6.3 二項式定理（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】6.3二項式定理（精講）考點一二項式的展開式【例1-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）（1）求的展開式．（2）求的展開式．【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）展開式的通項為，展開式為.【例1-2】（2022春·北京大興·高二統(tǒng)考期末）化簡等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以.故選：B【例1-3】（2022春·江蘇南京·高二校考期中）化簡的結(jié)果為（

）A．x4 B． C． D．【答案】A【解析】故選：A.【一隅三反】1．（2022云南）化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故選：B2．（2022春·山西朔州·高二?？茧A段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，兩邊求導(dǎo)數(shù)，，令，得，取，得.故選：D.3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）化簡：=【答案】【解析】∵，，，∴原式．4．（2023安徽）用二項式定理展開：（1）；（2）.【答案】答案見解析；【解析】（1）（2）．考點二二項式指定項（二項式）系數(shù)【例2-1】（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．6 B．12 C．24 D．36【答案】C【解析】展開式的通項公式，令，得，所以在的展開式中，的系數(shù)為，故選：C【例2-2】（2022山東濰坊·）展開式中的常數(shù)項是（

）A．-160 B．-140 C．160 D．140【答案】A【解析】展開式通項為，令，所以，所以常數(shù)項為，故選：A.【例2-3】（2022秋·甘肅慶陽·高二統(tǒng)考期末）在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項是（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【答案】C【解析】在的展開式中，根據(jù)通項可知，時系數(shù)為有理數(shù)，即第五項為．故選：C【例2-4】（2022春·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）的展開式的常數(shù)項為，則展開式中含項的系數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】二項式展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為，解得，令，解得，所以展開式中項為，當(dāng)時項的系數(shù)為，當(dāng)時項的系數(shù)為.故選：C【例2-5】（2022春·山東聊城·高二山東聊城一中?？计谥校┮阎恼归_式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的第3項為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為的展開通項為，所以的展開式的第項的二項式系數(shù)為，因為的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，所以，由性質(zhì)得，故，所以展開式中的第3項為.故選：D.【例2-6】（2023江西）已知，則（

）A． B．2 C．4 D．12【答案】C【解析】令，則，故，中得系數(shù)為，中得系數(shù)為，所以，故選：C.【一隅三反】1．（2022上海）在的二項展開式中，項的系數(shù)是___________.【答案】【解析】二項式的通項為，令，得，所以項的系數(shù)是.故答案為：.2．（2022福建）的展開式中的系數(shù)為【答案】135【解析】二項式展開項第項為，則當(dāng)時，.3．（2022黑龍江）的二項展開式中，第5項和第6項的二項式系數(shù)相等，則常數(shù)項為__________.【答案】【解析】因為的二項展開式中，第5項和第6項的二項式系數(shù)相等，即，所以，則展開式的通項為，令，則，所以常數(shù)項為.故答案為：.4．（2022春·山西大同·高二統(tǒng)考期中）展開式中有理項共______項．【答案】3【解析】展開式的通項公式為：，當(dāng)時，為整數(shù)，對應(yīng)的項為有理項，因此，展開式中的有理項是，所以展開式中有理項共有3項.故答案為：35．（2022春·天津河?xùn)|·高二?？计谀┰诘恼归_式中，若常數(shù)項為，則實數(shù)值為【答案】【解析】由已知，展開式的通項為，令，得，所以常數(shù)項為，解得.6．（2022秋·河南南陽·高二南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若對于任意實數(shù)x，有，則=__________.【答案】80【解析】，則的系數(shù)為.故答案為：80.考點三（二項式）系數(shù)和【例3】（2023·湖南）在的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；(5)的奇次項系數(shù)和與的偶次項系數(shù)和．【答案】(1)；(2)1；(3)；；(4)；；(5)；．【解析】（1）二項式系數(shù)的和為；（2）令，則各項系數(shù)和為；（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為；（4）設(shè)，令，得到，令，得，所以，即奇數(shù)項系數(shù)和為，所以，即偶數(shù)項系數(shù)和為；（5）的奇次項系數(shù)和為，的偶次項系數(shù)和為．【一隅三反】1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）在二項式的展開式中，下列結(jié)論：①第5項的系數(shù)最大；②所有項的系數(shù)和為；③所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為；④所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】第9項的系數(shù)為，第5項的系數(shù)為，，故①錯誤；令，得所有項的系數(shù)和為，故②正確；所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和且為二項式系數(shù)和的一半，故為，故④正確，③錯誤；故選：B2．（2022廣東江門）（多選）已知，下列結(jié)論正確的有（

）A．各項二項式系數(shù)和為128 B．式子的值為2C．式子的值為－1094 D．式子的值為1093【答案】ACD【解析】對于A：二項式的各項二項式系數(shù)和為，故A正確；對于BCD：令，則，即，令，則，即，令，則，所以，故B錯誤；由，解得，，故C正確，D正確；故選：ACD3．（2022黑龍江）（多選）已知，下列命題中，正確的是（

）A．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為；B．展開式中所有奇次項系數(shù)的和為；C．展開式中所有偶次項系數(shù)的和為；D．.【答案】ACD【解析】對于A：由二項式知：，故A正確；當(dāng)時，有，當(dāng)有，對于B：由上，可得，故B錯誤；對于C：由上，可得，故C正確；對于D：由二項式通項知：，則，，…，，所以，故D正確.故選：ACD考點四（二項式）系數(shù)最值【例4-1】（2023·河南信陽）若的展開式有且只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中項的系數(shù)為（

）A．-960 B．960 C．448 D．-448【答案】D【解析】依題意只有時第5項的二項式系數(shù)最大，項的系數(shù)為.故選：D【例4-2】（2023·河北）在展開式中，下列說法錯誤的是（

）A．常數(shù)項為 B．第5項的系數(shù)最大C．第4項的二項式系數(shù)最大 D．所有項的系數(shù)和為1【答案】B【解析】展開式的通項為，由，得，所以常數(shù)項為，A正確；由通項公式可得為偶數(shù)時，系數(shù)才有可能取到最大值，由，可知第項的系數(shù)最大，B錯誤；展開式共有項，所以第項二項式系數(shù)最大，C正確；令，得，所有項的系數(shù)和為，D正確；故選：B.【例4-3】（2022秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在的展開式中，前3項的系數(shù)分別為，且滿足.求：(1)展開式中二項式系數(shù)最大項的項；(2)展開式中系數(shù)最大的項；(3)展開式中所有有理項.【答案】(1)(2)和(3)和【解析】（1）因為展開式的通項公式為，，所以依題意得，即，由已知,所以，所以的展開式有9項，二項式系數(shù)最大的項為第5項，所以.（2）由（1）知，，設(shè)展開式中系數(shù)最大的項為第項，則，即，即，解得，所以或，所以展開式中系數(shù)最大的項為和.（3）由為有理項知，為整數(shù)，得，，所以展開式中所有有理項為和.【一隅三反】1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該展開式中各項系數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則∴展開式的通項為則該展開式中各項系數(shù)若求系數(shù)的最小值，則為奇數(shù)且，即，解得∴系數(shù)的最小值為故選：C.2．（2022秋·江西南昌·高三南昌二中?？奸_學(xué)考試）在展開式中，下列說法錯誤的是（

）A．常數(shù)項為 B．第項的系數(shù)最大C．第項的二項式系數(shù)最大 D．所有項的系數(shù)和為【答案】B【解析】展開式的通項為：；對于A，令，解得：，常數(shù)項為，A正確；對于B，由通項公式知：若要系數(shù)最大，所有可能的取值為，則，，，，展開式第項的系數(shù)最大，B錯誤；對于C，展開式共有項，則第項的二項式系數(shù)最大，C正確；對于D，令，則所有項的系數(shù)和為，D正確.故選：B.3．（2022春·江蘇蘇州·高二昆山震川高級中學(xué)?？计谥校┮阎恼归_式的二項式系數(shù)和比的展開式的二項式系數(shù)和大992．求的展開式中，(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)最小的項．【答案】(1)(2)第四項：【解析】(1)由題意知：，即，，解得；由二項式的系數(shù)的性質(zhì)，知的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，即.(2)由（1）知，；設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大，，得即解得.，，則系數(shù)的絕對值最大的是第項，且為奇數(shù)，則，所以第項就是系數(shù)最小的項，即考點五兩個二項式及三項式系數(shù)【例5-1】（2022·四川樂山）的展開式中的系數(shù)為（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】，又的通項公式為，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：.【例5-2】（2022秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開式中，的系數(shù)為（

）A．60 B． C．120 D．【答案】A【解析】設(shè)的通項為，設(shè)的通項為，令所以的系數(shù)為.故選：A【一隅三反】1．（2022·四川綿陽）的展開式中含項的系數(shù)為（

）A．10 B．12 C．4 D．5【答案】A【解析】的二項展開式的通項為，當(dāng)時，的展開式中含項為；當(dāng)時，的展開式中含項為；所以的展開式中含項的系數(shù)為.故選：A.2．（2022·青海西寧）的展開式中的常數(shù)項是（

）A． B． C． D．20【答案】B【解析】展開式的通項為，令，得，令，得，故展開式的常數(shù)項是.故選：B．3．（2022秋·重慶沙坪壩）的展開式中項的系數(shù)為（

）A．120 B．160 C．180 D．210【答案】A【解析】由題意的展開式中項的系數(shù)為,故選：A4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A．21 B．15 C．9 D．-6【答案】C【解析】，可知含項的系數(shù)是．故選：C．考點六二項式定理的運用【例6-1】（2022遼寧沈陽）被9除的余數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因為所以因為為9的整數(shù)倍，所以被9除的余數(shù)與被9除的余數(shù)相同，又，1024被9除的余數(shù)為7，故被9除的余數(shù)為7，故選：C.【例6-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【解析】.故選：C【例6-3】（2023·高二課時練習(xí)）若今天是星期二，則天后是星期______．【答案】一【解析】令，所以除以7的余數(shù)為6，故今天是星期二，則天后是星期一，故答案為：一【一隅三反】1．（2022·高二課時練習(xí)）的近似值（精確到0.01）為（

）A．1.12 B．1.13 C．l.14