4.4 數(shù)學歸納法（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】4.4數(shù)學歸納法（精練）1等式證明1．（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：，其中.【答案】證明見解析.【解析】（1）當時，左邊，右邊，所以左邊=右邊，等式成立.（2）假設當時，等式成立，即，那么當時，.等式成立綜上，對任何，等式都成立.2．（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明：（,）．【答案】證明見解析【解析】證明：①當時，，，等式成立；②假設時，，則時，，即時，等式成立，綜合①②可知，（，）．3．（2022廣東）用數(shù)學歸納法證明：．【答案】見解析【解析】（1）當時，左邊=，右邊=，等式成立，（2）假設當時，等式成立，即＋…＋＝，當時，＋…＋+，即當時等式也成立.，由（1）（2）可知：等式對任何都成立，故.4．（2022云南）用數(shù)學歸納法證明：（1）；（2）；（3）．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】(1)當時，等式左邊，右邊，所以等式成立；假設時等式成立，即，則當時，，故時等式成立，綜上可知，等式成立.(2)當時，等式左邊，右邊，所以等式成立；假設時等式成立，即，則當時，，故時等式成立，綜上可知，等式成立.(3)當時，等式左邊，右邊，所以等式成立；假設時等式成立，即，則當時，，故時等式成立，綜上可知，等式成立.2不等式證明1．（2022山東）求證：.【答案】證明見解析.【解析】(1)當n=2時，左邊=，右邊=，顯然左邊>右邊，即原不等式成立，(2)假設當n=k(k≥2，k∈N*)時，原不等式成立，即，則當n=k+1時，左邊==右邊，因此，當n=k+1時，原不等式成立，綜合(1)和(2)知，對一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.2（2021·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，求證：對任意的，不等式都成立．【答案】證明見解析.【解析】由，得，所以,用數(shù)學歸納法證明不等式成立，證明如下：①當時，左邊，右邊，因為，所以不等式成立．②假設當時不等式成立，即成立，則當時，左邊,,右邊．所以當時，不等式也成立．由①②可得不等式對任意的都成立，即原不等式成立．3．（2022河北）用數(shù)學歸納法證明：.【答案】證明見解析；【解析】（1）當時，左邊，右邊，不等式成立.（2）假設當，時，不等式成立，即有，則當時，左邊，又即，即當時，不等式也成立.綜上可得，對于任意，成立.4．（2022云南）用數(shù)學歸納法證明：(1)；(2)；【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】（1）當時，1，成立；當時，假設成立；當時，左邊（），命題正確．（2）當時，，成立；當時，假設成立；當時，左邊命題正確．5．（2022湖南）數(shù)學歸納法證明：．【答案】詳見解析【解析】（?。┊敃r，左邊=，右邊=，左邊<右邊，即不等式成立；（ⅱ）假設時，不等式成立，即，則當時，左邊=，問題可通過證明來實現(xiàn).要證，只需證，只需證只需證，只需證，只需證，∵顯然成立，∴，即當是不等式也成立.由（?。áⅲ┛傻?，對于一切的，不等式恒成立.3數(shù)列的證明1．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列中，，其中，且．從條件①與條件②，且中選擇一個，結(jié)合上面的已知條件，完成下面的問題．(1)求，，，并猜想的通項公式；(2)證明（1）中的猜想．【答案】(1)，，，；(2)證明見解析.【解析】（1）選條件①，由題意可得，同理可得，，猜想()．選條件②，由題意可得，∵，，∴，，∴，同理可得，猜想（）．（2）顯然當時，猜想成立，假設當時，猜想成立，即（），當時，由，可得=（），即當時，猜想成立，綜上所述，（）．12．（2022·廣西百色·高二期末（理））已知數(shù)列的前項和為，其中且.(1)試求：，的值，并猜想數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學歸納法加以證明.【答案】(1)，，；(2)證明見解析.【解析】(1)因為且.所以，解得，因為，所以，解得.由，猜想：.(2)①當時，等式成立；②假設當時猜想成立，即那么，當時，由題設，得，，所以，，則.因此，，所以.這就證明了當時命題成立.由①②可知：命題對任何都成立.3（2022·河南南陽·高二期末）設正項數(shù)列的首項為4，滿足．(1)求，，并根據(jù)前3項的規(guī)律猜想該數(shù)列的通項公式；(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想．【答案】(1)，；(2)見解析【解析】(1)由可得，又，則，，則，猜想；(2)由（1）得，當時，，①當時，猜想顯然成立；②假設當時成立，即；當時，，猜想成立，由①②知猜想恒成立，即.4．（2022·江西省信豐中學高二階段練習（理））已知數(shù)列滿足，，試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明．【答案】，證明見解析【解析】由，可得．由，可得．同理可得，，．歸納上述結(jié)果，猜想下面用數(shù)學歸納法證明這個猜想．（1）當時，③式左邊，右邊，猜想成立．（2）假設當時，③式成立，即，那么，即當時，猜想也成立．由（1）（2）可知，猜想對任何都成立．5．（2022·江西省信豐中學高二階段練習（理））已知數(shù)列{an}的前n項和.(1)計算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論.【答案】(1)，，，；(2)，證明見解析【解析】(1)由得，，解得；由，解得；由，解得；由，解得；所以計算得，，，；(2)猜想，下面用數(shù)學歸納法證明：①當n＝1時，猜想顯然成立.②假設時，猜想成立，即.那么，當時，，即.又，所以，從而.即時，猜想也成立.故由①和②可知，猜想成立.4整除問題1．（2022·江蘇·高二課時練習）先猜想，再用數(shù)學歸納法證明你的猜想：能被哪些自然數(shù)整除？【答案】能被自然數(shù)6，1，2，3整除;證明見解析【解析】時，原式，時，原式，時，原式，時，原式，這些數(shù)都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；證明：（1）當時，，命題顯然成立；（2）假設當時，能被6整除．當時，，其中兩個連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，由假設知能被6整除,故，，6分別能被6整除，所以當時，命題也成立．據(jù)（1）（2），可知可以被6整除．故能被自然數(shù)6,，1，2，3整除.2．（2022·江蘇·高二課時練習）證明：能夠被6整除．【答案】見解析【解析】⑴當時，，顯然能夠被6整除，命題成立；⑵假設當時，命題成立，即能夠被6整除，當時，，由假設知：能夠被6整除，而為偶數(shù)，故能夠被6整除，故能夠被6整除，即當時，命題成立，由⑴⑵可知，命題對一切正整數(shù)成立，即能夠被6整除．5增項1．（2022·四川成都·高二期中（理））用數(shù)學歸納法證明“”時，由的假設證明時，不等式左邊需增加的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】從到成立時，左邊增加的項為，因此增加的項數(shù)是，故選：C2．（2022·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明“1n（n∈N*）”時，由假設n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推證n＝k+1不等式成立時，不等式左邊應增加的項數(shù)是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1【答案】C【解析】在用數(shù)學歸納法證明“（n∈N*）”時假設當時不等式成立，左邊=則當時，左邊=則由遞推到時不等式左邊增加了：共，故選：C3．（2022·全國·高二專題練習）用數(shù)學歸納法證明不等式(n≥2)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時，不等式的左邊（

）A．增加了一項B．增加了兩項，C．增加了兩項，，又減少了一項D．增加了一項，又減少了一項【答案】C【解析】n＝k時，左邊為＋＋…＋，①n＝k＋1時，左邊為＋＋…＋＋＋，②比較①②可知C正確.故選：C4．（2022·全國·高二專題練習）（多選）設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當成立時，總有成立.則下列命題總成立的是（

）A．若成立，則成立B．若成立，則當時，均有成立C．若成立，則成立D．若成立，則當時，均有成立【答案】AD【解析】對于A：當成立時，總有成立.則逆否命題：當成立時，總有成立.若成立，則成立，故A正確；對于B：若成立，則當時，均有成立，故B錯誤；對于C：當成立時，總有成立.則逆否命題：當成立時，總有成立.故若成立，則成立，所以C錯誤；對于D：根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結(jié)合，所以當時，均有成立，故D正確.故選：AD5．（2022·全國·高二專題練習）（多選）已知一個命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當n＝1，2，…，1000時，p(k)成立，且當n＝1001時也成立，則下列判斷中正確的是（

）A．p(k)對k＝528成立B．p(k)對每一個自然數(shù)k都成立C．p(k)對每一個正偶數(shù)k都成立D．p(k)對某些偶數(shù)可能不成立【答案】AD【解析】由題意知p(k)對k＝2，4，6，…，2002成立，當k取其他值時不能確定p(k)是否成立，故選AD.故選：AD6．（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明時，從到，不等式左邊需添加的項是______________．【答案】【解析】當時，所假設的不等式為，當時，要證明的不等式為，故需添加的項為：，故答案為：．7．（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)學歸納法證明等式，時，由到時，等式左邊應添加的項是_______________．【答案】【解析】因為要證明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當由到時，等式左邊增加了，故答案為：．8．（2022·遼寧·沈陽二中高二期中）證明不等式，假設時成立，當時，不等式左邊增加的項數(shù)是_______．【答案】