人教版高中數(shù)學選修（2-1）-32《立體幾何中的向量方法（第4課時）》教學設計

3.2立體幾何中的向量方法

3.2.4利用向量知識求空間角

（名師：蔣力）

一、教學目標

（一）核心素養(yǎng)

通過這節(jié)課學習，掌握利用空間向量求空間角的方法.

（二）學習目標

1.利用直線方向向量求空間中的異面直線所成的角；

2.利用直線方向向量和平面的法向量求空間中的線面角；

3.利用平面的法向量求出二面角.

（三）學習重點

1.利用直線方向向量求空間中的異面直線所成的角

2.利用直線方向向量和平面的法向量求空間中的線面角

3.利用平面的法向量求出二面角

（四）學習難點

1.對向量法求空間角的理解.

2.對各種證明方法的熟練掌握.

二、教學設計

（一）課前設計

1.預習任務

（1）填空：

1.兩條異面直線的夾角

（1）定義：設小匕是兩條異面直線，在直線。上任取一點作直線"〃江則"與。的夾角叫做。

與匕的夾角.

（2）范圍：兩異面直線夾角。的取值范圍是（0,匹］.

2

（3）向量求法：設直線a,Z?的方向向量為。和其夾角為8，則有cos?=|cos。|=

2.直線與平面的夾角

(1)定義：直線和平面的夾角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影的夾角.

(2)范圍：直線和平面夾角。的取值范圍是[0,-].

2

⑶向量求法：設直線/的方向向量為3,平面的法向量為3,直線與平面所成的角為仇￡與G

的夾角為(p,則有sin?=|cosol或cos6=sin(p.

3.二面角

(1)二面角的取值范圍是小.

(2)二面角的向量求法：

①若AB、CO分別是二面角。一/―6的兩個面內(nèi)與棱/垂直的異面直線，則二面角的大小就是

向量霜與6的夾角(如圖①).

③

②設外,々分別是二面角a—I~~P的兩個面a,p的法向量，則向量〃與,〃2的夾角(或其補角)

的大小就是二面角的平面角的大小(如圖②③).

2.預習自測

1.已知兩平面的法向量分別為加=(0,1,0),n=(0,l,l),則兩平面所成的二面角為()

A.45°

B.135°

C.45?；?35°

D.90。

答案：C

解析：【知識點】利用法向量求二面角

【解題過程】卜。s<皿〃>|=*1=電

點撥：利用向量的夾角公式求二面角的平面角，注意此時求出的是二面角的余弦值的絕對值.

2.若直線人，,2的方向向量分別為。=(2,4,-4)/=(-6,9,6)則()

A./1Z//2

B./i±/2

C.與，2相交但不垂直

D.以上均不正確

答案：B

解析：【知識點】利用法向量求二面角

nin

【解題過程】cos<m,n>

HU-

點撥：二面角為90。時即是兩平面垂直

3.若直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120。,則直線/與平面a所成的角等于（）

A.120°

B.60°

C.30°

D.以上均錯

答案:C

解析：【知識點】利用向量法求直線和平面所成的角

【解題過程】利用向量法求直線和平面所成角的定義，如圖所示

點撥：注意平面的法向量和直線的方向向量的方向，線面角只能是銳角.

（二）課堂設計

1.知識回顧

（1）兩向量數(shù)量積的定義：ab=\a\\b\cos<a,b>

（2）兩向量夾角公式：cos<a,/?>=-"

（3）平面的法向量：與平面垂直的向量

2.問題探究

探究一結(jié)合實例，認識空間角中的線線角和線面角★

?活頊歸納提煉概念

我們知道在直線和直線，直線和平面，平面和平面有兩種位置關系——平行和相交，其中垂直

是相交的特殊情況，而對于一般的相交，我們用角來表示它們的位置關系.其包括：直線和直

線所成的角（線線角），直線和平面所成的角（線面角），平面和平面所成的角（二面角）.

知識點1：異面直線所成的角（范圍：（9G（0,^1）

（1）定義：過空間任意一點。分別作異面直線〃與〃的平行線〃'與那么直線。'與人所

成的銳角或直角，叫做異面直線。與匕所成的角.

（2）用向量法求異面直線所成角

設兩異面直線以人的方向向量分別為［和

問題1：當［與1的夾角不大于90。時，異面直線〃、人所成的角。與"和族的夾角的關系？

問題2：［與否的夾角大于90。時，，異面直線a、b所成的角。與3和各的夾角的關系？

結(jié)論：異面直線々、b所成的角的余弦值為cos。=|cos<>|=上包

⑷網(wǎng)

知識點2、直線與平面所成的角（范圍：^e［0,y］）

（1）定義：直線和平面的夾角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影的夾角.

（2）思考：設平面a的法向量為則<七區(qū)4>與。的關系？

sin夕=|cos<%AB>||據(jù)圖分析可得:結(jié)論：

知識點3：二面角（范圍：夕￡[0,加）

思考：對于一般的兩個平面，它們兩個的法向量的夾角和二面角有什么關系呢？請同學們討論

并在下圖中標出.

那么：如何利用向量求二面角呢？（可搶答）

可以分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面

角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

設平面a和/的法向量分別為々和巧，二面角a-/-6的平面角大小為。，則

1.當兩法向量"，n2,一個指向二面角內(nèi)，一個指向二面角外時，0=<nA,n2>.

2.當兩法向量勺，n2,都指向二面角內(nèi)或二面角外時，乃-<〃],%>

【設計意圖】通過圖形和定義，讓學生了解用向量法解決空間角的相關公式.

探究二用向量法求異面直線所成的角

例1如圖，正三棱柱ABC-AMG的底面邊長為％側(cè)棱長為血〃，求AG和C為所成的角.

解析：【知識點】利用方向向量求異面直線所成的角

【解題過程】

如圖建立空間直角坐標系A-町2,

則4（0,0,0）,G；。，后），C（-苧4g〃，。），用（0,y/2a）

AC.=(-—a9-a,42a)fCB.=(—a,-a,42a)

2222

________%

即cos(記，函>=9.色=衛(wèi)

IAGIICBJ3。-2

AG和c坊所成的角為9

點撥：1.寫出異面直線的方向向量的坐標.

2.利用空間兩個向量的夾角公式求出夾角.

【答案】

類題訓練：長方體A5CO—AiaCiD中，AB=AA\=2,AD=\,E為CG的中點，則異面直線

BC\與AE所成角的余弦值為（）

迎我嫗口啦

入1001010u-10

答案：B

解析：【知識點】利用方向向量求異面直線所成的角

解析：建立坐標系如圖,

則41。0),￡(0,2,1),3(120)，Ci(0,2,2).

配產(chǎn)(一1,0,2),助=(-1,2,1),

會立配「一而

cos〈BCi,AE)---------一

I配小油

所以異面直線BG與AE所成角的余弦值為騫.

點撥：1.寫出異面直線的方向向量的坐標.

2.利用空間兩個向量的夾角公式求出夾角.

【設計意圖】通過實例，讓學生學會利用向量法求異面直線所成的角.

?活動②利用向量求直線和平面所成的角

例2.如圖，四棱錐S-A5C。中，AB//CD,BC1CD,側(cè)面SA8為等邊三角形,

AB=BC=2,CD=SD=l

(I)證明：SOJL平面SAB;

(II)求A8與平面S3C所成角的正弦.

【知識點】利用方向向量求直線與平面所成的角

【解題過程】

以C為坐標原點，射線CO為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系C—孫工

設。(1,0,0),則4(2,2,0)、B(0,2,0).

又設S(x,y,z)則x〉0,y>0,z>0

(I)AS=(x-2,y-2,z),55=(x,iy-2,z),DS=(x-l,y,z),

由網(wǎng)=網(wǎng)得

J(j―2)2+(y_2)"+Z2=J/2+(y―2)2+z2,

故x=1.

由網(wǎng)=1得V+z2=l

又由18s卜2得f+(y—2)2+z2=4

即V+Z?-4),+1=0,故y=g,z=^

IC

DS=(0,-,—),DS?AS=0,DSBS=0.

22

故OS_LAS,DS1BS,又ASBS=S

所以SD_L平面SAB.

(ID設平面SBC的法向量a=(肛幾p),

貝|J〃15S,4_LC8,。8s=0MCB=U

又及小轉(zhuǎn)

,CB=(O,2,O)

36n

用——〃H---p=O

故,22

2n=0

取p=2得a=(-73,0,2)又48=(-2,0,0).

8s(如"A.=叵

\/\AB\-\a\7

故AB與平面SBC所成的角的正弦值為且

7

點撥：直線與平面所成的角步驟：

1.求出平面的法向量

2.求出直線的方向向量

3.求以上兩個向量的夾角，（銳角）其余角為所求角

【答案】（I）略；（II）—

7

【設計意圖】通過實例，讓學生學會利用向量法求直線和平面所成的角.

?活利③利用法向量求二面角

例3如圖，菱形A3CO的對角線AC與3。交于點O,45=5,4。=6,點工產(chǎn)分別在4。8上,

AE=CF=-fEF交BD于點H.將ADEF沿E尸折到ADEr位置，OD'=M.

（I）證明：07/J?平面A8CD；

（II）求二面角的正弦值.

【知識點】利用方向向量求直線與平面所成的角

【解題過程】

SAFCF

解：（1）證明：VAE=CF=-,

4fADCD

：.EF//AC.

???四邊形ABCD為菱形，AACLBD,

1.EFA.BD,:.EFA.DH,:.EF上D'H.

VAC=6,，A0=3；

又A8=5,AOLOB,???O8=4,

AJ7

:.OH=——0D=\,

AD

：.DH=D'H=3,

.?.|OD'|2=|OH|2+|D'H|2,

???D'HLOH.

又?：OHEF=H,

：.07/_1_面48。。,

(ID建立如圖坐標系”-孫z.

8(5,0,0)、C(l,3,0)>￡T(0,0,3卜A(1,-3,0)、A3=(4,3⑼、AZT=(-1,3,3)、AO=(0,6,0),

設〃=(x,y,z)為平面的法向量.

n47?=0j4.r+3y=0,e

由1得1/.八取z=5得〃二(3,-4,5).

n40=0廣x+3y+3z=0,

同理可得面4ZTC的法向量〃2=(3,0,1),

.IItnn7-75

??COS<77Z,KI>—1j—r;~~r---------,

1I|叫25

..A_2后

??sin0=-------?

25

小結(jié)：求二面角步驟：

1.求出兩平面的法向量

2.求出兩個法向量所成的角

3.確定二面角的大小:法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等

于法向量夾角的補角.

【答案】(I)略；(II)名畫

25

同類訓練：如圖，四棱錐S-A8co中，底面A8CO為矩形，5。_1底面45。。，AD=①,

DC=SD=2,點M在側(cè)棱SC上，ZABM=60°

(I)證明：M在側(cè)棱SC的中點

(II)求二面角S-AM-3的余弦值.

解：分別以OA、DC.DS為x、y.z軸如圖建立空間直角坐標系Q一種,

則A(V2,0,0),72,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).

(I)設M(0,a4)3>0,b>0),則

BA=(0,-2,0),BM=(-V2,a-2,b),SM=(0,a,6-2),

SC=(0,2,-2),由題得

cos<BA,BM>=—

2,即

SM//SC

一2(〃-2)

-2&一2)2+1+2=;解這個方程組

-2a=2(b-2)一

得4=1力=1即M(O』,1)

所以是側(cè)棱SC的中點.

(II)由(I)t>M(0,1,1),MA=(>/2,-1,-1),又AS=(-0,0,2),A8=(0,2,0),

設用=(%,如馬),丐=(孫力，々)分別是平面SAM,MAB的法向量,則

〃iA，A=O口[4MA=O=0=0

AS=0[丐AB=0-VZXj+2z=0[2y2=0

分別令X=%=得Z[=%=1,%=0*2=2,即

勺二(0,1,1),〃2=(加，。，2),

??COS<九],%>=F-

觀察圖形二面角S-AM-B的平面角為鈍角，故所求二面角的余弦值為-亞

3

小結(jié)：求二面角步驟：

1.求出兩平面的法向量

2.求出兩個法向量所成的角

3.確定二面角的大小:法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量及角；同進同出，二面角等

于法向量夾角的補角.

【答案】(D略；(II)

3

【設計意圖】通過實例，讓學生學會利用向量法求二面角.

3.課堂總結(jié)

知識梳理

(1)過空間任意一點O分別作異面直線。與b的平行線/與那么直線屋與6'所成的銳角

或直角，叫做異面直線。與人所成的角.異面直線所成的角：cos6=|cos<〃,b>|

(2)直線和平面的夾角，是指直線與它在這個平面內(nèi)的射影的夾角.直線和平面所成的角：

sin0=|cos<AB,n>|

（3）平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)

的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角.

二面第：COS0=COS<?|,n2>或850=一COS<〃|,〃2〉

重難點歸納

（1）異面直線所成的角和直線和平面所成的角的范圍;

（2）二面角的范圍;

（3）兩平面的法向量所成的角不一定是二面角的平面角，還要判斷方向，法向量的方向：一

進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角.

（三）課后作業(yè)

基礎型自主突破

1.在棱長為1的正方體48co—4山iCi*中，M,N分別為4B”的中點，那么直線AM

與CN所成角的余弦值為（）

A近

R迎

B-10

3

-

5

C

2

-

5

D.

咨

案D

解析：【知識點】利用向量法求異面直線所成的角.

【解題過程】

解析：以。點為坐標原點，分別以04,DC,。功所在直線為X軸，y軸，Z軸建立如圖所示

的空間直角坐標系，

則4(1,0,0),M(l,*1),C(0,l,0),N(l」,1).

所以磁=(0,I，1),C^=(l,0,1).

故麗西=0x14-1x0+1x1=-,

1

晶052

所以cos（歷區(qū)CAO

|砌畫事乎5’

點撥：建系求出兩直線的方向向量，利用向量的夾角公式求出異面直線的角

2.如圖，三棱錐A-5CZ）的棱長全相等，E為4。的中點，則直線CE與BO所成角的余弦值

A*

B5

D.2

。6

D.j

答案：A

解析：【知識點】利用向量法求異面直線所成的角.

【解題過程工

解析：設AB=1,

則徐初=（屈一祀）.（勸-勸）

勸—祝Aft+配1.初

=3一呼0$60°-cos600+cos600=；.

"C°S（琵防=器=關邛選'

2

點撥：建系求出兩直線的方向向量，利用向量的夾角公式求出異面直線的角.

3.已知正三棱柱ABC-ABG的側(cè)棱長與底面邊長相等，則與側(cè)面ACG4所成角的正

弦值等于（）

R迎

B.4

c或

L.2

D坐

答案：A

解析：【知識點】利用向量法求直線和平面所成的角.

【解題過程】

解析：如圖所示建立空間直角坐標系，設正三棱柱的棱長為2,0（0,0。）、Bg0,0）、A（0,

-1,0）、8（小,0,2）,則融=（#』,2）,則尻）=（一小,0,0）為側(cè)面4CG4的法向量，由

.Al-i劭|.

sin0------------=A.

|磯囪I4

點撥：建系求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出直線和平面的角.

4.如圖，在正方體ABC。一AIBCDI中，七為CG的中點，則直線OE與平面43G的夾角

的正弦值為.

答案:華

解析：【知識點】利用向量法求直線和平面所成的角.

【解題過程】

解析：設正方體的棱長為2,直線OE與平面的夾角為外建立如圖所示的坐標系，則

。(0,0,0)、風0,2,1)、3(222),

???加」平面4BC】,連結(jié)DBi,???加尸(2,2,2)是平面45cl的法向量，???庇=(021),???sin

a=C°S</fM，儂t\=山+44++24.小+y/?13

點撥：建系求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出直線和平面所成的

角.

5.過正方形ABCO的頂點A作線段％_L平面ABC。，若A8=B4,則平面"P與平面COP

所成的二面角為.

答案：45°

解析：【知識點】利用向量法求二面藥.

【解題過程】

建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB=%=1,知A(0,0,0),5(1,0,0),0(0,1,0),C(l,l,0),

P(O,Q1)由題意得，AO_L平面ABP,

設E為尸。的中點，

連結(jié)AE,貝！|AE_LPO,

又?.?8_L平面%O,：.AE±CDf

XPDC\CD=Df???4E_L平面CDP.

???助=(0,1,0)和戲=(0,y；)分別是平面ABP和平面CQP的法向量，而〈勸，戲〉=45。,

???平面ABP與平面CDP所成的二面角為45。.

點撥：建系求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角.

6.已知點E,尸分別在正方體ABC。一的棱SB,CCi±,且8￡=2E8,CF=2FC\,

則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于.

答案:乎

解析：【知識點】利用向量法求二面角.

【解題過程工

延長尸E,C3相交于點G,連結(jié)AG,

DiC,

設正方體的棱長為3,則G8=8C=3,作BH_LAG于點”，連結(jié)EH,則為所求二面角

的平面角.

?：BH=*,￡8=1,

歿=應

：.lanZEHB=~BH~3,

點撥：建系求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角.

能力型師生共研

7、如圖，四棱錐P—A8CO中，必_L底面A8CO,ADBC,AB=AD=AC=3fPA=BC=4t

M為線段AO上一點，AM=2MD,N為PC的中點.

(I)證明MN平面PAB；

(II)求直線AN與平面尸MN所成角的正弦值.

答案：(I)見解析；(H)嚏

解析：【知識點】利用向量法求直線和平面所成的角.

【解題過程工

2

(I)由已知得AM=1AO=2

取3P的中點T,連接AT,TN,由加為PC中點知77V〃BC

TN=^BC=2

又AD"BC,故77V幺AM,四邊形AMNT為平行四邊形，于是

,.?47t平面B48,"ND平面以8,.1MN〃平面也8

(II)取8c的中點E,連接AE,由AB=AC得AE_L8C,從而AELLAO,且

以A為坐標原點，施的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A一.由題意

知：P(0,0,4),M(0,2,0),C(、G,2,0),N(坐，1，2)

戰(zhàn)=(0,2,-4),由=(坐，1,-2),俞=(半，1,2)

*2y-4z=0

設百=(■y,z)為平面的法向量，貝"〃0”二°即.八

nPN=02x+y-2z=0

可取"=(0,2,1)

所以|cos<",宿=區(qū)吧=需

KlIAM心

點撥：建系求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出直線和平面所成的

角.

8如圖,三棱柱ABC—AiBCi中,側(cè)面三。為菱形,AB±BiC.

(2)若AC_LA8i,ZCBBi=60°,AB=BC,求二面角A—43一G的余弦值.

答案：見解析

解析：【知識點】利用向量法求二面角.

【解題過程】

(1)證明：連接BG,交BC于點。，連接A0.

因為側(cè)面BBiGC為菱形，

所以BCJ_5Ci,且。為BC及8cl的中點.

又48_LBCABnBO=B,所以BiCJ_平面ABO.

由于AOu平面4B。，故BiC_LAO.

又8。=。。，故AC=4B.

(2)解；因為人C_LABi,

且。為的中點，

所以AO=CO.又因為A8=8C,

所以A80A空△BOC,

故。A_L08,從而。A,OB,08i兩兩互相垂直.

以。為坐標原點，仍、聞I、談的方向為工軸、y軸、z軸的正方向，|仍|為單位長，建立如

圖所示的空間直角坐標系。一xyz.

因為/CB8=60。，所以△CBB為等邊三角形.

又AB=BC,OC=OA,則A（0,0,坐）、3（1,0,0）、Bi（0,喙,0）、C（0,一坐,0）^ASi=（0,坐,

-坐）、/47&1=初=（1,0,一孝）、=B^=（-1,-乎,0）.

設〃二(x,y,z)為平面的法向量.

.}V36n

[nAB=0

由《1得I3取工=1得〃=（1,6,6）.

nA[B[=0i-j

設加二(x,y,z)為平面A]B￡的法向量.

nB.C.=0

由《得加二(1,-百,6).

nA}B}=0

則

所以二面角A—A出一G的余弦值為;.

點撥：建系求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角.

探究型多維突破

9、在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓。的直徑，E尸是上底面圓0,的直徑，是圓臺

的一條母線.

(I)已知G、”分別為EC,/B的口點，求證：G"〃平面ABC；

(II)BftlEF=FB=-AC=2^j3A5=8C.求二面角/一8C—A的余弦值.

2，9

【知識點】利用向量法求二面角.

【解題過程】

(1)連結(jié)尸。，取尸。的中點M,連結(jié)

因為GM//E/"E/在上底面內(nèi)，GM不在上底面內(nèi),

所以GM//上底面，所以GM//平面48C：

又因為MH//BC,BCu平面ABC,

MHZ平面ABC,

所以M"http://平面ABC；

所以平面GHM//平面ABC,

由GHu平面GHM,所以Ga//平面ABC.

(II)連結(jié)OB,AB=BC0A1OB

以為。原點，分別以。4,08,00為蒼y,z軸，

?;EF=FB=LAC=2?AB=BC,

2

00'=^BF1-(BO-FO)1=3,

于是有A(2jJ,0,0),C(-2^,0,0),B(0,26,0),F(0,6,3),

可得平面FBC中的向量=(0,-6,3),CB=(273,20,0),

于是得平面FBC的一個法向量為X=(-6,6,1),

又平面ABC的一個法向量為4=(0,0,1),

設二面角產(chǎn)—8C-A為0,

1_V7

則cose=g二V7=T

H-H

二面用?火-4的余弦值為?

點撥：建系求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角.

10、如圖，四棱柱ABCD-A山Cl"中，側(cè)棱4A_L底面ABC。，AB//DC.ABA.AD,AD=

CD=ltAAi=AB=2fE為棱AAi的中點.

(1)證明：BiCilCE；

(2)求二面角B\-CE-C\的正弦值；

⑶設點M在線段CiE上，且直線AM與平面4OA4所成角的正弦值為坐，求線段AM的長.

【知識點】利用向量法求直線和平面所成的角.

【解題過程】

⑴證明：如圖，以點A為原點，分別以A。、441、AB所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間

直角坐標系，

依題意得4(000)、5(0,0,2)、C(l,0,l)>3(022)、Ci(l,2,l)>E(0,1,0).

易得而ti=(L0,-l),Cfe=(-l,l,-l),于是歷乙?仍=0,所以8iG_LCE

⑵解：歷t=（l,-2,-1）.

設〃二（x,y,z）為平面BQ的法向量.

,[nB,C=0x-2y-2=0,^/口/、

由1得1取z=1得〃=（一3,-2,1）.

nCE=0+z=0,

由（1）知，BiCi±CE,又CCi-LBiG,可得知Ci_L平面CECi,故枇i=（l,0,一1）為平面CECi

的一個法向量.

B￡n

于是cos<B￡>=MM

-4_277

從而sin<〃,8￡

~y[^xy[2~~>=7'

所以二面角Bi-CF-Ci的正弦值為亨.

（3）解：（0,1,0）,或i=（l/,1）,設加=/1或i=（九2,2）,0<2<1,

有硒=硅十的=a，2+1,A）.

可取油=（0,0,2）為平面ADDiAi的一個法向量.

設夕為直線4M與平面ADDiA所成的角，則

sin0=|cos（A/tf,AS>|二?獨

|硒油

_2

73萬+27+]

工旦2也初，旦）1/a/古仝土、

于是住+224=6'解得個（負值舍去），

所以AM=&.

點撥：直線與平面所成的角步驟：

1.求出平面的法向量

2.求出直線的方向向量

3.求以上兩個向量的夾角，（銳角）其余角為所求角

答案：（1）略；（2）卑；（3）0.

自助餐

1.在正方體A8CD—A山ICIDI中，M是AB的中點，則sin〈9i,C府）的值等于（)

1

A，2

B.

15

C.亭

D.丹

答案：B

解析：【知識點】利用向量法求異面直線所成的角.

【解題過程工

以。為原點，。4、DC.OOi分別為X軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,

設正方體棱長為1,易知尻i=（1,1,1）,C^=

2

故cos＜端謬=礴面=隼

IZ5B1HCWI,

從而sinv加"落=嗯^

點撥：建系求出兩直線的方向向量，利用向量的夾角公式求出異面直線的角.

2.長方體43cz）—AIBGOI中，AB=AAi=2fAD=\fE為CG的中點，則異面直線BCi與

AE所成角的余弦值為（）

A迎

-10

R典

B-10

10

D啦

u-10

【知識點】利用向量法求異面直線所成的角.

【解題過程】

建立空間直角坐標系如圖.

則A(l,0,0),E(0,2,l),

B(1,2.0),Ci(0,2,2).

配i=(-l,0,2),1,2,1),

cos〈箭,加〉=配=鏢

阿iH硝，U

所以異面直線BG與AE所成角的余弦值為嚅.

點撥：建系求出兩直線的方向向量，利用向量的夾角公式求出異面直線的角

答案：B

3.P是二面角￡棱上的一點，分別在a、￡平面上引射線PM、PN,如果N8PM=N

BPN=45。,/MPN=6。。,那么二面角a—AB—6的大小為（）

A.60°

B.70°

C.80。

D.90。

答案：D

解析：【知識點】利用向量法求二面角.

【解題過程】

不妨設PN=b,作ME_LA5于E,NFLABTF,

如圖：

M

AB

?：/EPM=/FPN=45。,

???就?前=（麗一陶?（所一師）

=兩?一曲辦一曲尿+成用

=abcos60。一必尊?cos45。-乎〃Z?cos45°

ababab.ab八

=爹—1■一2+L

???就_1兩，.??二面角a—AB—p的大小為90°.

點撥：建系求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角.

4.已知正四棱錐P—ABCQ的棱長都相等，側(cè)棱尸B、尸。的中點分別為M、N,則截面AMN

與底面48CQ所成的二面角的余弦值是.

答案:平

解析：【知識點】利用向量法求二面免.

【解題過程】

如圖建立空間直角坐標系，設正四棱錐的棱長為啦,

貝|「尸8=啦，OB=1,0P=\.

???B(1,0,0)、。(一1,0,0)、

A(0,l,0)、P(0,0,l)、

嗎0,；)、N(—；,0,；)、

磁=§,-15，

硒=(-a-6)，

設〃=(x,y,z)為平面AMN的法向量.

1

-

AM-vA2

得

由

-取

NI?X-Z

A-1X

〃1

---a

1一y

12

平面ABCD的法向量加=(0,0,1),

mn2y/5

則cos<tnyn>=i—n_r=----

網(wǎng)〃I5

點撥：建系求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角.

5.如圖，已知正三棱柱ABC—的所有棱長都相等，D是4G的中點，則直線4Q與平

面BQC所成角的正弦值為.

解析：【知識點】利用向量法求直線和平面所成的角.

【解題過程】

不妨設正三棱柱ABC—A\B\C\的棱K為2,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則CQ0Q),4由一1,0),用(小」⑵,

則就=

CS1=(V3,1,2),

設〃二(x,y,z)為平面BiDC的法向量.

nCD=0/r-\

由，

nCB,=0