2023-2024學年九年級數學下冊常考點微提分精練（人教版）26 解直角三角形的實際應用中考真題含解析

2023-2024學年九年級數學下冊?？键c微專題提分精練專題26解直

角三角形的實際應用中考真題

1.（2022?安徽?中考真題）如圖，為了測量河對岸48兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選

定觀測點C,測得48均在。的北偏東37。方向上，沿正東方向行走90米至觀測點O,測得力在

O的正北方向，8在。的北偏西53。方向上.求45兩點間的距離.參考數據：sin37°?0.60,

cos37°u0.80,tan37°*0.75.

2.（2022?重慶?中考真題）如圖，三角形花園48c緊鄰湖泊，四邊形A8DE■是沿湖泊修建的人行步

道.經測量，點C在點A的正東方向，AC=200米.點七在點A的正北方向.點3,。在點C的正

北方向，80=100米.點B在點A的北偏東30。，點。在點七的北偏東45。.

⑴求步道DE■的長度（精確到個位）;

⑵點0處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經過點8到達點。，也可以經過點E到

達點O.請計算說明他走哪一條路較近？（參考數據：V2?1.414,石。1.732）

3.（2022?遼寧阜新?中考真題）如圖，小文在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識測量居民

4

樓的高度48,在居民樓前方有一斜坡，坡長8=15m,斜坡的傾斜角為a,cosa=].小文在C

點處測得樓頂端A的仰角為60。，在。點處測得樓頂端A的仰角為30。（點A,B,C,。在同一

平面內）.

（2）求居民樓的高度A8.（結果精確到1m,參考數據：＞/3?1.7）

4.（2022?四川資陽?中考真題）小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道A8進行

實地測量.如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點力在他的北偏點15。方向上，他沿西北方

向前進1（X）6米后到達點。，此時測得點力在他的東北方向上，端點8在他的北偏西60。方向上，

⑴求點力與點4的距離；

⑵求隧道A3的長度.（結果保留根號）

5.（2022?甘肅蘭州?中考真題）如圖，小容為測量公園的一涼亭48的高度，他先在水平地面點E

處用高1.5用的測角儀DE測得NADC=31。，然后沿E8方向向前走3機到達點G處，在點G處用

高1.5m的測角儀FG測得ZAFC=42。.求涼亭Z8的高度.（4C,5三點共線，AB5石，AC，8,

CD=BE,BC=DE.結果精確到0.1m）（參考數據：sin31°M）.52,cos31°^0.86,tan31°?O.6O,

sin42°?0.67,cos42°?0.74,tan42°?0.90)

BGE

6.（2022?上海?中考真題）我們經常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿的長.

⑴如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿48底部。米的點。處，測角儀高為b米，從。點測

得力點的仰角為如求燈桿彳8的高發(fā).（用含mb,&的代數式表示）

⑵我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現將一高

度為2米的木桿CG放在燈桿48前，測得其影長C〃為1米，再將木桿沿著8c方向移動1.8米至

DE的位置,此時測得其影長0尸為3米，求燈桿48的高度

7.（2022?遼寧遼寧?中考真題）數學活動小組欲測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，DCYAM

于點E,在4處測得大樹底端C的仰角為15。，沿水平地面前進30米到達8處，測得大樹頂端。的

仰角為53。，測得山坡坡角NC8M=30。（圖中各點均在同一平面內）.

⑴求斜坡8C的長；

⑵求這棵大樹8的高度（結果取整數）.

434

（參考數據：sin53°=『cos53°）,tan53°=y,73=1.73）

8.（2022?山東青島?中考真題）如圖，A8為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加〃低碳生活?綠

色出行"健步走公益活動.小宇在點力處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68。的點C處，觀光船

到濱海大道的距離8為200米.當小宇沿濱海大道向東步行200米到達點E時，觀光船沿北偏西40。

的方向航行至點。處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從c處航行到。處的距離.（參

考數據：sin40°?0.64,cos40°?0.77.tan40°?0.84,sin68°?0.93,cos68°?0.37,tan68°?2.48）

9.（2022?貴州貴陽?中考真題）交通安全心系千萬家.高速公路管理局在某隧道內安裝了測速儀，

如圖所示的是該段隈道的截面示意圖.測速儀C和測速儀七到路面之間的距離C￡>=瓦'=7m,測

速儀C和E之間的距離CE=750m,一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀C處

測得小汽車在隧道入口A點的俯角為25。，在測速儀E處測得小汽車在8點的俯角為60。，小汽車在

隧道中從點A行駛到點3所用的時間為38s（圖中所有點都在同一平面內）.

隧道入口

⑴求A,“兩點之間的距離（結果精通到1m）；

（2）若該隧道限速22m/s,判斷小汽車從點A行駛到點8是否超速？通過計算說明理由.（參考數據：

?sin25°r0.4,cos25°?0.9>tan25°?0.5,sin65°?0.9,cos65°?0.4）

10.（2022?貴州遵義?中考真題）如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成如

圖2,A8是燈桿，C。是燈管支架，燈管支架。。與燈桿間的夾角N80C=6O。.綜合實踐小組的同

學想知道燈管支架。。的長度，他們在地面的點E處測得燈管支架底部。的仰角為60。，在點F處

測得燈管支架頂部C的仰角為30。，測得AE=3m,￡F=8m（A,E,F在同一條直線上）.根據

以上數據，解答下列問題：

圖1

⑴求燈管支架底部距地面高度AO的長（結果保留根號）;

⑵求燈管支架8的長度（結果精確到O.lm,參考數據：石=1.73）.

11.（2022?吉林?中考真題）動感單車是一種新型的運動器械.圖1是一輛動感單車的實物圖，圖2

是其側面示意圖.△8CQ為主車架，48為調節(jié)管，點X,B,C在同一直線上.已知8c長為70cm,

^BCD的度數為58°.當AB長度調至34cm時，求點力到CD的距離AE的長度（結果精確到1cm）.（參

12.（2022?海南?中考真題）無人機在實際生活中應用廣泛.如圖8所示，小明利用無人機測量大樓

的高度，無人機在空中尸處，測得樓樓頂。處的俯角為45。，測得樓AA樓頂4處的俯角為60。.已

知樓和樓CD之間的距離8c為100米，樓4B的高度為10米，從樓AB的4處測得樓CD的。

處的仰角為30。（點小B、C、D、尸在同一平面內）.

MN

60。/*45。

(1)填空：ZAPD=度,ZADC=度;

（2）求樓。的高度（結果保留根號）;

⑶求此時無人機距離地面8C的高度.

13.（2022?湖北武漢?中考真題）小紅同學在數學活動課中測量旗桿的高度，如圖，已知測角儀的高

度為1.58米，她在力點觀測桿頂E的仰角為30。，接著朝旗桿方向前進20米到達。處，在。點觀

測旗桿頂端E的仰角為60。，求旗桿功的高度.（結果保留小數點后一位）（參考數據：石*1.732）

14.（2022?河南?中考真題）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的

比賽項目.滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成.小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，

鐵環(huán)（30與水平地面相切于點C,推桿"8與鉛垂線力。的夾角為0840,點O,A,B,C,。在同一

平面內.當推桿48與鐵環(huán)團。相切于點8時，手上的力量通過切點8傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟

動效果.

⑴求證：EIBOC+（a氏40=90°.

⑵實踐中發(fā)現，切點8只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動.圖中點5是該區(qū)域內

3

最低位置，此時點力距地面的距離彳。最小，測得cosNB4O=w.已知鐵環(huán)團。的半徑為25cm,推

桿48的長為75cm,求此時力。的長.

15.（2022?河北?中考真題）如圖，某水渠的橫斷面是以48為直徑的半圓O,其中水面截線

MN//AB.嘉琪在4處測得垂直站立于B處的爸爸頭頂C的仰角為14。，點”的俯角為7。.已知

爸爸的身高為1.7%

⑴求（3C的大小及48的長；

⑵請在圖中畫出線段OH,用其長度表示最大水深（不說理由），并求最大水深約為多少米（結果保

留小數點后一位）.（參考數據：tan76。取4,如取4.1）

16.（2022?山西?中考真題）隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應用于生產和生活，如代替人們在高空

測量距離和角度.某?！熬C合與實踐”活動小組的同學要測星力反。兩座樓之間的距離，他們借助

無人機設計了如下測量方案：無人機在力&CO兩樓之間上方的點。處，點O距地面4C的高度為

60m,此時觀測到樓底部點力處的俯角為70。，樓。。上點七處的俯角為30。，沿水平方向由點

。飛行24m到達點凡測得點E處俯角為60。，其中點4,B,CtD,E,F,。均在同一豎直平面

區(qū).請根據以上數據求樓48與8之間的距離力C的長（結果精確到1m.參考數據：

sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70°?2.75,6?1.73).

OF

AC

17.（2022?天津?中考真題）如圖，某巫山AB的項部有一座通訊塔BC,且點4B,C在同一條直

線上,從地面尸處測得塔頂。的仰角為42。，測得塔底8的仰角為35。.已知通訊塔BC的高度為32m,

求這座山A8的高度（結果取整數）.參考數據：tan35°?0.70,tan42°?0.90.

18.（2022?浙江寧波?中考真題）每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”，為了提升

全民防災減災意識，某消防大隊進行了消防演習.如圖1,架在消防車上的云梯48可伸縮（最長

可伸至20m）,且可繞點8轉動，其底部8離地面的距離8c為2m,當云梯頂端力在建筑物石廠所

在直線上時，底部8到E尸的距離8。為9m.

⑴若出48。=53。，求此時云梯48的長.

⑵如圖2,若在建筑物底部上的正上方19m處突發(fā)險情，請問在該消防車不移動位置的前提下，云

梯能否伸到險情處？請說明理由.

（參考數據：sin530=0.8,cos530=0.6,tan53°=1.3）

19.（2022?浙江紹興?中考真題）圭表（如圖D是我國古代一種通過測量正午H影長度來推定節(jié)氣的

天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表〃）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長

尺（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一

天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個根據某市地理位置設計的圭表平面示意

圖，表AC垂直圭己知該市冬至正午太陽高度角（即乙48。為37。，夏至正午太陽高度角（即

/AQC）為84。，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即OB的長）為4米.

圖1圖2

⑴求助力力的度數.

343

（2）求表力C的長（最后結果精確到0」米）.（參考數據：sin37°=-,cos37°=-,tan37°=-,tan84°=

554

20.（2022?四川成都?中考真題）2022年6月6日是第27個全國“愛眼日”，某數學興趣小組開展了“筆

記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關系”的實踐探究活動.如圖，當張角

/4。4=150。時，頂部邊緣A處離桌面的高度AC的長為10cm,此時用眼舒適度不太理想.小組成

員調整張角大小繼續(xù)探究，最后聯系黃金比知識，發(fā)現當張角NA'OBTOS，時（點A是A的對應點）,

用眼舒適度較為理想.求此時頂部邊緣4處離桌面的高度AO的長.（結果精確到1cm；參考數據：

sin72°?0.95,cos72°?0.31,tan72°?3.08)

A1

專題26解直角三角形的實際應用中考真題

1.（2022?安徽?中考真題）如圖，為了測量河對岸力，4兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選

定觀測點C,測得44均在。的北偏東37。方向上，沿正東方向行走90米至觀測點O,測得4在

。的正北方向，8在。的北偏西53。方向上.求4,8兩點間的距離.參考數據：sin37°?0.60,

8s37°?0.80,tan37。a0.75.

【答案】96米

【分析】根據題意可得AACD是直角三角形，解RtAACD可求出4c的長，再證明是直角三

年形，求出8。的長，根據可得結論.

【詳解】解：的，8均在C的北偏東37。方向上，力在O的正北方向，且點。在點。的正東方，

回乂CD是直角三角形，

0Z5CD=90°-37°=53°,

皿=90°-勖CQ=90°-53°=37°,

CD

在MzUCD中，—=sinZA,CQ=90米,

AC

團AC=^T言50米,

04CDA=90°,ABDA=53°,

0ZBDC=9O0-53°=37°,

04BCD+Z.BDC=37°+53°=90°,

□ZCBD=90°,即MCD是直角三角形,

0—=sinZSDC,

CD

團BC=CZ>sinZBDC工90x0.60=54米,

團AB=AC-8C=150-54=96米，

答：A,8兩點間的距離為96米.

【點睛】此題主要考查了解直角三角形-方向角問題的應用，解一般三角形，求三角形的邊或高的問

題?般可以轉化為解直角三角形的問題.

2.（2022?重慶?中考真題）如圖，三角形花園A8C緊鄰湖泊，四邊形A8Zm是沿湖泊修建的人行步

道.經測量，點C在點A的正東方向，AC=200米.點E在點A的正北方向.點8,。在點C的正

北方向，80=100米.點8在點A的北偏東30。，點。在點E的北偏東45。.

⑴求步道DE的長度（精確到個位）;

（2）點￡）處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經過點8到達點。，也可以經過點E到

達點D.請計算說明他走哪一條路較近？（參考數據：V2?1.414,1.732）

【答案】⑴283米

⑵經過點8到達點。較近

【分析】（1）過E作的垂線，垂足為“，可得四邊形ZCHE是矩形，從而得到E〃=AC=200米,

再證得吃出，為等腰直角三角形，即可求解;

（2）分別求出兩種路徑的總路程，即可求解.

北

西一|-?東

（1）解：過E作的垂線,南^CAE=^C=^CHE=90°,團

四邊形4C//E是矩形，gE”=AC=200米，根據題意得：02）=45%回配E”為等腰直角三角形,

（3D"=E〃=200米，0DE=42EH=20072?283（米）；

（2）解：根據題意得：^ABC=^BAE=30°,在RL.ABC中，I3AB=2AC=400米，田經過點3到達點

。，總路程為48+80=500米，6BC=y/A）-BC2=2006（米），團

AE=CH=BC+BD-DH=20075+100-200=200>73-100（米），用經過點E到達點。，總路程為

2000+20073-100^529>500.團經過點B到達點D較近.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵.

3.（2022?遼寧阜新?中考真題）如圖，小文在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識測量居民

4

樓的高度48,在居民樓前方有一斜坡，坡長CO=15m,斜坡的傾斜角為。，cosa:小文在C

點處測得樓頂端A的仰角為60。，在。點處測得樓頂端A的仰角為30。（點A,R,C,。在同一

平面內）.

⑴求C,。兩點的高度差；

（2）求居民樓的高度A3.（結果精確至Ulm,參考數據：石R1.7）

【答案】⑴9m

(2)24m

【分析】（1）過點。作0E_L8C,交8。的延長線于點E,在RtVDCE中，可得

4

CE=CO-cosa=l5xm=12（m）,再利用勾股定理可求出OE,即可得出答案.

（2）過點。作。于尸，設A/二xm,在Rt_ADF中，山230。="=上=且，解得。尸=氐,

DFDF3

在RlZ\A8C中，AB=（x+9）m,BC=（＞/3x-I2）m,tan60°===73,求出工的值，

即可得出答案.

【詳解】（1）解：過點。作OEJ_8C,交3C的延長線于點E,

4

:.CE=CD-cosa=15x—=12(m).

DE=>ICD2-CE2=V152-122=9(m).

答：C,。兩點的高度差為9m.

（2）過點。作_LA3于產,

由題意可得8/=OE，DF=BE,

設AF=.rm,

在Rl,AD尸中，lanZADF=tan30°=—=—=2^,

DFDF3

解得DF=6X,

在RtZiABC中，AB=AF+fB=AF+DE=(x+9)m,BC=BE-CE=DF-CE=(瓜-12)m,

解得X=6G+{

2

.?.A8=66+g+9v24（m）.

答：居民樓的高度A8約為24m.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數的

定義是解答本題的關鍵.

4.（2022?四川資陽?中考真題）小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道進行

實地測量.如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點/在他的北偏東15。方向上，他沿西北方

向前進1006米后到達點。，此時測得點/在他的東北方向上，端點8在他的北偏西60。方向上，

（點人B、C、。在同一平面內）

⑴求點。與點力的距離；

⑵求隧道A8的長度.（結果保留根號）

【答案】（1）點。與點力的距離為300米

(2)隧道AB的長為(150>/2+150#)米

【分析】（1）根據方位角圖，易知NAC￡>=60°,ZADC=90°,解R%ADC即可求解；

（2）過點D作DEJ.AB于點E.分別解心△AOE,R心或陀求出AE和跖，即可求出隧道A8的

長

（1）

由題意可知：ZAC￡>=15°+45o=60°,ZADC=180°-45°-45°=90°

在RfsADC中，

0AD=DCxtanZACD=10073xtan60°=10075x=300（米）

答：點。與點力的距離為300米.

（2）

過點。作￡>七"4?于點E.

北

團AB是東西走向

0/ADE=45。,NBDE=60°

在用八4。七中，

^DE=AE=ADxsinNAOE=300xsin450=300x—=150近

2

在RsBDE中,

⑦BE=DExtanNBDE=1506xtan600=150&xG=15076

回AB=4E+BE=150夜+150#（米）

答：隧道A3的長為（150人+150?）米

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函

數值是解題的關鍵.

5.（2022?甘肅蘭州?中考真題）如圖，小睿為測量公園的一涼亭48的高度，他先在水平地面點E

處用高1.5加的測角儀OE測得NAZX?=31。，然后沿E8方向向前走到達點G處，在點G處用

高1.5m的測角儀/G測得ZAFC=42。.求涼亭"的高度.（力，C,8三點共線，AB_L8E,AC_L8,

CD=BE,BC=DE.結果精確到0.1m)(參考數據：sin31°M).52,cos3l°M).86,tan31°?O.6O,

sin42°?0.67,8s42。g0.74,tan42°?0.90)

A

BGE

【答案】6.9m

【分析】根據題意可得8C=尸6=0￡=1.5,。尸=6E=3,國4。尸=90。,然后設。產=》,則CD=(x+3),

先在RtHJb中，利用銳角三角函數的定義求出4C的長，再在Rt胡CO中，利用銳角三角函數的定

義列出關于x的方程，進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

BC=FG=DE=1.5,DF=GE=3,a4CF=90°,

設CF=x,

^CD=CF+DF=(x+3),

在用血IC/中，出IFC=42。,

S/IC=Cr?tan420=0.9x(m),

在RtEUC。中，^ADC=31°,

,AC0.9x八,

0tan31=——=------?0.6,

CDx+3

加=6,

經檢驗：x=6是原方程的根,

(?L4i9=/lC?+j?C=0.9x+1.5=6.9(m),

團涼導AB的IWJ約為6.9m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的

關鍵.

6.(2022?上海?中考真題)我們經常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿48的長.

A

A

----------------|C

&------------------hHD

圖1圖2

⑴如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿48底部。米的點。處，測角儀高為方米，從C點測

得力點的仰角為a,求燈桿48的高度.(用含mb,々的代數式表示)

(2)我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現將一高

度為2米的木桿CG放在燈桿48前，測得其影長?！?米，再將木桿沿著5C方向移動1.8米至

OE的位置，此時測得其影長。/為3米，求燈桿48的高度

【答案】⑴。tana+b米

(2)3.8米

【分析】(1)由題意得BD=a,CD=b,^ACE=a,根據四邊形CDBE為矩形,得到BE=CD=b,BD=CE=a,

在R1&4CE中,由正切函數tana==,即可得到48的高度；

CE

FDAR

(2)根據力兆七O,得至必尸AEOE根據相似三角形的對應邊成比例得到黑=胃,又根據

Dror

AS^GC,得出AJ8〃~AGC〃，根據相似三角形的對應邊成比例得到坐=第聯立得到二元一次方

BnCH

程組解之即可得；

(1)

由題意得CD=b,0JCE=Q

(2B=E!O=(3CE8=90°

團四邊形C08E為矩形，

則8E=CZ)=6,BD=CE=a,

在R/AJCE1中，tana=-----，

CE

得AE=CE=CE^tana=atana

而AB=AE+BE,

故AB-atana+Z?

答：燈桿48的高度為otana+b米

(2)

由題意可得，AB^GC^ED,GC=ED=2,CH=1,DF=3,8=1.8

由于力施￡0,

⑦MBFFEDF,

此時徐AB

~BF

即尹AB

①，

8C+1.8+3

⑦MBH~XGCH,

ABGC

此時——=——

BHCH

2AB

②

TBC+1

聯立①②得

AB2

BC+4.8-3

AB今

---------=2

BC+l

AB-3.8

解得:

BC=0.9

答：燈桿48的高度為3.8米

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，銳角三角函數的應用，以及二元一次方程組，解題的關鍵

是讀懂題意，熟悉相似三角形的判定與性質.

7.（2022?遼寧遼寧?中考真題）數學活動小組欲測量山坡上一棵大樹8的高度，如圖，DCYAM

于點E,在4處測得大樹底端C的仰角為15。，沿水平地面前進30米到達8處，測得大樹頂端。的

仰角為53。，測得山坡坡角NC8M=30。（圖中各點均在同一平面內）.

⑴求斜坡8。的長；

⑵求這棵大樹C。的高度（結果取整數）.

434

（參考數據：sin53°-y,cos53°s=-,tan53°=—,6=1.73）

【答案】⑴斜坡8c的長為30米

⑵這棵大樹CD的高度約為20米

【分析】（1）根據題意可得：/。定=15。，43=30米，根據三角形的外角性質可求出NAC6=15。，

從而得出AB=BC=3Q米，即可得出答案.

（2）在RCBE中,利用銳角三角函數的定義求出CE,〃上的長，然后在用一?？谥?，利用銳角三

憑函數的定義求出。E的長，最后進行計算即可解答.

（1）

解：由題意得NC4E=15。，48=30米，

04CBE是^ABC的一個外角，

0ZACB=Z.CBE-ZCAE=15°,

^ZACB=ZCAE=l5°t

a48=8C=30米，

（3斜坡8C的長為30米；

（2）

解：在RhCBE中，ZCBE=30°,8c=30米，

（3CE=|fiC=15（米），

國BE=6CE=156（米），

在RSDEB中,ZD%：=53。，

（3O￡=8Etan53。R15石xg=2（h/J（米），

0DC=DE-CE=2073-15?20（米），

團這棵大樹CD的高度約為20米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用中仰角俯角問題，坡度坡角問題，解題關鍵是熟練掌握銳

隹三角函數的定義并正確運用.

8.(2022?山東青島?中考真題)如圖，八8為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加〃低碳生活?綠

色出行"健步走公益活動.小宇在點力處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68。的點。處，觀光船

到濱海大道的距離CB為200米.當小宇沿濱海大道向東步行200米到達點E時，觀光船沿北偏西40。

的方向航行至點D處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到D處的距離.(參

考數據：sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84,sin68°?0.93,cos68°?0.37,tan68°?2.48)

【答案】觀光船從。處航行到O處的距離為462.5米

【分析】過點C作于點凡根據題意利用正切函數可得45=496,由矩形的判定和性質

得出B=8E=296,結合圖形利用銳角三角函數解三角形即可.

【詳解】解：過點。作于點凡

由題意得，NQ=40。,NAC8=68。，

在中，NCB4=90。，

0【anNACB=—A3

CB

0AB=CBxtan68°=200x2.48=496

回BE=A8—AE=496—200=296

團ZCFE=/FEB=Z.CBE=90°

團四邊形在E8C為矩形

0CF=BE=296.

在用二8戶中，ZDFC=90°

CF

□sinZD=----

CD

閉3磊=^S=462.5

答：觀光船從C處航行到。處的距離為462.5米.

【點睛】題目主要考查解三角形的應用，理解題意，找準各角之間的關系，利用銳角三角函數解三

隹形是解題關鍵.

9.（2022?貴州貨陽?中考真題）交通安全心系千萬家.高速公路管理局在某隧道內安裝了測速儀，

如圖所示的是該段隧道的截面示意圖.測速儀C和測速儀上到路面之間的距離8=￡F=7m,測

速儀C和E之間的距離CE=750m,一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀C處

測得小汽車在隧道入口A點的俯角為25。，在測速儀七處測得小汽車在8點的俯角為60。，小汽車在

隧道中從點A行駛到點8所用的時間為38s（圖中所有點都在同一平面內）.

隧道入口

（1）求A,"兩點之間的距離（結果精確到1m）；

⑵若該隧道限速22m/s,判斷小汽車從點A行駛到點B是否超速？通過計算說明理由.（參考數據:

6*1.7,sin250*0.4,cos25°?0.9,tan25°?0.5,sin65°?0.9,cos65°?0.4）

【答案】⑴760米

⑵未超速，理由見解析

【分析】（1）分別解Rt-4CDRhBE尸，求得ADBF,根據AF—M即可求解;

（2）根據路程除以速度，進而比較即可求解.

（1）

CD〃EF,CD=EF,

???四邊形C。/芯是平行四邊形

CDYAF.EFLAF

.??四邊形cn石是矩形,

..DF=CE=750

CD

在Rt^ACO中，NCAD=25o,tanNCAO=%

,但上2_J

tan2500.5

FF

在RtZXBEb中，ZEBF=60°,tanZEBF=—

B卜

「.斯=旦」

tan601.7

77

..AB=AF-BF=AD+DF-BF=—+750----?760

0.51.7

答：A,8兩點之間的距離為760米;

(2)

760

——=20<22,

38

???小汽車從點A行駛到點B未超速.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵.

10.（2022?貴州遵義?中考真題）如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成如

圖2,是燈桿，C力是燈管支架，燈管支架CD與燈桿間的夾角40C=6O。.綜合實踐小組的同

學想知道燈管支架CD的長度，他們在地面的點E處測得燈管支架底部力的仰角為60。，在點〃處

測得燈管支架頂部C的仰角為30。，測得AE=3m,EF=8m（A,E,F在同一條直線上）.根據

以上數據，解答下列問題:

圖1

⑴求燈管支架底部距地面高度4。的長（結果保留根號）;

⑵求燈管支架8的長度（結果精確到0.1m,參考數據：73?1.73）.

【答案】（1）3國

(2)1.2m

【分析】（1）解Rt^AOE即可求解；

（2）延長FC交4B于點G,證明.NDGC是等邊三角形，解根據DC=Z）G=AG-AD

即可求解.

(1)

在RtAADE中，tanZAED==tan60°=43

AE

,AE=3m

;.AD=6AE=3>5m

(2)

如圖，延長小交A8于點G,

:.AF=AE+EF=\\

F4G3Ao后

tanF=---=tan30=——

AF3

“116

3

.RhAFG中，4=90。,/尸=30。

/.ZAGF=60°

NBDC=NGDC=3。

.kDGC是等邊三角形

DC=DG=AG-4D=—>/3-3x/3=-73?1.2

33

答：燈管支架CD的長度約為L2m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等邊三角形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵.

11.（2022,吉林?中考真題）動感單車是一種新型的運動器械.圖1是一輛動感單車的實物圖，圖2

是其側面示意圖.△88為主車架，4B為調節(jié)管，點兒B,。在同一直線上.已知BC長為70cm,

甌。的度數為58°.當AB長度調至34cm時，求點A到CD的距離AE的長度（結果精確到1cm）.（參

考數據：sin58°=0.85,cos580=0.53,tan58°=1.60）

【答案】點4到。。的距離我的長度約為88cm.

【分析】根據正弦的概念即可求解.

【詳解】解：在放△力CE中，0JEC=9O。，a4CE=58°,/O43+8C=34+70=104(cm),

APAE

(3sin0/lC￡"=-----，即sin58°=------,

AC104

^￡,=104x0.85=88.4=88(001),

回點A到CD的距離AE的長度約為88cm.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的知識，掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵.

12.(2022?海南?中考真題)無人機在實際生活中應用廣泛.如圖8所示，小明利用無人機測量大樓

的高度，無人機在空中戶處，測得樓C。樓頂。處的俯角為45。,測得樓A8樓頂力處的俯角為60。.已

知樓AB和樓C。之間的距離8c為100米，樓A8的高度為10米，從樓A8的4處測得樓C。的O

處的仰角為30。(點/、B、C、。、P在同一平面內).

MN

6doV^45o

(1)填空：ZAPD=度，ZADC=度;

⑵求樓C。的高度(結果保留根號)；

(3)求此時無人機距離地面8C的高度.

【答案】⑴75；60

（3）110米

【分析】（1）根據平角的定義求NA叨，過點力作AE_LOC于點E,再利用三角形內角和求,ADC：

（2）在油中，NZME=300求出OE的長度再根據CZ）=OE+EC計算即可；

（3）作PG_L5C于點G,交AE于點尸，證明△APPg/iDAE即可.

（1）

過點力作AE_LZ）C于點￡,

Q

-

呂

目

D

OD

tD

Dl

OD

J3E呂

呂

一

0°呂

呂

BC

由題意得：ZA/PA=60°,ZNPD=45°,ZDAE=30°,

^ZAPD=\S00-ZMPA-ZNPD=75°

ZADC=900-Z.DAE=60°

（2）

由題意得：AE=6C=1（X）米，EC=AB=10.

在心△AEO中，ND4E=30。,

團DE=4E?tan300=100x乎=竽米），

（3CO=Z）E+EC=^G+10（米）

與6+可米.

回樓的高度為

（3）

作PG_L5C于點G,交AE于點H

則N尸E4=ZAED=90°,FG=AB=10（米）

^MN//AE,

0ZE4F=ZME4=6O°.

0Z4DE=6O°,

B^PAF=ZADE.

團ND4E=30。，

0ZE4D=3O°.

0ZAPD=75°,

0ZADP=75°.

0Z4DP=Z4PD.

^AP=AD.

aAAPF^ADAF（44$）.

0PF=A￡=100.

0PG=PF+FG=100+10=110（^）

團無人機距離地面8C的高度為110米.

【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-一一仰角俯角問題的知識.此題難度適中，注意能借助仰

隹或俯角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵.

13.（2022?湖北武漢?中考真題）小紅同學在數學活動課中測量旗桿的高度，如圖，已知測角儀的高

度為1.58米，她在彳點觀測桿頂上的仰角為30。，接著朝旗桿方向前進20米到達C處，在0點觀

測旗桿頂端上的仰角為60。，求旗桿E”的高度.（結果保留小數點后一位）（參考數據：75Hl.732）

2如___________華網二

水平線

BCF

【答案】旗桿E尸的高度約為18.9米.

【分析】過點。作0GM尸于點G,設EG=x,則E/F.58+X.分別在R/A4EG和MA0EG中，利用

三角函數解直角三角形可得4G、DG.利用40=20列出方程，進而得到E尸的長度.

【詳解】解：過點。作OG3M于點G,設EG=x,

由題意可知：

甌4G=30°,BEDG=6Q0,4。=20米，GF=1.58米.

EG

在Rt^AEG中,ldnSE>lG=——,

AG

^AG=\[3xt

--》EG

在RthDEG中，tan0FDG=-----,

DG

團叼立彳，

3

a73x--.r=20,

3

解得：x=17.3,

團M=1.58+x=18.9（米）.

答：旗桿所的高度約為18.9米.

【點睛】此題主要考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角的三角函數概念是解題關

鍵.

14.（2022?河南?中考真題）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的

比賽項目.滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成.小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，

鐵環(huán)囿0與水平地面相切于點C,推桿力8與鉛垂線4。的夾角為囹840,點O,4B,C,O在同一

平面內.當推桿48與鐵環(huán)目。相切于點8時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟

動效果.

⑴求證：魴OC+團3ZO=9（r.

（2）實踐中發(fā)現，切點8只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動.圖中點8是該區(qū)域內

最低位置，此時點4距地面的距離4）最小，測得=已知鐵環(huán)團。的半徑為25cm,推

桿48的長為75cm,求此時ZO的長.

【答案】⑴見解析

（2）50cm

【分析】（1）根據切線的性質可得OC_LC。，ABLOB,根據4O_LC￡>,可得A￡）〃OC,過點5

作8石〃AD,根據平行線的性質可得NWO=NER4,NCOB=NOBE,進而即可得證；

（2）過點8作8的平行線，交AO于點G,交。。于點尸，由（1）得至UN0B產=NA,在RtZXABG,

RtZ\O8尸中，求得AG,B產，進而求得Of巾，根據AO=AG+G￡）即可求解.

（1）

證明：團。與水平地面相切于點C,

S.OCA.CD,

-AD1CD,

S.AD//OC,

48與田。相切于點瓦

:.ZOBA=90°,

過點3作BE〃AD，

.\ZBAD=ZEBA,BEIIOC

;"COB=NOBE,

:.4COB+4BAD=ZOBE+ZABE=ZOBA=90°,

即I36OC十06/0=90°.

(2)

如圖，過點8作8的平行線，交4。于點G,交0C于點廠,

:.FG1AD.FGLOC,則四邊形CR7力是矩形.

NBOC+NBAD=90。,ZA8O=90。，

s.AOBF=90。一/FOB=Z4,

3

在RtzXABG中，cosNBA。=g,AB=75cm,

3

:.AG=45xcosZ5AD=75x-=45(cm),

在RtZ