6.2 等比數(shù)列（精講）（教師版）

6.2等比數(shù)列（精講）一．等比數(shù)列的概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)G2＝ab.二．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1，通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.三．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))四．等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.1.若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.2.相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.3.若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m，S2m－S3m，S3m－S2m仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．4.若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))則等比數(shù)列{an}遞增．若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))則等比數(shù)列{an}遞減．5.項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)，在等比數(shù)列{an}中，公比為q．①若共有2n項(xiàng)，則S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1項(xiàng)，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q．等比數(shù)列基本量的運(yùn)算等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.二．等比數(shù)列的三種常用判定方法定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列考法一等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算【例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．21 B．81 C．243 D．729【答案】C【解析】，因?yàn)?，所以，，又，故，設(shè)公比是，則，兩式相除得：，解得：或（舍去），故.故選：C【例1-2】（2022·吉林·長春市）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，則，由已知可得，可得，，則，因此，.故選：B.【例1-3】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，若，，則的值為______.【答案】或【解析】因?yàn)?，，所以?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q.由，，得，，所以.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.綜上，的值為或.故答案為：或【一隅三反】1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【解析】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.2．（2023春·北京）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，則（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知條件可得，解得，因此，.故選：C.3．（2022·河南安陽）已知為等比數(shù)列，，則_________．【答案】【解析】設(shè)公比為，由題意知：，又，解得或，若，則，，則；若，則，，則.故答案為：.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在，滿足，則數(shù)列的公比為A． B．2 C． D．3【答案】2【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，若，則，與題中條件矛盾，故.考法二等比數(shù)列的判斷與證明【例2】（2023·廣東·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】證明見解析；；【解析】，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，；【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，若．(1)證明：為等比數(shù)列．(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由題意知，所以為等比數(shù)列．其首項(xiàng)，．（2）由（1）可知，又，所以．2．（2023·廣東深圳·校考一模）已知函數(shù)的首項(xiàng)，且滿足，求證為等比數(shù)列，并求．【答案】證明見解析，【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，所?又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以.3．（2023·山東濰坊·三模）已知數(shù)列和滿足，證明：和都是等比數(shù)列；【答案】證明見解析【解析】因?yàn)椋?，所以，，又由，得，，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．考法三等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)【例3-1】（2023春·江西）在等比數(shù)列中，若，，則（

）A． B．9 C．15 D．7【答案】A【解析】.故選：A.【例3-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？级＃┰O(shè)等比數(shù)列，，是方程的兩根，則的值是（

）A．或 B．2或 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，是方程的兩根，所以，，且，都是?fù)數(shù)，又因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，且，所以.故選：C【例3-3】（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，與是方程的兩個(gè)根，則_________.【答案】5【解析】因?yàn)榕c是方程的兩個(gè)根，所以，因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以，所以，故答案為：5.【一隅三反】1．（2023春·遼寧鞍山）若五個(gè)數(shù)、、、、成等比數(shù)列，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列、、、、的公比為，則，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，所以，，.故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，故，則，，故，則，所以.故選：A3．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測）已知，向量與向量垂直，，，2成等比數(shù)列，則與的等差中項(xiàng)為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)榕c垂直，所以，得到，又因?yàn)?，?成等比數(shù)列，所以，又，聯(lián)立方程和，得到，，所以，的等差中項(xiàng)為．故選：A．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．2 D．6【答案】D【解析】，，，，又，，成等比數(shù)列，，，解得．故選：D．考法四等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【例4-1】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【解析】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【例4-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，依題意.故選：A【例4-3】（2023廣東深圳）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)椋傻?，因此?故選：C.【一隅三反】1．（2023福建福州）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，則前項(xiàng)和（

）A．64 B．66 C． D．【答案】C【解析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，可得構(gòu)成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，可得，解得.故選：C.2．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．41 B．45 C．36 D．43【答案】D【解析】設(shè)，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得仍成等比數(shù)列.因?yàn)椋?，所以，?故選：D.3．（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則__________.【答案】【解析】由題意可得，，，故有.故答案為：4．（2023·江蘇宿遷）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則的值為______．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)中，設(shè)所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為，則，所以，，又，則，因此，.故答案為：.考法五等比數(shù)列的最值【例5-1】（2023春·遼寧鞍山）等比數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足，，，則使得成立的最大自然數(shù)n的值為（

）A．102 B．203C．204 D．205【答案】C【解析】由，即，則有，即。所以等比數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，由，即，可得：，所以，，故使得成立的最大自然數(shù)n的值為204，故選：C【例5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【解析】因?yàn)椋?，，所以，，所以，故A正確.，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以?shù)列為遞減數(shù)列，所以無最大值，故C錯(cuò)誤；又，，所以的最大值為，故D正確.故選：AD【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．

C．的最大值為

D．的最大值為【答案】B【解析】若，因?yàn)?，所以，則與矛盾，若，因?yàn)?，所以，則，與矛盾，所以，故B正確；因?yàn)椋瑒t，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，所以的最大值為，故D錯(cuò)誤；故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．是數(shù)列中的最大值D．若，則n最大為4038．【答案】ABD【解析】對(duì)A，∵，，，且數(shù)列為等比數(shù)列，∴，，∴，因?yàn)?，∴，故A正確；對(duì)B，∵，∴，故B正確；對(duì)C，因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，因?yàn)?，，所以是?shù)列中的最大項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，因?yàn)?，，故，，故，即，故n最大為4038，故D正確．故選：ABD．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，若，且，則下列命題正確的是（

）A． B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，故A正確；又，即，解得，故C正確；由知等比數(shù)列為遞減數(shù)列，且，故取得最大值為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以成立，故D正確.故選：ACD考法六等比數(shù)列在實(shí)際生活中的運(yùn)用【例6】（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)該馬第天行走的里程數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，該馬七天所走的里程為，解得.故該馬第五天行走的里程數(shù)為.故選：D.【一隅三反】1．（2023春·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為響應(yīng)國家號(hào)召，某地出臺(tái)了相關(guān)的優(yōu)惠政策鼓勵(lì)“個(gè)體經(jīng)濟(jì)”.個(gè)體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求.據(jù)測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2023年5月底他的年所得收入（扣除當(dāng)月生活費(fèi)且還完貸款）為（

）元（參考數(shù)據(jù)：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．32000【答案】D【解析】設(shè)2022年6月底小王手中有現(xiàn)款為元，設(shè)2022年6月底為第一個(gè)月，以此類推，設(shè)第個(gè)月底小王手中有現(xiàn)款為，第個(gè)月月底小王手中有現(xiàn)款為，則，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4800，公比為1.2的等比數(shù)列，∴，即，年所得收入為元.故選：D.2．（2023·貴州遵義·校考模擬預(yù)