專題10.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(解析版)

10.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有eq\x(\s\up1(01))兩類不同的方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\x(\s\up1(02))m＋n種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要eq\x(\s\up1(03))兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\x(\s\up1(04))m×n種不同的方法．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事(每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可典型例題分析考向一分類加法原理【例1】(1)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的共有()A．18個(gè) B．15個(gè)C．12個(gè) D．9個(gè)答案B解析依題意知，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4,0,0組成的有3個(gè)，分別為400,040,004；由3,1,0組成的有6個(gè)，分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成的有3個(gè)，分別為220,202,022；由2,1,1組成的有3個(gè)，分別為211,121,112，共3＋6＋3＋3＝15(個(gè))．(2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去A，B，C三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人．其中甲必須去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為()A．8 B．7C．6 D．5答案B解析根據(jù)題意，分兩種情況討論：①乙和甲一起去A社區(qū)，此時(shí)將丙、丁二人安排到B，C社區(qū)即可，有Aeq\o\al(2,2)＝2種情況；②乙不去A社區(qū)，則乙必須去C社區(qū)，若丙、丁都去B社區(qū)，有1種情況，若丙、丁中有1人去B社區(qū)，則先在丙、丁中選出1人，安排到B社區(qū)，剩下1人安排到A或C社區(qū)，有2×2＝4種情況，則不同的安排方法種數(shù)為2＋1＋4＝7.故選B.【變式】現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)為________.答案12解析若第一門安排在第一天或第五天，則第二門有3種安排方法，這時(shí)，共有2×3＝6種方法；若第一門安排在中間的3天中，則第二門有2種安排方法，這時(shí)，共有3×2＝6種方法．綜上可得，不同的考試安排方案共有6＋6＝12種．使用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)應(yīng)注意的三個(gè)方面(1)各類方法之間相互獨(dú)立，每種方法都能完成這件事，且方法總數(shù)是各類方法數(shù)相加得到的．(2)分類時(shí)，首先要在問(wèn)題的條件之下確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在確定的分類標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類．(3)完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，且分別屬于不同類的方法都是不同的．考向二分步乘法原理【例2】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．9答案B解析分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B.【變式1】某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個(gè)號(hào)中選出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元．某人想從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21至30中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成一注，若這個(gè)人把滿足這種特殊要求的號(hào)買全，要花()A．3360元 B．6720元C．4320元 D．8640元答案D解析從01至10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)共有8種選法；從11至20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)共有9種選法；從21至30中選1個(gè)號(hào)有10種選法；從31至36中選1個(gè)號(hào)有6種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有8×9×10×6＝4320種選法，要花4320×2＝8640元．故選D.【變式2】現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個(gè)人值班，共有5個(gè)人，每個(gè)人都可以值多天或不值班，但相鄰兩天不能同一個(gè)人值班，則此值班表共有________種不同的排法．答案1280解析完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分步進(jìn)行：第一天有5種不同排法，第二天不能與第一天已排的人相同，所以有4種不同排法，依次類推，第三、四、五天都有4種不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280種不同的排法．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵，從計(jì)數(shù)上來(lái)看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù)．考向三加法原理和乘法原理的應(yīng)用【例3】用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243 B．252C．261 D．279答案B解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個(gè)數(shù)為9×10×10＝900，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為900－648＝252.故選B.【變式】從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所產(chǎn)生的不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A．56 B．54C．53 D．52答案D與幾何有關(guān)的問(wèn)題【例4】從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有()A．8種 B．12種C．16種 D．20種答案B解析正方體共有3組對(duì)面互不相鄰．與正方體的每組對(duì)面相鄰的面有4個(gè)，所以有3×4＝12種選法．故選B.【變式】如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．24答案B基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．算盤起源于中國(guó)，迄今已有2600多年的歷史，是中國(guó)傳統(tǒng)的計(jì)算工具：現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）.如果撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，則表示的數(shù)字大于50的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動(dòng)兩枚算珠的結(jié)果，從而得到表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)和表示的數(shù)字大于50的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】撥動(dòng)圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，第一類，只在一個(gè)檔撥動(dòng)兩枚算珠共有4種方法，表示的數(shù)字分別為；第二類，在每一個(gè)檔各撥動(dòng)一枚算珠共有4種方法，表示的數(shù)字分別為，所以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.其中表示的數(shù)字大于50的有共3個(gè)，所以表示的數(shù)字大于50的概率為.故選：B2．解1道數(shù)學(xué)題，有兩種方法，有2個(gè)人只會(huì)用第一種方法，有3個(gè)人只會(huì)用第二種方法，從這5個(gè)人中選1個(gè)人能解這道題目，則不同的選法共有（

）A．4種 B．5種 C．6種 D．9種【答案】B【分析】由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算．【詳解】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：不同的選法共有（種）.故選：B.3．四名師范生從A，B，C三所學(xué)校中任選一所進(jìn)行實(shí)習(xí)教學(xué)，其中A學(xué)校必有師范生去，則不同的選法方案有（

）A．65種 B．37種 C．24種 D．12種【答案】A【分析】可從反面考慮，計(jì)算A學(xué)校沒(méi)有師范生的種數(shù)【詳解】若不考慮限制條件，則每位師范生都有3種選擇，共有種選擇．若沒(méi)人去A學(xué)校，則每位師范生都有2種選擇，共有種選擇．故不同的選法方案有種．故選：A4．為慶祝中國(guó)人民解放軍建軍90周年，南昌市某校打算組織高一6個(gè)班級(jí)參加紅色旅游活動(dòng)，旅游點(diǎn)選取了八一南昌起義紀(jì)念館，南昌新四軍軍部舊址等5個(gè)紅色旅游景點(diǎn)．若規(guī)定每個(gè)班級(jí)必須參加且只能游覽1個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至多有兩個(gè)班級(jí)游覽，則這6個(gè)班級(jí)中沒(méi)有班級(jí)游覽新四軍軍部舊址的不同游覽方法數(shù)為A．3600 B．1080 C．1440 D．2520【答案】C【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論：第一種，先將個(gè)班級(jí)分成四組，分別為再分配到四個(gè)景點(diǎn)，第二種，將人平均分成三組，再分配到除新四軍軍部舊址外的四個(gè)景點(diǎn)的任意三個(gè)景點(diǎn)，分別求出每一種情況的參觀方法數(shù)，由加法原理計(jì)算可得答案【詳解】由于每個(gè)班級(jí)必須參加且只能游覽個(gè)景點(diǎn)，且每個(gè)景點(diǎn)至多有兩個(gè)班級(jí)游覽，因此可以把問(wèn)題看成是將個(gè)班級(jí)分配到除新四軍軍部舊址外的四個(gè)景點(diǎn)或三個(gè)景點(diǎn)，可以分兩種情況：第一種，先將個(gè)班級(jí)分成四組，分別為再分配到四個(gè)景點(diǎn)，不同的參觀方法數(shù)為：種第二種，將人平均分成三組，在分配到除新四軍軍部舊址外的四個(gè)景點(diǎn)的任意三個(gè)景點(diǎn)，不同的參觀方法數(shù)為：種由上可知，不同的參觀方法數(shù)共有種故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列，組合的實(shí)際應(yīng)用，注意題目中的分類討論，由不同的情形得到不同的參觀方法，繼而求出結(jié)果．5．已知集合，．現(xiàn)從集合A中取一個(gè)元素作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從集合B中取一個(gè)元素作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則位于第四象限的點(diǎn)P有（

）A．16個(gè) B．12個(gè) C．9個(gè) D．6個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)第四象限點(diǎn)的特征，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈谒南笙薜狞c(diǎn)橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，所以集合中只有符合，集合中只有符合，所以第四象限的點(diǎn)P有個(gè)，故選：D6．編號(hào)為1，2，3的三位學(xué)生隨意坐入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)座位，每個(gè)座位坐一位學(xué)生，則三位學(xué)生所坐的座位號(hào)與學(xué)生的編號(hào)恰好都不同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】所有的排列法共有種，用列舉法求得滿足條件的排列數(shù)只有2種，由此可求得滿足條件的概率.【詳解】編號(hào)為1，2，3的三位學(xué)生隨意坐入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)座位時(shí)，1號(hào)學(xué)生有3種坐法，2號(hào)學(xué)生有2種坐法，3號(hào)學(xué)生只有1種坐法，所以一共有6種坐法，其中座位號(hào)與學(xué)生的編號(hào)恰好都不同的坐法只有2種，所以所求的概率.故選：B.二、多選題7．商場(chǎng)某區(qū)域的行走路線圖可以抽象為一個(gè)的正方體道路網(wǎng)（如圖，圖中線段均為可行走的通道），甲、乙兩人分別從，兩點(diǎn)出發(fā)，隨機(jī)地選擇一條最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)，為止，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．甲從必須經(jīng)過(guò)到達(dá)的方法數(shù)共有9種B．甲從到的方法數(shù)共有180種C．甲、乙兩人在處相遇的概率為D．甲、乙兩人相遇的概率為【答案】ACD【分析】利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可判斷A選項(xiàng)；分析可知從點(diǎn)到點(diǎn)，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可判斷B選項(xiàng)；利用古典概型的概率公式可判斷C選項(xiàng)；找出兩人相遇的位置，求出兩人相遇的概率，可判斷D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，從點(diǎn)到點(diǎn)，需要向上走2步，向前走1步，從點(diǎn)到點(diǎn)，需要向右走2步，向前走1步，所以，甲從必須經(jīng)過(guò)到達(dá)的方法數(shù)為種，A正確；對(duì)于B,從點(diǎn)到點(diǎn)，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，所以，甲從到的方法數(shù)為種，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，需要向上、前、右各走一步，再?gòu)狞c(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，也需要向上、前、右各走一步，所以，甲從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不同的走法種數(shù)為種，乙從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不同的走法種數(shù)也為36種，所以，甲、乙兩人在處相遇的概率為，C正確；對(duì)于D，若甲、乙兩人相遇，則甲、乙兩人只能在點(diǎn)、、、、、、，

甲從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，需要向上走2步，向前走1步，再?gòu)狞c(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，需要向前走1步，向右走2步，所以甲從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的走法種數(shù)為，所以甲、乙兩人在點(diǎn)處相遇的走法種數(shù)為，同理可知，甲、乙兩人在點(diǎn)、、、、處相遇的走法種數(shù)都為，因此，甲、乙兩人相遇的概率為，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵在于利用組合數(shù)去計(jì)算對(duì)應(yīng)的方法數(shù)，將從到的路線轉(zhuǎn)變?yōu)榱?，其中每一條路線向上步數(shù)確定后，則對(duì)應(yīng)向右的步數(shù)也能確定，因此可以考慮從六步中選取向上或向右的步數(shù)，由此得到的組合數(shù)可表示對(duì)應(yīng)路線的方法數(shù)．8．為提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力，新華中學(xué)高二年級(jí)利用周末進(jìn)行社區(qū)義務(wù)勞動(dòng)．該校決定從高二年級(jí)共6個(gè)班中抽取20人組成社區(qū)服務(wù)隊(duì)參加活動(dòng)，其中6班有2個(gè)“勞動(dòng)之星”，“勞動(dòng)之星”必須參加且不占名額，每個(gè)班都必須有人參加，則（

）A．若6班不再抽取學(xué)生，則共有種分配方法B．若6班有除“勞動(dòng)之星”外的學(xué)生參加，則共有種分配方法C．若每個(gè)班至少有3人參加，則共有90種分配方法D．若根據(jù)需要6班有4人參加，其余至少三人參加，則共有75種分配方案【答案】AB【分析】AB利用插空法求解判斷；CD利用分類計(jì)數(shù)原理求解判斷.【詳解】A.若6班不再抽取學(xué)生，則20個(gè)名額分配到5個(gè)班，且每個(gè)班至少1個(gè)，由插空法，將其分成5組，共有種分配方法，故正確；B.若6班有除“勞動(dòng)之星”外的學(xué)生參加，則20個(gè)名額分配到6個(gè)班，且每個(gè)班至少1個(gè)，由插空法，將其分成6組，則共有種分配方法，故正確；C.若每個(gè)班至少有3人參加，相當(dāng)于16個(gè)名額被占用，還有4個(gè)名額需要分配到6個(gè)班，分5類，第一類4個(gè)名額分到一個(gè)班，有6種，第二類一個(gè)班3個(gè)，一個(gè)班1個(gè)有種，第三類2個(gè)班都是2個(gè)名額則有種,第四類2個(gè)班各1個(gè)名額，另一個(gè)班2個(gè)名額，則有種,第五類4個(gè)班都是1個(gè)名額則有種,共有126種分配方法，故錯(cuò)誤；D.若根據(jù)需要6班有4人參加，其余至少三人參加，相當(dāng)于17個(gè)名額被占用，還有3個(gè)名額需要分配到5個(gè)班，第一類3個(gè)名額分到一個(gè)班，有5種，第二類一個(gè)班2個(gè)，一個(gè)班1個(gè)有種，第三類3個(gè)班都是1個(gè)名額則有種,則共有35種分配方案，故錯(cuò)誤；故選：AB三、填空題9．用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”，如301、423等都是“凹數(shù)”，則在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為.【答案】【分析】對(duì)十位上的數(shù)分別為三類討論，每一類中根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解，即可求出“凹數(shù)”的個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)十位上的數(shù)為時(shí)，有個(gè)；當(dāng)十位上的數(shù)為時(shí)，有個(gè)；當(dāng)十位上的數(shù)為時(shí)，有個(gè)；所以“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：10．有4種不同顏色的涂料，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有.【答案】756【分析】先從區(qū)域涂色，討論區(qū)域涂相同，不同顏色的兩種情況，再確定區(qū)域的涂色方法，應(yīng)用分類分步計(jì)數(shù)原理求不同涂色的方法數(shù)【詳解】按區(qū)域涂色相同與不同分一下兩種情況：先涂區(qū)域，則有4種方法，若區(qū)域涂色相同，則有3種方法，區(qū)域分別由3種方法，共有種方法先涂區(qū)域，則有4種方法，若區(qū)域涂色不同，則有種方法，則區(qū)域有2種方法，分別有3種方法，共有種方法故不同的涂色方法共有756種方法故答案為：75611．如圖，從麗水到上海的途徑有種．【答案】60【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】完成從麗水到上海這件事需要兩個(gè)步驟：第1步，從麗水到溫州，有6種不同方法；第2步，從溫州到上海，有10種不同方法，所以從麗水到上海共有6×10＝60種方法．故答案為：60.12．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展開后共有項(xiàng).【答案】36【解析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】該展開式中每一項(xiàng)的因式分別來(lái)自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一項(xiàng)，由a1，a2，a3中取一項(xiàng)共3種取法，從b1，b2，b3中取一項(xiàng)有3種不同取法，從c1，c2，c3，c4中任取一項(xiàng)共4種不同的取法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，該展開式共3×3×4＝36(項(xiàng))故答案為：四、解答題13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖所示．將一個(gè)正四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．【答案】420【分析】分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點(diǎn)染色,然后再分類考慮另外兩頂點(diǎn)的染色數(shù),用乘法原理可求解【詳解】由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有種染色方法；當(dāng)染好時(shí)，不妨設(shè)所染顏色依次為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4,則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法,即當(dāng)S,A,B染好時(shí)，C,D還有7種染法.故不同的染色方法有種.14．已知集合，，設(shè)，，，若點(diǎn)在直線的下方，則這樣的點(diǎn)共有多少個(gè)？【答案】【分析】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，對(duì)分類討論，確定相應(yīng)的的取值，即可得到答案.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在直線的下方，所以，又，，可按的取值分類考慮：當(dāng)時(shí)，不存在符合條件的點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，則符合條件的點(diǎn)有個(gè)；當(dāng)時(shí)，，則符合條件的點(diǎn)有個(gè)；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，這樣的點(diǎn)共有(個(gè))．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，重點(diǎn)在于抓住題目中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．首先根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)；其次分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類．15．為提高學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)的興趣，南京港師范大學(xué)附屬中學(xué)擬開設(shè)《數(shù)學(xué)史》《微積分先修課程》《數(shù)學(xué)探究》《數(shù)學(xué)建?！匪拈T校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)打算在上述四門課程中隨機(jī)選擇一門進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知三人選擇課程時(shí)互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的.（1）求三位同學(xué)選擇的課程互不相同的概率：（2）求甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門課程，求三人共有多少種不同的選課種數(shù)；（3）若至少有兩位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》，求三人共有多少種不同的選課種數(shù).【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）先計(jì)算出三位同學(xué)選擇課程的選法種數(shù)以及三位同學(xué)選擇的課程互不相同的選法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）考慮甲、乙兩位同學(xué)不選同一門課程的選法種數(shù)，并求出丙選課程的選法種數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果；（3）分兩種情況討論：①有兩位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》；②三位同學(xué)都選擇《數(shù)學(xué)史》.分別計(jì)算出兩種情況下不同的選課種數(shù)，利用分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】（1）三位同學(xué)選擇課程共有種情況；三位同學(xué)選擇的課程互不相同共有種情況，所求概率為；（2）甲、乙兩位同學(xué)不選擇同一門課程共有種情況，丙有種不同的選擇，所以甲、乙兩位同學(xué)不能選擇同一門課程共有種情況；（3）分兩種情況討論：①有兩位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》,共有種不同的情況；②有三位同學(xué)選擇《數(shù)學(xué)史》共有種情況.綜上所述，總共有種不同的選課種數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查了等可能事件的概率，分步計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理，排列組合的基本應(yīng)用，屬于中等題.16．如圖，用紅、黃、藍(lán)三種顏色涂圖中標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，…，9的9個(gè)小正方形，使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為1，5，9的3個(gè)小正方形涂相同的顏色，則符合條件的涂法共有多少種？【答案】108（種）【分析】分三步：首先看圖形中的1，5，9，有3種可能；再看2，3，6；最后看4，8及7，運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】把區(qū)域分為三部分，第一部分1，5，9，有3種涂法．第二部分2，3，6，分以下兩種情況：①若標(biāo)號(hào)為2，6的小正方形同色，則標(biāo)號(hào)為2，6，3的小正方形的不同涂法有（種）；②若標(biāo)號(hào)為2，6的小正方形不同色，則標(biāo)號(hào)為2，6，3的小正方形的不同涂法有（種），所以標(biāo)號(hào)為2，3，6的小正方形的不同涂法共有（種）．同理，第三部分4，7，8的不同涂法也有6種．所以符合條件的涂法共有（種）．提升題型訓(xùn)練一、單選題1．某同學(xué)從5本不同的科普雜志，4本不同的文摘雜志中任選1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．20種 B．9種 C．10種 D．16種【答案】B【分析】所選的雜志可以分成2類，求出每類雜志任選一本的方法，然后相加，即可求出結(jié)論.【詳解】某同學(xué)從5本不同的科普雜志任選1本，有5種不同選法，從4本不同的文摘雜志任選1本，有4種不同的選法，根據(jù)分類加法原理可得，該同學(xué)不同的選法有：種.故選：B.2．2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國(guó)家政策，選派了4名工作人員到三個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個(gè)村至少去1人，則不同的安排方式共有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】4個(gè)人分到三個(gè)村莊只能由這種分法，分好后再安排到3個(gè)不同村莊，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得解.【詳解】先將4人分成3組，共有種分法，再將這3組分到3個(gè)不同的村莊有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有種不同分法.故選：C3．甲?乙?丙?丁四名同學(xué)參加學(xué)校組織的植樹活動(dòng)，學(xué)校共組織了3個(gè)植樹小組，每人只能參加一個(gè)植樹小組，則甲?乙不在同一個(gè)植樹小組的安排方法有（

）A．81種 B．54種 C．36種 D．12種【答案】B【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理分析求解即可.【詳解】甲有3種參加方法，乙有2種參加方法，丙?丁均有3種參加方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，甲、乙不在同一個(gè)植樹小組的安排方法有種，故選：B．4．有30個(gè)完全相同的蘋果，分給4個(gè)不同的小朋友，每個(gè)小朋友至少分得4個(gè)蘋果，問(wèn)有多少種不同的分配方案？A．680 B．816 C．1360 D．1456【答案】A【詳解】先給每個(gè)小朋友分三個(gè)蘋果，剩余個(gè)蘋果利用“隔板法”，個(gè)蘋果有個(gè)空，插入三個(gè)“板”，共有680種方法.故選：A.5．中國(guó)古代哲學(xué)用五行“金、木、水、火、土”來(lái)解釋世間萬(wàn)物的形成和聯(lián)系，如圖，現(xiàn)用3種不同的顏色給五“行”涂色，要求相鄰的兩“行”不能同色，則不同的涂色方法種數(shù)有（

）A．24 B．36 C．30 D．20【答案】C【分析】先涂“火、土”兩個(gè)位置，再分類討論“火”與“金”、“土”與“水”位置顏色是否相同，運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)3種不同的顏色為，對(duì)于“火、土”兩個(gè)位置有種不同的涂色方法，不妨設(shè)“火、土”兩個(gè)位置分別為，1.若“金”位涂色為，則有：①若“水”位涂色為，則“木”位涂色為，共1種不同的涂色方法；②若“水”位涂色為，則“木”位涂色為，共1種不同的涂色方法；共2種涂色可能；2.若“金”位涂色為，則有：①若“水”位涂色為，則“木”位涂色為或，共2種不同的涂色方法；②若“水”位涂色為，則“木”位涂色為，共1種不同的涂色方法；共3種涂色可能；綜上所述：共種不同的涂色方法.故選：C.6．已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則等于（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】，令，可得解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，屬于容易題.二、多選題7．現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動(dòng)需派人參加，則下列命題中正確的是（

）A．只需1人參加，有16種不同選法B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法C．若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法D．若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法【答案】ABC【分析】根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理依次討論各選項(xiàng)即可求解.【詳解】解：選項(xiàng)A，分三類：取老師有3種選法，取男生有8種選法，取女生有5種選法，故共有種選法，故A正確；選項(xiàng)B，分三步：第一步選老師，第二步選男生，第三步選女生，故共有種選法，故B正確；選項(xiàng)C，分兩步：第一步選老師，第二步選學(xué)生，第二步，又分為兩類：第一類選男生，第二類選女生，故共有種選法，故C正確；選項(xiàng)D，若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有13種不同選法，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.8．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則下列結(jié)論正確的有（

）A．抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品的抽法有種【答案】ABC【分析】求得抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品的方法數(shù)判斷選項(xiàng)A；求得抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法數(shù)判斷選項(xiàng)B、C；求得抽出的3件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品的方法數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：抽出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是不合格品.可先在不合格品中抽取1件，再在合格品中抽取2件，則方法數(shù)為種.判斷正確；選項(xiàng)B：抽出的3件中至少有1件是不合格品.分為兩種情況：（1）先在不合格品中抽取1件，再在合格品中抽取2件，則方法數(shù)為種；（2）先在不合格品中抽取2件，再在合格品中抽取1件，則方法數(shù)為種則方法總數(shù)為種.判斷正確；選項(xiàng)C：抽出的3件中至少有1件是不合格品.可以使用排除法簡(jiǎn)化計(jì)算：從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，有種方法，其中抽出的3件中沒(méi)有不合格品是不符合要求的，其方法數(shù)為.則抽出的3件中至少有1件是不合格品的方法數(shù)為.判斷正確；選項(xiàng)D：抽出的3件產(chǎn)品中至多有1件是不合格品.可以使用排除法簡(jiǎn)化計(jì)算：從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，有種方法，其中抽出的3件中有2件不合格品是不符合要求的，其方法數(shù)為.則抽出的3件中至多有1件是不合格品的方法數(shù)為種.判斷錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題9．將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有種．【答案】18【詳解】先分成三組，每組2張卡片，其中1，2在同一組．再排列即可．10．從4男2女共6名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人、副隊(duì)長(zhǎng)1人、普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）【答案】168【分析】據(jù)題意，用間接法分析：先求出先從4男2女共6名學(xué)生選出4人，要求至少有1名女生有多少種選法，然后再求出選出的4人中任選1人，作為隊(duì)長(zhǎng)，剩余3人中選出1人作為副隊(duì)長(zhǎng)，剩下2人作為隊(duì)員有多少種選法，兩數(shù)相乘即可．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先從4男2女共6名學(xué)生選出4人，要求至少有1名女生，有種情況，②在選出的4人中任選1人，作為隊(duì)長(zhǎng)，剩余3人中選出1人作為副隊(duì)長(zhǎng)，剩下2人作為隊(duì)員，有種情況，則有種不同的選法；故答案為：16811．記為一個(gè)位正整數(shù)，其中都是正整數(shù)，，．若對(duì)任意的正整數(shù)，至少存在另一個(gè)正整數(shù)，使得，則稱這個(gè)數(shù)為“位重復(fù)數(shù)”．根據(jù)上述定義，“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為．【答案】.【分析】分兩種情況討論：一是四個(gè)數(shù)位上的數(shù)字全部相同，二是個(gè)位、十位、百位上的數(shù)只有一個(gè)和首位的數(shù)相同，其他數(shù)位上的兩個(gè)數(shù)相同，但與首位數(shù)不同，利用排列組合基本思想以及分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意，可分以下兩種情況討論：（1）四個(gè)數(shù)位上的數(shù)字全部相同，這樣的四位數(shù)共有個(gè)；（2）個(gè)位、十位、百位上的數(shù)只有一個(gè)和首位的數(shù)相同，其他數(shù)位上的兩個(gè)數(shù)相同，但與首位數(shù)不同，可以將首位數(shù)字可以放在其它三個(gè)數(shù)位上任選一個(gè)位置上，另外兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字需在其他九個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)即可，此時(shí)，這樣的四位數(shù)共有個(gè).綜上所述，由分類計(jì)算原理，可知“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：.12．將一個(gè)三棱臺(tái)的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是．【答案】1920【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)在三棱臺(tái)中，首先對(duì)著色，有種；然后：點(diǎn)可以用或點(diǎn)的色，也可以用剩下的兩種色．現(xiàn)分類：（1）用或點(diǎn)的色，由對(duì)稱性，不妨設(shè)用點(diǎn)的色，則點(diǎn)有4種色可以選擇，又分為兩類：①與同色，則有3種色可選擇；②與不同色，則有2種色可選擇，共有，（2）用剩下的兩種色，則點(diǎn)有3種色可選擇，又分為兩類：①與同色，則有3種色可選擇；②與不同色，則有2種色可選擇，共有：．所以不同的染色方法的總數(shù)是．故答案為：1920．四、解答題13．從1，2，3，4中選三個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則分別滿足下列條件的數(shù)有多少個(gè)？(1)三位數(shù)；(2)三位數(shù)的偶數(shù)．【答案】(1)24(2)12【分析】（1）根據(jù)乘法原理分步完成即可；（2）先排個(gè)位，再排十位與百位,根據(jù)乘法原理得出結(jié)果即可.【詳解】（1）三位數(shù)有三個(gè)數(shù)位，故可分三個(gè)步驟完成：第1步，排個(gè)位，從1，2，3，4中選1個(gè)數(shù)字，有4種方法