人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修知識(shí)點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

[1.1.11集合的含義與表示

()集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

()常用數(shù)集與其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N,表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集?。表示

有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

()集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象。與集合M的關(guān)系是々EM,或者白任”,兩者必居其一.

()集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：｛XX具有的性質(zhì)｝，其中X為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

()集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無限個(gè)元素的集合叫

做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(0).

[1.1.2]集合間的基本父系

()子集、真子集、集合相等

名稱記號(hào)意義性質(zhì)不意圖

子集A^B中的任一元素()e或

(或都屬于()0平

8")()若且BqC，則AqC

()若且BqA?則A=B

A^B，且中至()0uA(為非空子集)

真子U

少有一元素不()若AuB且BuC，則AuC

集(或n)

屬于

中的任一元素

集合都屬于?中的()項(xiàng)

A=B

相等任一元素都屬()q

于

()已知集合卷有九5之1)個(gè)元素,則它有2"個(gè)子集?它有2〃-1個(gè)真子

集，它有2”-1個(gè)非空子集，它有2"-2非空真子集.

[1.1.3J集合的基本運(yùn)算

()交集、并集、補(bǔ)集

名記

意義性質(zhì)示意圖

□

稱

()A(yA=A

交A,且

AM()ACf0=0

集xeB}

()GD

AQB^B

并A,或()A(JA=A

A\JB

集xeB}()AU0=AGD

()

An&A)=0AU(”)=U

補(bǔ)

{x\xeU,Rx^A}期(An8)=(uA)UG8)U

*4(A)

集旗AUB=(〃A)n(%B)

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

()含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x\-a<x<a}

|x|>a(a>0)x|xv-〃或x>a]

把?+人看成一個(gè)整體，化成

\ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)\x\<a，|x|>〃(a>0)型不等式來求

解

()一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

△=/-4ac

二次函數(shù)\￥

y=ax2+bx+c(a>0)

0*2

的圖象

一元二次方程

ax2+bx+c=0(a>0)(其中X<占)無實(shí)根

的根

ax2+bx+c>0(a>0)或方>々｝{x|R

的解集

ax2+bx+c<0(a>0)

{x|X]<x<x2]00

的解集

n函數(shù)與其表示

［1.2.1］函數(shù)的概念

()函數(shù)的概念

①設(shè)A、5是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集

合A中任何一個(gè)數(shù)x在集合8中都有唯一確定的數(shù)代外和它對(duì)應(yīng)?

那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A，8以與A到8的對(duì)應(yīng)法則/)叫做

集合A到8的一個(gè)函數(shù)，記作f:ArB?

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則?

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)?

()區(qū)間的概念與表示法

①設(shè)匕是兩個(gè)實(shí)數(shù),且，滿足4""的實(shí)數(shù)X的集合叫做閉

區(qū)間?記做［凡歷；滿足的實(shí)數(shù)工的集合叫做開區(qū)間，記做

3。)；滿足8，或avx"的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，

分別記做［a,h)，(a,勿；滿足％2々,%>0,工工。,不〈力的實(shí)數(shù)工的集合分

別記做［a,+8),(a,+a)),(-a,Z?l,(-oo,Z?),

注意：對(duì)于集合｛x|av%<。｝與區(qū)間(4,6)，前者a可以大于或等于8,

而后者必須

()求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①“X)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)?

②/（x）是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)?

③/3）是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的

親口?

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)?

底數(shù)須大于零且不等于-

⑤），=tanx中,,

⑥零（負(fù)）指數(shù)鬲的底數(shù)不能為零?

⑦若/"）是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，

則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集?

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知/"）的定義

域?yàn)椋?。向，其?fù)合函數(shù)/Ig（x）］的定義域應(yīng)由不等式解出,

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域,根據(jù)問題具體情況需對(duì)

字母參數(shù)進(jìn)行分類討論-

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合

問題的實(shí)際意義?

（）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的?事

實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是

函數(shù)的最?。ù螅┲?因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同

的,只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)?我們可以通過觀察直接得到值域或

最值?

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和?

然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值?

③判別式法若函數(shù)尸“X)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于A-的二

次方程。(y)丁+伙y)x+c(y)=0,貝IJ在a(y)/0時(shí),由于為實(shí)數(shù),故

必須有△=/(y)—4a()，).c(y)N0?從而確定函數(shù)的值域或最值?

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值?

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代

換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題?

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確

定函數(shù)的值域或最值?

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值?

⑧函數(shù)的單調(diào)性法?

[1.2.2]函數(shù)的表示法

()函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種?

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?列表法：

就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?圖象法：就是用圖

象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?

()映射的概念

①設(shè)A、5是兩個(gè)集合?如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/?對(duì)于集合A中

任何一個(gè)元素，在集合8中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng),那么這樣的

對(duì)應(yīng)(包括集合A，8以與A到3的對(duì)應(yīng)法則/)叫做集合A到8的

映射，記作3?

②給定一個(gè)集合A到集合8的映射，且acA/tB，如果元素。和元

素〃對(duì)應(yīng)，那么我們把元素人叫做元素〃的象，元素〃叫做元素人的

原象,

O函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.11單調(diào)性與最大(小)值

()函數(shù)的單調(diào)性

①定義與判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義()利用定義

域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的()利用已知

任意兩個(gè)自變量的函數(shù)的單調(diào)性

值、，當(dāng)f時(shí)，都有()利用函數(shù)

y=f（x）/

函數(shù)的()<()?那么就說()/悶圖象(在某個(gè)

單調(diào)性在這個(gè)區(qū)間上是承區(qū)間圖

x,x,X

電教?象上升為

增)

()利用復(fù)合

函數(shù)

()利用定義

如果對(duì)于屬于定義()利用已知

域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的函數(shù)的單調(diào)性

任意兩個(gè)自變量的y、y=f（x）()利用函數(shù)

f（xj

值、，當(dāng)5時(shí),都圖象(在某個(gè)

有Q?Q,那么就說0

x、x:x區(qū)間圖

()在這個(gè)區(qū)間上是象下降為減)

博理數(shù)?()利用復(fù)合

函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和

是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增

函數(shù)為減函數(shù)-

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］，令〃=g(x)，若y=為增，〃=g(x)為

增，則丁=/Ig(x)］為增；若丫=/(〃)為減，〃=g(x)為減,則丁=/Ig(x)］

為增；若y=/(〃)為增，〃=g(x)為減,則y=/［g(x)］為減；若

y=/(〃)為減，“=g(x)為增，則y=/Ig(x)］為減,/(x)=x+-(a>0)

X

()打〃/'函數(shù)的圖象與性質(zhì)

f(x)分別在、［6,+00)上為增函數(shù)'-------------

分別在［-6,0)'(0,6］上為減函數(shù),

()最大(小)值定義/

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

()對(duì)于任意的無￡/，都有/(x)VM；

()存在％E/，使得/(x0)=M?那么,我們稱M是函數(shù)/(%)

的最大值?記作以JxhM?

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù)，"滿足：()

對(duì)于任意的xw/,都有/(%)>m；()存在，使得/(%)=m?那

么,我們稱加是函數(shù)/(x)的最小值，記作篇x(x)=，〃*

[1.3.2]奇偶性

()函數(shù)的奇偶性

①定義與判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)()定()利用定義

義域內(nèi)任意一個(gè)，(要先判斷定

都有(:):Q,那么y義域是否關(guān)于

函數(shù)的(a.f(a))

函數(shù)0叫做可通___一.原點(diǎn)對(duì)稱)

oax

奇偶性

數(shù)?(-a.f(-a))()利用圖象

(圖象關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱)

如果對(duì)于函數(shù)（）定（）利用定義

義域內(nèi)任意一個(gè)，（要先判斷定

都有（：）（）,那么函

義域是否關(guān)于

數(shù)（）叫做偶函數(shù)?

???原點(diǎn)對(duì)稱）

（）利用圖象

（圖象關(guān)于軸

對(duì)稱）

②若函數(shù)/（X）為奇函數(shù)?且在x=0處有定義，則/（0）=（）?

③奇函數(shù)在），軸兩側(cè)柜對(duì)稱的區(qū)間增減性相同,偶函數(shù)在y軸兩側(cè)

相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反?

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是

偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶

函數(shù)?一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)?

[[補(bǔ)充知識(shí)1函數(shù)的圖象

（）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析

式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖

象?

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函

數(shù)、器函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象?

①平移變換

②伸縮變換

③對(duì)稱變換

()識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象,要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨

勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注

意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系?

()用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了

〃形〃的直觀性，它是探求解題途徑,獲得問題結(jié)果的重要工具?要

重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法?

第二章基本初等函數(shù)(I)

U指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)鬲的運(yùn)算

()根式的概念

①如果X”=a,aeR,xeR,n>1,且〃￡M*那么K叫做。的〃次方

根-當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，〃的〃次方根用符號(hào)折表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)*

正數(shù)。的正的〃次方根用符號(hào)后表示,負(fù)的〃次方根用符號(hào)-標(biāo)表

示；的〃次方根是；負(fù)數(shù)。沒有〃次方根?

②式子標(biāo)叫做根式?這里〃叫做根指數(shù)-。叫做被開方數(shù)?當(dāng)〃

為奇數(shù)時(shí)，。為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，^>0?

③根式的性質(zhì)：雨一；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Ja；當(dāng)〃為偶數(shù)

時(shí)，萬■止?(/°)?

-a(a<0)

()分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的意義是：涓=叱(》0,加”乂,且

?>1)-的正分?jǐn)?shù)指數(shù)募等于?

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的意義是：

nn，n

a=(―)=J(—)(a>0,/w,wGA^+,?>1)?的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲沒有意

aVa

義?注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)?

()分?jǐn)?shù)指數(shù)器的運(yùn)算性質(zhì)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)與其性質(zhì)

()指數(shù)函數(shù)

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在H上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

函數(shù)值的

變化情況

。變化對(duì)圖象在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，。越大

的影響圖象越低?

n對(duì)數(shù)函數(shù)

[2.2.1]對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

⑴對(duì)數(shù)的定義

①若優(yōu)=N(a>0,且“1)，則x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log〃N，

其中。叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)?

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)?

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log〃No/=N(a>0.awl,N>0)?

()幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

()常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：IgN?即log，；自然對(duì)數(shù)：InN'即log*(其中

e=2.71828…)?

()對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果〃>0,aHl,M>0,N>0，那么

①加法：陶”+陶心陶前恒②減法：log。MTogaN=loga”

N

N

③數(shù)乘：n\ogaM=log?M\neR)@^=N

⑤log⑥換底公式：

aA

log“N=氈&(b>0,且〃。1)

log"

【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)與其性質(zhì)

()對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log.>0且。工1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

a>10<6Z<l

1X=1卜x=1

；y=1嗚%y=log”x

1

圖象

(1,0)

11/：(1,0)X1r

定義域(0,+oo)

值域R

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x=l時(shí),y=0,

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在O+00)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

函數(shù)值的

變化情況

。變化對(duì)圖象在第一象限內(nèi)?。越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，〃越

的影響大圖象越靠高?

()反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù))，=/(幻的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，從式子y=/(x)中解出,一

得式子x=8(y)?如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過式子工=奴))，

x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),那么式子x=g(y)表示］是y的

函數(shù)，函數(shù)x=°(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作”=尸(丁)，習(xí)慣

上改寫成y=/T(x)?

()反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中

反解出工=尸()，)；

③將片尸(y)改寫成)，=尸(幻，并注明反函數(shù)的定義域?

()反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=f~'(x)的圖象欠于直線y=工對(duì)稱,

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=jL(x)的值域、定

義域?

③若P(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上,則PSM)在反函數(shù)

y=廣U)的圖象上?

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)?

O鬲函數(shù)

()鬲函數(shù)的定義

一般地,函數(shù)y=叫做鬲函數(shù),其中工為自變量,a是常數(shù)?

()鬲函數(shù)的圖象

()募函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：鬲函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限第四象限無圖象鬲

函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）；是

奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限（圖象哭于原點(diǎn)對(duì)稱）；是非奇非

偶函數(shù)時(shí)?圖象只分布在第一象限?

②過定點(diǎn)：所有的鬲函數(shù)在（0,+8）都有定義?并且圖象都通過點(diǎn)（1,1）?

③單調(diào)性：如果a>0，貝I」嘉函數(shù)的圖象過原點(diǎn),并且在0一）上為增

函數(shù)?如果a<0，則募函數(shù)的圖象在（0,y）上為減函數(shù)?在第一象限

內(nèi)，圖象無限接近X軸與），軸?

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，鬲函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，器函數(shù)

為偶函數(shù)?當(dāng)（其中〃國互質(zhì)，〃和gwZ），若〃為奇數(shù)鄉(xiāng)為奇數(shù)時(shí),

則），=/是奇函數(shù)，若〃為奇數(shù)夕為偶數(shù)時(shí)，則y=/是偶函數(shù)，若〃為

偶數(shù)4為奇數(shù)時(shí)，則丁="是非奇非偶函數(shù)?

⑤圖象特征：鬲函數(shù)y=x”,x￡（0,+co），當(dāng)a>l時(shí),若0<x<l，其圖象

在直線y=x下方,若x>l，其圖象在直線y=x上方,當(dāng)a<l時(shí),若

0<%<1,其圖象在直線y=x上方,若，其圖象在直線y=x下方,

［補(bǔ)充知識(shí)］二次函數(shù)

（）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/（x）=ar2+bx+c（aw0）②頂點(diǎn)式：f（x）=〃（.〃尸+2（a羊0）③

兩根式：”兀）=心-再）。-再）3工。）（）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)?宜用一般式?

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大（小）值有

關(guān)時(shí),常使用頂點(diǎn)式?

③若已知拋物線與工軸有兩個(gè)交點(diǎn)?且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用

兩根式求/(均更方便?

()二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①一次函數(shù)/(x)=or2+〃x+c(a。0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為

頂點(diǎn)坐標(biāo)是,

②當(dāng)〃>oB寸，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減?在上遞增,當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)〃<0時(shí)，拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增?在上遞減，當(dāng)時(shí),?

③_次函數(shù)/")=公之十法+以〃工0)當(dāng)△=/一4ac>0時(shí),圖象與x軸有兩

個(gè)交點(diǎn)Ma，o),MG，o),|MMI=lxfl=￡?

\a\

()一元二次方程加+fex+c=0(aw0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)

在初中代數(shù)中雖有所涉與，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法

偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的

運(yùn)用?下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方

程實(shí)根的分布?

設(shè)一兀一次方程or2+bx+c=0(aw0)的兩實(shí)根為為,工2，且引"％,令

f(x)=ax2+bx+c?從以下四個(gè)方面來分析此類問題：①開口方向：

。②對(duì)稱軸位置：③判別式：△④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)?

⑤有且僅有一個(gè)根(或)滿足〈(或)<o()()<?并同

時(shí)考慮()或()這兩種情況是否也符合

此結(jié)論可直接由⑤推出?

()一次函數(shù)/。)="2+區(qū)+?々=0)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設(shè)/(幻在區(qū)間［〃國］上的最大值為M?最小值為“，令?

(I)當(dāng)〃>0時(shí)(開口向上)

①若，則加=/(p)②若,則③若,則加=/(g)

①若.則M=/0)②,則M=/(p)

(□)當(dāng)〃<0B寸(開口向下)］：—

①若，則〃=f(P)②若?則③立血301

①若，則相=/(4)②,則〃2=/(p)

第三章函應(yīng)用

-、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/(x)(x￡。)，把使/(x)=0成立

的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)丫=的零點(diǎn)。

、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù))，=“］)的零點(diǎn)就是方程八幻=0實(shí)數(shù)根，

亦即函數(shù)y=〃幻的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程/(%)=0有實(shí)數(shù)根<=>函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)=函

數(shù)丁=/(X)有零點(diǎn),

、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù))，=/a)的零點(diǎn)：

(代數(shù)法)求方程f(x)=。的實(shí)數(shù)根；

(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程?可以將它與函數(shù)

y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)?

、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

一次函數(shù)y=&+"+<?(〃/0)?

1)△>0,方程ox?+bx+c=0有兩不等實(shí)根-一次函數(shù)的圖象

與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)?

2)△二0，方程奴?十加+0=0有兩相等實(shí)根(一重根)?一次

函數(shù)的圖象與X軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二

階零點(diǎn)?

3)△<0?方程公2+6+c=o無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與X軸

無交點(diǎn)?二次函數(shù)無零點(diǎn)?

高中數(shù)學(xué)必修知識(shí)點(diǎn)

第一章空間幾何體

柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

空間幾何體的三視圖和直觀圖

三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯

視圖：從上往下

畫三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

直觀圖：斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法的步驟：

().平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

().平行于軸的線長(zhǎng)度變半，平行于，軸的線長(zhǎng)度不變；

().畫法要寫好。

用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟：()畫軸()畫底面()畫側(cè)棱()

成圖

空間幾何體的表面積與體積

(—)空間幾何體的表面積

棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

圓柱的表面於2初+2"2圓錐的表面

積S=TU'l+亞2

圓臺(tái)的表面積S=〃/+*2+成/+成2球的表面積

S=4成2

(二)空間幾何體的體積

柱體的體積V=s^h錐體的體積

臺(tái)體的體積V=g(S上+國豆+S下)x"球體的體積

第二章直線與平面的位置關(guān)系

空間點(diǎn)'直線'平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

平面含義：平面是無限延展的

平面的畫法與表示

()平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,銳角畫

成-且橫邊畫成鄰邊的倍長(zhǎng)(如圖)

()平面通常用希臘字母a、0、丫等表示，如平面a、平面0等，也可

以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫

字母來表示，如平面、平面等。

三個(gè)公理：

()公理：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此

平面內(nèi)

符號(hào)表示為

a

ea

ea

公理作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

()公理：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有，/平面。./

符號(hào)表示為：、、三點(diǎn)不共線>有且只有一個(gè)平面a?

使、ea、ea。

公理作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

()公理：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有

一條過該點(diǎn)的公共直線。八

符號(hào)表示為：Ganp>anp?且￡

公理作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)X

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

共面直｛相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)，

公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)、、是三條直線

強(qiáng)調(diào)：公理實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性,在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適

用。

公理作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行?那么這兩個(gè)角

相等或互補(bǔ)

①'與'所成的角的大小只由、的相互位置來確定，與的選擇無關(guān)?為

簡(jiǎn)便>點(diǎn)一般取在兩直線漏一條上；

②兩條異面直線所成的角')；

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)?我們就說這兩條異面直線互

相垂直*記作，；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成

的角。

2.1.3—空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

、直線與平面有三種位置關(guān)系：

()直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

()直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

()直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線凝面外，可用a

來表示

af^aiia

.直線、平面平行的判定與其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直

線平行，則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。

符號(hào)表示：

a*?

Pc>Ila

2.2.2平面與平面平行的判定

、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面

平行，則這兩個(gè)平面平行。

符號(hào)表示：

Bca

npna

Ila

na

、判斷兩平面平行的方法有三種：

()用定義；

()判定定理；

()垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.3—直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

、定理：一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平

面的交線與該直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。________________

符號(hào)表示：

Ila

甑

aAp

aAyll

MY

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

直線、平面垂直的判定與其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

、定義

如果直線與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面

c（互相垂直，記作，a-直線叫做平面a的垂線，平面a叫做直線的垂

面。如圖，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一公共點(diǎn)叫做垂足。

a

、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直

線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：）定理中的〃兩條相交直線〃這一條件不可忽視；

）定理體現(xiàn)了〃直線與平面垂直〃與〃直線與直線垂直〃

互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

、二面角的記法：二面角aB或c（B

、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則

這兩個(gè)平面垂直。

2.3.3一直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一

個(gè)平面垂直。

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

平面（以4里、?、干坦、租S、公

空間"~

直線與平面的位置產(chǎn)平面與平面的位置

直線的傾斜角和斜率

傾斜角和斜率

、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，取軸作為基準(zhǔn)，軸正向

與直線向上方向之間所成的角C（叫做直線的傾斜角.特別地，當(dāng)直線與

軸平行或重合時(shí)，規(guī)定0（°,

、傾斜角a的取值范圍：當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，a°.

、直線的斜率：

一條直線的傾斜角a（a。。）的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常

用小寫字母表示,也就是a

⑴當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，a。，°;

⑵當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，a。，不存在.

由此可知，一條直線的傾斜角。一定存在，但是斜率不一定存在.

、直線的斜率公式:

給定兩點(diǎn)()(?,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線的斜率：

斜率公式：

3.1.2兩條直線的平行與垂直

、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相

等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即

注意：上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立

的，缺少這個(gè)前提?結(jié)論并不成立?即如果，那么一定有II

、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒

數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

、直線的點(diǎn)斜式方程：直線/經(jīng)過點(diǎn)q(x0,y。)，且斜率為

ky-yQ=k(x-x0)

、、直線的斜截式方程：已知直線/的斜率為攵?且與)，軸的交點(diǎn)為

(0,/?)y=kx+b

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程

、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)P1(x[9x2\P2(x2,y2)其中

“尸%/尸劣)

、直線的截距式方程：已知直線/與x軸的交點(diǎn)為①,0)，與)，軸的交

點(diǎn)為(0,b)，其中4w0,Z?w0

3.2.3直線1的一般式方程

,11_L120kl=-=kik=-1,

、直線的一般匕2式方程：關(guān)于的二元一

次方程Ax+3y+C=0(,不同時(shí)為)

、各種直線方程之間的互化。

直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)

解：解方程組得，

所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，)

3.3.2兩點(diǎn)間距離

兩點(diǎn)間二3-四+(』『的距離公式

3.3.3點(diǎn)到直線的距離公式

?點(diǎn)到直線距離公式：

點(diǎn)P(x0,y0)到直線/:Ax+By+C=O的距離為：

、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線4和4的一般式方程為乙:4+與+G=O,

12：Ar+B)，+G=O，則4與4的距離為

第四章圓與方程

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2^-(y-b)2=r2

圓心為(),半徑為的圓的方程

、點(diǎn)加(%,%)與圓(x-a)2+(y-b)2=/的關(guān)系的判斷方法：

222222

()(xQ-a)+(y0—b)>r,點(diǎn)在圓外()(xQ-a)-^(yQ-b)r*點(diǎn)在

圓上

222

()(x0-a)+(j0-Z?)<r1點(diǎn)在圓內(nèi)

4.1.2圓的一般方程

、圓的一般方程：/+產(chǎn)+￡^+或+/=0

、圓的一般方程的特點(diǎn)：

()①和的系數(shù)相同，不等于?②沒有這樣的二次項(xiàng)?

()圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)、、，因之只要求出這三

個(gè)系數(shù)?圓的方程就確定了-

()、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，

代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，

幾何特征較明顯。

4.2.1圓與圓的位置關(guān)系

、用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系?

22

設(shè)直線/：ax+by+c=O圓C:x+y+Dx+Ey+F=0?圓的半徑為一

圓心(_&一馬到直線的距離為4，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)

22

有以下幾點(diǎn)：

()當(dāng)時(shí)，直線/與圓。相禺；()當(dāng)4=7?時(shí)，直線/與圓C相切；

()當(dāng)de時(shí)?直線/與圓C相交；

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系?

設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為/，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾

點(diǎn)：

()當(dāng)/＞八+/2時(shí)，圓G與圓。2相離；()當(dāng)/=勺+/2時(shí)，圓G與圓

外切；

()當(dāng)|八-GK+Q時(shí)，圓G與圓相交；

()當(dāng)/=ILGI時(shí)，圓G與圓。2內(nèi)切；()當(dāng)，＜1八-時(shí)，圓G與圓

內(nèi)含；

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；

、過程與方法

用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中

的幾何元素?將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運(yùn)算?解決代數(shù)問題；A

第三步：將代數(shù)運(yùn)算垢果〃翻譯〃成幾何結(jié)論?21

4.3.1空間直角坐標(biāo)系7'

、點(diǎn)對(duì)應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，x、y、Z分別彳

是、、在x、y、z軸上的坐標(biāo)

、有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，對(duì)應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)

、空間中任意點(diǎn)的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組6y,z)來表示，該數(shù)組叫

做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記(x,y,z)，x叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)?y

叫做點(diǎn)的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)的豎坐標(biāo)。

tZ

43.2空間兩點(diǎn)間的距離公式八

、空間中任意一點(diǎn)4(X1,y,Z])到點(diǎn)鳥(12，丁2*2)之間的p

距離公式

高中數(shù)學(xué)必修知識(shí)點(diǎn)

第一章算法初步

1.1.1算法的概念

、算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的〃算法〃通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某

一類問題是程序或步驟?這些程序或步驟必須是明確和有效的?而且

能夠在有限步之內(nèi)完成.

.算法的特點(diǎn)：

()有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的,必須在有限操作之后停止，

不能是無限的.

()確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確

定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.

()順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟?每

一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提,只有

執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步?并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問

題.

()不唯一性：求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問題

可以有不同的算法.

()普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、

計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

、程序框圖基本概念：

(-)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、

指向線與文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。

一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流

程線；程序框外必要文字說明。

（二）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)與其作用

程序框名稱功能

廠、

表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是

起止框

任何流程圖不可少的。

二表示一個(gè)算法輸入和輸出的信

輸入、輸出框息，可用在算法中任何需要輸

入、輸出的位置。

賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需

處理框要的算式、公式等分別寫在不同

o的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時(shí)

判斷框在出口處標(biāo)明〃是〃或〃〃;不

成立時(shí)標(biāo)明〃否〃或。

學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用與使用規(guī)則，

畫程序框圖的規(guī)則如下:

、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)八框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。、

除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷

框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。、判