人教版七年級數(shù)學(xué)上冊?？键c(diǎn)提分精練期末難點(diǎn)特訓(xùn)(二)和幾何圖形有關(guān)的壓軸題(原卷版+解析)

期末難點(diǎn)特訓(xùn)（二）和幾何圖形有關(guān)的壓軸題1．將兩塊直角三角板的頂點(diǎn)A疊在一起，已知∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，將三角板ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，保持∠BAC始終在∠DAE的內(nèi)部．(1)如圖①，若∠BAD＝25°，求∠CAE的度數(shù)．(2)如圖①，∠BAE與∠CAD有什么數(shù)量關(guān)系，請說明理由．(3)如圖②，若AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，問在旋轉(zhuǎn)過程中，∠MAN的大小是否發(fā)生改變？若不變，請說明理由；若改變，請求出變化范圍．2．如圖1，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°時，則∠DOE的度數(shù)為（直接填空）；（2）將圖1中的∠COD繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其它條件不變，探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；（3）將圖1中的∠COD繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其他條件不變，請你直接寫出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系：．3．如圖①，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝60°，將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，使得∠MOB＝90°，此時∠CON角度為度；（2）將上述直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，當(dāng)ON恰好平分∠AOC時，求∠AOM的度數(shù)；（3）若這個直角三角板繞點(diǎn)O按逆時針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在∠AOC的內(nèi)部時（ON與OC、OA不重合），試探究∠AOM與∠CON之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由．4．如圖，已知，OC是內(nèi)部的一條射線，過點(diǎn)O作射線OD，使.（1）若，則=_______;（2）若，則=________;（3）當(dāng)繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，+是否變化？若不變，求出其大?。蝗糇兓?，說明理由.5．如圖1，已知∠MON=140°，∠AOC與∠BOC互余，OC平分∠MOB，（1）在圖1中，若∠AOC=40°，則∠BOC=°，∠NOB=°．（2）在圖1中，設(shè)∠AOC=α，∠NOB=β，請?zhí)骄喀僚cβ之間的數(shù)量關(guān)系（必須寫出推理的主要過程，但每一步后面不必寫出理由）；（3）在已知條件不變的前提下，當(dāng)∠AOB繞著點(diǎn)O順時針轉(zhuǎn)動到如圖2的位置，此時α與β之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出此時α與β之間的數(shù)量關(guān)系．6．如圖，已知，且、滿足等式，射線從處繞點(diǎn)以度秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）試求∠AOB的度數(shù)．（2）如圖，當(dāng)射線從處繞點(diǎn)開始逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線從處以度/秒的速度繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)他們旋轉(zhuǎn)多少秒時，使得？（3）如圖，若射線為的平分線，當(dāng)射線從處繞點(diǎn)開始逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線從射線處以度秒的速度繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，使得這兩條射線重合于射線處（在的內(nèi)部）時，且，試求．7．如圖，長方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，M、N分別在射線BC和射線AD上，連接EM，EN，將三角形MBE沿EM折疊（把物體的一部分翻轉(zhuǎn)和另一部分貼攏），點(diǎn)B落在點(diǎn)B’處；將三角形NAE沿EN折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處.（1）若，，用直尺、量角器畫出射線EB’與EA’；（2）若，，求的度數(shù)；（3）若，，用含的代數(shù)式表示的度數(shù).8．將一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB=∠DBE=90°，∠ABC=60°）按不同的位置擺放.（1）如圖1，若邊BD，BA在同一直線上，則∠EBC=；（2）如圖2，若∠EBC=165°，那么∠ABD=；（3）如圖3，若∠EBC=120°，求∠ABD的度數(shù)．9．閱讀材料并完成下面的問題：小華遇到這樣的一個問題；如圖（1），已知銳角，畫一條射線，使與互為余角．聰明的小華這樣畫出射線：①如圖（2），先用直角三角板畫出；②再用量角器畫出的角平分線，則與互為余角(1)當(dāng)銳角大小發(fā)生變化時，請證明與互為余角(2)類比小華的畫圖方法，在圖（3）中畫所有符合條件的射線，使與互為補(bǔ)角（保留畫圖痕跡，不寫面法）；(3)若，射線平分，平分，若，請直接寫出的度數(shù)為____________（用含的式子表示）10．如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的直角頂點(diǎn)與O重合，繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)（OC、OD不與AB重合），射線OE平分∠AOC，∠BOD＝α．（本題中所有角均小于180°）(1)如圖1，直接寫出∠DOE的度數(shù)為（用含α的式子表示）；(2)如圖2，試判斷∠BOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在直角三角板COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過程中（OD到達(dá)OA前停止旋轉(zhuǎn)），∠BOC與∠DOE始終保持（2）中的數(shù)量關(guān)系嗎？判斷并說明理由．11．定義：過角的頂點(diǎn)在角的內(nèi)部作一條射線，得到三個角，若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱這條射線為這個角的“二倍角線”．（1）如圖1，∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“二倍角線”，則∠AOC＝．（2）如圖2，射線OB為∠COD的“二倍角線”，且∠DOB＝2∠BOC．射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，問的值是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由；（3）如圖3．已知∠AOB＝120°，射線OC、OD為∠AOB的“二倍角線”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，將∠COD繞點(diǎn)O以10°/秒的速度順時針轉(zhuǎn)動，運(yùn)動時間為t秒（0≤t≤14），射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線．OB、OM、ON三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”，直接寫出t所有可能的值．12．如圖，直線CD與EF相交于點(diǎn)O，將一直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合．（1）如圖1，若，試說明；（2）如圖2，若，OB平分．將三角尺以每秒5°的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①，當(dāng)t為何值時，直線OE平分；②當(dāng)，三角尺AOB旋轉(zhuǎn)到三角POQ（A、B分別對應(yīng)P、Q）的位置，若OM平分，求的值．13．已知為直線上一點(diǎn)，射線、、位于直線上方，在的左側(cè)，，．（1）如圖1，，當(dāng)平分時，求的度數(shù)．（2）如圖2，若，且，求（用表示）．（3）若，點(diǎn)在射線上，若射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（），，平分，當(dāng)時，求的值．14．【學(xué)習(xí)概念】如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運(yùn)用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時停止旋轉(zhuǎn)．同時射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．15．已知如圖，線段（1）若，則_______________；（2）如圖，，為內(nèi)部的一條射線，是四等分線，且，求的值；（3）如圖，，射線繞著點(diǎn)從開始以度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周至結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)運(yùn)動的時間為，是四等分線，且，當(dāng)在某個范圍內(nèi)會為定值，請直接寫出定值，并指出對應(yīng)的范圍（本題中的角均為大于且小于的角）．期末難點(diǎn)特訓(xùn)（二）和幾何圖形有關(guān)的壓軸題1．將兩塊直角三角板的頂點(diǎn)A疊在一起，已知∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，將三角板ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，保持∠BAC始終在∠DAE的內(nèi)部．(1)如圖①，若∠BAD＝25°，求∠CAE的度數(shù)．(2)如圖①，∠BAE與∠CAD有什么數(shù)量關(guān)系，請說明理由．(3)如圖②，若AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，問在旋轉(zhuǎn)過程中，∠MAN的大小是否發(fā)生改變？若不變，請說明理由；若改變，請求出變化范圍．【答案】(1)35°；(2)∠BAE+∠CAD=120°；(3)不變，∠MAN=60°，證明見詳解．【分析】（1）根據(jù)角的和差計算即可；（2）利用角的和計算即可；（3）利用角平分線得出∠BAM=，∠CAN=，∠MAN=∠CAN+∠BAC+∠BAM轉(zhuǎn)化為即可．(1)解：∵∠BAC＝30°，∠DAE＝90°，∠BAD＝25°，∴∠CAE=∠DAE-∠BAD-∠BAC=90°-25°-30°=35°；(2)解：∠BAE+∠CAD=120°∵∠BAE+∠BAD=90°，∠CAD=∠BAC+∠BAD=30°+∠BAD，∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+30°+∠BAD=30°+90°=120°；(3)解：不變，∠MAN=60°∵AM平分∠BAD，AN平分∠CAE，∴∠BAM=，∠CAN=，∴∠MAN=∠CAN+∠BAC+∠BAM，=30°++，=，，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角板中角度計算，余角性質(zhì)，角的和差，角平分線有關(guān)計算，掌握三角板中角度計算，角的和差，角平分線有關(guān)計算是解題關(guān)鍵．2．如圖1，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°時，則∠DOE的度數(shù)為（直接填空）；（2）將圖1中的∠COD繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其它條件不變，探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；（3）將圖1中的∠COD繞頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其他條件不變，請你直接寫出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系：．【答案】（1）15°；（2），理由見解析；（3），理由見解析．【分析】（1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度數(shù)；（2）由是直角，平分可得出，則得，從而得出和的度數(shù)之間的關(guān)系；（3）根據(jù)（2）的解題思路，即可解答．【詳解】解：（1）由已知得，又是直角，平分，，故答案為：15°；（2）；理由：是直角，平分，，則得，所以得：；（3）；理由：平分，，則得，所以得：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及角的計算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用好有關(guān)性質(zhì)準(zhǔn)確計算角的和差倍分．3．如圖①，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝60°，將一把含有45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，直角邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，使得∠MOB＝90°，此時∠CON角度為度；（2）將上述直角三角板從圖1繞點(diǎn)O按逆時針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，當(dāng)ON恰好平分∠AOC時，求∠AOM的度數(shù)；（3）若這個直角三角板繞點(diǎn)O按逆時針旋轉(zhuǎn)到斜邊ON在∠AOC的內(nèi)部時（ON與OC、OA不重合），試探究∠AOM與∠CON之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）75；（2）15°；（3）或，理由詳見解析．【分析】（1）圖①中的三角板繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，根據(jù)∠MOB＝90°，∠MON＝45°，∠AOC＝60°，可得∠COM＝30°，進(jìn)而求解；（2）直角三角板從圖①繞點(diǎn)O按逆時針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，根據(jù)ON恰好平分∠AOC時，得，進(jìn)而求解；（3）分兩種情況（OM在∠AOC的外部或OM在∠AOC的內(nèi)部），分別討論求解．【詳解】解：（1）圖①中的三角板繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，∵∠MOB＝90°，∠MON＝45°∠AOC＝60°，∴∠COM＝30°，∴∠CON＝∠COM+∠MON＝75°，所以，此時∠CON角度為75°．故答案為75；（2）直角三角板從圖①繞點(diǎn)O按逆時針旋轉(zhuǎn)到圖③的位置，∵ON恰好平分∠AOC時，∴，∴．答：∠AOM的度數(shù)為15°；（3）∠AOM與∠CON之間滿足：或理由如下：當(dāng)OM在∠AOC的外部時，∵所以．當(dāng)OM在∠AOC的內(nèi)部時【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的計算、角平分線的定義，綜合性較強(qiáng)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解本題的關(guān)鍵．4．如圖，已知，OC是內(nèi)部的一條射線，過點(diǎn)O作射線OD，使.（1）若，則=_______;（2）若，則=________;（3）當(dāng)繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，+是否變化？若不變，求出其大??；若變化，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）會發(fā)生改變，見解析【分析】（1）根據(jù)題意求出的度數(shù)，再根據(jù)角的和與差即可得出答案；（2）根據(jù)已知可得出，即可得出答案；（3）分有一邊在內(nèi)部及兩邊都在外求+是否相等.【詳解】（1），（2）,.（3）若繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，+會發(fā)生變化，理由如下：若有一邊在內(nèi)部若兩邊都在外，如圖,若繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時，+會發(fā)生變化.【點(diǎn)睛】本題考查了角的和與差運(yùn)算，結(jié)合圖像得出角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.5．如圖1，已知∠MON=140°，∠AOC與∠BOC互余，OC平分∠MOB，（1）在圖1中，若∠AOC=40°，則∠BOC=°，∠NOB=°．（2）在圖1中，設(shè)∠AOC=α，∠NOB=β，請?zhí)骄喀僚cβ之間的數(shù)量關(guān)系（必須寫出推理的主要過程，但每一步后面不必寫出理由）；（3）在已知條件不變的前提下，當(dāng)∠AOB繞著點(diǎn)O順時針轉(zhuǎn)動到如圖2的位置，此時α與β之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出此時α與β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】解：（1）50，40；（2）β=2α﹣40°;（3）不成立，此時此時α與β之間的數(shù)量關(guān)系為：2α+β=40°.【分析】（1）先根據(jù)余角的定義計算∠BOC=50°，再由角平分線的定義計算∠BOM=100°，根據(jù)角的差可得∠BON的度數(shù)；（2）同理先計算∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，再根據(jù)∠BON=∠MON-∠BOM列等式即可；（3）同理可得∠MOB=180°-2α，再根據(jù)∠BON+∠MON=∠BOM列等式即可．【詳解】（1）如圖1，∵∠AOC與∠BOC互余，∴∠AOC+∠BOC=90°，∵∠AOC=40°，∴∠BOC=50°，∵OC平分∠MOB，∴∠MOC=∠BOC=50°，∴∠BOM=100°，∵∠MON=40°，∴∠BON=∠MON-∠BOM=140°-100°=40°，（2）β=2α-40°，理由是：如圖1，∵∠AOC=α，∴∠BOC=90°-α，∵OC平分∠MOB，∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，又∵∠MON=∠BOM+∠BON，∴140°=180°-2α+β，即β=2α-40°；（3）不成立，此時此時α與β之間的數(shù)量關(guān)系為：2α+β=40°，理由是：如圖2，∵∠AOC=α，∠NOB=β，∴∠BOC=90°-α，∵OC平分∠MOB，∴∠MOB=2∠BOC=2（90°-α）=180°-2α，∵∠BOM=∠MON+∠BON，∴180°-2α=140°+β，即2α+β=40°，答：不成立，此時此時α與β之間的數(shù)量關(guān)系為：2α+β=40.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，角的有關(guān)計算的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出注意利用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握角的和與差的關(guān)系．6．如圖，已知，且、滿足等式，射線從處繞點(diǎn)以度秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)．（1）試求∠AOB的度數(shù)．（2）如圖，當(dāng)射線從處繞點(diǎn)開始逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線從處以度/秒的速度繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)他們旋轉(zhuǎn)多少秒時，使得？（3）如圖，若射線為的平分線，當(dāng)射線從處繞點(diǎn)開始逆時針旋轉(zhuǎn)，同時射線從射線處以度秒的速度繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，使得這兩條射線重合于射線處（在的內(nèi)部）時，且，試求．【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得m＝140，n＝20，即可得到結(jié)果；（2）設(shè)他們旋轉(zhuǎn)x秒時，使得∠POQ＝10°，則∠AOQ＝x°，∠BOP＝4x°．分①當(dāng)射線OP與射線OQ相遇前，②當(dāng)射線OP與射線OQ相遇后，兩種情況，分別列方程求解即可；（3）設(shè)t秒后這兩條射線重合于射線OE處，則∠BOE＝4t°，先根據(jù)角平分線的定義可得∠COD的度數(shù)，即可求得∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)即可求得∠COE的度數(shù)，從而得到∠DOE、∠BOE的度數(shù)，求出時間t，再列方程求x即可．【詳解】解：（1）∵，∴3m?420＝0且2n?40＝0，∴m＝140，n＝20，∴∠AOC＝140°，∠BOC＝20°，∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝160°；（2）設(shè)他們旋轉(zhuǎn)x秒時，使得∠POQ＝10°，則∠AOQ＝x°，∠BOP＝4x°，①當(dāng)射線OP與射線OQ相遇前有：∠AOQ＋∠BOP＋∠POQ＝∠AOB＝160°，即：x＋4x＋10＝160，解得：x＝30；②當(dāng)射線OP與射線OQ相遇后有：∠AOQ＋∠BOP?∠POQ＝∠AOB＝160°，即：x＋4x?10＝160，解得：x＝34，答：當(dāng)他們旋轉(zhuǎn)30秒或34秒時，使得∠POQ＝10°；（3）設(shè)t秒后這兩條射線重合于射線OE處，則∠BOE＝4t°，∵OD為∠AOC的平分線，∴∠COD＝∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠COD＋∠BOC＝70°＋20°＝90°，∵，∴∠COE＝×90°＝40°，則∠DOE＝70°－40°＝30°，∠BOE＝20°＋40°＝60°，∴4t＝60，解得：t＝15，∴15x＝30，解得：x＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、角的和差計算以及一元一次方程的應(yīng)用，認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．7．如圖，長方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，M、N分別在射線BC和射線AD上，連接EM，EN，將三角形MBE沿EM折疊（把物體的一部分翻轉(zhuǎn)和另一部分貼攏），點(diǎn)B落在點(diǎn)B’處；將三角形NAE沿EN折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處.（1）若，，用直尺、量角器畫出射線EB’與EA’；（2）若，，求的度數(shù)；（3）若，，用含的代數(shù)式表示的度數(shù).【答案】（1）作圖見解析；（2）30°；（3）∠A'EB'=180°－2(α+β)或2(α+β)－180°．【分析】（1）根據(jù)已知作圖即可；（2）由折疊的性質(zhì)得到∠AEN=∠A'EN，∠BEM=∠B'EM，根據(jù)平角的定義得到2∠AEN+2∠BEM+∠A'EB'=180°，即可得到結(jié)論；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)α+β≤90°時，②當(dāng)α+β＞90°時．【詳解】（1）如圖：（2）由折疊的性質(zhì)得：∠AEN=∠A'EN，∠BEM=∠B'EM．∵2∠AEN+2∠BEM+∠A'EB'=180°，∴∠A'EB'=180°－2(∠AEN+∠BEM)=180°－2(45°+30°)=30°；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)α+β≤90°時，如圖1，由（2）可知：∠A'EB'=180°－2(∠AEN+∠BEM)=180°－2(α+β)；②當(dāng)α+β＞90°時，如圖2，類似可得：∠A'EB'=2(∠AEN+∠BEM)－180°=2(α+β)－180°．綜上所述：∠A'EB'=180°－2(α+β)或2(α+β)－180°．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，矩形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解答本題的關(guān)鍵．8．將一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB=∠DBE=90°，∠ABC=60°）按不同的位置擺放.（1）如圖1，若邊BD，BA在同一直線上，則∠EBC=；（2）如圖2，若∠EBC=165°，那么∠ABD=；（3）如圖3，若∠EBC=120°，求∠ABD的度數(shù)．【答案】（1）150°；（2）15°；（3）30°.【分析】（1）由∠EBC=∠DBE+∠ABC，可得結(jié)果；（2）由∠ABD=∠CBE-∠ABC-∠DBE，可得結(jié)果；（3）由∠ABD=∠ABC+∠DBE-∠EBC可得結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意可知，（1）∠EBC=∠DBE+∠ABC=90°+60°=150°；故答案為150°；（2）∠ABD=∠CBE-∠ABC-∠DBE=165°-90°-60°=15°；故答案為15°；（3）∠ABD=∠ABC+∠DBE-∠EBC=90°+60°-120°=30°．∴∠ABD的度數(shù)為：30°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的計算，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．9．閱讀材料并完成下面的問題：小華遇到這樣的一個問題；如圖（1），已知銳角，畫一條射線，使與互為余角．聰明的小華這樣畫出射線：①如圖（2），先用直角三角板畫出；②再用量角器畫出的角平分線，則與互為余角(1)當(dāng)銳角大小發(fā)生變化時，請證明與互為余角(2)類比小華的畫圖方法，在圖（3）中畫所有符合條件的射線，使與互為補(bǔ)角（保留畫圖痕跡，不寫面法）；(3)若，射線平分，平分，若，請直接寫出的度數(shù)為____________（用含的式子表示）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)或【分析】（1）只需要證明即可證明結(jié)論；（2）仿照題意進(jìn)行作圖即可；（3）分OF在∠GOE的內(nèi)部和外部兩種情況進(jìn)行討論求解即可；（1）解：∵平分，∴又∴．∴，∴與互為余角（2）解：如圖2-1所示，先用直尺延長AO，然后用量角器量出∠BOG的角平分線OD，則∠BOD和∠AOD互補(bǔ)；如圖2-2所示，先用直尺延長BO，然后用量角器量出∠AOG的角平分線OD，則∠BOD和∠AOD互補(bǔ)；（3）解：如圖3-1所示，當(dāng)OF在∠GOE內(nèi)部時，∵，∴，∵射線平分，平分，∴，∴；如圖3-2所示，當(dāng)OF在∠GOE外部時，∵，∴，∵射線平分，平分，∴，∴；如圖3-3所示，當(dāng)OF在∠GOE外部時，∵，∴，∵射線平分，平分，∴，∴；綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何中角度的計算，角平分線的定義，余角與補(bǔ)角的計算，熟知角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．10．如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，一直角三角板COD（∠COD＝90°）的直角頂點(diǎn)與O重合，繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)（OC、OD不與AB重合），射線OE平分∠AOC，∠BOD＝α．（本題中所有角均小于180°）(1)如圖1，直接寫出∠DOE的度數(shù)為（用含α的式子表示）；(2)如圖2，試判斷∠BOC與∠DOE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在直角三角板COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過程中（OD到達(dá)OA前停止旋轉(zhuǎn)），∠BOC與∠DOE始終保持（2）中的數(shù)量關(guān)系嗎？判斷并說明理由．【答案】(1)135°﹣(2)2∠DOE+∠BOC＝360°，理由見解析(3)∠BOC與∠DOE不會始終保持，見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行求解即可；（2）分別求出∠BOC與∠DOE即可得到答案；（3）如圖，分別求出∠BOC與∠DOE即可得到答案．（1）∵∠AOB＝180°，∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°∵∠BOD＝α，∴∠AOC＝90°﹣α，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝∠AOC＝（90°﹣α），∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝（90°﹣α）+90°＝135°﹣．故答案為：135°﹣；（2）解：2∠DOE+∠BOC＝360°，理由如下：∵∠COD＝90°，∠BOD＝α，∴∠BOC＝90°﹣α，∴∠AOC＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，∵OE平分∠AOC，∴∴∠DOE＝∠COD+∠EOC＝90°+（90°+α）＝135°+，∴，∴2∠DOE+∠BOC＝360°；（3）解：∠BOC與∠DOE不會始終保持（2）中的數(shù)量關(guān)系，理由如下：如圖所示，∵，，∴，∴，∵OE平分∠AOC，∴，∴，∴，∴∠BOC與∠DOE不會始終保持（2）中的數(shù)量關(guān)系．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何中角度的計算，角平分線的定義，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．11．定義：過角的頂點(diǎn)在角的內(nèi)部作一條射線，得到三個角，若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱這條射線為這個角的“二倍角線”．（1）如圖1，∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“二倍角線”，則∠AOC＝．（2）如圖2，射線OB為∠COD的“二倍角線”，且∠DOB＝2∠BOC．射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，問的值是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由；（3）如圖3．已知∠AOB＝120°，射線OC、OD為∠AOB的“二倍角線”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，將∠COD繞點(diǎn)O以10°/秒的速度順時針轉(zhuǎn)動，運(yùn)動時間為t秒（0≤t≤14），射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線．OB、OM、ON三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”，直接寫出t所有可能的值．【答案】（1）60°或80°或40°．；（2）的值是定值，定值為2；（3）12秒或秒．【分析】（1）根據(jù)“二倍角線”的概念分三種情況討論，分別求解即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，然后由∠DOB＝2∠BOC進(jìn)一步得到，設(shè)，根據(jù)題意分別表示出和，即可求出的值；（3）首先根據(jù)∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，得出，根據(jù)題意分四種情況討論，分別列出方程求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，∵，∵，解得：；當(dāng)時，∵，∵，解得：；故答案為：60°或80°或40°．（2）∵射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，∴，又∵∠DOB＝2∠BOC，，∴，∴設(shè)，∴∴的值是定值2；（3）∵∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，又∵，，∴，∴，∵射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，∴，，∴，將∠COD繞點(diǎn)O以10°/秒的速度順時針轉(zhuǎn)動，運(yùn)動時間為t秒（0≤t≤14），∴當(dāng)時，在內(nèi)部，∵，，，∴當(dāng)時，，解得：，舍去，當(dāng)時，，解得：，舍去，當(dāng)時，，解得：，舍去當(dāng)時，此時在內(nèi)部，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，即，解得：，應(yīng)舍去，當(dāng)時，即，解得：，應(yīng)舍去，當(dāng)時，即，解得：應(yīng)舍去，當(dāng)時，此時在內(nèi)部，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，即，解得：，當(dāng)時，即，解得：，應(yīng)舍去，當(dāng)時，即，解得：，當(dāng)時，此時在內(nèi)部，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，即，解得：，當(dāng)時，即，解得：，應(yīng)舍去，當(dāng)時，即，解得：，應(yīng)舍去，綜上所述，t的值為12秒或秒．【點(diǎn)睛】此題考查了新定義角度問題，角平分線有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中角度之間的等量關(guān)系，分情況討論列出方程求解．12．如圖，直線CD與EF相交于點(diǎn)O，將一直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合．（1）如圖1，若，試說明；（2）如圖2，若，OB平分．將三角尺以每秒5°的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①，當(dāng)t為何值時，直線OE平分；②當(dāng)，三角尺AOB旋轉(zhuǎn)到三角POQ（A、B分別對應(yīng)P、Q）的位置，若OM平分，求的值．【答案】（1）見解析；（2）①或；②【分析】（1）根據(jù)垂直的性質(zhì)即可求解；（2）①分當(dāng)OE平分時，和OF平分時根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)求出旋轉(zhuǎn)的角度即可求解；②根據(jù)，可知OP在內(nèi)部，根據(jù)題意作圖，分別表示出，，故可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，∴．（2）①∵OB平分，，∴．情況1：當(dāng)OE平分時，則旋轉(zhuǎn)之后，∴OB旋轉(zhuǎn)的角度為，∴，．情況2：當(dāng)OF平分時，同理可得，OB旋轉(zhuǎn)的角度為，∴，．綜上所述，或．②∵，∴OP在內(nèi)部，如圖所示，由題意知，，∴，∵OM平分，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查角度的綜合判斷與求解，解題的關(guān)鍵是根熟知垂直的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及角度的和差關(guān)系．13．已知為直線上一點(diǎn)，射線、、位于直線上方，在的左側(cè)，，．（1）如圖1，，當(dāng)平分時，求的度數(shù)．（2）如圖2，若，且，求（用表示）．（3）若，點(diǎn)在射線上，若射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（），，平分，當(dāng)時，求的值．【答案】（1）50°；（2）；（3）168或72．【分析】（1）利用角平分線的定義和鄰補(bǔ)角的定義求得∠BOC和∠EOC，再利用角的和差即可求得∠BOE；（2）先根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系求得∠DOE，再利用角的和差即可得出結(jié)論；（3）設(shè)，分①若在的內(nèi)部，②當(dāng)在射線的兩側(cè)時兩種情況，利用角的和差列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵，平分，∴，，又，∴，∴；（2）∵，，∴，，，∴，∴；（3）①如圖，若在的內(nèi)部設(shè)

則依題意有：，∵，，∴，又∵平分，∴，又，∴，∴；②當(dāng)在射線的兩側(cè)時如圖設(shè)，則依題意有，∵，，∴，又平分，∴，又，∴，∴，∴綜上所述順時針旋轉(zhuǎn)的角度為168或72．【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角的有關(guān)計算，角平分線的有關(guān)計算，角的和差，一元一次方程的應(yīng)用．（3）中能分類討論畫出圖形，結(jié)合圖形利用角的和差列出方程是解題關(guān)鍵．14．【學(xué)習(xí)概念】如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運(yùn)用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時停止旋轉(zhuǎn)．同時射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．【答案】（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)用的時間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，然后對PM和PQ的運(yùn)動情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運(yùn)動時間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時∵∠MP