊分別切于點(diǎn)，若，則，因?yàn)?，則，可得，則，可得，因?yàn)椋?，可得，又因?yàn)?，即，可得，且，解得，所以橢圓的離心率是．故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．焦點(diǎn)三角形的作用，在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．四、解答題（共77分）15.在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．（1）求；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）選擇①，利用正弦定理得，結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出，再代入式子得，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面積公式即可；【小問1詳解】由題意得，因?yàn)闉殁g角，則，則，則，解得，因?yàn)闉殁g角，則.【小問2詳解】選擇①，則，因?yàn)椋瑒t為銳角，則，此時，不合題意，舍棄；選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則，則16.某機(jī)構(gòu)為了了解某地區(qū)中學(xué)生的性別和喜愛游泳是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡游泳不喜歡游泳合計(jì)男生25女生35合計(jì)已知在這100人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.（1）請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)聯(lián)；（3）將樣本頻率視為總體概率，在該地區(qū)的所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，計(jì)抽取的3人中喜歡游泳的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）認(rèn)為是否喜歡游泳與性別無關(guān)（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題中信息即可統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求解.（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算卡方值即可求解.（3）根據(jù)二項(xiàng)分布求概率即可求解分布列和期望.【小問1詳解】喜歡游泳不喜歡游泳合計(jì)男生252550女生351550合計(jì)6040100【小問2詳解】零假設(shè):假設(shè)是否喜歡游泳與性別無關(guān)，，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為是否喜歡游泳與性別無關(guān).【小問3詳解】X的可能取值為0，1，2，3，，.的分布列為X0123P.17.如圖所示，在三棱錐中，與AC不垂直，平面平面，．（1）證明：；（2）若，點(diǎn)M滿足，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由平面平面，再作，可證明平面，從而可得，又因?yàn)椋钥勺C明平面，即可證明；（2）利用（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，利用等邊三角形和等腰直角三角形，標(biāo)出各點(diǎn)的空間坐標(biāo)，對于點(diǎn)M滿足，可用向量線性運(yùn)算求出，最后利用空間向量法來解決直線與平面所成角的正弦值．【小問1詳解】證明：在平面中，過點(diǎn)P作的垂線，垂足為D．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，且平面平面，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故．【小?詳解】由（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，又因?yàn)?，所以即．設(shè)平面ACM的一個法向量，則令，則．又因?yàn)?，設(shè)直線AP與平面ACM所成角為，則，所以直線AP與平面ACM所成角的正弦值為．18.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．（1）求；（2）設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【小問1詳解】設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)椋獾茫海拘?詳解】因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以面積，而或，所以，當(dāng)時，的面積．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.19.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問題”.在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第層球數(shù)比第層球數(shù)多，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列an.（1）求數(shù)列an通項(xiàng)公式；（2）求的最小值；（3）若數(shù)列bn滿足，對于，證明：.【答案】（1）；（2）