4.3.2 對數(shù)的運算-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版必修第一冊）

4.3.1對數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1．掌握積、商、冪的對數(shù)運算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立條件．2．掌握換底公式及其推論．3．能熟練運用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡求值．1、直觀想象2、數(shù)學(xué)運算3、數(shù)學(xué)抽象【自主學(xué)習(xí)】1.對數(shù)的運算性質(zhì)若a>0且a≠1，M>0，N>0，則有：(1)loga(M·N)＝.(2)logaeq\f(M,N)＝.(3)logaMn＝(n∈R).注意：對數(shù)的這三條運算性質(zhì)，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)都有意義時，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是錯誤的．2.換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).3．由換底公式推導(dǎo)的重要結(jié)論(1)loganbn＝logab.(2)loganbm＝eq\f(m,n)logab.(3)logab·logba＝1.(4)logab·logbc·logcd＝logad.【小試牛刀】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)積、商的對數(shù)可以化為對數(shù)的和、差.()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2).()(4)由換底公式可得logab＝eq\f(log－2b,log－2a).()【經(jīng)典例題】題型一對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用注意：利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡與求值的原則和方法(1)基本原則：①正用或逆用公式，對真數(shù)進(jìn)行處理，②選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行.(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差).例1求下列各式的值：(1)log345－log35；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；[跟蹤訓(xùn)練]1計算(1)2log63＋log64；(2)(lg25－lgeq\f(1,4))÷；(3)log2.56.25＋lneq\r(e)－.題型二對數(shù)換底公式的應(yīng)用注意：(1)化成同底的對數(shù)時，要注意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用．(2)題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時，要注意將指數(shù)式與對數(shù)式統(tǒng)一成一種形式．例2計算：①log29·log34；②eq\f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4)).[跟蹤訓(xùn)練]2（1）log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)＝________.(2)計算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.題型三利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化解題注意：(1)在對數(shù)式、指數(shù)式的互化運算中，要注意靈活運用定義、性質(zhì)和運算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化.(2)對于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對數(shù)，從而使問題得解.例3(1)設(shè)3a＝4b＝36，求eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的值；(2)已知2x＝3y＝5z，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，求x，y，z.[跟蹤訓(xùn)練]3已知3a＝5b＝M，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則M＝________.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1．下列式子中成立的是(假定各式均有意義)()A．logax·logay＝loga(x＋y)B．(logax)n＝nlogaxC.eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)D.eq\f(logax,logay)＝logax－logay2.已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是()A.a－2 B.5a－2C.3a－(1＋a)2 D.3a－a23.若logab·log3a＝4，則b的值為________.4.lg0.01＋log216的值是________.5.計算lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)26.證明“l(fā)ogab·logbc·logcd＝logad”.7.設(shè)3x＝4y＝6z＝t>1，求證：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM【小試牛刀】(1)√根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可知(1)正確；(2)×根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可知loga(xy)＝logax＋logay；(3)×公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M應(yīng)為大于0的數(shù).(4)×【經(jīng)典例題】例1[解](1)log345－log35＝log3eq\f(45,5)＝log39＝log332＝2.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.[跟蹤訓(xùn)練]1解(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(25,\f(1,4))))÷＝lg102÷10－1＝2×10＝20.(3)原式＝log2.5(2.5)2＋eq\f(1,2)－＝2＋eq\f(1,2)－eq\f(4,10)＝eq\f(21,10).例2[解]①原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(lg32·lg22,lg2·lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.②原式＝eq\f(log5\r(2),log5\f(1,3))·eq\f(log79,log7\r(3,4))＝logeq\f(1,3)eq\r(2)·logeq\r(3,4)9＝eq\f(lg\r(2),lg\f(1,3))·eq\f(lg9,lg\r(3,4))＝eq\f(\f(1,2)lg2·2lg3,－lg3·\f(2,3)lg2)＝－eq\f(3,2).[跟蹤訓(xùn)練]2（1）－12[解析]原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2lg3lg5)＝－12.(2)法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(log54,log525)＋\f(log58,log5125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log52＋\f(2log52,2log55)＋\f(3log52,3log55)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(3log52)＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.法二原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(lg4,lg25)＋\f(lg8,lg125)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(lg2,lg5)))＝13.例3解(1)由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，由換底公式得eq\f(1,a)＝log363，eq\f(1,b)＝log364，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝2log363＋log364＝log3636＝1.(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，∴eq\f(1,x)＝logk2，eq\f(1,y)＝logk3，eq\f(1,z)＝logk5，由eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.[跟蹤訓(xùn)練]3eq\r(15)解析由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logM3＋logM5＝logM15＝2，∴M＝eq\r(15).【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.C[解析]根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)知，C正確．2.A解析原式＝log323－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.3.81解析logab·log3a＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f(lgb,lg3)＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.4.2解析lg0.01＋log216＝－2＋4＝2.5.解原式＝2lg5＋eq\f(2,3)lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.6.[證明]logab·logbc·logcd＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(l