人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二6.4.2 平面向量的應(yīng)用（精練）（解析版）

6.4.2平面向量的應(yīng)用（精練）1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）一艘客船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東方向，之后它以每小時32海里的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時測得船與燈塔S相距海里，則燈塔S在B處的（

）A．北偏東 B．北偏東或南偏東C．南偏東 D．以上方位都不對【答案】B【解析】如圖所示，由題意可知（海里），海里，，在中，由，得，所以或，故或，即燈塔S在B處的北偏東或南偏東．故選：B.2．（2022·黑龍江）（多選）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最小值是2C．的最小值是 D．的面積最小值是【答案】ABD【解析】由題意得：，由角平分線以及面積公式得，化簡得，所以，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確；由余弦定理所以，即的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B正確；對于選項(xiàng)：由得：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C錯誤；故選：ABD．3．（2022·云南）（多選）設(shè)，，分別為銳角三個內(nèi)角，，的對邊，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】BD【解析】由正弦定理得即，故B對，A錯；又又銳角中解得，故故選：BD4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2.一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6，則當(dāng)小貨船的航程最短時，小貨船航行的速度大小是___________.【答案】【解析】由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：因?yàn)橐粭l東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東，，在中，有，所以，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為．故答案為：5．（2022·山東聊城一中高一期中）2021年6月，位于聊城開發(fā)區(qū)的中華路徒駭河大橋建成通車，成為聊城市的又一大地標(biāo)性建筑.某人想了解大橋的最高點(diǎn)到地面的距離，在地面上的兩點(diǎn)測得最高點(diǎn)的仰角分別為（點(diǎn)與在地面上的投影O在同一條直線上），又量得米，根據(jù)測量數(shù)據(jù)可得高度______米.【答案】【解析】由題可得，所以米，由正弦定理可得米.故答案為：6．（2021·陜西）寶塔山是延安的標(biāo)志，是革命圣地的象征，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進(jìn)程，在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖，在寶塔山的山坡A處測得，從A處沿山坡直線往上前進(jìn)到達(dá)B處，在山坡B處測得，，則寶塔CD的高約為_________m.（，，結(jié)果取整數(shù)）【答案】44【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，，所以所以，故答案為?4.7．（2022·陜西）若在中，，則面積S的取值范圍是___________．【答案】【解析】根據(jù)題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值；故，又，故.故答案為：.8．（2022·廣東）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是____________．【答案】【解析】由∴得，所以，因?yàn)樗?，所以，而，所以．又由的外接圓的面積為，所以外接圓直徑，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，的面積取值范圍為．故答案為：.9．（2022·江蘇）如圖，在中，，AB＝8，點(diǎn)D在邊BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）∵，∴，則．所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，則BC＝BD＋CD＝5，在中，由余弦定理得，即AC＝7，所以．10．（2022·四川）在平面四邊形中，，，．(1)若的面積為，求；(2)記，若，，求．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：，解得，由余弦定理得，因此，.(2)解：在中，，在中，，

由正弦定理得，即，所以，，即，故.11．（2022·上海）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c、滿足．(1)求角B的大??；(2)若，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，又，所?（2）因?yàn)椋桑?）得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，面積所以三角形面積的最大值為．12．（2022·江西·金溪一中）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的大?。?2)若，求周長的取值范闈．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得，整理得，即，∵，，角B為銳角，∴．（2）由正弦定理，可得，，∴．∵是銳角三角形，∴，解得，∴，∴，∴，即，而，∴周長的取值范圍為．13．（2022·廣東）在平面四邊形ABCD中，AD＝BD＝1，．(1)求四邊形ABCD面積的最大值；(2)求對角線AC長的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）因?yàn)锳D＝BD＝1，，所以三角形ABD為正三角形．設(shè)BC＝a，CD＝b．在三角形BCD中，由余弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以四邊形ABCD的面積，即最大值為；（2）設(shè)，在三角形BCD中，由正弦定理得，，所以，在三角形ABC中，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，所以?4．（2022·上海市曹楊中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的嚴(yán)格減區(qū)間；(2)在中，所對應(yīng)的邊為，且，求面積的最大．【答案】(1)(2)【解析】（1）方法1：則：，即：，當(dāng)k=0時，∴∴在區(qū)間上的嚴(yán)格減區(qū)間為.方法2：∵，∴∵在區(qū)間上嚴(yán)格單減∴∴∴在區(qū)間上的嚴(yán)格減區(qū)間為.（2）由（1）知：，即：又∵∴∴方法1：由余弦定理得：，∴

①又∵，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時去等號.

②由①②得：，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時去等號.∴△ABC的面積最大值為；方法2：由正弦定理得：，∵∴，∴∴當(dāng)時，即：時，取得最大值為1，∴，∴，∴△ABC的面積最大值為.15．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)二模（理））在中，.(1)求的大?。?2)若，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)在中，∵，∴，∴，∴，∵，∴；(2)∵，∴．由余弦定理得①，∵，∴②，將②代入①，得，整理得，∴．16．（2022·廣東）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足．(1)證明：．(2)若，，求PC．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：在△ABP中，由正弦定理得，即，要證明，只需證明，在△ABP中，，在△ABC中，，所以，所以，所以．（2）由（1）知，又因?yàn)?，，所以，由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以，則，所以在△PBC中，，由正弦定理得，即，即．由余弦定理得，由題意知，故解得，所以．17．（2022·河北·衡水市第二中學(xué)高二期中）在①，②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.在中，內(nèi)角所對的邊分別是，且__________.(1)求角；(2)若點(diǎn)滿足，且線段，求的最大值.【答案】(1).(2)6.【解析】（1）選①，由及正弦定理可得:,所以，，因?yàn)椋?，則,所以故；選②，由及正弦定理可得，所以，，∵，所以，則.（2）如圖：點(diǎn)滿足，則,故，又，故，即，即，又，所以，當(dāng)其僅當(dāng)時取等號，即，故，即得最大值為618（2022·上海）已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)