拋物線與阿基米德三角形（模擬+真題）（原卷版）

拋物線與阿基米德三角形1．（2024·江西贛州·南康中學校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線的焦點為，且拋物線過點，過點的直線與拋物線交于兩點，分別為兩點在拋物線準線上的投影，為線段的中點，為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．線段長度的最小值為2 B．的形狀為銳角三角形C．三點共線 D．的坐標不可能為2．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）設拋物線焦點為，準線與對稱軸交于點，過的直線交拋物線于，兩點，對稱軸上一點滿足，若的面積為，則到拋物線準線的距離為（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為，準線為，為上一點，，垂足為，與軸交點為，若，且的面積為，則的方程為（

）A． B． C． D．4．（2022·河南平頂山·長葛市第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線（不與x軸垂直）交拋物線于A，B兩點，以AB為直徑作圓Q，過點引圓Q的兩條切線，切點為P，S，若∠PMS＝90°，則直線AB的斜率為（

）A．1 B．－2 C．1或 D．1或－25．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預測）已知F是拋物線C：的焦點，過點F的直線l與拋物線交于P，Q兩點，直線l與拋物線的準線交于點M，若，則（

）A． B． C． D．36、已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與交于A，B兩點，C在A處的切線與C的準線交于P點，連接BP．若|PF|＝3，則的最小值為_____7、（多選）過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點（A在第一象限），M為線段AB的中點.M在拋物線的準線l上的射影為點N，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4 B.C.△NAB面積的最小值為6 D.若直線AB的斜率為，則8、已知是拋物線：的焦點，點，過點的直線與交于，兩點，是線段的中點．若，則直線的斜率．9、（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線與交于、兩點，且，，若過點、分別作的兩條切線交于點，則下列各選項正確的是（

）A． B．C． D．以為直徑的圓過點10、（多選）已知拋物線，為坐標原點，點為直線上一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，則（

）A．拋物線的準線方程為 B．直線一定過拋物線的焦點C．線段長的最小值為 D．11、已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是圓（）與的一個交點，若的內(nèi)切圓的半徑為a，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．12、已知雙曲線的左，右焦點分別為，，點與拋物線的焦點重合，點P為與的一個交點，若△的內(nèi)切圓圓心的橫坐標為4，的準線與交于A，B兩點，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．13、過雙曲線右焦點的直線交雙曲線右支于兩點，的內(nèi)切圓分別切直線于點，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（

）

A．切點與右焦點重合 B．C． D．14、（2024·廣東中山·中山紀念中學?？级＃ǘ噙x題）已知拋物線的焦點為F，過點F作互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點A，B，C，D，P，Q分別為，的中點，O為坐標原點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．若F恰好為的中點，則直線的斜率為D．直線過定點15．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）（多選題）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，若為的準線上任意一點，則（

）A．直線若的斜率為，則 B．的取值范圍為C． D．的余弦有最小值為16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）（多選題）已知，是拋物線上不同于原點O的兩點，點F是拋物線C的焦點，點M是線段的中點，則（

）．A．C的準線為B．當直線的斜率k存在時，C．當A，B，F(xiàn)三點共線時，D．當直線過點時，17．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）（多選題）已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與拋物線交于、兩點，為線段中點，、、分別為、、在上的射影，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的坐標為 B．C．、、、四點共圓 D．直線的方程為18．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線的焦點為F，準線交x軸于點D，過點F作傾斜角為（為銳角）的直線交拋物線于A，B兩點，如圖，把平面沿x軸折起，使平面平面，則三棱錐體積為；若，則異面直線，所成角的余弦值取值范圍為．19．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線：（）焦點為，準線為，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點（點在拋物線內(nèi)）射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)過上另一點反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點，若直線與拋物線的準線交于點，則直線的斜率為；若，且平分，則.20．已知點，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．21．在平面直角坐標系中，為直線上一動點，過點作拋物線的兩條切線，，切點分別為，，為的中點．（1）證明：軸；（2）直線是否恒過一定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．22．拋物級的焦點到直線的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）設直線交拋物線于，，，兩點，分別過，兩點作拋物線的兩條切線，兩切線的交點為，求證：．23．已知拋物線的方程為，點是拋物線上的一點，且到拋物線焦點的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）點為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，求面積的最小值．24．如圖，已知拋物線上的點的橫坐標為1，焦點為，且，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為、，為線段上的動點，過作拋物線的切線，切點為（異于點，，且直線交線段于點．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）（?。┣笞C：為定值；（ⅱ）設，的面積分別為，，求的最小值．25．（2023·廣東廣州·廣東實驗中學校考一模）設拋物線，過焦點的直線與拋物線交于點、.當直線垂直于軸時，.(1)求拋物線的標準方程.(2)已知點，直線、分別與拋物線交于點、.求證：直線過定點.26．（2022·江西上饒·上饒市第一中學校考模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過焦點F斜率為的直線交拋物線于A、B兩點（點A在第一象限），交拋物線準線于G，且滿足．(1)求拋物線的標準方程；(2)已知C，D為拋物線上的動點，且，求證直線CD過定點P，并求出P點坐標；(3)在（2）的條件下，求的最大值．27．（2020·全國·校聯(lián)考一模）已知拋物線的焦點為F，過點F與x軸垂直的直線交拋物線的弦長為2．(1)求拋物線N的方程；(2)點和點為兩定點，點A和點B為拋物線N上的兩動點，線段AB的中點Q在直線OM上，求△ABC面積的最大值．28．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）拋物線的焦點為F，準線為是拋物線上一點，過F的直線交拋物線于A，B兩點，直線AP?BP分別交準線于M?N.當，點P恰好與原點O重合時，的面積為4.（1）求拋物線C的方程；（2）記點的橫坐標與AB中點的橫坐標相等，若，求的最小值.29．（2020·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知圓，圓心，點E在直線上，點P滿足，，點P的軌跡為曲線M．（1）求曲線M的方程．（2）過點N的直線l分別交M于點A、B，交圓N于點C、D（自上而下），若、、成等差數(shù)列，求直線l的方程．

30．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．31．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．332．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）設拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（

）．A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線33．（2017·全國·高考真題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．1034．（2007·山東·高考真題）設是坐標原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為（

）A． B． C． D．35．（2015·天津·高考真題）已知雙曲線的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為A． B． C． D．36．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選題）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．37．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選題）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．38．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選題）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形39．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為.40．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點與雙曲線的左焦點重合，若兩曲線相交于，兩點，且線段的中點是點，則該雙曲線的離心率等于.41．（2017·山東·高考真題）在平面直角坐標系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為.42．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．43．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.44．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點，M是拋物線的準線與x軸的交點，且，（1）求拋物線的方程；（2）設過點F的直線交拋物線與A?B兩點，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.45．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點