6.4.2 平面向量的應(yīng)用（原卷版）（人教版2019必修第二冊）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

【公眾號：該學(xué)習(xí)了】6.4.2平面向量的應(yīng)用考法一證線段垂直【例1】（2023·河南信陽）已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點在邊上，且，設(shè)與相交于點．記，．

(1)請用，表示向量；(2)若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．【一隅三反】1．（2023·山東濟(jì)南）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點，E為的重心，F(xiàn)為的外心．(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：．2．（2023北京）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求證：DE⊥AF.3．（2024湖南）如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.4．（2024河北）如圖所示，以兩邊為邊向外作正方形和，為的中點.求證：.考法二夾角問題【例2-1】（2023廣東深圳）若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【例2-2】（2024四川）在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2024·黑龍江）已知為△的外接圓的圓心，且，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東廣州）在中，已知，，，，邊上兩條中線，相交于點，則的余弦值為.3．（2023·上海）已知是的外心，且，則．考法三求線段長度【例3-1】（2023·海南）在中，角所對的邊分別為，.(1)求角的值；(2)若，邊上的中點為，求的長度.【例3-2】．（2023·廣東廣州）如圖，在中，是邊的中點，與交于點.(1)求和的長度；(2)求.【一隅三反】1．（2023·河北滄州）如圖，在中，.(1)求的長；(2)求的長.2．（2023·山東）如圖，在中，，，，點在線段上，且．(1)求的長；(2)求．3．（2023·重慶）如圖，在中，已知，，點在上，且，點是的中點，連接，相交于點.(1)求線段，的長；(2)求的余弦值.考法四求幾何的最值【例4-1】（2023·江西南昌）圓的直徑，弦，點在弦上，則的最小值是．【例4-2】（2023·廣東湛江）在中，，，點為邊的中點，點在邊上運(yùn)動，則的最大值為.【一隅三反】1．（2023·安徽）如圖，在矩形中，與的交點為為邊上任意一點（包含端點），則的最大值為.

2．（2023·廣東深圳）青花瓷（blue

and

white

porcelain），又稱白地青花瓷，常簡稱青花，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已見端倪，成熟的青花瓷則出現(xiàn)在元代景德鎮(zhèn)的湖田窯．圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為2，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點在正六邊形的邊上運(yùn)動，動點，在圓上運(yùn)動且關(guān)于圓心對稱，則的取值范圍是．

3．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，已知，點在邊上，則的最小值為.考法五物理上的應(yīng)用【例5-1】（2023·云南）已知兩個力，的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與的夾角為60°，那么的大小為（

）．A．N B．5N C．10N D．N【例5-2】（2023·廣東佛山）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質(zhì)量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（

）（重力加速度）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·河南焦作）如圖，作用于同一點的三個力，，處于平衡狀態(tài)，已知，，與的夾角為，則的大小為.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）長江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設(shè)和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則.

3．（2023·云南曲靖）馬戲表演中小猴子模仿人做引體向上運(yùn)動的節(jié)目深受觀眾們的喜愛，當(dāng)小猴子兩只胳膊拉著單杠處于平衡狀態(tài)時，每只胳膊的拉力大小為，此時兩只胳膊的夾角為，試估算小猴子的體重（單位）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為，）A．9.2 B．7.5 C．8.7 D．6.54．（2023·北京）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.給出以下結(jié)論：①越大越費力，越小越省力；②的范圍為；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，.其中正確結(jié)論的序號是（

）

①③ B．①④ C．②③ D．②④單選題1．（2023·廣東佛山）已知的三個頂點分別是，，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·河南洛陽）在中，，且，則等于（

）A． B． C． D．或3．（2023·浙江溫州）物理學(xué)中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（

）A．25 B．5 C． D．4．（2023·黑龍江）一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的地出發(fā)，向河對岸航行．已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時間為（

）A． B． C． D．5．（2023·天津和平）在平面四邊形中，，則的值是（

）A． B． C． D．6．（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）已知為所在平面內(nèi)一點，，，，則的面積等于（

）A． B． C． D．7．（2023上·四川）如圖，在中，D為的中點，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2024·云南）中，，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知，且，則AD的長為（

）A． B．3 C． D．多選題9．（2023江西）如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動時設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是（

）A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變10．（2023湖南）在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為.下列結(jié)論中正確的是（

）A．越大越費力，越小越省力 B．的取值范圍為C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，11．（2023·浙江衢州）窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形的邊長為2，是正八邊形邊上任意一點，則下列說法正確的是（

）

A．若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為B．的最大值為C．在方向上的投影向量為D．12（2023·安徽）已知正的邊長為，中心為O，P是的內(nèi)切圓上一點，則（

）A． B．滿足的點只有1個C． D．滿足的點有2個填空題13．（2024·廣東佛山）已知中，，邊上的高與邊上的中線相等，則.14．（2023·河北石家莊）已知的夾角為，則三角形的邊上中線的長為.15．（2024·安徽）設(shè)點是的中線上一個動點，的最小值是，則中線的長是.16．（2023·天津西青）在體育課上，同學(xué)們經(jīng)常要在單杠上做引體向上運(yùn)動（如圖），假設(shè)某同學(xué)所受重力為，兩臂拉力分別為，若，與的夾角為，則以下四個結(jié)論中：①的最小值為；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；④在單杠上做引體向上運(yùn)動時，兩臂夾角越大越省力．在以上四個結(jié)論中，正確的序號為．

解答題17．（2024·重慶）在梯形中，為鈍角，，．(1)求；(2)設(shè)點為的中點，求的長．18．（2024·吉林長春）在中，角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，且，求.19．（2024·廣東揭陽）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，已知．(1)求；(2)若，D為BC的中點，，求a的值．20．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，且，．(1)求的長；(2)設(shè)為邊的中點，若線段的長不大于，求的長的最大值．21．（2024·