第61講 立體幾何探究點的位置的方法-高中數(shù)學常見題型解法歸納反饋訓練及詳細解析

【知識要點】立體幾何探究點的位置的方法一般有兩種：猜想證明法和設(shè)點解方程法.【方法講評】方法一猜想證明法使用情景點的位置剛好很特殊（中點等），證明也比較方便.解題步驟一般先猜想特殊位置（中點，等分點等），再證明.【例1】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面.若.（1）求證：平面；（2）側(cè)棱上是否存在點，使得平面？若存在，指出點的位置并證明，若不存在，請說明理由；（3）求二面角的余弦值.又因為，所以平面.（3）由（1）知，底面，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則（0，0，1），(1,0,0)，(0,2,0),(1,1,0)，則=(1,1,-1),=(-1,1,0)，顯然平面，所以為平面的一個法向量.設(shè)面的一個法向量=()，則==0且==0，取=1，則=1，=2，則.設(shè)二面角的大小為，由圖可知，為銳角，所以即二面角的余弦值為.【點評】(1)由于,所以觀察聯(lián)想取的中點試驗證明，剛好又可以證明點滿足條件.（2）這種猜想證明法是有局限的，如果動點不是特殊點，那就不好處理，既浪費了考試的時間，又給自己制造了緊張氣氛.學科@網(wǎng)【反饋檢測1】在長方體中，，過，，三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體，這個幾何體的體積為.（1）證明：直線∥平面;（2）求棱的長;（3）在線段上是否存在點，使直線與垂直，如果存在，求線段的長，如果不存在，請說明理由.方法二設(shè)點解方程法使用情景方法比較普遍，適用于大多數(shù)題目.解題步驟先設(shè)點,且，再用表示點的坐標，最后把點的坐標代入已知的某個條件等式求出的值，即得點的位置.【例2】如圖，四棱柱中,側(cè)棱底面，，，，為棱的中點.(1)證明：；(2)設(shè)點在線段上,且直線與平面所成角的正弦值為,求線段的長.EED1C1B1A1DCBA【點評】(1)本題試驗中點，發(fā)現(xiàn)證明不了，所以最好直接利用設(shè)點解方程組法.先設(shè)點,且，再用表示點的坐標，最后把點的坐標代入已知的某個條件等式求出的值，即得點的位置.(2)在設(shè)點時，要注意的范圍，以免出現(xiàn)增解.(3)設(shè)點時，有時不需要設(shè)三個未知數(shù)，要結(jié)合實際情況，確定未知數(shù)的個數(shù).【反饋檢測2】如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.（1）求證：∥平面；（2）求證：；（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【反饋檢測3】如圖，的外接圓的半徑為，所在的平面，，，，且，．（1）求證：平面平面．（2）試問線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由．高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第61講：立體幾何探究點的位置的方法參考答案【反饋檢測1答案】（1）證明見解析；（2）4；（3）存在，（3）在平面中作交于，過作交于點，則．因為，而，又，且．∽.為直角梯形，且高.【反饋檢測2答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在,學科@網(wǎng)（2）因為正方形與矩形所在平面互相垂直，所以，，而，所以平面，又平面，所以.（3）存在滿足條件的.依題意，以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，因為，則，，，所，易知為平面的法向量，設(shè)，所以平面的法向量為，所以，即，所以，取，則，又二面角的大小為，所以，解得.故在線段上是存在點，使二面角的大小為，且.【反饋檢測3答案】（1）答案詳見解析；（2）存在，且．【反饋檢測3詳細解析】（1）∵C⊥