4.4 構(gòu)造函數(shù)常見方法（精講）（教師版）

4.4構(gòu)造函數(shù)常見方法（精講）常見的構(gòu)造模型一．只含→加變乘，減變除1.對于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)2.對于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)3.對于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－kx或F(x)＝f(x)－kx＋b；4.對于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)5.對于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)(g(x)≠0)．二．含1.對于f′(x)＋f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝exf(x)2.對于f′(x)＋nf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝enx·f(x)3.對于f′(x)－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)4.對于f′(x)－nf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)三．含xf′(x)±f(x)1.對于xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，則構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)．2.對于xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，則構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xnf(x)；3.對于xf′(x)－f(x)>0(或<0)，則構(gòu)造函數(shù)．4.對于xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，則構(gòu)造函數(shù)．四．f(x)±f′(x)tanx1.對于f′(x)tanx＋f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)sinx；2.對于f′(x)tanx－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)；3.對于f′(x)－f(x)tanx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)cosx；4.對于f′(x)＋f(x)tanx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)5.對于f′(x)sinx＋f(x)cosx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)sinx；6.對于f′(x)sinx－f(x)cosx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)；7.對于f′(x)cosx－f(x)sinx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)cosx；8.對于f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)考法一常見構(gòu)造函數(shù)模型【例1-1】（2023春·四川涼山）已知函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，因為，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，即，所以，即的解集為.故選：D【例1-2】（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且當時，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，則由，得；當時，，則由，得．令，則，故g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又f（x）是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，故，即，，即．與和的大小關(guān)系不確定．故選：A．【一隅三反】1．（2023春·江蘇鹽城）已知函數(shù)的定義域為R，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得.故選：D.2．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對于任意的都有，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】法一：構(gòu)造特殊函數(shù).令，則滿足題目條件，把代入得解得，故選：.法二：構(gòu)造輔助函數(shù).令，則，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以，所以，故選：D.3．（2023秋·陜西西安）已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)是.有，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，則，由可得，即，所以，，解得，因此，不等式的解集為.故選：A.4．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知定義域為的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，則，因為在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；，即，即，故C正確；，即，即，故D不正確；故選：C.考法二結(jié)構(gòu)同構(gòu)【例2-1】（2023·河南南陽·南陽中學(xué)校考三模）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，令函數(shù)，可得，當，可得，單調(diào)遞增；當，可得，單調(diào)遞減，所以當，函數(shù)取得極大值，即為最大值，函數(shù)的圖形，如圖所示，對于函數(shù)，當且時，.設(shè)且，則，可得，所以，所以,所以.故選：A.【例2-2】（2023春·安徽）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，，對兩邊取對數(shù)，可得，，，令，其中，可得，令，可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，可得，所以,所以，在單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：A.【一隅三反】1．（2022·新疆烏魯木齊）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，令，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；又，，，又，所以.故選：A.2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞增.又，所以，又，，，所以c＞b＞a.故選:A.3．（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以令，由，知當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.因為所以，即.故選：D.4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，，故設(shè)，則，求導(dǎo)得，，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，故選：B.考法三結(jié)構(gòu)異構(gòu)【例3-1】（2023·吉林·吉林省實驗?？寄M預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令函數(shù)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，，則，于是，即；當時，，則，所以，而，于是，即；綜上：.故選：C【例3-2】（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，所以，，所以單調(diào)遞增，則，所以，則；，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，故.故選：C.【一隅三反】1．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．故，可得，當且僅當時，等號成立，從而．因為，所以，故．故選：A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以．方法二：比較法解：，，①，令，，則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令，，則令，所以所以在上單調(diào)遞增，可得