人教版七年級數(shù)學(xué)上冊 3.1列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系（第三章 代數(shù)式 自學(xué)、復(fù)習(xí)、上課課件）

3.1列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系第三章代數(shù)式逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2代數(shù)式列代數(shù)式正、反比例關(guān)系知識點(diǎn)代數(shù)式知1－講11.用字母表示數(shù)：用字母或含有字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系.在用字母表示數(shù)中，字母和數(shù)一樣可以參與運(yùn)算，可以用式子把數(shù)量關(guān)系簡明地表示出來.??????????知1－講2.代數(shù)式用運(yùn)算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式；單獨(dú)的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式.知1－講3.代數(shù)式的書寫規(guī)定類型書寫規(guī)定示例乘法運(yùn)算字母與字母相乘或數(shù)與字母相乘通常將乘號寫作“·”或省略不寫m×n

寫成m.n

或mn；2×n

寫成2·n

或2n數(shù)是1或－1“1”省略不寫1×a

寫成a；－1×a

寫成－a數(shù)是帶分?jǐn)?shù)帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)類型書寫規(guī)定示例除法運(yùn)算用分?jǐn)?shù)線式子后面有單位且式子是和或差的形式式子要用括號括起來(2a＋b)km知1－講特別解讀1.用字母可以表示任意數(shù)或式子.用字母表示數(shù)后，同一個式子可以表示不同的含義.2.這里的運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方以及以后要學(xué)習(xí)的開方.3.代數(shù)式中不含有表示相等或不相等關(guān)系的符號，如“：＞(≥)”“＜(≤)”“≠”或“＝”.知1－練例1

解題秘方：含有表示相等或不相等關(guān)系的符號的式子不是代數(shù)式，依此判斷.

6知1－練

①②③④知1－練[期末·重慶沙坪壩區(qū)]代數(shù)式x－y2

表示的意義為()A.x

與y

的差的平方B.x

與y

的平方的差C.x的平方與y

的平方的差D.x與y

的相反數(shù)的平方差例2解題秘方：先分清代數(shù)式的運(yùn)算順序，然后用規(guī)范的語言敘述.解：代數(shù)式x－y2

表示的意義為x與y

的平方的差.答案：B知1－練

B知2－講知識點(diǎn)列代數(shù)式21.定義把數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中的數(shù)量關(guān)系用含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，叫作列代數(shù)式.知2－講2.列代數(shù)式的注意事項(xiàng)(1)認(rèn)真審題，將問題中表示數(shù)量關(guān)系的常用詞語正確地轉(zhuǎn)換為對應(yīng)運(yùn)算；(2)注意題目的語言敘述所表示的運(yùn)算順序，一般“先讀先算”；(3)在較為復(fù)雜問題中，要正確使用各類括號，以使運(yùn)算順序符合要求.和、差、積、商、增加、減少、擴(kuò)大、縮小、倍、除以……知2－講特別提醒同一問題中，相同的字母必須表示相同的量，不同的量必須用不同的字母表示.知2－講知識鏈接解決實(shí)際問題常用的數(shù)量關(guān)系：1.路程=速度×?xí)r間；2.工作總量=工作效率×工作時間；3.利潤=實(shí)際售價－進(jìn)價(或成本)；4.總積分=勝場積分＋平場積分＋負(fù)場積分.知2－練用代數(shù)式表示：(1)某輛汽車每一百千米消耗汽油tL，這輛汽車平均每千米消耗的汽油為_______L；例3解題秘方：認(rèn)真審題，分清數(shù)量關(guān)系，并用字母正確表示出來.

知2－練(2)在一場籃球比賽中，某運(yùn)動員共投中a

個2分球，b

個3分球，還通過罰球得到9分，在這場比賽中這名運(yùn)動員的總得分為___________分；解題秘方：認(rèn)真審題，分清數(shù)量關(guān)系，并用字母正確表示出來.解：投中2分球、3分球的得分和罰球得分的和為總得分，所以總得分為(2a＋3b＋9)分；(2a＋3b＋9)知2－練(3)如圖3.1-1，從一張長方形鐵皮中剪去一個小正方形，長方形的長為2am，寬為bm，小正方形的邊長為am，則剩余鐵皮的面積為________m2；(2ab－a2)解題秘方：認(rèn)真審題，分清數(shù)量關(guān)系，并用字母正確表示出來.解：剩余鐵皮的面積為(

2ab－a2)m2；知2－練(4)為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后延時服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．該校需購買甲、乙兩種讀本共90本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價為15元/本，乙種讀本的單價為12元/本.若購買甲種讀本x

本，則購買乙種讀本的費(fèi)用為__________元.12(90－x)知2－練解題秘方：認(rèn)真審題，分清數(shù)量關(guān)系，并用字母正確表示出來.解：購買乙種讀本的費(fèi)用=單價×數(shù)量，則購買乙種讀本的費(fèi)用為12(90－x)元.知2－練3-1.為調(diào)研大眾的低碳環(huán)保意識，小明在某超市出口統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn):一小時內(nèi)使用自帶環(huán)保袋的人數(shù)比使用超市塑料袋人數(shù)的2倍少4人.若一小時內(nèi)使用超市塑料袋的人數(shù)有x

人，則一小時內(nèi)使用自帶環(huán)保袋的人數(shù)有()A.(2x＋4)人 B.(2x－4)人C.(4x＋2)人 D.(4x－2)人B知3－講知識點(diǎn)正、反比例關(guān)系3前提條件書寫規(guī)定示例正比例關(guān)系兩個相關(guān)聯(lián)的量x和y，一個量變化，另一個量也隨著變化兩個量的比值一定，這兩個量就叫作成正比例的量，它們之間的關(guān)系叫作正比例關(guān)系反比例關(guān)系兩個量的乘積一定，這兩個量就叫作成反比例的量，它們之間的關(guān)系叫作反比例關(guān)系xy=k(k

是一個確定的值，且k≠0)知3－講注意：對于同一個問題中的三個量，因?yàn)槎康牟煌?，所以另兩個量的比例關(guān)系也不同.知3－講特別提醒1.不論正比例關(guān)系還是反比例關(guān)系，若比例系數(shù)為0，則左邊表示式中，y

的值就為0，不再隨x的變化而變化.2.兩個量成比例關(guān)系的必備特征：(1)一個量變化，另一個量隨著變化；(2)兩個量的比值(或乘積)是一個非零的定值.知3－練判斷下面各題中的兩個量是否成正比例關(guān)系或反比例關(guān)系，并說明理由：(1)長方形的面積一定，長方形的長與寬；(2)長方形的寬一定，長方形的面積與長；(3)小明自駕從北京到上海，他開車的平均速度與所用時間；(4)小麗的媽媽在銀行存入1000元，存期3年，到期后的本息和與年利率.例4知3－練解題秘方：根據(jù)兩個關(guān)聯(lián)量是否聯(lián)動變化以及比值(或乘積)是否一定進(jìn)行判斷.解：(1)因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以當(dāng)面積一定時，長和寬的乘積一定，因此它們成反比例關(guān)系；(2)因?yàn)殚L方形的面積=長×寬，所以面積÷長=寬，當(dāng)寬一定時，面積與長的比值一定，因此它們成正比例關(guān)系；(3)因?yàn)槁烦?平均速度×所用時間，所以當(dāng)北京到上海的路程一定時，平均速度與所用時間的乘積一定，因此它們成反比例關(guān)系；(4)因?yàn)楸鞠⒑?本金＋本金×年利率×?xí)r間，即本息和=1000＋1000×年利率×3，雖然本息和隨年利率變化而變化，但是它們的比值和乘積都不是定值，所以它們既不成反比例關(guān)系也不成正比例關(guān)系.知3－練4-1.下列選項(xiàng)中，兩個量成反比例關(guān)系的是()A.蘋果的單價一定，購買的數(shù)量和總價B.看一本書，已看頁數(shù)和未看頁數(shù)C.三角形的面積一定，它的底和高D.長方形的周長一定，它的長和寬C列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系代數(shù)式數(shù)量關(guān)系正、反比例列代數(shù)式意義[期中·長春榆樹市]用代數(shù)式表示：(1)m

的3倍與n

的和；(2)x

與y

的倒數(shù)的差(y

≠0)；(3)a、b

兩數(shù)和的平方減去它們差的平方．題型列代數(shù)式表示代數(shù)運(yùn)算1例5思路引導(dǎo)：

特別提醒1.要正確辨析體現(xiàn)運(yùn)算的關(guān)鍵詞的意義.2.代數(shù)式的書寫要規(guī)范.3.列完代數(shù)式后，一般需要對照描述進(jìn)行檢驗(yàn).[母題教材P72例4]已知A，B

兩地相距150km，李明駕駛汽車以v

km/h的速度從A

地駛往B地，請你用代數(shù)式表示：題型列代數(shù)式表示實(shí)際問題2例6解題秘方：本題包含路程、速度和時間三個量，它們之間關(guān)系為時間=路程÷速度.(1)李明駕駛汽車從A地到B

地需要行駛的時間；

(2)如果汽車每小時多行駛10km，那么李明駕駛汽車從A地到B地需要行駛多長時間？

(3)在(2)的情況下，李明駕駛汽車從A地到B

地需要行駛的時間比原計(jì)劃少用多少小時？思路點(diǎn)撥少用的時間=原來需要行駛的時間－加速后需要行駛的時間.

(1)若m

為整數(shù)，則2m

為______數(shù)，2m－1為______數(shù)；(填“奇”或“偶”)(2)有三個連續(xù)偶數(shù)，若中間一個數(shù)為2n，則其余兩個數(shù)分別為_______________.例7題型列代數(shù)式表示特征數(shù)3解題秘方：(1)根據(jù)奇偶性判斷；(2)熟練掌握各類數(shù)的特征，然后用代數(shù)式表示.偶奇2n－2，2n＋2方法技巧列代數(shù)式表示特征數(shù)的關(guān)鍵在于抓住各類數(shù)的基本特點(diǎn)：如偶數(shù)是2的倍數(shù)，奇數(shù)比相鄰偶數(shù)相差1，多位數(shù)等于相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字與相應(yīng)計(jì)數(shù)單位乘積的和.如圖3.1-2，有一塊長為18m，寬為10m的長方形土地，現(xiàn)將三面留出寬都是x(0<x<8)

m的小路，余下的部分為菜地，用含x

的代數(shù)式表示：題型列代數(shù)式表示圖形面積4例8解題秘方：根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)以及長方形的面積公式解決問題.(1)菜地的長為________m，寬為______m；解：菜地的長等于長方形土地的長減去小路寬的2倍，即為(18－2x)

m，菜地的寬等于長方形土地的寬減去小路的寬，即為(10－x)

m；(18－2x)(10－x)(2)菜地的面積為__________________m2．解：菜地的面積等于菜地的長乘菜地的寬，即為(18－2x)·(10－x)

m2.(18－2x)(10－x)方法點(diǎn)撥列代數(shù)式表示圖形面積常見形式：例9題型列代數(shù)式表示變化規(guī)律5[新考法歸納法]如圖3.1-3是按規(guī)律排列的一組圖形的前三個，觀察圖形解答下列問題：思路引導(dǎo)：(1)第5個圖形中，一共有多少個點(diǎn)？解：觀察圖形的變化可知：第1個圖形中，一共有(6＋1)個點(diǎn)，第2個圖形中，一共有(6×2＋1)個點(diǎn)，第3個圖形中，一共有(6×3＋1)個點(diǎn)，所以第4個圖形中，一共有(6×4＋1)個點(diǎn)，第5個圖形中，一共有6×5＋1＝31(個)點(diǎn)；(2)請用含n

的代數(shù)式表示出第n

個圖形中點(diǎn)的數(shù)量.解：第n個圖形中，一共有(6n＋1)個點(diǎn).特別提醒變化規(guī)律的尋找體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，在總結(jié)出規(guī)律后，通常需要再列舉一種情況進(jìn)行檢驗(yàn).易錯點(diǎn)代數(shù)式書寫不規(guī)范

例10

診誤區(qū)：1.當(dāng)帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù).2.用代數(shù)式表示商時，要寫成分?jǐn)?shù)的形式，帶分?jǐn)?shù)線的底數(shù)，要加括號.考法代數(shù)式的意義1[中考·廣安]代數(shù)式－3x的意義可以是()A.－3與x

的和

B.－3與x

的差C.－3與x

的積

D.－3與x

的商試題評析：本題考查用語言表達(dá)代數(shù)式的意義，一定要厘清代數(shù)式中含有的各種運(yùn)算及其順序.解：代數(shù)式－3x

的意義可以是－3與x的積.C例11考法用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系2[模擬·無錫]2024無錫馬拉松于3月24日在太湖大道隱秀路路口鳴槍起跑.某同學(xué)參加了7.5km健康跑項(xiàng)目，他從起點(diǎn)開始以平均每分鐘xkm的速度跑了10min，此時他離健康跑終點(diǎn)的路程為__________

km(用含x的代數(shù)式表示).例12(7.5－10x)試題評析：本題考查用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系，理解題意并正確書寫是解題關(guān)鍵.解：由題意可得，他從起點(diǎn)開始以平均每分鐘xkm的速度10min跑了10x

km，此時他離健康跑終點(diǎn)的路程為(7.5－10x)

km.考法利用代數(shù)式進(jìn)行規(guī)律探究3[中考·云南]按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，第n個代數(shù)式是()A.2xn

B.(n－1)xnC.nxn＋1D.(n＋1)xn例13試題評析：本題考查了代數(shù)式的規(guī)律變化，仔細(xì)觀察和總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.解：因?yàn)榘匆欢ㄒ?guī)律排列的代數(shù)式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，所以第n個代數(shù)式是(n＋1)xn.答案：D

D2.代數(shù)式(x2－y2)表示的意義為()A.x

的平方與y

的平方的差B.x

與y

的差的平方C.x

與y

的平方的差D.x的平方與y

的差的平方A3.[新情境題生活應(yīng)用]“微信”“支付寶”“銀行卡”“云閃付”等移動支付由于快捷便利已成為大家平時生活中非常普遍的支付方式．小明媽媽上月支出a

元，本月參加線上購物節(jié)活動，比上月支出的3倍還多20元，則本月的支出可表示為(

)A.(3a＋20)元 B.(3a－20)元C.3(a－20)元 D.3(a＋20)元A4.[新考法特征數(shù)表示法]如圖是一張?jiān)職v表，省去了數(shù)字，若①位置的數(shù)表示為a，則②位置上的數(shù)可表示為()A.a＋3 B.a＋5C.a＋7 D.a＋9D5.如圖是一塊長為a，寬為b(a>b)的長方形空地，空白處是兩個半圓形，要將陰影部分綠化，則綠化面積是_________(結(jié)果保留π).6.在100米賽跑中，時間和平均速度成_______比例關(guān)系；分?jǐn)?shù)值一定時，分子和分母成_______比例關(guān)系(填“正”或“反”).反正7.[新考法歸納法]如圖是一組有規(guī)律的圖案：(1)第1個圖案由4個基礎(chǔ)圖形組成，第2個圖案由______個基礎(chǔ)圖形組成，…，第10個圖案由______個基礎(chǔ)圖形組成；731(2)