河南省周口市恒大中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2024-2025學(xué)年（上）高三數(shù)學(xué)開學(xué)考試卷數(shù)學(xué)試題試卷考試時間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.一道考題有4個，要求學(xué)生將其中的一個正確選擇出來．某考生知道正確的概率為，而亂猜正確的概率為．在亂猜時，4個都有機(jī)會被他選擇，如果他答對了，則他確實知道正確的概率是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全概率公式，結(jié)合貝葉斯公式進(jìn)行求解即可.【詳解】[設(shè)A＝“考生答對”，B＝“考生知道正確”，由全概率公式：．又由貝葉斯公式：．故選：B2.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得出，寫出展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】，的展開式通項為，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，其中，，且、，令，可得或或，因此，的展開式中的系數(shù)為.故選：B.【點睛】結(jié)論點睛：的展開式通項為.3.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則等于（）A.0.84 B.0.16 C.0.36 D.0.34【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)求解給定區(qū)間概率【詳解】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，∴故選：D.4.某班有名學(xué)生，其中正、副班長各人，現(xiàn)要選派人參加一項社區(qū)活動，要求正、副班長至少人參加，問共有多少種選派方法？下列算式中錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用間接法和分類加法原理求出滿足題意的組合情況，依次判斷選項即可.【詳解】B：先從60人選5人，有種情況，選出班干部2人，從余下的58人選5人，有種情況，所以正、副班長至少1人參加的有種情況，故B正確；C：先在2個班干部選1人，從余下的59人選4人，有種情況，再排除正、副班長2人參加情況，有種情況，所以正、副班長至少1人參加的有種情況，故C正確，A錯誤；D：當(dāng)一個班長參加時，有種情況，當(dāng)2個班長參加時，有種情況，所以正、副班長至少1人參加的有種情況，故D正確；故選：A.5.2022年11月30日，神舟十四號航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲和神舟十五號航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸順利“會師太空”，為記錄這一歷史時刻，他們準(zhǔn)備在天和核心艙合影留念．假設(shè)6人站成一排，要求神舟十四號3名航天員互不相鄰且劉洋不站在兩端，不同站法共有（）A.36種 B.48種 C.72種 D.144種【答案】C【解析】【分析】利用插空法和間接法可求出結(jié)果.【詳解】神舟十四號3名航天員互不相鄰的排法種數(shù)有種，其中劉洋站在兩端的排法種數(shù)有種，故符合題意的排法種數(shù)有.故選：C6.的展開式中的系數(shù)為（）A.25 B.15 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先將原式變形為，再寫出展開式的通項，即可得解；【詳解】解：因為，又展開式通項為，所以含的項有，故的系數(shù)為，故選：A7.的展開式中各項二項式系數(shù)之和為，則展開式中的常數(shù)項為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，利用二項展開式的通項公式即可求解.【詳解】由題意可得，解得.故展開式的通項為，令，所以，所以，所以展開式中的常數(shù)項為．故選：D．8.在某項測試中，測量結(jié)果與服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.4 B.0.8 C.0.6 D.0.21【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件,求出正態(tài)分布曲線的對稱軸為,根據(jù)對稱性可求出的值,進(jìn)而可求【詳解】解:測量結(jié)果與服從正態(tài)分布正態(tài)分布曲線的對稱軸為故選:B.【點睛】本題考查了正態(tài)分布中概率問題的求解.在解此類問題時,結(jié)合正態(tài)分布曲線圖像進(jìn)行求解,其關(guān)鍵是找到曲線的對稱軸.二．多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，有多項符合要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9.下列說法中正確的是（）A.已知隨機(jī)事件A，B滿足，，則B.已知隨機(jī)變量，若，則C.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D.隨機(jī)變量X服從二項分布，若方差，則【答案】BC【解析】【分析】由條件概率的公式可得A錯誤；由正態(tài)分布的方差公式和方差的性質(zhì)可得B正確；由平均數(shù)的計算公式可得C正確；由二項分布的性質(zhì)可判斷D錯誤.【詳解】A：由條件概率的公式可得，所以，故A錯誤；B：因為隨機(jī)變量，所以，又，所以，所以，故B正確；C：因為樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為10，所以，化簡可得，所以的平均數(shù)為，故C正確；D：由題意可得，解得或，則或，故D錯誤；故選：BC.10.用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)最高位不能為，利用間接法、分步、分類法計算可得.【詳解】用到這個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字三位數(shù)，若不考慮最高位否為，則有個，又最高位不能為，故當(dāng)最高位為時有個，故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個，故C正確；首先排最高位，有種，再排十位、個位，有種，故共有個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故B正確；若選到的數(shù)字沒有，則有個，若選到的數(shù)字有，先排，有種方法，再從其余個數(shù)字選個排到其余位置，故有個，綜上可得共有個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，故C正確；故選：ABC11.下列判斷正確的是（）A.B.由數(shù)字1，2，3，4可以組成24個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)C.由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成120個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)D.若有4張參觀券，要在8人中確定4人去參觀，則有70種不同的方法【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式判斷A，根據(jù)全排列判斷B，首先排最高位，其余數(shù)字全排列即可判斷C，利用組合數(shù)判斷D.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：由數(shù)字1，2，3，4可以組成個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，故B正確；對于C：由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，故C錯誤；對于D：有4張參觀券，要在8人中確定4人去參觀，則有種不同的方法，故D正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知隨機(jī)變量，若，則_______．【答案】0.3##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可求得答案.【詳解】由題意隨機(jī)變量，即正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，，則，故答案為：0.313.第19屆杭州亞運(yùn)會開幕前需在某高中招募10名志愿者作為高中組志愿者代表，分成兩組，每組5人，共有15人報了名．其中小王、小張也報了名，則兩人都被選中且被分在不同組的概率為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分組分配問題，結(jié)合古典概型的概率公式求解.【詳解】該兩人都被選中且被分在不同組為目標(biāo)分組，分法種數(shù)為，15人選10人分兩組的分法種數(shù)為，∴兩人都被選中且被分在不同組的概率．故答案為：14.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸方程為，且，，則相應(yīng)于點的殘差為______．【答案】【解析】【分析】將樣本中心代入可得，即可根據(jù)殘差定義求解.【詳解】將，代入可得，所以，故當(dāng)時，，所以殘差為，故答案為：四、解答題（共5小題，共計77分.）15.某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示.年齡x(歲)123456身高y(cm)788798108115120（1）畫出散點圖；（2）判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系.【答案】（1）圖見解析；（2）具有.【解析】【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)描點可得出散點圖.（2）觀察散點圖可得y與x具有線性相關(guān)關(guān)系【詳解】(1)散點圖如圖所示.(2)由圖知，所有數(shù)據(jù)點接近一條直線排列，因此，認(rèn)為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.16.為了解今年某校高三畢業(yè)班報考飛行員學(xué)生的體重情況，將所需數(shù)據(jù)調(diào)查整理后，畫出了如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為1:2:3，其中第二組的頻數(shù)為12.（1）求該校高三畢業(yè)班報考飛行員的總?cè)藬?shù)；（2）以該校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省高三畢業(yè)班報考飛行員的學(xué)生中（人數(shù)很多）任選3人，設(shè)表示體重超過60的學(xué)生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）48；（2）分布列見解析；.【解析】【分析】（1）根據(jù)前3組的頻率之比設(shè)出前3組的頻率，根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)計算后兩組的頻率，根據(jù)頻率和為1，計算出各組的頻率，利用第2組的頻數(shù)為12，計算總?cè)藬?shù)；（2）表示體重超過60的學(xué)生人數(shù)，利用直方圖求出體重超過60的學(xué)生的頻率，寫出X的可取值，符合二項分布，根據(jù)二項分布數(shù)學(xué)期望公式求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）設(shè)該校高三畢業(yè)班報考飛行員的人數(shù)為，前三組的頻率分別為，，，則，解得.又，所以，即該校高三畢業(yè)班報考飛行員的總?cè)藬?shù)為48.（2）由（1），可得報考飛行員的學(xué)生的體重超過60的概率為，易知，則，，，.所以隨機(jī)變量的分布列為0123.【點睛】易錯點睛：超幾何分布的本質(zhì)是“不放回抽樣”，而二項分布的隨機(jī)試驗是“獨(dú)立重復(fù)試驗”，強(qiáng)調(diào)每次試驗的結(jié)果發(fā)生的概率相同，可認(rèn)為是“有放回抽樣”.本題中，“若從全省高三畢業(yè)班報考飛行員的學(xué)生中（人數(shù)很多）任選3人”，特別強(qiáng)調(diào)人數(shù)很多，意味著試驗可以看作是“有放回抽樣”，所以是一個二項分布.17.某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.附：若，取，.（1）求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；（2）若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.①若控制系統(tǒng)原有個元件，計算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠性是否提高？②假設(shè)該系統(tǒng)配置有個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可靠性？請給出你的結(jié)論并證明.【答案】（1）（2）①可靠性為，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高；②當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)題目條件及給定的正態(tài)分布數(shù)據(jù)求解；（2）利用二項分布的概率性質(zhì)求解可靠性，并比較不同的取值下可靠性的大小關(guān)系即可，當(dāng)然也可以采取其它的思路求解.【小問1詳解】技術(shù)改造前，易知，，則其優(yōu)品率為；技術(shù)改造后，，，則其優(yōu)品率為.所以優(yōu)品率之差為.【小問2詳解】①記為原系統(tǒng)中正常工作元件個數(shù)，為增加一個元件后正常工作元件個數(shù).由條件知，，.，.因為，所以可靠性提高.②方法一：根據(jù)上一問的假設(shè)，易知，.當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性降低.當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性提高.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.方法二：當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，于是，，這說明可靠性降低.當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，于是，.這說明可靠性提高.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.方法三：設(shè)兩兩獨(dú)立且均服從二項分布，記，則該系統(tǒng)配置有個元件時，系統(tǒng)的可靠性為.則，且.這就得到，.這表明，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.注意到服從二項分布，故.進(jìn)行完以上準(zhǔn)備工作后，我們回到原題.①若控制系統(tǒng)原有個元件，則系統(tǒng)的可靠性為.而是偶數(shù)，所以增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高；②根據(jù)上面的結(jié)論，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第2小問②的結(jié)果本質(zhì)上是因為：當(dāng)是偶數(shù)時，若添加一個元件，那么要求的正常工作的元件的最小數(shù)量不變，還是，但是元件多了一個，所以正常工作的元件數(shù)目必然有更大的機(jī)會達(dá)到要求的值，所以可靠性一定更大了；而當(dāng)是奇數(shù)時，若添加一個元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大數(shù)量不變，還是，但是元件多了一個，所以未能正常工作的元件數(shù)目必然有更大的機(jī)會突破允許的最大值，所以可靠性一定更小了.第2小問的方法三的關(guān)鍵在于：構(gòu)造一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量來比較不同的概率，相比構(gòu)造單個二項分布隨機(jī)變量，構(gòu)造一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量會更加便于比較不同的概率，因為此時每個隨機(jī)變量的取值范圍都非常有限，而進(jìn)行比較時只需要研究多出的一個隨機(jī)變量即可.這就避免了花費(fèi)力氣對兩個取值范圍很廣的隨機(jī)變量進(jìn)行比較，那樣太過困難.18.第19屆亞運(yùn)會組委會消息，亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行.為此某校舉辦了以“迎亞運(yùn)”為主題的籃球和排球比賽，每個學(xué)生只能報名參加一項，某調(diào)研組在校內(nèi)參加報名的學(xué)生中隨機(jī)選取了男生?女生各100人進(jìn)行了采訪，其中參加排球比賽的歸為甲組，參加籃球比賽的歸為乙組，調(diào)查發(fā)現(xiàn)甲組成員96人，其中男生36人.甲組乙組合計男生女生合計（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，補(bǔ)充上述列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，分析學(xué)生喜歡排球還是籃球是否與“性別”有關(guān)；（2）現(xiàn)從調(diào)查的男生中，按分層抽樣選出25人，從這25人中