4.4對數(shù)函數(shù) 講義（知識點(diǎn)+考點(diǎn)+練習(xí)）-2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第一冊

4.4對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．思考函數(shù)y＝logπx，y＝log2eq\f(x,3)是對數(shù)函數(shù)嗎？二、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)如下表y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值特點(diǎn)x∈(0,1)時(shí)，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)時(shí)，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)時(shí)，y∈(－∞，0]對稱性函數(shù)y＝logax與y＝的圖象關(guān)于x軸對稱思考對數(shù)函數(shù)圖象的“上升”或“下降”與誰有關(guān)？三、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)．它們的定義域與值域正好互換．四、對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1．y＝logaf(x)型函數(shù)性質(zhì)的研究(1)定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域．(2)值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域．(3)單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，根據(jù)同增異減法則判定．(或運(yùn)用單調(diào)性定義判定)(4)奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定．(5)最值：在f(x)>0的條件下，確定t＝f(x)的值域，再根據(jù)a確定函數(shù)y＝logat的單調(diào)性，最后確定最值．2．logaf(x)<logag(x)型不等式的解法(1)討論a與1的關(guān)系，確定單調(diào)性．(2)轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)的不等關(guān)系求解，且注意真數(shù)大于零．五、三種常見函數(shù)模型的增長差異函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨x的增大勻速上升增長速度y＝ax的增長快于y＝kx的增長，y＝kx的增長快于y＝logax的增長增長后果會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>kx>logax思考在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>1，n>0時(shí)，是否總有l(wèi)ogax<xn<ax成立？

考點(diǎn)一對數(shù)函數(shù)的概念辨析【例1】(2020·寶雞市渭濱中學(xué)高一期中)若函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值為()A． B．2 C． D．【練1】(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A． B． C． D．考點(diǎn)二單調(diào)性(區(qū)間)【例2】(2020·全國)已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A． B． C． D．【練2】(2019·浙江高一期中)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A． B． C． D．考點(diǎn)三定義域和值域【例3】(2020·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)高二期末)函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【練3】(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)的定義域是()A． B． C． D．考點(diǎn)四比較大小【例4】(2020·遼源市田家炳高級中學(xué)校高二期末(文))已知，，，則，，的大小關(guān)系是()A． B． C． D．【練4】(2020·江蘇南京)設(shè)，，，則()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．c＞a＞b考點(diǎn)五解不等式【例5】(2020·內(nèi)蒙古集寧一中高二期末(文))不等式的解集是________.【練5】(2020·福建安溪·高二期末)已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的不等式的解集為()．A． B． C． D．【答案】C考點(diǎn)六定點(diǎn)【例6】(2020·山東省棗莊市第十六中學(xué)高一期中)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，(其中且)，則的坐標(biāo)為__________.【練6】(2020·全國高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________．考點(diǎn)七圖像【例7】如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a(chǎn)＞b＞1D．b＞a＞1【練7】(2020·新疆兵團(tuán)第二師華山中學(xué))函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系下的圖像大致是()A． B．C． D．考點(diǎn)八對數(shù)函數(shù)綜合運(yùn)用【例8】(2020·甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué)高二期末(文))已知函數(shù)．(1)求的值；(2)求函數(shù)的定義域(3)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明.【練8】(2020·武漢外國語學(xué)校高一月考)已知函數(shù)(1)若函數(shù)的定義域?yàn)?，求的取值范圍?2)若函數(shù)的值域?yàn)?，求的取值范?課后練習(xí)（2020高一上·龍巖期末）已知函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=10x的反函數(shù)，則A.

1

B.

2

C.

10

D.

1010（2021·九龍坡模擬）若a=log1312A.

a<b<c

B.

c<a<b

C.

b<c<a

D.

c<b<a（2020高一上·成都期末）已知奇函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).若a=f(log24.6)，b=?f(log2A.

a>b>c

B.

c>b>a

C.

b>a>c

D.

c>a>b（2021·湖北模擬）已知a=4log242，b=A.

a>b>c

B.

b>a>c

C.

c>b>a

D.

a>c>b（2021·浦東模擬）函數(shù)f(x)=1+log2x（2021·松江一模）已知函數(shù)f(x)圖像與函數(shù)g(x)=2x的圖像關(guān)于y=x對稱，則（2020高一上·浦東期末）設(shè)函數(shù)y=logax+1(a>0且（2020高一上·濱州期末）已知函數(shù)f(x)=loga(2x?3)+1(a>0且（2020高一上·龍崗期末）已知函數(shù)f(x)=loga1+x（1）求f(x)的定義域；（2）判斷f(x)的奇偶性，并給予證明；（3）求使f(x)>0的x取值范圍．（2021高一下·會(huì)澤月考）已知集合A={x|1≤3（1）求(?（2）已知集合C={x|1?a<x<1+a}，若C?（2020高一上·天津期末）已知函數(shù)f(x)=log（I）若f(a)=1，求a的值；（II）判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論．（2020高一上·東麗期末）已知集合A={a|loga1（1）求集合A、B；（2）求?R精講答案思考答案y＝logπx是對數(shù)函數(shù)，y＝log2eq\f(x,3)不是對數(shù)函數(shù)．思考答案底數(shù)a與1的關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的升降．當(dāng)a>1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng)0<a<1時(shí)，對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”．思考答案不是，但總存在x0，使得當(dāng)a>1，n>0，x>x0時(shí)，logax<xn<ax成立．【例1】【答案】B【解析】由題,.故選：B【練1】【答案】D【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義：形如且的形式，則函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，只有D符合.故選D【例2】【答案】D【解析】由得或所以的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【練2】【答案】A【解析】由，得到，令，則在上遞減，而在上遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減法則，得到在上遞增，故選：A【例3】【答案】A【解析】函數(shù)的定義域滿足：，解得.故選：A.【練3】【答案】C【例4】【答案】A【解析】,,,,故選：A【練4】【答案】C【解析】∵9＞8，∴3＞，故，從而有，故選：C【例5】【答案】【解析】由在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，解得，，即解集?故答案為:【練5】【答案】C【解析】由于函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由于函數(shù)為上的偶函數(shù)，由可得，，可得，解得.因此，關(guān)于的不等式的解集為.故選：C.【例6】【答案】【解析】令，解得，所以，所以的坐標(biāo)為，故答案為：【練6】【答案】(1，3)【解析】令，則，所以函數(shù)過定點(diǎn).故答案為：.【例7】【答案】B【解析】作直線y＝1，則直線與C1，C2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，易知0＜b＜a＜1.【練7】【答案】D【解析】，由指數(shù)函數(shù)的圖象知，將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位，即可得到的圖象，從而排除選項(xiàng)A,C；將函數(shù)的圖象向上平移一個(gè)單位，即可得到的圖象，從而排除選項(xiàng)B，故選D．【例8】【答案】(1)；(2)；(3)偶函數(shù)，證明見解析．【解析】(1)令，則(2)由題意:，解得，故定義域?yàn)椋?3)函數(shù)為偶函數(shù)證明：對任意，由偶函數(shù)的定義可得函數(shù)為偶函數(shù)【練8】【答案】(1)(2)或【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意的都成立則，解得(2)若函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域包含則，解得或練習(xí)答案1.【答案】A【考點(diǎn)】反函數(shù)【解析】函數(shù)y=10x的反函數(shù)為f(10)=故答案為：A

【分析】由反函數(shù)的定義求出函數(shù)f(x)的解析式，再把x=10代入計(jì)算出結(jié)果即可。2.【答案】B【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】∵a=log1312=∵1a∴l(xiāng)og23>log綜上，c<a<b故答案為：B【分析】可得出a=log1312=log32>log33=3.【答案】B【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】解：因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在R上是減函數(shù).若a=f(log24.6)，b=∵log2∴f(log即c>b>a.故答案為：B.

【分析】首先由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較出a與b的大小關(guān)系，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出c的取值范圍，由此得到答案。4.【答案】A【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】因?yàn)閍=log2416=故a>b>c，故答案為：A.【分析】根據(jù)題意由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)整理化簡，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較出答案。5.【答案】[3,+∞)【考點(diǎn)】反函數(shù)【解析】函數(shù)f(x)=1+log故其反函數(shù)的定義域?yàn)閇3,+∞).故答案為：[3,+∞)【分析】根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，直接求原函數(shù)的值域，即可得到反函數(shù)的定義域。6.【答案】log2【考點(diǎn)】反函數(shù)【解析】解：∵函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=2x的圖象關(guān)于直線∴函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)=2∴f(x)=log2x，∴故答案為：log23．

【分析】由函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=2x的圖象關(guān)于直線函數(shù)g(x)=2x互為反函數(shù)，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而算出7.【答案】（1,1）【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】在函數(shù)y=logax+1(a>0且a≠1)的解析式中，令x=1因此，函數(shù)y=logax+1(a>0故答案為：（1,1）.【分析】將x=1代入函數(shù)解析式，求出y的值，即可得出原函數(shù)圖像所過定點(diǎn)的坐標(biāo)。8.【答案】（2,1）【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【解析】令2x?3=1，則x=2，f(2)=1，即故答案為：（2,1）【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出P的坐標(biāo)即可．9.【答案】（1）解：∵已知f(x)=loga1+x1?x,∴1+x1?x>0,即1+xx?1<0,解得?1<x<1,故f(x)的定義域?yàn)??1,1)

（2）解：∵f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,f(?x)=【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷，對數(shù)函數(shù)的定義域，其他不等式的解法【解析】(1)根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)即真數(shù)大于零，進(jìn)而確定x的范圍，求得函數(shù)的定義域。

(2)利用函數(shù)解析式可求得f(-x)=-f(x)，進(jìn)而判斷出函數(shù)為奇函數(shù).

(3)根據(jù)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，由此可推斷出f(x)>0，進(jìn)而可知1+x110.【答案】（1）解：A={x|0≤x≤3}，B={x|x>2}，?RB={x|x≤2}，(?RB)∪A={x|x≤3}.

（2）解：當(dāng)C=當(dāng)C≠?時(shí)，{綜上所述，a≤1．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊